Chú ý, trong hàng cuối cùng dùng dấu để chỉ các nghiệm của mẫu thức Q(x) = 0 làm bất phương trình không xác định. - Giải phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối : [r]
Trang 1Dạng 1: Giải bất phương trình
- Điều kiện xác định của bất phương trình f(x) > g(x) là giao của hai điều kiện xác định của hai hàm số f(x), g(x): D = D f D g
- Hai bất phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng cĩ cùng một tập nghiệm
Nếu x0 là nghiệm của bất phương trình này nhưng khồng là nghiệm của bất phương trình kia thì hai bất phương trình khơng tương đương
Chú ý:
- Sử dụng định nghĩa và định lý biến đổi tương đương khi cộng thêm vào, nhân chia hai vế
- Khi các biểu thức ở hai vế của bất phương trình, điều kiện của bất phương trình thường bị thay đổi vì vậy, để tìm nghiệm của bất phương trình đã cho ta phải tìm các giá trị của ẩn đồng thời thỗ mãn bất phương trình mới và điều kiện của bất phương trình đã cho
VÍ dụ 1: Tìm tập xác định của các bất phương trình sau:
2 2
Giải
a) điều kiện xác định:
vậy D = R \ {-2 ; -1}
b) Điều kiện xác định :
1
3
x
x
Vậy D = [-1 ;) \ 3
Ví dụ 2: Tìm tập xác định của bất phương trình :
3
2 3
2
3
Giải
a) ĐK:
2 2
2, 3
5 6 0
b) ĐK: x 3 0 vậy D = R\{3}
c) ĐK:
3 0
3 0
x
x x
vậy D = [3; )
d) Vì x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 0, x Rvà x2 + 3 > 0 x Rnên D = R.
Ví dụ 3: Tìm điều kiện xác định rồi suy ra tập nghiệm:
BẤT PHƯƠNG TRÌNH- NHỊ THỨC BẬC NHẤT
Trang 2) ) 3 1 3
x
Giải
a) ĐK: x 0vàx 0 x 0
Thế x = 0 vào BPT: 0 > 0 (sai) Vậy S =
b) ĐK: x 3 0 x 3
Trong điều kiện đó thì 1 x 3 x 3 (đúng)
Vậy SD[3; )
c) ĐKx 3 Trong điều kiện đó thì : BPT x 2 Vậy D = [2; ) \ 3
d) ĐK: x – 2 > 0 x 2, trong trường hợp đó thì :
BPT x 2(loại) vậy S
Ví dụ 4: Giải các bất phương trình sau:
3 ) ( 2) ( 3) 0 ) ( 4) ( 1) 0
x
Giải
a)
2 3
x
3 0
4 2
x
x x
b) x x (2 x3)( x1) x x 2x 3 x
0
2 3
x
x
x x x x
1
x
ví dụ 5: Chứng minh bất phương trình:
a) ( 1 x3)(2 1 x 5) 1 x 3 có nghiệm
b)
2
2
1
1
x x
x x
vô nghiệm
GIẢI
a) Xét x = -8 thì BPT trở thành: ( 9 3)(2 9 5) 9 3 6.1 0 : đúng Vậy BPT có nghiệm
b) Theo bất đẳng thức Côsi, ta có:
2
2
1
1
x x
Vậy bất phương trình vô nghiệm
ví dụ :6 Bất phương trình 2x – 1 0 tương đương với BPT nào?
(1):
2 1
x
(2):
2 1
x
GIẢI
Ta có
1
2
x x x
Trang 3BPT (1) có điều kiện x 3 nên không tương đương
BPT (2) có điều kiện x 3(thoả mãn) nên tương đương
Bài tập :
1 Tìm tập xác định của bất phương trình :
1
x
x
2 Giải các bất phương trình :
3 Giải các bất phương trình sau :
2
x
4 Giải các bất phương trình sau :
Dạng 2: Bất phương trình bậc nhất
* Giải và biện luận BPT dạng:
Dạng
a > 0
thì (1)
b x a
tập nghiệm ( ; )
b S
a
thì(2)
b x a
.Tập nghiệm S = [ ; )
b a
a < 0
thì (1)
b x a
tập nghiệm ( ; )
b S a
thì (2) x
b a
.Tập nghiệm S = ( ; ]
b a
a = 0 thì(1) 0.x b, do đó:
* Khi b 0thì BPT(1) vô nghiệm:
S
* Khi b 0thì nghiệm của BPT(1)
là mọi x: S R
thì (2) 0.xb, do đó:
* Khi b < 0 thì BPT(2) vô nghiệm :
S =
* Khi b 0thì nghiệm của BPT(2)
là mọi x : S = R.
