Một số đặc trưng tính toán và độ phức tạp tính toán trên máy Blum-shub-smale và trên cấu trúc đại số

MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG TÍNH TOÁN VÀ ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN THEO MÔ HÌNH BLUM-SHUB-SMALE VÀ MÔ HÌNH TỔNG QUÁT TRÊN CÂU TRÚC ĐẠI s ố1... Emst-Moritz-Amdt-Universitat GreifswaldPreprint-Reihe Math

Tên đề tài

MỘT SỐ ĐẶC TRUNG TÍNH TOÁN VÀ ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN TRÊN MÁY BLUM-SHUB-SMALE

VÀ TRÊN CẤU TRÚC ĐAI s ố

Mã số : QT- 04 - 01

H À NỘI - 2 0 0 5

Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C G IA H À N Ộ I C ộ n g h o à x ã h ộ i c h ủ n g h ĩa V iệ t n a m

BÁO CÁO TÓM TẮT

1 Tén đề tài M ộ t s ố đ ặ c trư n g tính to á n v à đ ộ p h ứ c tạ p tính toán

trê n m á y B ỉu m - S h u b - S m a ỉe v à trê n c ấ u tr ú c đ ạ i s ô ”

2 M ã s ố : Q T -0 4 -0 1

3 Chủ trì đề tài : PGS.TS.TRẦN THỌ CHÂU

4 Cán bộ tham gia: G S T S Đ ặ n g H u y R u ậ n ,

5 M ục tiêu và nội du ng nghiên cứu

a) M ục tiêu nghiên cứu

M ô h ìn h tính to á n trên s ố thực đ ư ợ c đưa ra bởi ba n h à k h o a h ọ c MỸ là L B l u m

b) N ội dung nghiên cứu

+ C h ứ n g m i n h m ộ t v à i tín h ch ấ t kết h ợp g iữ a 2 p h é p to á n là H ơ p ( O 1) và G i a o

( r ì ) trong đ o á n n hậ n n g ó n n g ữ

+ Á p d ụ n g c á c kết q u ả đạt đ ư ợ c c h o v i ệ c n g h i ê n cứ u sâu h ơ n v é hai c â u trúc tính toá n n ó i trên n h ằ m đ u a ra n h ữ n g khả n ă n g tính đ ư ợ c trên c á c m á y trừu

H à nội, n g à y 31 t h ú n g 12 n ă m 2 0 0 4

Ỷ k iế n c ủ a Ban C h ủ n h i ê m K h o a C H Ủ T R Ì Đ Ê T À I

1 T itle o f p r o j e c t :

S o m e c h a r a c te r is tic P ro p er ties o f th e c o m p u t a b i li t y and the c o m p l e x i t y o v e r the

B l u m - S h u b - S m a l e ’s M o d e l and th e M o d e l o f the a l g e b r a ic Structure

th e o r y d e a l i n g w ith p r o b le m s h a v in g an a n a ly t ic a l and t o p o l o g i c a l b a c k g r o u n d , and

to s h o w that c e rta in p r o b le m s hard e v e n i f arbitrary re a ls are treated as b a s ic

en tities.

M a n y b a s ic c o n c e p t s a n d fu n d a m e n t a l re s u lts o f c l a s s i c a l c o m p u t a b i l i t y and

c o m p l e x i t y th e o r y r e a p p e a r in th e B S S m o d e l : the c l a s s e s P r and N P r

B a s e d o n the c o m p u t a t i o n m o d e l in t r o d u c e d b y A H e m m e r l i n g [4] for string

fu n c t i o n s o v e r s i n g l e s o r t e d , total a lg e b r a i c stru ctu res, h e s tu d e d s o m e b a s ic fe a tu r e s o f

a General th e o r y o f c o m p u t a b i l i t y , r e c o c n i s a b i l i t v o f l a n g u a g e s , and s o m e r e s u lts OÍ the

6 M ain ob tain ed resu lts :

P r o v in g t w o t h e o r e m s a b o u t th e r e c o g n is a b i l it v o f l a n g u a g e s a fter the l o g i c a l

r u les and D e M o r g a n ru les o v e r the a lg e b r a ic structures

- P r o v in g s o m e a s s o c i a t i v e p ro p ertie s o f l a n g u a g e s fr o m t w o o p era tio n s : u n i o n

( u ) and i n te r s e c t io n ( n )

- A p p l y i n g the o b t a i n e d r e s u lts for a d v a n c e re sea rc h fr o m t w o a b o v e m o d e l s

w h i c h ca n us h e l p to d o m a n y re s u lts about th e c o m p u t a b i li t y o v e r the ab stract

B S S - m o d e l and o v e r the a l g e b r a i c structures.

