Khảo sát một số dạng lưới tự do

Định nghĩa: Bình sai lưới tự do được định nghĩa là bình sai lưới trắc địa tự do theo phương pháp tham số với ẩn số cần xác định là độ cao đối với lưới thủy chuẩn, tọa độ phẳng đối với l

Trang 1

MỤC LỤC

Trang

ĐẶT VẤN ĐỀ 6

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT LƯỚI TỰ DO 1.1 Khái niệm lưới tự do 8

1.2 Cơ sở lý thuyết bình sai lưới tự do 10

1.3 Các tính chất cơ bản của bình sai lưới tự do 12

1.4 Phương pháp Hermert chuyển tọa độ từ hệ này sang hệ khác 14

1.5 Vi phân xác định ma trận B, B và C của lưới cao độ và mặt bằng 17

1.6 Ước tính độ chính xác lưới thiết kế theo thuật toán bình sai lưới tự do 19

1.6.1 Quy trình ước tính lưới cao độ thiết kế 19

1.6.2 Quy trình ước tính lưới mặt bằng thiết kế 24

CHƯƠNG 2 KHẢO SÁT BÌNH SAI LƯỚI TỰ DO CAO ĐỘ, MẶT BẰNG VÀ KHÔNG GIAN 2.1 Bình sai lưới độ cao tự do cấp không 26

2.2 Bình sai lưới độ cao tự do và mối liên hệ với lưới cấp không 27

2.3 Bình sai lưới đo cạnh cấp không 29

2.4 Bình sai lưới đo cạnh tự do 29

2.5 Bình sai lưới đo góc cấp không 31

2.6 Bình sai lưới đo góc tự do 32

2.7 Bình sai lưới đo góc cạnh cấp không 34

2.8 Bình sai lưới đo góc cạnh tự do 34

2.9 Bình sai lưới tự do GPS 36

2.10 So sánh, phân tích ưu việt của lưới tự do so với lưới cấp không 40

2.11 Quy trình xử lý bình sai lưới độ cao cơ sở tự do và quan trắc lún 41

2.12 Quy trình xử lý bình sai lưới đo cạnh, đo góc, đo góc cạnh và đường chuyền 45

2.13 Quy trình xử lý bình sai lưới tự do GPS 61

CHƯƠNG 3 XÂY DỰNG LƯU ĐỒ KHỐI CHƯƠNG TRÌNH BÌNH SAI LƯỚI TỰ DO CƠ SỞ ĐỘ CAO, MẶT BẰNG VÀ KHÔNG GIAN 3.1 Sơ đồ tổng quát chương trình bình sai 65

3.2 Lưu đồ lập trình lưới độ cao 66

3.3 Lưu đồ lập trình lưới mặt bằng đo cạnh, đo góc cạnh, lưới đường chuyền 67

3.4 Lưu đồ lập trình lưới GPS 68

CHƯƠNG 4 KẾT QUẢ CHẠY CHƯƠNG TRÌNH BẰNG MỘT SỐ MÔ HÌNH LƯỚI TIÊU BIỂU 4.1 Xây dựng mô hình cao độ 69

4.2 Xây dựng mô hình tọa độ 75

4.3 Mô hình lưới không gian 5 điểm 79

KẾT LUẬN 82

KIẾN NGHỊ NHỮNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 84

TÀI LIỆU THAM KHẢO 85

Trang 2

ĐẶT VẤN ĐE À

Ứng dụng bình sai lưới tự do để xử lý lưới đo lún, đo chuyển dịch công trình

đã được áp dụng ở một số công trình xây dựng tại Liên Xô cũ [1] và tại các bãi

địa động học khi cần quan trắc dịch chuyển vỏ trái đất nhằm đưa ra các dự báo

động đất Tại Việt Nam, ở trường Đại học mỏ địa chất đã áp dụng xử lý bình sai

lưới tự do vào quan trắc biến dạng công trình từ năm 2005 [4] Tại trường Đại

học bách khoa TPHCM, việc xử lý số liệu đo chuyển dịch công trình bằng thuật

toán này chỉ mới dừng ở bình sai lưới tự do bậc không Trong thực tế sản xuất, ở

các cơ sở đo lún các công trình thủy điện như Trị An, Hàm Thuận Đa Mi, Thác

Mơ và các công trình đo lún nhà, phần lớn là nhà cao tầng tại TPHCM cũng chỉ

dừng lại ở xử lý lưới tự do bậc không (số liệu gốc tối thiểu) hoặc lưới phụ thuộc

Do đó, cần tìm hiểu sâu sắc và tổng hợp lý thuyết phương pháp này và áp

dụng vào các công trình đo biến dạng ở khu vực phía Nam là rất cần thiết do

tính ưu việt của phương pháp xử lý bình sai lưới tự do:

- Không bị ảnh hưởng sai số số liệu gốc

- Sai số được phân bố đều cho các trị đo

- Khả năng ứng dụng đa dạng, lưới tự do không những áp dụng cho các loại

lưới độ cao cơ sở, tọa độ cơ sở khi đo lún, chuyển dịch công trình mà còn áp

dụng để đánh giá độ ổn định mốc các loại lưới thi công, kể cả lưới thi công ở

dạng đường chuyền treo

Khảo sát bình sai các loại lưới cao độ, mặt bằng và không gian với mục đích

tìm các mốc không ổn định của lưới kèm đánh giá độ chính xác hàm trị đo Ước

tính độ chính xác lưới cao độ thiết kế và lưới mặt bằng thiết kế cũng là một yêu

cầu đặt ra trong luận văn này

Từ cơ sở lý thuyết bình sai lưới tự do, cần xây dựng những quy trình xử lý bình

sai các dạng lưới khác nhau như lưới độ cao có các vòng khép, lưới đường

chuyền độ cao treo, lưới mặt bằng đo cạnh, đo góc, đo góc cạnh, lưới đường

chuyền đa giác khép kín, lưới đường chuyền đa giác treo và lưới GPS

Vì vậy, xây dựng chương trình tính sử dụng thuật toán bình sai lưới tự do để

áp dụng vào thực tiễn sản xuất là rất cần thiết

Trang 3

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT LƯỚI TỰ DO

1.1 Khái niệm lưới tự do

Phụ thuộc vào tính chất số liệu gốc, lưới trắc địa được chia thành hai loại: lưới

phụ thuộc và lưới tự do Lưới trắc địa tự do được định nghĩa là loại lưới mà trong

đó không có đủ số liệu gốc tối thiểu cần thiết cho việc định vị mạng lưới đó

Mỗi dạng lưới có một tập hợp số liệu gốc tối thiểu riêng biệt, cụ thể là: lưới độ

cao có số liệu gốc tối thiểu là độ cao của một điểm gốc, lưới mặt bằng có số liệu

gốc tối thiểu là tọa độ 1 điểm (x, y), một góc phương vị và một cạnh đáy (4 yếu

tố) Lưới không gian có số liệu gốc tối thiểu là tọa độ 1 điểm (x, y, z), 3 góc xoay

Euler ε, ψ, ω quanh các trục Ox, Oy, Oz và hệ số tỷ lệ chiều dài m (7 yếu tố)

Như vậy, có thể rút ra định nghĩa cụ thể hơn cho các dạng lưới tự do như sau:

1 Lưới độ cao tự do là lưới không có điểm độ cao gốc

2 Lưới mặt bằng tự do là lưới thiếu toàn bộ hoặc thiếu một số trong nhóm yếu

tố gốc tối thiểu là: tọa độ 1 điểm (x, y), một góc phương vị và một cạnh đáy

(lưới mặt bằng có 4 yếu tố gốc tối thiểu)

3 Lưới không gian tự do là lưới thiếu toàn bộ hoặc thiếu một số trong nhóm

yếu tố gốc tối thiểu là: tọa độ 1 điểm (x, y, z), góc xoay quanh các trục Ox,

Oy, Oz và một hệ số tỷ lệ chiều dài (lưới không gian có 7 yếu tố gốc tối

thiểu)

Số lượng các yếu tố gốc còn thiếu trong tất cả các mạng lưới được gọi là số

khuyết của lưới và được ký hiệu bằng d, còn bản thân lưới được gọi là lưới tự do

bậc d Từ các khái niệm trên suy ra:

1 – Đối với lưới độ cao tự do, số khuyết d = 1 và là lưới tự do bậc 1

2 – Đối với lưới mặt bằng tự do, số khuyết d có thể nhận các giá trị (1, 2, 3, 4),

tương ứng bậc tự do của lưới là (1, 2, 3, 4) Để phân biệt mức độ và dạng tự do

của lưới mặt bằng, thường dùng ký hiệu:

- Lưới (x, y, α, m) tự do: nếu trong lưới thiếu cả 4 yếu tố gốc tối thiểu, số bậc tự

do của lưới là 4

- Lưới (x, y, α) tự do: nếu trong lưới thiếu một điểm tọa độ gốc (x, y) và góc

định hướng, số bậc tự do của lưới là 3

- Lưới (x, y, m) tự do: nếu trong lưới thiếu một điểm tọa độ gốc (x, y) và cạnh

để định vị lưới, số bậc tự do của lưới là 3

- Lưới (x, y) tự do: nếu trong lưới thiếu một điểm tọa độ gốc (x, y), số bậc tự do

của lưới là 2

Trang 4

3 – Đối với lưới không gian tự do, số khuyết d có thể nhận các giá trị từ 1 đến 7,

tương ứng bậc tự do thấp nhất của lưới là 1 và cao nhất là 7 “Trong thực tế thành

phần lệch tỷ lệ chiều dài m và các góc Euler thường rất nhỏ đến mức có thể bỏ

qua.” theo [12] trang 159 Do đó, trong tính toán bình sai lưới không gian thường

sử dụng lưới tự do (x, y, z) có bậc tự do bằng 3

Nếu lưới trắc địa có thừa yếu tố gốc tối thiểu thì được gọi là lưới trắc địa phụ

thuộc Như vậy, sẽ có một trường hợp đặc biệt khi trong lưới có vừa đủ số liệu

yếu tố gốc tối thiểu, trong lý thuyết bình sai dạng lưới như vậy được coi là lưới tự

do bậc 0 (số khuyết d = 0)

Khi bình sai tham số kinh điển, hệ phương trình chuẩn RδX + b = 0 thì ma trận

R không suy biến, nghĩa là hạng (rank) của ma trận A (số cột hoặc số hàng độc

lập tuyến tính) bằng k hoặc n khi n = k (đo vừa đủ)

Gọi rank(A)nxk = s thì d = k - s gọi là số khuyết của ma trận R Lưới có d > 0 gọi

là lưới tự do Đối với lưới cao độ dmax = 1, lưới mặt bằng dmax = 4 và lưới không

gian dmax = 7

Lưới tự do thường dùng khi lập lưới trắc địa công trình mà vấn đề đo nối toạ độ,

cao độ Nhà nước ở đây không cần thiết Lưới tự do sử dụng khi phân tích biến

dạng công trình xây dựng và dịch chuyển vỏ trái đất Dĩ nhiên khi xây dựng các

lưới này có thể dùng số lượng gốc tối thiểu (lưới bậc không) Trong khi bình sai

chia khối mạng lưới lớn, có trường hợp ở một số khối thiếu số liệu gốc Bởi vậy

bình sai lưới trắc địa với ma trận suy biến R không những có ý nghĩa lý thuyết mà

còn mang tính thực tế ứng dụng

Khi bình sai lưới tự do thì cần thiết sử dụng ma trận nghịch đảo tổng quát và

như vậy thay ma trận nghịch đảo R-1 Nếu ma trận A tuỳ ý nxk có hạng

r<=min(n,k) thì ma trận nghịch đảo tổng quát G theo Moore – Penzoze xác định

bởi 4 biểu thức sau:

1 AGA = A

2 GAG = G

3 (GA)T = GA

4 (AG)T = AG

Ma trận G thoả mãn cả 4 mục trên gọi là ma trận đảo giả định chính Đây là ma

trận duy nhất và được ký hiệu là A+ Nếu G chỉ thoả mục 1 thì ký hiệu A- gọi là

ma trận chuẩn Nếu chỉ thoả mãn mục 1 và 2 thì gọi là ma trận đảo tổng quát và

ký hiệu là A~… Nếu A – ma trận bình phương không suy biến thì: A+ = A- = A~ =

A-1

Trang 5

1.2 Cơ sở lý thuyết bình sai lưới tự do

1 Định nghĩa:

Bình sai lưới tự do được định nghĩa là bình sai lưới trắc địa tự do theo phương

pháp tham số với ẩn số cần xác định là độ cao (đối với lưới thủy chuẩn), tọa độ

phẳng (đối với lưới mặt bằng) hoặc tọa độ không gian (đối với lưới không gian)

của tất cả các điểm trong lưới

2 Lý thuyết chung:

Giả sử một mạng lưới tự do được bình sai theo phương pháp tham số với ẩn số

là tọa độ hoặc độ cao tất cả các điểm mốc trong lưới, khi đó:

1 Hệ phương trình số hiệu chỉnh có dạng:

Với:

A - ma trận hệ số hệ phương trình số hiệu chỉnh

δX - vector ẩn số

V, L - vector số hiệu chỉnh và vector số hạng tự do

Vì trong lưới tự do không có đủ các yếu tố định vị tối thiểu nên ma trận hệ số

hệ phương trình số hiệu chỉnh (1.1) có một số cột phụ thuộc tuyến tính (số lượng

cột phụ thuộc tuyến tính bằng số khuyết của lưới)

2 Khi chuyển từ hệ phương trình số hiệu chỉnh sang hệ phương trình chuẩn theo

nguyên lý số bình phương nhỏ nhất sẽ thu được:

Với: R = ATPA; b = ATPL

Ma trận hệ số R trong phương trình (1.2) có tính chất: Det (R) = 0

3 Hệ phương trình chuẩn (1.2) có vô số nghiệm, vì vậy không thể giải theo các

phương pháp thông thường Nhưng có thể xác định được vector nghiệm riêng

bằng cách đưa bổ sung một hệ phương trình điều kiện ràng buộc đối với vector ẩn

số dưới dạng:

Với LC là vector không ngẫu nhiên bất kỳ (thông thường LC = 0)

Hệ phương trình (1.3) phải thỏa mãn 2 điều kiện:

- Số lượng phương trình điều kiện bằng số khuyết trong mạng lưới (d)

- Các hàng của ma trận CT phải độc lập tuyến tính đối với các hàng của ma trận

C

(1.4)

Trang 6

Ma trận hệ số của hệ phương trình chuẩn mở rộng (1.4) có thể nghịch đảo và

được biểu diễn dưới dạng ma trận khối như sau:

~ 1

T T

T

T R C

Trong công thức (1.5), (1.6), ma trận R~ là ma trận nghịch đảo tổng quát của R

Thông thường trong các ứng dụng thực tiễn ma trận C được chọn bằng ma trận

B và ma trận B được xác định từ bài toán tính chuyển Helmert (mục 1.4) như sau:

- Đối với lưới thủy chuẩn:

Bkx1 = (1 1 1 … 1)T (1.7)

Đồng nghĩa với tổng các số hiệu chỉnh vào cao độ bằng 0

- Đối với lưới mặt bằng hoặc lưới không gian:

n T

T T

B B

B

Với các phần tử Bi (tương ứng với điểm thứ i) của lưới mặt bằng được xác định

theo công thức tổng quát:

i i i

y x

x y B

1 0

0

và các phần tử Bi (tương ứng với điểm thứ i) của lưới không gian được xác định

theo công thức tổng quát:

i

i i i

i i i i

z x

y

y x z

x y z B

0 1

0 0

1 0

0 0 0 1

(1.9)*

5 Đánh giá độ chính xác các yếu tố trong lưới được thực hiện theo quy trình

thông thường, tương tự như trong bình sai tham số kèm điều kiện, cụ thể là:

- Sai số trung phương đơn vị trọng số:

d k N

~

Trang 7

N - tổng số trị đo

k - tổng số ẩn số

d - số bậc tự do của lưới

f(kx1) - vector hệ số khai triển bậc 1 của hàm số

3 Tính ma trận nghịch đảo tổng quát

a Phương pháp bao ma trận [4] trang 129:

Thực chất của phương pháp này là nghịch đảo trực tiếp ma trận hệ số của hệ

phương trình chuẩn mở rộng:

~ 1

T T

T

T R C

Với Q0 là ma trận nghịch đảo của lưới tự do bậc 0

c Tính theo công thức [4] trang 129:

R~ = (R + CP0CT)-1 – TP0-1TT (1.15)

Nếu P0 = E thì R~ = (R + CCT)-1 – TTT

Với T = B(CTB)-1, nếu B = C thì T = C(CTC)-1

1.3 Các tính chất cơ bản của bình sai lưới tự do

1 Tính chất của vector nghiệm

Các vector tọa độ bình sai trong lưới tự do ứng với những lựa chọn ma trận C và

các vector tọa độ gần đúng khác nhau đều có sự đồng dạng hình học

Điều này có nghĩa là nếu X1, X2 là 2 vector tọa độ bình sai của cùng một mạng

lưới tự do thì luôn tồn tại quan hệ:

Với B là ma trận chuyển đổi tọa độ phẳng Helmert, Z là vector tham số chuyển

đổi

Trường hợp 1:

Nếu trong 2 phương án bình sai chọn ma trận C khác nhau với cùng có một

vector tọa độ gần đúng X(0), khi đó:

Với vector tham số chuyển đổi tọa độ:

Trường hợp 2:

Nếu trong 2 phương án bình sai chọn cùng ma trận C với các vector tọa độ gần

đúng khác nhau (η = X0(2) - X0(1) ≠ 0), khi đó:

Trang 8

Z2 = (C B) C η (1.20)

Trường hợp 3:

Nếu vector tọa độ bình sai X1 ứng với lựa chọn C1, X1(0), vector tọa độ bình sai

X2 ứng với lựa chọn C2, X2(0), khi đó:

Với vector tham số chuyển đổi tọa độ:

Z3 = (C2TB)-1C2T (R1~b1 + η) (1.22)