Chú ý :
- Chuyển x về một bên, số về một bên
- Có lấy dấu bằng hay không
- Điều kiện cần để ax + b < 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm với mọi x là a = 0
- Điều kiện để ax + b < 0 có nghiệm là a 0, hoặc a = 0, b > 0
- Dùng đồ thị, đường thẳng, tia, đoạn thẳng để giải toán
- Các trường hợp ax + b > 0, ax b 0 củng giải và biện luận tương tự
Ví dụ 1 : Giải và biện luận các phương trình :
GIẢI :
a) a m x m) ( ) x 1 (m1)x m 2 1 (m 1)x(m1)(m1) (1)
Trang 4Nếu m > 1 thì (1) x m + 1 S = ;m1
Nếu m < 1 thì (1) x m + 1 S = m 1;
Nếu m = 1 thì (1) 0.x 0 (đúng) S = R
b) mx 6 2x3m (m 2)x3(m 2) (2)
Nếu m > 2 thì (2) x > 3 S = 3;
Nếu m < 2 thì (2) x < 3 S = ; 3
Nếu m = 2 thì (2) 0.x > 0 (sai) S =
c) c x) ( 1)k x 3x 4 (k 2)x 4 k (3)
Nếu k > 2 thì (3) x <
4 2
k k
4
; 2
k k
Nếu k < 2 thì (3) x >
4 2
k k
4
; 2
k k
Nếu k = 2 thì (3) 0.x < 2 (đúng) S = R
d) d a) ( 1)x a 3 4x 1 (a 3)xa 2 (4)
Nếu a > 3 thì (4) x
2 3
a a
2
; 3
a a
Nếu a < 3 thì (4) x
2 3
a a
2
; 3
a a
Nếu a = 3 thì (4) 0.x -5 (đúng) S = R
Bài tập :
1 Giải và biện luận các phương trình :
a)m x m( ) 2(4 x) b)3x m 2 m x( 3)
c) k x( 1) 4 x5 d) b x( 1) 2 x
2 Tìm m để mỗi bất phương trình sau vô nghiệm
a)m x2 4x 3 x m2 b) m x2 1 m (3m 2)x
3 Định m để bất phương trình
a) m x mx2 1 có tập nghiệp là R; b) m mx2( 1)m(1 m x) có nghiệm
c) (m1)x m 2m12 0 có tập nghiệm là R
4 Tim a sao cho hai bất phương trình sau đây là tương đương :
(a 1)x a 3 0 (1) và (a1)x a 2 0(2)
5 Tìm m trong mỗi trường hợp
a) (m2)x 5 2m0, x 1;3 ; b) mx 3 x4m 0, x 2
Dạng 3: Hệ bất phương trình bậc nhất
Phương pháp giải hệ bất phương trình bậc nhất :
- Giải riêng phương trình của hệ
- Tìm giao các tập nghiệm
Chú ý: Có thể kết hợp khi giải
- Minh hoạ trục số
- Bài toán điều kiện có nghiệm, vô nghiệm thì xem xet đủ các trường hợp có thể xảy
ra
Trang 5 , 2
max A B
; min ,
2
A B
Ví dụ 1: Giải các hệ bất phường trình
a)
7
3
2
x
S
Ví dụ 2: Giải các hệ bất phương trình:
a)
26
4 5
3
3 7
28
2 5
5 4
x
x x
x x
x x
26 28
;
3 5
b)
4
19
x
x
4
; 5
Bài tập 1: Tìm m để mỗi hệ sau có nghiệm:
a)
x m
b)
2 0 1
x
m x
Đáp số: a) m < -5; b) m > -1
Bài tập 2: Tìm m đễ mỗi hệ vô nghiệm:
a)
x m
b)
2 2
7 3
; b) m >
72 13
Bài tập 3: Tìm m để hệ:
1
x x
b)
2 0
4 0
x
mx
có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 5
GIẢI : (Hướng dẫn )
23
2
x
Hệ đã cho có nghiệm khi:
1
m m m
b)
(*)
Xét m = 0 thì (*)
2
0 4
x x
Hệ có vô số nghiệm (loại)
Xét m < 0 thì (*)
2 4
x x m
Hệ có vô số nghiệm (loại)
Trang 6Xét m > 0 thì (*)
2
4 2
4
x
x m x
m
Điều kiện để hệ có nghiệm là một đoạn có
độ dài bằng 5 là
7
m
m m (chọn) Vậy khi m =
4
7 thì thoả mãn yêu cầu bài toán đề ra
Bài tập 4 : Tìm m để hệ bất phương trình sau có một nghiệm duy nhất
2 1 0
8 0
nx m
Đáp số: m = 2
Bài tập 5: Tìm nghiệm nguyên của hệ :
a)
5
7
8 3
2 25 2
x
x
b)
1
15 2 2
3
3 14 2( 4)
2
x x