KÊT LƯẶN

T rên c ơ s ở lý t h u y ế t T in h ọ c c á c khái n i ệ m về k h ả n ă n g tính đ ư ợ c , đ ộ p h ứ c tạp tín h toán, v à k h ả n ă n g đ o á n n h ậ n n g ó n n g ữ trên m á y B SS và trên cấ u trúc đại s ố C huns tỏi đ ã n g h i ê n cứ u t h ê m m ộ t s ô tín h ch ấ t c ơ bản c ủ a hai m ô h ìn h n ó i trên và đưa ra

đ ư ợ c 2 đ ịn h lý t ổ n g q uát v ề tín h đ o á n n hậ n n g ó n n g ữ th e o luật l o g i c v à luật D e M o r s a n trên cấ u trúc đại s ố Đ ổ n g thời á p d ụ n g luật đã n êu c h o m ỏ h ìn h cấ u trúc đại s ố m ộ t

c ó n g c ụ rất hữu h iệ u tr o n g q u á trình x ử l ý x â u k ý tự d ự a trên cấ u trúc đại s ố n h ư n h ữ n e

k ế t q u ả truy ền t h ố n g trên m ó h ìn h m á y T u rin g , đ ả m b ảo tót tính h iệ u q u ả và k h á n ă n g

đ o á n n h ậ n củ a hai m ó h ìn h t h e o tư tư ở n g lý th u y ết đ ộ phức tạp m ộ t c á c h đ ó n g đ éu (u n i f o r m) từ m ộ t h ìn h thức h o á n à y đ ế n m ộ t h ình thức h o á k hác.

C á c kết q u ả đạt đ ư ợ c c ủ a đ ề tài vừa m a n g V n g h ĩa lv th u v ế t vừa m a n s V n g h ĩ a

ih ự c tiễ n , nhất là tr o n g thời đại c ô n g n g h ệ t h ô n g tin đã và đ a n g phát triển m ộ t c á c h

m ạ n h m ẽ n h ư n g à y n a y trẽn t h ế g iớ i.

MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG TÍNH TOÁN VÀ ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN THEO MÔ HÌNH BLUM-SHUB-SMALE VÀ MÔ HÌNH TỔNG QUÁT TRÊN CÂU TRÚC ĐẠI s ố

1 M ờ đầu

V â n đ ề c ơ bản c ủ a lý th u y ế t tính toán c ó thể đ ư ợ c đặt ra và phát b iế u m ộ t c á c h

d ễ h iể u n h ư sau:

Đ ố i với n h ữ n g bài to á n n à o c h ú n g ta c ó thê x ả v d ự n g đ ư ợ c c á c thú tục m á y

c ù n g với tính h iệ u q u ả củ a n ó n h ầ m g iả i q u y ế t m ọ i tình h u ố n g đặt ra c ủ a bài toán

N h ữ n g bài to á n n à o c ó tồn tại thuật toán đ ê giải đ ư ợc n ó

g iả i đ ư ợ c V ậ y c ấ n p hải c ó m ộ t m ỏ h ìn h tính to á n đ ể th iết lập tính k h ô n e g iả i đ ư ợ c cu a

m ộ t bài toán N ế u c h ú n g ta m u ố n c h ỉ ra rằ n g k h ô n g tổ n tại m ộ t thuật to á n c h o m ộ t bài

to á n r i ê n g biệt n à o đ ó thì c h ú n g lại c ầ n phải c ó m ộ t đ ịn h n g h ĩ a c h í n h x á c v ề thuật toán

th ừa n h ậ n , đ ặ c b iệt là A T u r i n g đã đ ư a ra m ỏ h ìn h tính toa n tỏ n g q u á i đ ư ợ c iiọi la m a \

T u r in g Đ ó là m ộ t m ỏ h ìn h T o á n h ọ c th ích h ợ p đê d iẻ n ta k h á i n i ệ m thuái toán va

k h a i n i ệ m h a m linh đ ư ợ c.