2 Tính chất của vector trị bình sai các đại lượng đo

Vector trị bình sai của các đại lượng đo là duy nhất, không phụ thuộc vào sự lựa

chọn ma trận định vị C cũng như lựa chọn vector tọa độ gần đúng

3 Vai trò của ma trận định vị

Nếu như trong bình sai lưới phụ thuộc kết quả tọa độ bình sai chỉ phụ thuộc vào

số liệu tọa độ gốc và không phụ thuộc vào vector tọa độ gần đúng của các điểm

mới trong lưới, thì quy luật trên không đúng đối với trường hợp bình sai lưới tự

do

Xét mối liên hệ giữa 2 vector tọa độ bình sai X1 và X2, ứng với các phương án

chọn vector tọa độ gần đúng X1(0) và X2(0)

Đặt:

η = X2(0) – X1(0)

giữa 2 vector X1, X2 có mối liên hệ:

Công thức (1.23) thể hiện rằng:

Vector tọa độ bình sai trong lưới tự do phụ thuộc vào sự lựa chọn vector tọa độ

gần đúng và ma trận C

Điều đó có nghĩa là: vector tọa độ bình sai không phụ thuộc vào tọa độ gần

đúng của các điểm có C = 0 Các điểm có Ci ≠ 0 được gọi là điểm định vị

2 Hệ quả 2:

Nếu trong công thức (1.24) chọn C1 ≠ 0; C2 = 0; η1 = 0, sẽ thu được:

Như vậy, với cùng một tập hợp vector tọa độ các điểm định vị thì sẽ thu được

kết quả là một vector tọa độ bình sai duy nhất

Trang 9

* Với các tính chất nêu trên, phương pháp bình sai lưới tự do hoàn toàn thích

hợp để xử lý các mạng lưới thi công, lưới quan trắc chuyển dịch biến dạng công

trình

1.4 Phương pháp Helmert chuyển tọa độ từ hệ này sang hệ khác

1.4.1 Chuyển đổi tọa độ phẳng

Trong phép biến đổi Helmert giữa hai hệ tọa độ phẳng khác nhau, hệ tọa độ

(x’O’y’) liên hệ với hệ tọa độ (xOy) với các tham số:

- x0, y0 làđộ lệch gốc tọa độ theo các trục (Ox’, Oy’)

- α là góc xoay của hệ (xOy) so với hệ (x’O’y’)

- m là hệ số thay đổi tỷ lệ của hệ (x’O’y’) so với hệ (xOy)

Xem xét trường hợp liên kết lưới mặt bằng ứng với hình vẽ 1.1 (α < 0):

αα

α sin cos

sincos

Viết dưới dạng ma trận:

X'=mΠαX

hay (khi gốc tọa độ lệch nhau):

x'i = x0 + xim.cos(α) + yim.sin(α) (1.27)

y'i = y0 - xim.sin(α) + yim.cos(α)

Đưa hệ phương trình (1.27) về dạng tuyến tính theo các biến x0 , y0 , α, m, lưu ý

góc xoay α ≈ 0 và m ≈1, ta có:

i i i

y x

x y B

1 0 0 1

Trang 10

Giả sử có n điểm có tọa độ được xác định trong hệ tọa độ (xOy) là (xi, yi) với

i = 1, …, n Trong hệ tọa độ (x’O’y’) là (xi’, yi’) với i = 1, …, n Cần xác định vector

tham số chuyển đổi tọa độ x0, y0, α, m từ hệ tọa độ (xOy) sang hệ tọa độ (x’O’y’)

Giá trị tọa độ x’

T T

B B

Vector số hiệu chỉnh V là hiệu giữa vector tọa độ tính chuyển và tọa độ gần

đúng cho trước trong hệ (x’O’y’)

- Lập hệ phương trình chuẩn:

BTV = BTBZ + BTL = 0 (1.33)

BTV = 0 là điều kiện kết hợp khi bình sai lưới tự do

- Từ công thức (1.33), chúng ta có:

R là ma trận hệ số hệ phương trình chuẩn

A là ma trận hệ số hệ phương trình số hiệu chỉnh

1.4.2 Chuyển đổi tọa độ không gian

Trong phép biến đổi Helmert giữa hai hệ tọa độ không gian khác nhau, hệ tọa

độ (x’y’z’) liên hệ với hệ tọa độ (xyz) với các tham số:

- x0, y0, z0 làđộ lệch gốc tọa độ theo các trục (Ox’, Oy’, Oz’)

- ε là góc xoay quanh trục Ox

- ψ là góc xoay quanh trục Oy

- ω là góc xoay quanh trục Oz

- m là hệ số thay đổi tỷ lệ chiều dài của hệ (x’y’z’) so với hệ (xyz)

Trang 11

z

ω z’

Công thức chuyển đổi tọa độ không gian từ hệ (xyz) sang hệ (x’y’z’) tương ứng

với hình vẽ 1.2 là:

m m m

z y x

z

y

x

εψ

εω

ψω0

0 0

'

(1.28*)

Đưa hệ phương trình (1.28*) về dạng tuyến tính theo các biến x0, y0, z0, ε, ψ, ω,

m, lưu ý các góc xoay bé và m ≈1

Nếu đặt: Xi’ = (xi’ yi’ zi’)T; Xi = (xi yi zi)T; Z = (δx0 δy0 δz0 δε δψ δω δm)T;

i

i i i

i i i i

z x

y

y x z

x y z B

0 1

0 0

1 0

0 0 0 1

thì hệ phương trình (1.28*) ứng với điểm i được viết dưới dạng ma trận như sau:

Xi’ = BiZ + Xi (1.29*)

Giả sử có n điểm có tọa độ không gian được xác định trong hệ tọa độ (xyz) là

(xi, yi, zi) với i = 1 ÷ n Trong hệ tọa độ (x’y’z’) là (xi’, yi’, zi’) với i = 1 ÷ n Cần

xác định vector tham số chuyển đổi tọa độ x0, y0, z0, ε, ψ, ω, m từ hệ tọa độ (xyz)

sang hệ tọa độ (x’y’z’)

Giá trị tọa độ x’

Trang 12

Vector số hiệu chỉnh V là hiệu giữa vector tọa độ không gian tính chuyển và

tọa độ không gian gần đúng cho trước trong hệ (x’y’z’)

- Lập hệ phương trình chuẩn:

BTV = BTBZ + BTL = 0 (1.33*)

BTV = 0 là điều kiện kết hợp khi bình sai lưới tự do

- Từ công thức (1.42), chúng ta có:

R là ma trận hệ số hệ phương trình chuẩn

A là ma trận hệ số hệ phương trình số hiệu chỉnh

1.5 Vi phân xác định ma trận B, B và C của lưới cao độ và mặt bằng

Khi bình sai lưới tự do ta phải giải hệ:

L

b K

X C

C

Với CTδX + LC = 0, thường LC = 0

Giả sử có ma trận ⎟⎟

B B

2

1 (1.38) Với k =k−d, thỏa mãn RB = 0 thì

1 22

~ 1

T T

C

B M

BM H

R H T

T R

MC B

T

2 2 2

1 (1.42)

Trang 13

C C

2

1 (1.43)

Ở đây, R22-1 là ma trận trọng số đảo biến nhóm 2, khi biến nhóm 1 được nhận

không sai

Ta hãy thừa nhận (1.40) và chứng minh tính đúng đắn của công thức này Theo

tính chất ma trận nghịch đảo RC-1RC = E với ⎟⎟

C

C R

RT

E T C

R C

3

2

0

T

T T T

T

T T

T

C BMC

C

C MC B C B C MC B C C MC B C E MC B

MC B C

C

H

C

2 2

2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2

2

2 1 2

1

−

=

−+

=+

C (1.45)

Từ mục 2 (1.44), tính ( ) M C BM M M E

B

B C C T

Từ mục 3 (1.44), RT = RBM mà B phải thoả RB = 0 nên RT = 0 (1.47)

Như vậy, với cách tính M và H như (1.41) và (1.42) đảm bảo thỏa mãn (1.44)

Ma trận B có thể chọn:

d d

D R R

E

B=⎜⎜⎝⎛− − ⎟⎟⎠⎞ ×

21

1 22

(1.48) Trong đó D là ma trận tuỳ ý không suy biến

Để tính R+ khi (C = B) sử dụng công thức [1] trang 81:

1( 21 22)

