Tứ giác ABCD biến thiên, nội tiếp trong ñường tròng (O) sao cho 2 ñường chéo luôn vuông góc với nhau.. Tứ giác ABCD là hình gì ñể diện tích của nó lớn nhất.[r]
Trang 1ðề số 1 Câu 1
Xét các tứ diện SABC có SA, SB , SC vuông góc với nhau từng ñôi một và các mặt bên (SBC), (SCA), (SAB) theo thứ tự hợp với mặt (ABC) các góc α, β, γ Tìm giá trị nhỏ nhất của:
M = tg2α + tg 2 β + tg 2 γ +cotg 2 α + cotg 2 β + cotg 2 γ
Câu 2
Cho hàm số f xác ñịnh và lấy giá trị trong tập hợp các số thực R sao cho với mọi x,y thuộc R ta ñều có:
f(1975x) = f(sin(30x +4y)) + f(sin(30x - 4y))
Hãy xác ñịnh giá trị của f( 13 + 34 + 52002 )
Câu 3
Cho phương trình Chứng tỏ rằng với mỗi n nguyên dương thì phương trình có duy nhất
một nghiệm dương X n và tìm
Câu 4
Cho tứ diện ABCD có các ñường cao AA', BB', CC', DD' ñồng qui tại một ñiểm thuộc miền trong của tứ diện Các ñường thẳng AA', BB', CC', DD' lại cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo thứ tự tại A 1 , B1, C1, D1 Chứng minh:
ðề số 2 Câu 1: ( 2 ñiểm )
Giải phương trình : 8cos4x.cos22x + cosx + 1 = 0
Câu 2: ( 2 ñiểm)
Tính số ño các góc trong tam giác ABC , biết sinA
1 =
sinB
3 =
sinC
2
Câu 3: ( 2 ñiểm )
Cho tam giác ABC
a) Hãy dựng ñiểm M là ảnh của ñiểm A qua phép quay tâm C , góc quay -90 ñộ và ñiểm N là ảnh của ñiểm B qua phép quay tâm C góc quay 90 ñộ
b) Gọi O,O’,I lần lượt là trung ñiểm của AM ,BN,AB Chứng minh tam giác IOO" là tam giác vuông cân
Câu 4: ( 2 ñiểm )
Tìm tất cả các hàm số f:R
->R thoả mãn: f(x) + f(1-x) = x
2 + 1, ∀x ∈ R
Câu 5: ( 2 ñiểm )
Cho a,b,c > 0 và abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 1
a2(b+c) +
1
b2(c+a) +
1
c2(a+b)
ðề số 3
câu 1: Cho x1, x 2 , …, x n là các số nguyên thỏa mãn ñiều kiện:
x12+x22+ + x n2+n3≤(2n−1)(x1+x2+ + x n)+n2
s=x +x + + x + +n 1
Trang 2Câu 2: Cho a>0 và a khác 1, xét dãy số xác ñịnh như sau:
x 1 = α
và x n+1 (3x n + 1) = x n + 3x n
Hãy chứng minh dãy số (y n ) với y n = (a - 1)x n có giới hạn và tìm giới hạn ñó
Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = cos4x + sin2x + cosxsinx
Câu 4: Cho tam giác ABC với BC=a, CA=b, AB=c và B > C
Chứng minh rằng ñiều kiện cần và ñủ ñể A=2(B-C) là:
(b -c) (b + c)2 = a2b với A, B, C là các góc của tam giác ABC
ðề số 4
Cho hàm số f(x) = 1+sin4x + cos4x+2cos2x+2
Giải các phương trình sau:
1 f(x) = 2 2
2 f(x) = 1 + 5
Các góc A, B, C của một tam giác thỏa mãn:
A≥1200
sinA+sinB+sinC= 3
2 +1
Tìm các góc của tam giác ñó
Cho tam giác ABC vuông góc tại A Trên ñường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B ta lấy một ñiểm S sao cho SB = BA = AC = 1 (P) là mặt phẳng song song với các cạnh SB và AC cắt các cạnh SA, SC, BC, BA lần lượt tại D, E, F, H
1 Chứng minh DEFH là hình chữ nhật
2 Xác ñịnh vị trí của mặt phẳng (P) sao cho diện tích hình chữ nhật ñó lớn nhất
a, b, c là các số thực dương Chứng minh bất ñẳng thức:
(a2b + b2a +a2c + c2a + b2c + c2b)2 ≥ 4(ab + bc + ca)(a2b2 + b2c2 + c2a2)
-
Trang 3ðề số 5
1 Cho biểu thức:
A = 1 + 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x + 2cos8x + 2cos10x
Chứng minh: A =
11khix=kπ,k∈z
sin11x sinx khix≠≠≠kπ,k∈z