V à o năm 1 9 7 1 , S C ook , nhà T o á n h ọ c người Canada, là người đầu tiên đưa ra hài toán p = N P ?“ c ó n g h ĩa là liệu c ó phải m ọi n gôn ngữ đoán nhận được hời m ột m áy

S C o o k g ọ i c á c bài to á n “k h ố n h ấ t “ tro ng N P là c á c bài toán “ N P - đ ầ y đ ủ " , và

c h í n h ô n g là n g ư ờ i đ ầ u tiên n ă m 19 7 1 đã c h ứ n g m in h bài to á n th o ả đ ược (S A T I S F I A B I L I T Y - v iế t tắt là S A T ) là N P - đ ầ y đủ Sau đ ó M K a r p dựa v à o p h ư ơ n g

p h á p c ủ a C o o k đ ã c h ứ n g m i n h t h é m m ộ t loạt 2 0 bài toán th u ộ c lớp N P - đ ầ y đu và c h o

P R và N P r ( tư ơ n g t ư n h ư p r à A T ) c á c bài toán N P R-đ ầ y đu V à o n ả m 1 9 9 5

A H e m m e r l i n e / 4 / lại n g h i é n cứu lý i h u y é l đ ộ phức tạp tính Iơán trẽn m ỏ h ìn h c á u trúc đại s ố 1 tr o n c đ ó k h á i n i ệ m I - t í n h đ ư ơ c đ ố i với c á c h à m x â u trên m ỏ h ỉn h cấu trúc

T ư tườnn c u a m ó h ìn h tín h to á n n à y bãl n c u ó n từ c á c c ó n g trinh c u a G o o d e / 3 /

P o iz a t /1 1/ và đ ã th u đ ư ợ c n h i ê u két qua q u an tr o n e tr o n e lình vự c K th u v c! đi) phức

8

tạp tính toán, g ó p phần đi sáu n g h iên cứu bài toán “P = N P ?'' theo cá c m ỏ hình tính

được trên m ỗ i m ột m ó hình tính toán.

2 M ó hình Blum - Shub - Sm ale

n g u y ê n

Tất c ả c á c g iá trị a x u ấ t h iệ n tr on g c á c lện h tính toán tạo th àn h m ộ t tập h ợ p đ ư ợ c g ọ i ]à tập c á c h ằ n g củ a m a ý

M ỗ i m ộ t m á y M trên Y đ ề u t ư ơ n s ứ n g với m ộ t h àm <I>N1 tính đ ư ợ c bời M

Đ â y là m ộ t h à m b ộ p hậ n từ Y v à o R r và c h o kết qua là giá trị tính đ ư ợ c với d ữ liệ u v à o

y e Y

Đ ị n h n g h ĩ a 2 2 G i ả s ử A c B c R " và M ]à m ộ t B S S - m á y trên B.

a) T ậ p d ữ liệ u ra { o u tp u t s e t) củ a M là tập h ợ p O m(B).

T ậ p d ừ n g (h a l ti n g s e t) c ủ a M là tập tất cà c á c d ữ liệu v à o y s a o c h o C>N1(V) là x á c địn h

b) C ặp ( B A ) k ý h iệ u là b à i toáìì q u y ế t đ ịn h C ặp n à y đ ư ợ c g ọ i là c ỏ t h ể cỊttycí dịìiìì

b ) ( B , A ) đ ư ợ c g ọ i là t h u ộ c lớ p N P R khi và chỉ khi tổn tại m ộ t B S S - m á v với tập v à o

M á y M s tương ứng với m ộ t h àn g s e R được x á c định bằng biểu diễn nhị phân như sau đáy:

M á y s ẽ c h o c â u trả lời “ I s n e s ?" với đ ộ phức tạp thơi g ia n là nlogìì (H ì n h 1).