22 1 22

12

R R N R N R

B R

R+ = + −1− (1.50) Trong đó các dải của ma trận B là d d

Trang 14

Đối với lưới mặt bằng tự do thì ⎟⎟

i i i

i

y x

x y B

C

1 0

0 1

tương ứng với điểm i

Nếu chuyển sang hệ toạ độ trọng tâm với:

n y y

n x x

x x

i i

ξη

1 0

0 1

(1.51) Nếu chọn D là ma trận căn bậc 2 các phần tử đường chéo như sau:

n

D

1 0 0 0

0

1 0 0

0 0

1 0

0 0 0 1

i i i

n

n B

ηξ

ξη

10

r

ξ

ξ , n là số điểm trong lưới

Như vậy, đối với lưới mặt bằng khi bình sai lưới tự do có thể dùng hệ tọa độ

trọng tâm với các điểm i dùng ma trận B i theo (1.52) hoặc dùng ma trận Bi theo

(1.9) cho hệ tọa độ thường

1.6 Ước tính độ chính xác lưới thiết kế theo thuật toán bình sai lưới tự do

Khi thiết kế một mạng lưới khống chế cơ sở cần thiết phải ước tính độ chính xác

các yếu tố trong lưới Một đồ hình lưới có đạt yêu cầu hay không phụ thuộc việc

đáp ứng những tiêu chuẩn sai số đặt ra, trong các phương án thiết kế sẽ chọn ra

phương án tối ưu nhất để thi công Thuật toán bình sai lưới tự do bản chất là

phương pháp bình sai tham số kèm điều kiện, vơi những điều kiện sai số chọn

trước có thể dùng thuật toán này để ước tính độ chính xác lưới khống chế cơ sở

1.6.1 Quy trình ước tính độ chính xác lưới cao độ thiết kế

Ước tính độ chính xác lưới độ cao được thực hiện là để xác định chỉ tiêu độ

chính xác mà lưới có thể đạt được trong điều kiện đồ hình lưới và sai số đo chênh

cao đã được lựa chọn trước hoặc để xác định sai số đo chênh cao trên 1 km chiều

dài tuyến đo (hoặc sai số đo chênh cao trên 1 trạm đo), sao cho độ chính xác lưới

thỏa mãn yêu cầu cho trước Lưới cơ sở trong quan trắc lún công trình là mạng

lưới có kích thước nhỏ, vì vậy thường dùng tiêu chuẩn sai số chênh cao trạm đo

để làm chỉ tiêu độ chính xác đo đạc

Trong trường hợp tổng quát, ước tính lưới được dựa trên công thức sai số trung

Trang 15

F F

P

m =μ 1 (1.53)

Trong công thức (1.53): μ là sai số trung phương đơn vị trọng số, còn 1/PF là

trọng số đảo của hàm số (đặc trưng cho đồ hình lưới)

Ngày nay, chúng ta có thể áp dụng công nghệ tin học trong trắc địa để xây

dựng chương trình ước tính độ chính xác lưới với trình tự tính toán như sau:

Bước 1: Chọn ẩn số là độ cao tất cả các điểm lưới cơ sở cần xác định

Bước 2:

Lập hệ phương trình số hiệu chỉnh:

V = AδH + L (1.54)

Trong hệ phương trình (1.54): ma trận A có số hàng bằng số chênh cao đo và số

cột bằng số ẩn số

i

Hình 1.3

Các phần tử ma trận A được xác định như sau: với đoạn đo thứ m được đo nối từ

điểm i đến điểm j (Hình 1.3), các phần tử trên hàng thứ m của ma trận A được

tính theo quy tắc:

Trong công thức (1.55): nếu chọn c = 1 chúng ta sẽ có μ là sai số trung phương

chênh cao của 1 trạm đo

Trang 16

C R R

Với C là ma trận điều kiện khi bình sai lưới tự do, CT có kích thước số hàng

bằng một và số cột bằng số ẩn số Khi các mốc đều ổn định: Ckx1 = (1 1 1 … 1)T (k

là số điểm độ cao của lưới khống chế độ cao cơ sở)

Bước 4: Tính ma trận nghịch đảo tổng quát R~

Ma trận hệ số của hệ phương trình chuẩn mở rộng RC có thể nghịch đảo và có

thể được biểu diễn dưới dạng ma trận khối như sau:

~ 1

T T

T

T R C

C

R

(1.56) Bước 5: Tính các chỉ tiêu sai số của lưới, cần phân biệt 2 trường hợp:

1 Cho biết sai số đo chênh cao trên 1 trạm đo, cần xác định sai số độ cao điểm

hoặc sai số hiệu độ cao giữa 2 điểm Trọng số đảo của hàm số tương ứng với các

trường hợp đó là:

- Trọng số độ cao điểm i: ii

H

Q P i

k

nk nn

n

k n

H

Q Q Q

Q

Q Q

Q

Q Q

Q

Q Q

Q

P

kn

− +

1

1 1

11

kk nn kn

H

Q Q

Q P

ứng

2 Cho trước chỉ tiêu độ chính xác m F mà lưới cần đáp ứng, cần tính sai số đo

chênh cao trên 1 trạm đo Trường hợp này sử dụng công thức:

Dựa vào sai số chênh cao 1 trạm đo (μ) tính được và đối chiếu với tiêu chuẩn đo

độ cao trong trắc địa công trình để xác định cấp hạng, chỉ tiêu kỹ thuật đo cao

trong lưới hoặc phải lập quy trình công nghệ đo sao cho thỏa mãn đạt μ, nghĩa là

đạt m F yêu cầu

Ví dụ tiêu chuẩn Việt Nam TCXDVN 271:2002 yêu cầu đo lún với sai số trung

Trang 17

số trung phương trong một chu kỳ đo xác định cao độ mốc đo lún là

71

,

0

2

1 = mm Như vậy, điểm yếu nhất lưới phải xác định độ cao với sai số trung

phương ≤0,71mm Lưới đo lún theo quy định phải làm 2 cấp là lưới cơ sở và lưới

quan trắc lún, hệ số hơn thua độ chính xác trong trường hợp này chọn k = 2,2

mm m

m

m m

qtl lcs

64,0

29,0

084,02,21

7,0

.2,2

2,2

1

7,0

2

2 2

2 2 2

2 2

II

P = 1 P = 1

I III

P = 0,5 Hình 1.4

Giả sử lưới cơ sở được lập gồm 3 mốc I, II, III với nI-II = 1, nII-III = 1, nIII-I = 2 và

12

1

5,015

,1

15,115,0

112

1

15,015,1

C

R

Trang 18

33,011,022,011,0

33,019,011,031,0

11,022,011,0

19,011,031,0

~

R

Vậy QH1 = 0,31; QH2 = 0,22; QH3 = 0,31

Như vậy, mốc H1 và H3 yếu nhất có Q = 0,31 nếu m lcs = 0 , 3mm thì sai số trung

phương đơn vị trọng số lưới cơ sở là 0 , 3 0 , 55mm

31 , 0

3 ,

0 2

nếu đo bậc 1 lưới cơ sở thì mTĐ = 0,13 mm Như vậy, đo bậc 1 lưới cơ sở hoàn

toàn đảm bảo độ chính xác Đối với lưới quan trắc lún, ước tính độ chính xác như

một lưới đo cao bất kỳ tùy theo cấu hình lưới nối với bao nhiêu điểm gốc nhưng

phải lưu ý m qtl ≤0,64mm

Về trọng số hàm khi bình sai lưới tự do và lưới phụ thuộc, ta hãy lấy ví dụ tại

hình 1.4 để khảo sát so sánh Giả sử khi bình sai lưới bậc 0, lấy điểm I làm điểm

gốc, lúc đó hệ phương trình chuẩn có dạng:

5 , 1

1

1 2

H III

II

δδ

5,075,0

1 2 1

5 , 0 1 5

11,022,011,0

19,011,031,0

III II

Trang 19

06,019,019,0

III II

P

Qua khảo sát cho lưới cao độ tại hình 1.4 có thể thấy:

1 Trọng số đảo các ẩn số δH phụ thuộc vào chọn ma trận C (các phần tử trên

đường chéo của ma trận R~ thay đổi trong các trường hợp khảo sát)

2 Trọng số hàm trị bình sai là không hề thay đổi (trọng số đảo của các chênh cao

bình sai hI-II, hII-III, hIII-I không hề thay đổi

Bây giờ nếu bình sai lưới phụ thuộc, lần lượt lưới có một điểm gốc HI và 2 điểm

gốc (HI, HII) thì ma trận nghịch đảo lần lượt là:

5,075,0

001

Điều này có nghĩa là δHI = 0 và δHI = δHII = 0 thì ma trận R~ lần lượt sẽ là:

5,075,00

000

~

So sánh với (*) thì ta thấy bình sai lưới phụ thuộc là trường hợp riêng của bình

sai lưới tự do, cần lưu ý là chọn ma trận C khi bình sai lưới tự do

1.6.2 Quy trình ước tính độ chính xác lưới mặt bằng thiết kế

Giống như trong trường hợp quan trắc độ lún, ước tính độ chính xác lưới mặt

bằng trong quan trắc chuyển dịch ngang được thực hiện nhằm giải quyết một

trong hai bài toán:

1 Xác định độ chính xác các yếu tố của lưới khi đồ hình lưới và sai số đo các đại

lượng góc, cạnh đã được lựa chọn Các yếu tố cần ước tính trong lưới quan trắc

chuyển dịch ngang thường là: sai số vị trí điểm, sai số vị trí theo hướng, sai số

phương vị và sai số đo cạnh

2 Xác định sai số đo các yếu tố của lưới trong trường hợp cho trước đồ hình và

chỉ tiêu sai số của một số đại lượng nào đó mà lưới cần đáp ứng

Ước tính lưới thường được thực hiện theo phương pháp chặt chẽ trên cơ sở thuật

toán bình sai tham số kèm điều kiện Trình tự giải bài toán ước tính độ chính xác

Trang 20

Bước 1: Chọn ẩn số là tọa độ các điểm cần xác định trong lưới, như vậy số lượng

ẩn số bằng hai lần số điểm cần xác định

Bước 2: Lập hệ phương trình số hiệu chỉnh

V = AδX + L (1.60)