Đáp số: a) x = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} b) x = 1
Dạng 4: Dấu nhị thức bậc nhất
- Xét dấu nhị thức bậc nhất f x( )b a, 0 :
Cho ( )
b
a
Bảng xét dấu:
x b a/
f x( ) trái dấu a 0 cùng dấu a - Đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b ,a 0 :
y y
0 x 0 x
a > 0 a < 0
* Ứng dụng:
- Giải bất phương trình tích:
Đưa bất phương trình về dạng A(x).B(x) > 0; A(x).B(x) 0,A(x).B(x).C(x) < 0,… Sắp xếp cắc nghiệm của nhị thức A(x), B(x), C(x),…theo thứ tự tăng dần Lập bản xét dấu để chọn miền nghiệm thích hợp
- Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu:
Đưa bất phương trình về dạng
Q x Q x Q x Q x trong đó P(x), Q(x) là tích các nhị thức bậc nhất Sắp xếp các nghiệm của các nhị thức theo thứ tự tăng dần, lập bảng xét dấu để chọn miền nghiệm thích hợp Chú ý, trong hàng cuối cùng dùng dấu để chỉ các nghiệm của mẫu thức Q(x) = 0 làm bất phương trình không xác định
- Giải phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối :
Dùng định nghĩa, chia miền xét dấu, bình phương có điều kiện:
Trang 72 2
*
0 0
*
A khi A
A khi A
A B
B A B
B B
A B
A B
Ví dụ1 : Lập bảng xét dấu các biểu thức:
a ) f(x) = ( -2x + 3 )( x – 2 )( x + 4 ) b) f(x) = x( x - 2 )2 ( 3 - x )
GIẢI :
a) Các nhị thức bậc nhất -2x + 3; x – 2; x + 4 có các nghiệm lần lượt là:
3
2; 2; -4 Bảng xét dấu:
x
-4
3 2 2
-2x + 3 + + 0 -
-x – 2 - - - 0 +
x + 4 - 0 + + +
f(x) + 0 0 + 0
-Tự rút kết luận b) Các nhị thức bậc nhất x; ( x - 2 )2;( 3 - x ) có các nghiệm lần lượt là: 0; 2; 3 Bảng xét dấu: x 0 2 3
x - 0 + + +
(x – 2)2 + + 0 + +
3 – x + + + 0
-f(x) 0 + 0 + 0
-Tự rút kết luận Lưu ý: Ta có thể vẽ lược đồ xét dấu (Phương pháp khoảng) - Các nhị thức bậc nhất không được có nghiệm bội, mà chỉ có các nghiệm đôi một phân biệt - Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần trên trục số - Chọn một khoảng bất kì và xác định dấu của f(x) trong khoảng đó - Suy ra dấu của f(x) trên các khoảng còn lại sao cho trên hai khoảng bất kì kề nhau thì f(x) có dấu khác nhau Ví dụ 2 : Lập bảng xét dấu:
2
GIẢI :
Trang 8a) Điều kiện: x
1 2
, các nhị thức bậc nhất 4 – 3x; 2x + 1; có các nghiệm lần lượt là:
;
3 2
Biểu diễn các nghiệm này trên trục số
1 2
0 +
-
4
3
-Ta có f(0) =
4 3.0
4 0 2.0 1
, do đó f(x) > 0
1 4
;
2 3
Từ đó ta xác định được dấu của f(x) trong các khoảng còn lại Vậy f(x) > 0 khi
1 4
;
2 3
x
f(x) < 0 khi
x
f(x) = 0 khi x =
4 3 f(x) không xác định khi x =
1 2
Nhận xét : Câu b) có nghiệm bội nên không được dùng phương pháp này
1 Phân tích rồi xét dấu:
2 Giải các bất phương trình:
x x
3 Giải các bất phương trình :
4 Giải các hệ bất phương trình :
( 3)( 2 2) 0
2 1 3
2
x
5 Giải các bất phương trình :
( 1)( 2) 2
x
6 Giải và biện luận các phương trình :
3
x
7 Giải và biện luận tuỳ theo m hệ bất phương trình :
0
mx
x m
8 Tìm m để hệ phương trình :
3 0 4
x x
x m
a ) Vô nghiệm b ) Có một nghiệm duy nhất