Đ i n h n ỉ ĩ h ĩ a 2 5 Giíi SƯ n £ s và s c R r' K hi đ ó s đ ư ơ c £ 0 1 lã Iiiíư-CỈLII sò

( s e m i - a l ° e b r a i c ) n êu s là tập c á c p há n tứ th u ộ c R n th oa m ã n hê p h ư ơ n s trình đa th ức trên R h a y n ói c á c h k h á c , n êu s là h ợ p hữu hạn c á c tập c o n c ó d ang:

[y ể R ” : f ( y ) = 0 A g , ( y ) > 0 g , ( y ) > 0 ; tront; đ ó f g | g ; g , e R [ x ! •■•*[■.]•

12

Đ ịn h n g h ĩa 2 6 G iả sử (B i.A [) và (B t.A i) là cá c bài toán quvết định K hi đó ngư ời ta

n ó i rằng: (B 2,A 2) là dán được v ề ( B ị.A ,) trong thời gian đa thức, khi và ch ỉ khi tổn tại

m ộ t B S S -m áy M trên B-, sa o cho:

3 ) Bài to á n ( R , Q ) là k h ô n g q u y ế t đ ịn h đ ư ợ c, c ò n c á c bài toán (R Z ) ( R N ) và ( Q Z )

b ) M ọ i bài toá n t h u ộ c lớp N P r đ ề u c ó thể q u y ế t đ ịn h đ ược tr o n g thời g i a n h à m m ũ

C h ú ý- V ớ i ° i a thiết là P R - N P r thì s i ớ i hạn k = 4 là c á n dưới ch á t n hất cưa đ in h

lý 3 1 đ iề u n à y đ ã đ ư ợ c T r i e s c h / 1 5 / c h ứ n g m in h :

V ớ i k = 1 2 3 bài to á n ( F \ F l „ ril ) là th u ộ c lớp P R.

2.4 M ột sô kết quả khác về các vân đề đầy đủ

1) Bài toán (Q S ,Q S yeJ - h ệ phương trình đa thức bậc 2 c ó m ột n g h iệm là N P R -đầy đu C/8/>.

2 ) B ài to á n ( F k F k 7cro+) là N P R -đ á y đủ với k > = 4 (/Sỉ).

3 M ò hình tính toán trên cấu trúc đại sỏ

3.1 Các khái niệm , định nghĩa

T r o n e c á c thí dụ trên, hai thí du đầu c ó câ u trúc hữu h an c ò n thí du sau c ù n c c ó

c â u trúc v ó hạn.

Sir rinh to á n tr o n e s n s h ĩ a là sư tính to á n c ủ a c á c h à m (b ỏ p h â n ) k b iê n ự) : —> s

M ó t liiii tụ c t h u ậ t to a n hữu hạn n g h í a là c h o m ộ t b ộ dữ liệu <S].S; s ni \'áo " m a v "

M á v là m v i ệ c t ư ơ n c ứng VỚI m ộ t c h ư ơ n g trình n à o d o và c h o k éi q u a la g i a tri cu a h a m khi vìi c h i khi h a m đ ư ợ c x á c đ inh.

14

Đ ịn h n g h ĩa 3 3 - M ột I -c h ư ơ n g trình được g ọ i là đơn định (D -program ) nếu nó

k h ô n g chứa lện h g u e ss và tất cả các lện h nhảy chỉ chứa đúng m ột nhãn.

( N I -program ), nếu n ó k h ô n g chứ a lện h g u e ss.

- M ộ t c h ư ơ n g trình là k h ô n g - đ ơ n đ ị n h lo ạ i 2 (N 2 - p r o g r a m ) n ếu n ó là m ộ t c h ư ơ n c trình tuv ý.

Chú ý:

C á c k h á i n iệ m D - t í n h đ ư ợ c và N ,-tín h đ ư ợ c đ éu h iể u tư ơ n g tự n h ư trước đây

N g ư ờ i ta c ò n p h â n b iệt k ỹ hai k h a i n i ệ m :

I - c h ư ơ n g trình ( 'L - p r o g r a m ) và z -T ự a c h ư ơ n g trình ( ' L - Q u a s i p r o ỵ ơ m ) ớ c h ỗ la trong 'L-cluỉơiìg trìn h c h ỉ c h o p h é p m ộ t s ố hữu hạn c á c h ã n g củ a cá u trúc là c á c s ố

h ạ n g trực tiêp , tr o n g k hi đ ó thì E - T ự a c h ư ơ n g trình lại c h o p h é p c á c phán tư Uiỳ ý cú a tập n ể n là c á c s ố h ạ n g trực tiếp

V à tư ơ n g ứ n g c h ú n g ta lại p h á n biệt th ê m khái n iệ m tựa Ịìầnạ ( q u a s i c o n s t a n ỉ ).