Trong hệ phương trình (1.60): ma trận A có số hàng bằng số đại lượng đo, số

cột bằng số ẩn số

C

C R

R (1.61)

Trong công thức (1.61): ma trận điều kiện C bằng ma trận B trong phép biến

đổi Helmert Đối với lưới mặt bằng tính theo các công thức (1.8), (1.9)

Bước 4: Tính ma trận nghịch đảo tổng quát R~

Ma trận hệ số của hệ phương trình chuẩn mở rộng RC có thể nghịch đảo và có

thể được biểu diễn dưới dạng ma trận khối như sau:

~ 1

T T

T

T R C

C

R

Bước 5: Tính các chỉ tiêu sai số của lưới:

Sai số trung phương của hàm số:

F F

~

1 =

Trang 21

CHƯƠNG 2 KHẢO SÁT BÌNH SAI LƯỚI TỰ DO CAO ĐỘ, MẶT BẰNG VÀ KHÔNG GIAN

2.1 Bình sai lưới độ cao tự do cấp không

Trong trắc địa tùy vào số liệu gốc mà chia ra thành 2 loại lưới phụ thuộc và lưới

tự do Lưới phụ thuộc là lưới có thừa số liệu gốc tối thiểu để tính toán bình sai,

lưới tự do là lưới không có đủ số liệu gốc tối thiểu để bình sai Qua đó nhận thấy

rằng có một trường hợp là lưới có vừa đủ số liệu gốc tối thiểu để định vị mạng

lưới, trường hợp này gọi là lưới tự do cấp không

Lưới độ cao tự do cấp không là lưới độ cao có số liệu gốc tối thiểu, nghĩa là

trong lưới chỉ có cao độ một điểm gốc để xử lý tính toán

Các bước bình sai như bình sai tham số vì trong trường hợp này số khuyết ma

trận d bằng 0, nghĩa là hạng của ma trận hệ số hệ phương trình số hiệu chỉnh A

bằng số trị đo vừa đủ k (rank(A) = k)

Trình tự các bước tính toán như sau:

Bước 1: Chọn ẩn số là độ cao các điểm mốc cần xác định trong lưới Ví dụ lưới có

n mốc thì số ẩn số là n – 1

Bước 2: Lập hệ phương trình số hiệu chỉnh có dạng như sau:

V = AδH + L (2.1)

Với:

δH - vector ẩn số

Vì trong lưới tự do cấp không có đủ các yếu tố định vị tối thiểu nên ma trận hệ

số của hệ phương trình số hiệu chỉnh (2.1) không có cột phụ thuộc tuyến tính (số

lượng cột độc lập tuyến tính bằng số ẩn số)

Bước 3: Khi chuyển từ hệ phương trình số hiệu chỉnh sang hệ phương trình chuẩn

theo nguyên lý số bình phương nhỏ nhất sẽ thu được:

Với R = ATPA; b = ATPL

Bước 4: Ma trận hệ số R của hệ phương trình chuẩn có thể nghịch đảo và khi đó

nghiệm của hệ phương trình (2.2) được xác định theo công thức:

Bước 5: Đánh giá độ chính xác các yếu tố trong lưới được thực hiện theo quy

trình thông thường, tương tự như trong bình sai tham số, cụ thể là:

Trang 22

k N

1

Trong các công thức trên:

k - tổng số ẩn số

f - vector hệ số khai triển bậc 1 của hàm số

2.2 Bình sai lưới độ cao tự do và mối liên hệ với lưới độ cao cấp không

Lưới độ cao không có điểm gốc được gọi là lưới độ cao tự do, loại lưới này có

thể ứng dụng tốt trong việc xử lý số liệu quan trắc biến dạng công trình, kiểm tra

độ ổn định lưới thi công công trình Khảo sát độ ổn định mốc lưới khống chế độ

cao cơ sở quan trắc lún công trình là công việc quan trọng và cần thiết để đảm

bảo an toàn cho công trình

Kết quả bình sai lưới cấp không sẽ dùng làm cao độ gần đúng trong bình sai

lưới tự do Như vậy, ẩn số tìm được chính là độ lệch cao độ giữa 2 chu kỳ đo

Các bước bình sai như bình sai tham số kèm điều kiện vì trong trường hợp này

số khuyết ma trận d = 1, nghĩa là hạng của ma trận hệ số hệ phương trình số hiệu

chỉnh A nhỏ hơn số ẩn số k (k - rank(A) = 1) Áp dụng công nghệ tin học, chúng

ta có thể xây dựng chương trình tính toán với trình tự như sau:

Bước 1: Chọn ẩn số là độ cao tất cả các điểm trong lưới

Bước 2: Lập hệ phương trình số hiệu chỉnh có dạng như (2.1) Vì trong lưới tự do

không có đủ các yếu tố định vị tối thiểu nên ma trận hệ số của hệ phương trình số

hiệu chỉnh (2.1) có cột phụ thuộc tuyến tính (số lượng cột phụ thuộc tuyến tính

bằng số bậc tự do của lưới) và trong trường hợp này số bậc tự do của lưới bằng 1

theo nguyên lý số bình phương nhỏ nhất sẽ thu được (2.2)

Bước 4: Hệ phương trình chuẩn (2.2) có vô số nghiệm, vì vậy không thể giải theo

các phương pháp thông thường Nhưng có thể xác định được vector nghiệm riêng

bằng cách đưa bổ sung một phương trình điều kiện ràng buộc đối với vector ẩn số

dưới dạng:

Phương trình (2.7) phải thỏa mãn 2 điều kiện: số lượng phương trình điều kiện

Trang 23

tuyến tính đối với các hàng của ma trận A Thông thường trong các ứng dụng thực

tiễn ma trận C được chọn bằng ma trận B và ma trận B được xác định từ bài toán

tính chuyển Helmert (mục 1.4) như sau:

Bnx1 = (1 1 1 … 1)T (2.8)

Như vậy, khai triển công thức (2.7) sẽ thu được biểu thức có dạng như sau:

δH1 + δH2 + … + δHn = 0 (2.9)

Điều kiện này có nghĩa là tổng độ lệch cao độ các mốc giữa 2 chu kỳ đo là

không thay đổi Do đó, nếu mốc nào không ổn định sẽ bị loại ra dưới điều kiện:

δH gh =tμ 2Q (2.10)

Trong đó:

t - hệ số xác định tiêu chuẩn sai số giới hạn (t = 2 ÷ 3)

μ - sai số trung phương đơn vị trọng số

Q - phần tử trọng số đảo trên đường chéo ma trận nghịch đảo R~

Kết hợp hai biểu thức (2.2) và (2.7) sẽ thu được ma trận hệ số RC của hệ

C

C R

~ 1

T T

T

T R C

C

R

(2.12) Khi đó nghiệm của hệ phương trình chuẩn mở rộng được xác định theo công

thức:

Trong 2 công thức (2.12) và (2.13), ma trận R~ là ma trận nghịch đảo tổng quát

của R được xác định theo (1.40) ÷ (1.43)

Bước 5: Đánh giá độ chính xác các yếu tố trong lưới được thực hiện theo quy

trình thông thường, tương tự như trong bình sai tham số kèm điều kiện, cụ thể là:

1+

−

=

k N

Trang 24

k - tổng số ẩn trong lưới

f - vector hệ số khai triển bậc 1 của hàm số

2.3 Bình sai lưới tam giác đo cạnh cấp không

Lưới tam giác đo cạnh cấp không là lưới khống chế cơ sở chỉ đo cạnh và có đầy

đủ 4 yếu tố gốc tối thiểu để định vị mạng lưới, 4 yếu tố gốc bao gồm tọa độ 1

điểm (x, y), một góc phương vị và một cạnh đáy

Bước 1: Chọn ẩn số là tọa độ các điểm cần xác định trong lưới Ví dụ lưới có n

điểm thì số điểm cần xác định là n – 1 và số ẩn số cần tìm là 2(n – 1)

Bước 2:

Lập hệ phương trình số hiệu chỉnh cạnh:

Với:

Vì trong lưới đo cạnh cấp không có đủ các yếu tố định vị tối thiểu nên ma trận

hệ số hệ phương trình số hiệu chỉnh (2.17) không có cột phụ thuộc tuyến tính (số

Bước 4: Ma trận hệ số R của hệ phương trình chuẩn (2.18) có thể nghịch đảo và

nghiệm của hệ phương trình có thể được xác định theo công thức:

Trong công thức (2.19): ma trận R-1 là ma trận nghịch đảo của R

Bước 5: Đánh giá độ chính xác các yếu tố trong lưới được thực hiện tương tự như

trong bình sai tham số, giống như các công thức (2.4) ÷ (2.6)

2.4 Bình sai lưới tam giác đo cạnh tự do

Lưới tam giác đo cạnh tự do là lưới khống chế cơ sở chỉ đo cạnh và thiếu 3

trong 4 yếu tố gốc tối thiểu để định vị mạng lưới, 3 yếu tố gốc thiếu bao gồm tọa