2 Giải phương trình: (sin3x + 4sin2x cos3x)2 = 11cos23x
Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác Chứng minh:
Tg4A
2
tg2B
2
+
tg4B 2
tg2C 2 +
tg4C 2
tg2A 2 ≥ 1
Cho hình chữ nhật ABCD với AB = a và BC = b Các ñường thẳng (∆)và (∆’)vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lần lượt tại C và D.Trên các ñường thẳng (∆) và (∆’) ta lấy lần lượt các ñiểm M, N bất kỳ sao cho AN ⊥ BM
1 Chứng minh các ñiểm M, N ở 2 phía khác nhau ñối với mặt phẳng (ABCD)
2 Chứng minh tứ diện ABMN có 4 mặt là các tam giác vuông
3 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng S = CM2 + DN2
Cho hàm số f(x) = sin πx
2 + x
2
+ x + 1 Chứng minh phương trình: sin πf(x)
2 + [f(x)]2
+ f(x) + 1 = x không có nghiệm
-
ðề số 6
1 Chứng minh với mọi giá trị của x, ta có: sinx + 1-sinx ≥ 1
2 Giải phương trình: sinx + 1-sinx = 2cosx - cos2x
Trang 4Tính các góc của tam giác ABC nếu tam giác ñó thỏa mãn:
b2+c2≤a2
sinA+sinB+sinC=1+ 2
Trong ñó BC = a, CA = b, AB = c và A, B, C là ñộ lớn 3 góc của tam giác ABC ñối diện lần lượt với 3 cạnh BC,
CA và AB
Trong mặt phẳng (P) cho ñường tròn (O) bán kính R và ñiểm A cố ñịnh trên ñường tròn (O) Tứ giác ABCD biến thiên, nội tiếp trong ñường tròng (O) sao cho 2 ñường chéo luôn vuông góc với nhau Trên ñường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P) tại A ta lấy ñiểm S Nối S với A, B, C, D
1 Chứng minh BD⊥ SC
2 Nêu cách xác ñịnh ñiểm I cách ñều 5 ñiểm A, B, C, D và S
3 Tứ giác ABCD là hình gì ñể diện tích của nó lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất ñó theo R
Cho các số thực a, b, c và d thỏa mãn ñiều kiện: (133a + 29b +7c +2d - 7)(91a + 25b +7c +2d -7) < 0
Chứng minh rằng tồn tại các số thực u và v sao cho:
u + v = 7 và a(u3 + v3) + b(u2 + v2) + c(u + v) + 2d = 7
-
ðề số 7
Cho phương trình sau: (m + 3)sin3x + (m - 1)cos3x + cosx - (m + 2)sinx = 0
1 Giải phương trình khi m = - 5
2 Xác ñịnh tham số m ñể phương trình có ñúng một nghiệm x ∈ π;
5π
4
Trên mặt phẳng cho tứ giác lồi ABCD có AB = BC = CD = a
1 Nếu biết ABC = BCD = 120 0 Hãy tính diện tích tứ giác ABCD theo a
Trang 52 Giả sử tứ giác ABCD thay ñổi, mà AB = BC = CD = a không ñổi Hãy tìm giá trị lớn nhất của diện tích
tứ giác ABCD
Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có cạnh ñáy bằng a
1 Ta coi hình chóp ñã cho là tứ diện SABC có trọng tâm O, gọi (α )là góc giữa mp(SAB) và mp(ABC) Hãy tính cosα ñể O cách ñều tất cả các mặt của SABC
2 Biết ASB = 30 0 Xét mặt phẳng (P) thay ñổi ñi qua A, sao cho mp(P) cắt các ñoạn thẳng SB, SC thứ tự tại B', C' Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác AB'C' theo a
Cho phương trình: x3 - 3x2 + 1 = 0
Chứng minh rằng phương trình có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3
Giả sử x1 < x2 < x3, chứng minh rằng: | |x1 < x2 và (2 - x1)(2 + x3) > 27
ðề số 8
x3+3x2+2x-5=y
y3+3y2+2y-5=z
z3+3z2+2z-5=x
ñỉnh A;B;C
CMR: bc.ma + ca.mb + ab.mc ≤ 3
2 (a
2
+b2+c2)(a4+b4+c4)
x2+y2=9 (my+x)(x- 3.m)=0
Câu 5:
a Cho x, y, z ∈ [0;1 CMR: (2] x
+ 2y + 2z)(2-x + 2-y + 2-z) ≤ 81
8
b Cho x, y thỏa mãn: x2 + xy + y2 = 2
Tìm Min; Max của biểu thức: A = x2 - 2xy + 3y2
… Hết…