Đ ị n h n g h ĩ a 3 4 M ộ t p h ầ n tử s e S đ ư ợ c c o i là ( £ ) - k iế n tliiết ( c o n s t r u c t i b l e ) n ế u tòn tại m ộ t h à m x á c đ ịn h k h ấ p n ơi cp„ s a o cho:

cp,(co) = s v ớ i m ọ i co € s + là m ộ t h à m S - t í n h đ ư ợc đơn đ ịnh.

Đ ị n h n g h ĩ a 3 5 M ộ t c ấ u trúc s đ ư ợ c g ọ i là s o n g k iế n th iế t (b ip o t e n t ) n ế u tó n tại ít

n hất hai p h ầ n tử k i ê n thiết r(1 và rI.

C h ú v : - T rẽn cấ u trúc s o n s k iê n th iết, n e ười ta c ó thế sử d u n g c á c rãnh phụ e i ú p c h o

3.2 M ột sô' kết quả cơ bản trén m ỏ hình cáu trúc đại só

V e o , CDm e s + : O ,,0 ([co , c o J ) = ®cp l(HI, ( [tO] t o J )

V à o năm 2 0 0 2 , trong thời gia n thực tập ba tháng tại Trường Đ H T H G reifsw a ld

c h ú n g tô i đạt đ ư ợ c hai k ẻ t q u ả sa u đ â y v ề v ấ n đề tính đ ư ợ c trẽn m ỏ h ìn h c ấ u trúc đại s ò (/Preprint 2 0 0 2 /).

Đ ị n h lý 3 6 T ồ n tại m ộ t h à m X - tín h đ ư ợc với 2 biến

tp : ({ r(hr 1}+)2 —> { r0 r , } + s a o c h o với m ọ i co co' e {r0 r , } + và m ọ i co Ị ojm t

«.<*!,, ri) ( [ « , ís)m]) k h ô n g tôn tại.

T r o n g thời g i a n thực h iệ n tiếp đ é tài 2 0 0 4 , c h ú n g tỏi đã tiếp tục n e h i é n CƯÚ th eo

m ô h ìn h n à y và ihu t h è m đ ư ợ c m ộ t vài k ết quả m a n g tính tổ n g quát củ a luát l o g i c và luật D e M o r g a n .

T ừ đ ấ y , ch ú n g tôi đi đ ẻn kêt quả tổn g quát sau đáy theo luật lo g ic và

1) B ư ớ c k h ở i đ ấ u : I LỈ = 1 và I Nil = 2 C h ú n g ta có:

A l n ( B l u B 2 ) = ( A I n B I ) u ( A I n B 2 )

đ iề u n à y đ ú n g th e o tính chất phản p h ố i hai b ẽn (a).

2) B ư ớ c g iá t h iế t c/ny n ạ p :

( e I h A >.) = A j (t h e o g iả thiết q u y nạp)

và c h ú n g ta á p d ụ n g p h ư ơ n g pháp c h ứ n e m in h tư ơng tư n hư trường hơp 1 b ã n e c á c h đổi vai trò A ị ch o A j*.

T hật v ậ v , c h ú n e ta b iê n đ ỏ i v ẽ phai n h ư sau:

u ; K|1 f LxM ( A/ ^ ^ = ^ ' U1 € in+l.n+li^ A / ^ B M ) 'vj ( B n + Ị I ( 'sj , L n+I A/ ) )

u ( A n+I n ,:M IW1 B u n ( A n+| B n+1) = ( ( w1, , L n^| A , ) r-, Cw: v _ B u I) ( B ,w I C\ ( u L - IK1 A ; | | - I A n 1 ( w' M N) ; B u II ( A n_; B n ; ) ( )

C húng ta đặt:

^ _ ( u >■ e L-n +1 A> ) và Y = ( u A i M^ +1B ụ ) Khi đ ó từ (*) c h ú n g ta có: ( X n Y ) u ( B n+1 n X ) u ( A n+I n Y ) u ( A n+1 n B n+, ) =