độ 1 điểm (x, y), một góc phương vị

Bước 1: Chọn ẩn số là tọa độ (x, y) tất cả các điểm cần xác định trong lưới Ví dụ

lưới có n điểm thì số điểm cần xác định là n và số ẩn số cần tìm là 2n

Trang 25

Bước 2: Lập hệ phương trình số hiệu chỉnh cạnh giống như (2.17) Vì trong lưới

đo cạnh tự do không có đủ các yếu tố định vị tối thiểu nên ma trận hệ số hệ

phương trình số hiệu chỉnh (2.17) có cột phụ thuộc tuyến tính (số lượng cột phụ

thuộc tuyến tính bằng số bậc tự do của lưới) Trong trường hợp này lưới thiếu 3

yếu tố gốc tối thiểu nên số bậc tự do của lưới bằng 3

theo nguyên lý số bình phương nhỏ nhất sẽ thu được (2.18) Ma trận hệ số R

trong hệ phương trình (2.18) bị suy biến vì có tính chất: Det (R) = 0

Bước 4: Hệ phương trình chuẩn (2.18) có vô số nghiệm, vì vậy không thể giải

theo các phương pháp thông thường Nhưng có thể xác định được vector nghiệm

riêng bằng cách đưa bổ sung một hệ phương trình điều kiện ràng buộc đối với

vector ẩn số dưới dạng:

Hệ phương trình (2.20) phải thỏa mãn 2 điều kiện: số lượng phương trình điều

kiện bằng số khuyết trong mạng lưới (bằng 3) và các hàng của ma trận CT phải

độc lập tuyến tính đối với các hàng của ma trận A

C

C R

~ 1

T T

T

T R C

C

R

thức:

Trong 2 công thức (2.22) và (2.23): ma trận R~ là ma trận nghịch đảo tổng quát

của R Trường hợp của ta R~ = R+ và được tính theo (1.49) hoặc (1.50) nếu sử

dụng hệ tọa độ trọng tâm

B và ma trận B được xác định từ bài toán tính chuyển Helmert (mục 1.4) đối với

lưới mặt bằng đo cạnh như sau:

n T

T T

B B

B

Với các phần tử Bi (ứng với điểm thứ i) được xác định theo công thức:

Trang 26

y B

1 0

n

n B

ξ

η

10

0

1

(2.25)

trong bình sai tham số kèm điều kiện, cụ thể là:

3+

−

=

k N

PV

V T

Trong công thức trên:

- Sai số trung phương của hàm số tính theo các công thức (2.15), (2.16)

2.5 Bình sai lưới tam giác đo góc cấp không

Lưới tam giác đo góc cấp không là lưới khống chế cơ sở chỉ đo góc và có đầy

đủ 4 yếu tố gốc tối thiểu để định vị mạng lưới, 4 yếu tố gốc bao gồm tọa độ 1

điểm (x, y), một góc phương vị và một cạnh đáy

Bước 2:

Lập hệ phương trình số hiệu chỉnh góc:

Với:

AG - ma trận hệ số hệ phương trình số hiệu chỉnh góc

VG, LG - vector số hiệu chỉnh và vector số hạng tự do

Vì trong lưới đo góc cấp không có đủ các yếu tố định vị tối thiểu nên ma trận

hệ số hệ phương trình số hiệu chỉnh (2.27) không có cột phụ thuộc tuyến tính (số

Với RG = AGTPGAG ; bG = AGTPGLG

Bước 4: Ma trận hệ số RG của hệ phương trình chuẩn (2.28) có thể nghịch đảo và

nghiệm của hệ phương trình có thể được xác định theo công thức:

Trong công thức (2.29): ma trận R -1 là ma trận nghịch đảo của R

Trang 27

2.6 Bình sai lưới tam giác đo góc tự do

Lưới tam giác đo góc tự do là lưới khống chế cơ sở chỉ đo góc và thiếu cả 4 yếu

tố gốc tối thiểu để định vị mạng lưới, 4 yếu tố gốc thiếu bao gồm tọa độ 1 điểm

(x, y), một góc phương vị và một cạnh đáy

Bước 1: Chọn ẩn số là tọa độ (x, y) tất cả các điểm trong lưới Ví dụ lưới có n

điểm thì số ẩn số cần tìm là 2n

Bước 2: Lập hệ phương trình số hiệu chỉnh góc giống như (2.27) Vì trong lưới đo

góc tự do không có đủ các yếu tố định vị tối thiểu nên ma trận hệ số hệ phương

trình số hiệu chỉnh (2.27) có cột phụ thuộc tuyến tính (số lượng cột phụ thuộc

tuyến tính bằng số bậc tự do của lưới) Trong trường hợp này lưới thiếu 4 yếu tố

gốc tối thiểu nên số bậc tự do của lưới bằng 4

theo nguyên lý số bình phương nhỏ nhất sẽ thu được (2.28) Ma trận hệ số RG

trong hệ phương trình (2.28) bị suy biến vì có tính chất: Det (RG) = 0

độc lập tuyến tính đối với các hàng của ma trận A

C

C R

~ 1

T T

G

T

T R C

C

R

thức:

Trang 28

Trường hợp của ta R = R và được tính theo (1.49) hoặc (1.50) nếu sử dụng hệ

tọa độ trọng tâm

B và ma trận B được xác định từ bài toán tính chuyển Helmert (mục 1.4) đối với

lưới mặt bằng đo góc như sau:

n T

T T

B B

i i i

y x

x y B

1 0

0 1

i i i

n

n B

ηξ

ξη

10

0

1

(2.35)

Các cột 1÷ 4 của ma trận Bi hoặc ma trận B i tương ứng với các thành phần số

hiệu chỉnh δx, δy,δα, δm Khi lưới có 1 cạnh gốc thì δm = 0, nghĩa là không có

phương trình điều kiện ứng với cột 4, khi đó lưới tự do (x, y, α):

x

y B

1 0

0 1

n

n B

ξ

η

10

0

1

(2.35*)

Trường hợp lưới đo 1 góc phương vị và có một cạnh gốc thì δα = 0, δm = 0,

nghĩa là không có phương trình điều kiện ứng với cột 3 và cột 4, khi đó lưới tự do

01

0

1

(2.35**)

Khi lưới chỉ đo góc thì tồn tại các thành phần số hiệu chỉnh δx, δy,δα, δm Do

đó, lưới thiếu cả 4 yếu tố gốc tối thiểu, nghĩa là lưới tự do (x, y, α, m) ứng với

trường hợp sử dụng công thức (2.35)

trong bình sai tham số kèm điều kiện, cụ thể là:

4+

−

=

k N

PV

V T

- Sai số trung phương của hàm số tính theo các công thức (2.15), (2.16)

Trang 29

2.7 Bình sai lưới tam giác đo góc cạnh cấp không

Lưới tam giác đo góc cạnh cấp không là lưới khống chế cơ sở đo góc đo cạnh và

có đầy đủ 4 yếu tố gốc tối thiểu để định vị mạng lưới, 4 yếu tố gốc bao gồm một

tọa độ 1 điểm (x, y), một góc phương vị và một cạnh đáy

Bước 2: Lập hệ phương trình số hiệu chỉnh cạnh theo (2.17) và lập hệ phương

trình số hiệu chỉnh góc theo (2.27) Vì trong lưới đo góc cạnh cấp không có đủ

các yếu tố định vị tối thiểu nên ma trận hệ số hệ phương trình số hiệu chỉnh kết

hợp giữa (2.17) và (2.27) không có cột phụ thuộc tuyến tính

- Hệ phương trình chuẩn cạnh (2.18) và hệ phương trình chuẩn góc (2.28)

- Hệ phương trình chuẩn góc cạnh là sự tổng hợp của hệ phương trình chuẩn cạnh

và góc:

Với R = RS + RG; b = bS + bG.

Bước 4: Hệ phương trình chuẩn (2.37) có một tập hợp nghiệm, vì vậy có thể giải

theo các phương pháp thông thường Ma trận hệ số R của hệ phương trình chuẩn

(2.37) có thể nghịch đảo và nghiệm của hệ phương trình có thể được xác định

theo công thức:

Trong công thức (2.38): ma trận R-1 là ma trận nghịch đảo của R

2.8 Bình sai lưới tam giác đo góc cạnh tự do

Lưới tam giác đo góc cạnh tự do là lưới khống chế cơ sở đo góc đo cạnh và

thiếu 3 trong 4 yếu tố gốc tối thiểu để định vị mạng lưới, 3 yếu tố gốc thiếu bao

gồm 1 điểm tọa độ (x, y), 1 góc phương vị

Bước 1: Chọn ẩn số là tọa độ tất cả các điểm trong lưới Ví dụ lưới có n điểm thì

số ẩn số cần tìm là 2n

Bước 2:

- Lập hệ phương trình số hiệu chỉnh cạnh theo (2.17)

- Lập hệ phương trình số hiệu chỉnh góc theo (2.27)

Vì trong lưới đo góc cạnh tự do không có đủ các yếu tố định vị tối thiểu nên ma

Trang 30

thuộc tuyến tính (số lượng cột phụ thuộc tuyến tính bằng số bậc tự do của lưới)

Trong trường hợp này lưới thiếu 3 yếu tố gốc tối thiểu nên số bậc tự do của lưới

bằng 3

- Hệ phương trình chuẩn cạnh (2.18)

- Hệ phương trình chuẩn góc (2.28)

- Hệ phương trình chuẩn góc cạnh là sự tổng hợp của hệ phương trình chuẩn cạnh

và góc (2.37)

Ma trận R trong hệ phương trình (2.37) bị suy biến vì có tính chất: Det (R) = 0

độc lập tuyến tính đối với các hàng của ma trận A, AG

C

C R

~ 1

T T

T

T R C

C

R

thức:

Trong 2 công thức (2.41) và (2.42): ma trận R~ là ma trận nghịch đảo tổng quát

của R R~ = R+ và được tính theo (1.49) hoặc (1.50) nếu sử dụng hệ tọa độ trọng

tâm

B và ma trận B được xác định từ bài toán tính chuyển Helmert (mục 1.4) Đối với

lưới mặt bằng đo góc cạnh, ma trận B tương tự như lưới mặt bằng đo cạnh (2.24),

(2.25)

Trang 31

trong bình sai tham số kèm điều kiện, tính theo các công thức (2.15), (2.16),

Hình 2.1 Hệ tọa độ không gian địa tâm (X, Y, Z)

Lưới tọa độ không gian cấp không là lưới có 7 yếu tố gốc tối thiểu bao gồm tọa

độ 1 điểm gốc (x, y, z), 3 góc xoay (ε, ψ, ω) và 1 hệ số tỷ lệ chiều dài m Nếu

thiếu một trong 7 yếu tố này lưới sẽ trở thành tự do

Hãy xem xét thuật toán bình sai lưới tự do GPS trong hệ tọa độ không gian địa

tâm (X, Y, Z)

Trên hình 2.1 có các ký hiệu sau:

Xi, Yi, Zi : tọa độ bình sai của điểm i

Xj, Yj, Zj : tọa độ bình sai của điểm j

j : tọa độ gần đúng của điểm j

δXi, δYi, δZi : số hiệu chỉnh vào tọa độ gần đúng của điểm i

δXj, δYj, δZj : số hiệu chỉnh vào tọa độ gần đúng của điểm j

VΔXij, VΔYij, VΔZij : số hiệu chỉnh vào trị đo

Số gia tọa độ bình sai của hai điểm i, j được viết:

ΔXij = Xj - Xi

ΔY = Y - Y

Trang 32

VΔXij = -δXi + δXj + (X0

j - X0

i - ΔX’

ij) Nếu ký hiệu:

Tương tự cho các thành phần trị đo ΔY, ΔZ:

VΔYij = -δYi + δYj + lYij

Trong đó: i, j – cặp điểm đo thứ nhất

k, t – cặp điểm đo thứ m

Nếu số điểm cần xác định là n thì số ẩn số sẽ là n3 = 3n Nếu số cặp điểm cần

đo là m thì số trị đo sẽ là m3 = 3m Ma trận hệ số hệ phương trình số hiệu chỉnh

sẽ là:

Trang 33

3 3

2 1

2 22

21

1 12

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a

A

L

LL

Trong đó: A – ma trận hệ số hệ phương trình số hiệu chỉnh

δX – vector ẩn số

V, L – vector số hiệu chỉnh và vector số hạng tự do

Trong lưới tự do thiếu các yếu tố số liệu gốc tối thiểu, nên ma trận hệ số hệ

phương trình số hiệu chỉnh có các cột phụ thuộc tuyến tính bằng số khuyết trong

lưới

Hệ phương trình chuẩn như bình sai tham số:

RδX + b = 0 (2.48)

Với: R = ATPA; b = ATPL; Det (R) = 0; P là ma trận trọng số của trị đo

Nếu coi các trị đo là độc lập và cùng độ chính xác thì ma trận P có dạng:

P = E (E là ma trận đơn vị)

Nếu xét tới mối tương quan (phụ thuộc) giữa các trị đo ΔX, ΔY, ΔZ thì ma trận

P có dạng khối [5] trang 90, 91:

P

2 1

(2.49)

Với: m – các cặp điểm đo từ i ÷ j

Pi – các khối dạng:

33 32 31

23 22 21

13 12 11

P P P

P

Trong đó: Q là ma trận phương sai – hiệp phương sai của các trị đo ΔX, ΔY, ΔZ,

Trang 34

i j

i

j i Yj

i j

i

j i j

i Ỵ

i

Z Z V Y Z X

Z

Z Y Y

Y V X

Y

Z X Y

X X

X

V

covcov

Hệ phương trình chuẩn có vô số nghiệm vì vậy không thể giải hệ trên theo

phương pháp thông thường, có thể xác định được vector nghiệm riêng bằng cách

đưa vào một hệ phương trình điều kiện ràng buộc đối với vector ẩn số, có dạng:

CTδX = 0 (2.50) Chọn C = B, B là ma trận Helmert, khi các trị đo là ΔX, ΔY, ΔZ thì nó có dạng

0 1 0

0 0 1

i

B (2.51)

n T

T T

B B

L

b K

X C

C

C R

R có dạng nghịch đảo ⎟⎟

T C

T

T R

R , trong đó R~ là ma trận nghịch đảo tổng quát của R

Vector ẩn số được tính theo công thức:

δX = - R~b (2.54)

Đánh giá độ chính xác như bình sai tham số kèm điều kiện:

d k N

- Sai số vị trí điểm không gian:

M Pi =μ Q XiXi +Q YiYi +Q ZiZi (2.56)

Với: QXiXi, QYiYi, QZiZi lần lượt là các phần tử trên đường chéo chính của ma trận

nghịch đảo tổng quát

- Sai số trung phương của hàm số:

f f

~

Trong các công thức trên:

N – tổng số trị đo của lưới

Trang 35

k – tổng số ẩn số

d – số bậc tự do của lưới

N – k + d là số lượng trị đo dư trong lưới

f (kx1) – vector hệ số khai triển bậc 1 của hàm số

Như vậy, thuật toán bình sai lưới tự do GPS đo ΔX, ΔY, ΔZ thực chất làbình sai

tham số kèm điều kiện, cũng giống như bình sai lưới độ cao tự do và lưới mặt

bằng tự do

2.10 So sánh, phân tích ưu việt của lưới tự do so với lưới bậc không

Đối với lưới độ cao cấp không, đặc điểm là có một điểm độ cao gốc để tính

toán Do đó, kết quả bình sai vừa chịu ảnh hưởng của sai số số liệu đo vừa chịu

ảnh hưởng của sai số số liệu gốc Như vậy, độ chính xác kết quả bình sai sẽ bị

giảm đi Trong khi đó lưới tự do không có điểm độ cao gốc nên kết quả bình sai

không bị ảnh hưởng sai số số liệu gốc, do đó độ chính xác kết quả bình sai sẽ

tăng lên Tuy nhiên, trong bình sai xử lý mạng lưới độ cao cơ sở tự do, kết quả

bình sai lưới bậc không được dùng làm độ cao gần đúng cho chu kỳ 1 của bình sai

lưới tự do

Trong quan trắc lún công trình, ứng dụng lưới độ cao cơ sở tự do và thuật toán

bình sai lưới tự do là hoàn toàn phù hợp Phương pháp cho phép xử lý lưới có các

chu kỳ đo cùng độ chính xác, cho phép đánh giá độ ổn định mốc và thể hiện sự

thay đổi độ cao thực tế chính xác qua từng chu kỳ đo Hơn nữa, mạng lưới có thể

xử lý bình sai độc lập, không cần đo nối với độ cao quốc gia

Đối với lưới tọa độ bậc không, đặc điểm là có 4 yếu tố gốc tối thiểu để định vị

mạng lưới bao gồm một cặp tọa độ (x, y), một góc phương vị và một cạnh đáy

Do đó, kết quả bình sai vừa chịu ảnh hưởng của sai số số liệu đo vừa chịu ảnh

hưởng của sai số số liệu gốc Như vậy, độ chính xác kết quả bình sai sẽ bị giảm

đi Trong khi đó lưới mặt bằng tự do thường thiếu 2, 3 hoặc 4 yếu tố gốc tối thiểu

và thường không có điểm tọa độ gốc nên kết quả bình sai không bị ảnh hưởng của

sai số số liệu gốc, do đó độ chính xác kết quả bình sai sẽ tăng lên Tuy nhiên,

trong bình sai xử lý mạng lưới tọa độ cơ sở tự do, kết quả bình sai lưới bậc không