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] B lu m ,L ; S h u b , M ; S m a l e , s O n a the o r x o f c o m p u l a ti o n a n d c o m p i e x i t x o v e r IỈIƯ real

Phiếu đăng ký kết quả nghiên cứu

Tén đề tài: Một sô đ ặ c trưng tính to á n và độ p h ứ c ta p tính toán trén m á y

Blum-Shub-Smale và trên cấu trúc đại số

Ki6n nghị ve (|U1 mo va đoi tượng áp dung nghién C Ứ U '

C a c ket q u a đạt đ ư ợ c c ó thê áp d ụ n g n h ằ m tao lập th ém n h ữ n g táp dữ liẹu ra {output sets), tập đ o á n nhận (recognizable sets) h ã n g c á c h lãp đi lặp lại m ộ t s ố lán t h e o ý m u ố n , rói d ừ n g lại tại thời đ iế m th ích h ọ p đê

x e m d á n g đ iệ u c ủ a n g ô n n g ữ đ ư ợc sinh ra th eo luật l o g i c và luật

D e M o r g a n m à c h ú n g ta áp d ụ n g ch o m ỏ h ình trừu tư ợ n s nói trên và

đ ỏ n g thời á p d ụ n g c á c luật đ ó c h o quá trìng x ứ ]ý th ò n g tin tro ne hệ

th ố n g

C h ủ n h i ệ m đề tài T h ủ tr ư ờ n 2

c ơ q u a n c h ủ trì đổ tài

»„ : ~s/dÀM<:' U i / J d c /

Emst-Moritz-Amdt-Universitat Greifswald

Preprint-Reihe Mathematik

Introduction to the Theory of Computation and Complexity over the Real Numbers and

other Algebraic Structures

Tran Tho Chau

Nr 20/2002

In t his p a p e r , t he BSS m od el of c o m p u t a t i o n over t he reals an d ot he r rings as well as a

mo re g e n e r a l m od e l of c o m p u t a t i o n over a r b i t r a r y algebraic s t r uc t u r e s are i nt roduce d and discussed S o m e crucial r e s ult s concerning c o mp u ta b i li ty a n d c o m p u t a t i o na l complexity

w i t h i n b o t h f r amewor ks ar e given a n d explained

t e r m i n o l o g y a n d t h e m o r e i n t u i t i v e , i n f o r m a l s h o r t h a n d t h a t is c o m m o n l y used in its place

O n c e we h a v e t h i s c o n n e c t i o n well in h a n d , it will be p o s s i b l e for us t o p u r s u e t he d is c u ss i on s

p r i m a r i l y a t t h e i n f o r m a l level, r e v e r t i n g t o t h e f o r m a l level o n l y w h e n n ec c es s a r y for c l ar i ty

l a n g ua g e A n a l g o r i t h m is s a i d t o solve a p r o b l e m n if t h a t a l g o r i t h m c a n b e a p p l i e d t o a n v

i ns t a n ce I o f n a n d is g a r a n t e d a l w a y s t o p r o d u c e a s o l u t i o n for t h a t i n s t a n c e /

T h e t i m e r e q u i r e m e n t of a n a l g o r i t h m a r e c o n ve ni en t l y e x p r e s s e d in t e r m s of a single v a r i ­able, t h e size o f a p r o b l e m i n s t a n c e , w h i c h is i n t e n d e d to reflect t h e a m o u n t of i n p u t d a t a needed n o d e s c r i b e t h e i n s t a n c e O f t e n t h e size of a p r o b l e m i n s t a n c e is m e a s u r e d in a n i n f o r m a l way

We o b s e r v e t h a t t h e d e s c r i p t i o n of a p r o b l e m i n s t a n c e t h a t we p r o v i d e as i n p u t t o t h e c o m ­

p u t e r c a n b e v i e w e d a s a s i n g l e f ini te s t r i n g o f s y m b o l s chose n f r o m a (finite) i n p u t " a l p h a b e t "

A l t h o u g h t h e r e a r e m a n y d i f f e r e n t w a y s in wh ic h i n s t a n c e s of a given p r o b l e m m i g h t b e d e ­scribed, o n e p a r t i c u l a r w a y h a s b e e n c h o s e n in a d v a n c e a n d each p r o b l e m h a s a s s o c i a t e d w i t h