được dùng làm tọa độ gần đúng cho chu kỳ 1 của bình sai lưới tự do

Trong bài toán quan trắc chuyển dịch ngang công trình, ứng dụng lưới tọa độ cơ

sở tự do và thuật toán bình sai lưới tự do là hoàn toàn phù hợp Phương pháp cho

phép xử lý lưới có các chu kỳ đo khác nhau, cho phép đánh giá độ ổn định mốc

và thể hiện sự thay đổi tọa độ thực tế chính xác qua từng chu kỳ đo Hơn nữa,

mạng lưới có thể xử lý bình sai độc lập, không cần đo nối với tọa độ quốc gia

Trang 36

2.11 Quy trình xử lý bình sai lưới độ cao cơ sở tự do và quan trắc lún

Khi ứng dụng một phương pháp kỹ thuật mới cần thiết phải có một quy trình

tính toán phù hợp để cho kết quả đúng và chính xác Thuật toán bình sai lưới tự

do có những tính chất và đặc điểm phù hợp với bài toán xử lý số liệu trong quan

trắc lún công trình, cụ thể đối với lưới độ cao cơ sở như sau:

Bước 1: Đo đạc thực địa thu thập số liệu đo chênh cao, số trạm đo mỗi tuyến đo

sao cho có trị đo dư để bình sai Trọng số mỗi tuyến đo sẽ được tính theo công

Trong đó c là hằng số; n là số trạm đo Nếu c = 1 thì có nghĩa là sai số trung

phương đơn vị trọng số bằng sai số trung phương trên một trạm đo

Bước 2: Bình sai lưới bậc không cho chu kỳ 1 Chọn một mốc bất kỳ trong lưới

làm mốc gốc và kết quả bình sai này sẽ làm cao độ gần đúng cho bình sai lưới tự

do chu kỳ 1

Trình tự bình sai lưới cấp không như sau:

1 Cho cao độ giả định ban đầu hoặc đo nối cao độ quốc gia một điểm bất kỳ

trong lưới Từ đó tính được cao độ gần đúng các điểm khác Chọn ẩn số là độ cao

các điểm còn lại trong lưới Ví dụ lưới có n mốc thì số ẩn số là n – 1, trọng số

tuyến đo được tính theo công thức (2.58)

2 Lập hệ phương trình số hiệu chỉnh có dạng như sau:

V = AδH + L

Với:

δH - vector ẩn số

3 Khi chuyển từ hệ phương trình số hiệu chỉnh sang hệ phương trình chuẩn

4 Ma trận hệ số của hệ phương trình chuẩn R có thể nghịch đảo và khi đó

nghiệm của hệ phương trình chuẩn được xác định theo công thức:

δH = - R-1b

Cao độ bình sai sẽ bằng cao độ gần đúng cộng nghiệm của hệ phương trình

chuẩn, kết quả bình sai sẽ được tính theo công thức:

Hbs0= H0 + δH

thông thường, tương tự như trong bình sai tham số, cụ thể là:

Trang 37

k N

k - tổng số ẩn

- Sai số trung phương của cao độ:

Trong đó: QH là các phần tử trên đường chéo của ma trận R-1

Bước 3: Bình sai lưới tự do chu kỳ 1 lấy cao độ bình sai bước 2 làm cao độ gần

đúng

Trình tự tính toán như sau:

1 Chọn ẩn số là độ cao tất cả các mốc trong lưới

2 Lập hệ phương trình số hiệu chỉnh có dạng như bước 2

3 Lập hệ phương trình chuẩn như bước 2

4 Trong trường hợp này ma trận R bị suy biến Do đó cần đưa bổ sung một

phương trình điều kiện ràng buộc đối với vector ẩn số dưới dạng:

C

C R

~ 1

T T

T

T R C

C

R

Khi đó nghiệm của hệ phương trình chuẩn mở rộng được xác định theo công

thức:

Ma trận R~ là ma trận nghịch đảo tổng quát của R

Cao độ bình sai sẽ bằng cao độ gần đúng cộng nghiệm của hệ phương trình

chuẩn mở rộng, kết quả bình sai sẽ được tính theo công thức:

H0= Hbs0

Hbs1= H0 + δH

Trang 38

1+

−

=

k N

PV

V T

Trong đó: QH là các phần tử trên đường chéo của ma trận R~

Bước 4: Bình sai chu kỳ 2 và đánh giá độ ổn định các mốc Cho chu kỳ đo đầu

tiên các mốc đều ổn định Kết quả cao độ bình sai bước 3 sẽ làm giá trị gần đúng

cho chu kỳ 2

Tiêu chuẩn đánh giá độ ổn định các điểm mốc khống chế cơ sở được cụ thể hóa

bằng biểu thức:

S ≤t.M S (2.63)

Trong đó:

S và MS là giá trị độ lệch cao độ và sai số tương ứng

t là hệ số xác định tiêu chuẩn sai số giới hạn, thông thường t = 2 ÷ 3

Độ lệch từng mốc được tính bằng cao độ bình sai chu kỳ sau trừ cao độ bình sai

chu kỳ trước và sai số độ lệch từng mốc được tính theo công thức:

( ) 2 ( )2

2 1 2 1

1 2

H H

S

M

H H

H1, H2 là cao độ bình sai 2 chu kỳ kế tiếp nhau của các mốc

μ1, μ2 là sai số trung phương đơn vị trọng số 2 chu kỳ kế tiếp

QH(1), QH(2) là trọng số đảo các điểm trong lưới 2 chu kỳ đo

Trình tự tính toán chu kỳ 2 như sau:

1 Chọn ẩn số là độ cao tất cả các mốc trong lưới

2 Lập hệ phương trình số hiệu chỉnh có dạng như bước 2

3 Lập hệ phương trình chuẩn có dạng như bước 2

4 Đưa bổ sung một phương trình điều kiện ràng buộc đối với vector ẩn số dưới

dạng:

CTδH = 0

Trang 39

C R

~ 1

T T

T

T R C

C

R

Khi đó nghiệm của hệ phương trình chuẩn mở rộng được xác định theo công

thức:

Ma trận R~ là ma trận nghịch đảo tổng quát của R

1+

−

=

k N

PV

V T

μ

Trong đó: QH là các phần tử trên đường chéo của ma trận R~

6 Áp dụng tiêu chuẩn (2.63 ) sẽ có 2 trường hợp xảy ra:

- Tất cả các mốc ổn định, kết quả bình sai sẽ làm cao độ gần đúng cho chu kỳ

sau

- Có mốc không ổn định, cần thay đổi ma trận C để tính toán lại, mốc nào thay

đổi thì cho các phần tử trong ma trận C bằng 0 Ví dụ mốc thứ i bị thay đổi thì

i

C = 1 0 1 Quá trình tính lặp cho đến khi tất cả các mốc đều thỏa mãn

tiêu chuẩn (2.63)

Bước 5: Bình sai các chu kỳ tiếp theo với trình tự tính toán và đánh giá độ ổn

định mốc giống như bước 4 Lấy cao độ bình sai chu kỳ trước làm cao độ gần

đúng cho chu kỳ sau

* Quy trình trên đây sẽ được áp dụng trong phần mềm CBSC1, sử dụng phần

mềm này có thể bình sai kèm đánh giá độ chính xác và độ ổn định các mốc trong

lưới độ cao cơ sở quan trắc lún công trình

Trang 40

2.12 Quy trình xử lý bình sai lưới đo cạnh, đo góc, đo góc cạnh và đường

chuyền cơ sở

Thuật toán bình sai lưới tự do có những tính chất và đặc điểm không chỉ phù

hợp với bài toán xử lý số liệu quan trắc lún công trình mà còn phù hợp với bài

toán xử lý số liệu một số dạng lưới tự do trong quan trắc chuyển dịch ngang công

trình như: lưới đo cạnh, lưới đo góc cạnh và lưới đường chuyền cơ sở, cụ thể đối

với từng loại lưới mặt bằng cơ sở như sau:

2.12.1 Quy trình xử lý bình sai lưới đo cạnh cơ sở

Bước 1: Đo đạc thực địa thu thập số liệu đo cạnh sao cho có trị đo dư để bình

sai Trọng số mỗi cạnh đo sẽ được tính theo công thức:

Trong đó a, b là hằng số máy; D là chiều dài cạnh đo tính theo đơn vị km; c là

hằng số tùy chọn sao cho P ≈ 1

Bước 2: Bình sai lưới bậc không cho chu kỳ 1 Chọn một mốc bất kỳ trong lưới

làm mốc gốc, trình tự bình sai lưới cấp không như sau:

1 Cho tọa độ giả định ban đầu hoặc đo nối tọa độ quốc gia một điểm bất kỳ

trong lưới Từ đó tính được tọa độ gần đúng các điểm khác Chọn ẩn số là tọa độ

các điểm mốc còn lại trong lưới

2 Lập hệ phương trình số hiệu chỉnh như bình sai tham số

3 Lập hệ phương trình chuẩn theo nguyên lý số bình phương nhỏ nhất

4 Ma trận hệ số R của hệ phương trình chuẩn có thể nghịch đảo và khi đó

nghiệm của hệ phương trình chuẩn được xác định theo công thức:

Tọa độ bình sai sẽ bằng tọa độ gần đúng cộng nghiệm của hệ phương trình

chuẩn, kết quả bình sai sẽ được tính theo công thức:

Xbs0= X0 + δX

5 Đánh giá độ chính xác các yếu tố trong lưới được tính tương tự như trong bình

sai tham số, cụ thể là:

k N

- Sai số trung phương của tọa độ:

Định dạng
Số trang	142
Dung lượng	1,24 MB