In 1989, L B l u m , M S h u b a n d s S m a l e [4] i n t r o d u c e d a m o d e l for c o m p u t a t i o n s over the real n u m b e r s ( a n d o t h e r r i n g s as well) wh i ch is n ow u s u a l l y c a l l e d a B S S m a c h i n e O n e

m o t i v a t i o n for t h i s c o m e s f r o m s ci ent if i c c o m p u t a t i o n In t h e use o f t h e c o m p u t e r , a r e a s o n a b l e

i d ea l i za ti on m e a s u r e s t h e c o s t o f o p e r a t i o n s a n d t e s t s i n d e p e n d e n t of t h e size of t h e n u m b e r Thi s c o n t r a s t s t o t h e u s u a l t h e o r e t i c a l c o m p u t e r science p i c t u r e w h i c h t a k e s i n t o a c c o u n t t h e

n u m b e r o f b i t s o f t h e o p e r a n d s A n o t h e r m o t i v a t i o n IS t o b r i n g t h e t h e o r y of c o m p u t a t i o n i nt o the d o m a i n of a n a l y s i s , g e o m e t r y a n d t o p o l o g y T h e m a t h e m a t i c s of t h es e s u b j e c t s c a n t h e n

be us ed i n t h e s y s t e m a t i c a n a l y s i s o f a l g o r i t h m s A nov e l t y of t h e a p p r o a c h of B l u m S h u b a n d Smale is t h a t t h e i r m o d e l is u n i f o r m (for all i n p u t - l e n g t h s ) w h e r e a s t h e n o t i o n s e x p l o r e d in

a l gebr ai c c o m p l e x i t y ( s t r a i g h t - l i n e , p r o g r a m s , a r i t h m e t i c ci rc ui t s , d ec i ' r - n trees'! a r c t y p i c a l l y

n o n - u n i f o r m O n e o f t h e m a i n p u r p o s e s o f t h e BSS a p p r o a c h was t o creaU- a Uhlioriii

t heory d e a l i n g w i t h p r o b l e m s h a v i n g a n a n a l y t i c a l a n d t o p o l o g i c a l b a c k g r o u n d , a n d Tr, s h ow

t hat c e r t a i n p r o b l e m s r e m a i n h a r d e v e n if a r b i t r a r y real? are t r e a t e d a? basi c

K'"-M a n y b a s i c c o n c e p t s a n d f u n d a m e n t a l r e s u lt s of classical c o u : p ' : : a ’)il;Tv a n d i* :-::Ty

t h e o r y r e a p p e a r in t h e BSS m o d e l : t h e e x i s t e n c e of uni ve r s al m a c h i n e s , t h e classes P-Ji a n d

case), t h e P \ v v e r s u s N P \ v q u e s t i o n is solved in K o i r a n ' s m o d e l [17] a n d t h e PjR ver sus .VPjR

T h e f o u n d a t i o n s for t h e t h e o r y o f v V P - c o m p l e t e n e s s w e r e laid in a p a p e r of S t e p h e n Cook-

c o n f i g u r a t i o n o f M ’s c o m p u t a t i o n o n i n p u t y e y is (1 1, l j c n g t h ( t j ) , i / )

If 77 = N a n d t h e a c t u a l c o n f i g u r a t i o n is ( N , i , j , x ) , t h e c o m p u t a t i o n s t o p s w i t h o u t p u t r

T h e i n s t r u c t i o n s M c a n p e r f o r m a r e of t h e following t ypes:

• C o m p u t a t i o n :

- D a t a c o m p u t a t i o n s : n : x s <— x k o n Xi w h e r e on € { + , - * , / } or n : x s i— o ĨOT Sftiiir

c o n s t a n t a 6 1R T h e r e g i s t e r x s will g e t t h e v a l u e Xjc o n or a resp All o t h e r r e g i s t e r ent ri es

a ) T h e o u t p u t - n e t o f M is t h e s e t $ x i ( B ) T h e kaltin>j-.sH of M is t h e set of all i n p i r s :j for

b ) Le t M b e a B S S - m a c h i n e o v er Y 6 IR00, y e Y T h e r u n n i n g t i m e of M on y is def ined by

'T í \ — Í n u m b e r of o p e r a t i o n s e x e c u t e d by M on i n p u t y, if (ĩ>A/( y) is defined