Bíc 3 : KiÓm tra c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh nghiÖm nµo thÝch hîp víi bµi to¸n vµ kÕt luËn.. 8.[r]
Trang 1tổng hợp kiến thức toán 9
1 Điều kiện để căn thức có nghĩa.
A có nghĩa khi A 0
2 Các công thức biến đổi căn thức.
a
2
A A
b AB A B (A0;B0)
c
d
A B A B B
e
A B A B A B
A B A B A B
f
1
A
i
( 0)
B B
k
2 2
A B
A B
3 Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
Xét đờng thẳng y = ax + b (d) và y = a'x + b' (d')
(d) và (d') cắt nhau a a'
(d) // (d') a = a' và b b'
(d) (d') a = a' và b = b'
4 Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng cong.
Xét đờng thẳng y = ax + b (d) và y = ax2 (P)
(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm: 2 nghiệm phân biệt
(d) tiếp xúc với (P) tại một điểm: 1 có nghiệm kép
(d) và (P) không có điểm chung: vô nghiệm
5 Phơng trình bậc hai.
Xét phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0)
= b2 - 4ac Nếu > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân
biệt:
x1=− b+√Δ
2 a ; x2=− b −√Δ
2 a
Nếu = 0 : Phơng trình có nghiệm kép :
x1=x2=− b
2 a
Nếu < 0 : Phơng trình vô nghiệm
' = b'2 - ac với b = 2b'
- Nếu ' > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x1=− b '+√Δ '
a ; x2=− b ' −√Δ '
a
- Nếu ' = 0 : Phơng trình có nghiệm kép:
x1=x2=− b '
a
- Nếu ' < 0 : Phơng trình vô nghiệm
6 Hệ thức Viet và ứng dụng.
- Hệ thức Viet:
Nếu x1, x2 là nghiệm của phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) thì:
1 2
b
a c
P x x
a
- Một số ứng dụng:
+ Tìm hai số u và v biết u + v = S; u.v = P ta giải phơng trình: x2 - Sx + P = 0
(Điều kiện S2 - 4P 0) + Nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a0)
Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2 =
c a
Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm: x1 = -1 ; x2 =
c a
7 Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình
Bớc 1: Lập phơng trình hoặc hệ phơng trình ( đk)
Bớc 2: Giải phơng trình hoặc hệ phơng trình
Trang 2Bớc 3: Kiểm tra các nghiệm của phơng trình hoặc hệ phơng trình nghiệm nào thích hợp với bài toán
và kết luận
8 Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
Điều kiện có hai nghiệm phân biệt
¿
a≠ 0 Δ>0
¿{
¿
hoặc
¿
a ≠ 0
Δ '>0
¿{
¿
9 Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có 1 nghiệm.
Điều kiện có một nghiệm:
¿
a=0 b≠ 0
¿{
¿
hoặc
¿
a ≠0 Δ=0
¿{
¿
hoặc
¿
a ≠ 0
Δ '=0
¿{
¿
10 Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm kép.
Điều kiện có nghiệm kép:
¿
a ≠0 Δ=0
¿{
¿
hoặc
¿
a ≠ 0
Δ '=0
¿{
¿
11 Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm.
Điều kiện có một nghiệm:
¿
a≠ 0 Δ<0
¿{
¿
hoặc
¿
a ≠ 0
Δ '<0
¿{
¿
12 Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm cùng dấu.
Điều kiện có hai nghiệm cùng dấu:
¿
Δ≥ 0 P= c
a>0
¿{
¿
hoặc
¿
Δ ' ≥0 P= c
a>0
¿{
¿
13 Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm d ơng.
Điều kiện có hai nghiệm dơng:
¿
Δ≥ 0 P= c
a>0 S=− b
a>0
¿{ {
¿
hoặc
¿
Δ ' ≥ 0 P= c
a>0 S=− b
a>0
¿{ {
¿
14 Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = có 2 nghiệm âm.
Điều kiện có hai nghiệm âm:
¿
Δ≥ 0 P= c
a>0 S=− b
a<0
¿{ {
¿
hoặc
¿
Δ ' ≥ 0 P= c
a>0 S=− b
a<0
¿{ {
¿
15 Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm trái dấu.
Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: P < 0
16 Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có một nghiệm x = x 1
Cách giải:
- Thay x = x1 vào phơng trình (*) ta có: ax1 + bx1 + c = 0 m
- Thay giá trị của m vào (*) x1, x2
- Hoặc tính x2 = S - x1 hoặc x2 = P
x1
Trang 317 Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax + bx + c = có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn các điều kiện:
a αx1+βx2=γ b x12+x22=k c 1
x1+
1
2 +x22≥h
e x13+x23=t
Điều kiện chung: 0 hoặc ' 0 (*)
Theo định lí Viet ta có:
¿
x1+x2=−b
a =S (1)
x1 x2=c
a=P(2)
¿{
¿
a Trờng hợp: αx1+βx2=γ
Giải hệ
¿
x1+x2=−b
a
αx1+βx2=γ
¿{
¿
Thay x1, x2 vào (2) m Chọn các giá trị của m thoả mãn (*)
b Trờng hợp: x1+x2¿2− 2 x1x2=k
x12+x22=k ↔¿
Thay x1 + x2 = S = − b
a và x1.x2 = P = c
a vào ta có:
S2 - 2P = k Tìm đợc giá trị của m thoả mãn (*)
c Trờng hợp: 1
x1+
1
x2=n ↔ x1+x2=nx1 x2↔− b=nc
Giải phơng trình - b = nc tìm đợc m thoả mãn (*)
d Trờng hợp: x12+x22≥h ↔ S2− 2 P −h ≥ 0
Giải bất phơng trình S2 - 2P - h 0 chọn m thoả mãn (*)
e Trờng hợp: x13+x23=t ↔ S3−3 PS=t
Giải phơng trình S3− 3 PS=t chọn m thoả mãn (*)
18 Giải phơng trình trùng phơng ax 4 + bx 2 + c = 0
Đặt t = x2 (t0) ta có phơng trình at2 + bt + c = 0
Giải phơng trình bậc hai ẩn t sau đó thay vào tìm ẩn x
Bảng tóm tắt
at 2 + bt + c = 0 ax 4 + bx 2 + c = 0
2 nghiệm dơng 2 cặp nghiệm đối nhau4 nghiệm
19 Giải phơng trình A (x2+ 1
x2)+B(x +1
x)+C=0
Đặt x+1
x = t x2 - tx + 1 = 0
Suy ra t2 = ( x+1
x )2 = x
2
+ 1
x2+2 x
2
+ 1
x2=t
2−2
x1, x2
Trang 420 Giải phơng trình A (x2+ 1
x2)+B(x −1
x)+C=0
Đặt x −1
x = t x2 - tx - 1 = 0
Suy ra t2 = ( x −1
x )2 = x
2
+ 1
x2−2 x
2
+ 1
x2=t
2
+2
21 Giải hệ phơng trình
¿
ax+by=c
a ' x +b ' y=c '
¿{
¿
Các phơng pháp giải:
+ Phơng pháp cộng + Phơng pháp thế + Phơng pháp đặt ẩn phụ
22 Giải phơng trình dạng √f (x )=g(x ) (1)
Ta có
√f ( x)=g( x)↔
g(x )≥ 0(2)
f (x)=[g( x)]2(3)
¿{
Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp nghiệm của (1)
23 Giải phơng trình dạng √f (x )+√h(x)=g (x)
Điều kiện có nghĩa của phơng trình
¿
f (x )≥ 0
h (x)≥0 g(x)≥ 0
¿{ {
¿
Với điều kiện trên thoả mãn ta bình phơng hai vế để giải tìm x
24 Giải phơng trình dạng |f (x)|=g(x)
Phơng pháp 1: |f (x)|=g(x)
¿
g (x)≥0
[f ( x)]2=[g(x )]2
¿{
¿
Phơng pháp 2: Xét f(x) 0 f(x) = g(x)
Xét f(x) < 0 - f(x) = g(x)
Phơng pháp 3: Với g(x) 0 ta có f(x) = g(x)
25 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)
Phơng pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn.
- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho:
y = M - [g(x)]2n ,n Z y M
Do đó ymax = M khi g(x) = 0
- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho:
y = m + [h(x)]2k kZ y m
Do đó ymin = m khi h(x) = 0
Phơng pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm.
Phơng pháp 3: Dựa vào đẳng thức
26 Cho (C) và (L) theo thứ tự là độ thị hàm số
y = f(x) và y = g(x) Hãy khảo sát sự tơng giao của hai đồ thị
Toạ độ điểm chung của (C) và (L) là nghiệm của phơng trình hoành độ điểm chung:
f(x) = g(x) (*)
- Nếu (*) vô nghiệm thì (C) và (L) không có điểm chung
- Nếu (*) có nghiệm kép thì (C) và (L) tiếp xúc nhau
Trang 5- Nếu (*) có 1 nghiệm thì (C) và (L) có 1 điểm chung.
- Nếu (*) có 2 nghiệm thì (C) và (L) có 2 điểm chung
27 Lập phơng trình của đờng thẳng (D) đi qua điểm A(x A ;y A ) và có hệ số góc bằng k.
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = ax + b (*)
- Xác định a: ta có a = k
- Xác định b: (D) đi qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b b = yA - kxA
- Thay a = k; b = yA - kxA vào (*) ta có phơng trình của (D)
28 Lập phơng trình của đờng thẳng (D) đi qua điểm A(x A ;y A ); B(x B ;y B )
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = ax + b
(D) đi qua A và B nên ta có:
¿
y A= axA+ b
y B= axB+ b
¿{
¿
Giải hệ ta tìm đợc a và b suy ra phơng trình của (D)
29 Lập phơng trình của đờng thẳng (D) có hệ số góc k và tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x)
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = kx + b
Phơng trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là:
f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện này ta tìm đ ợc b và suy ra phơng trình của (D)
30 Lập phơng trình của đờng thẳng (D) đi qua điểm A(x A ;y A ) k và tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x)
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = kx + b
Phơng trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là:
f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép
Từ điều kiện này ta tìm đợc hệ thức liên hệ giữa a và b (**)
Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) do đó ta có yA = axA + b (***)
Từ (**) và (***) a và b Phơng trình đờng thẳng (D)
1 Hệ thức lợng trong tam giác vuông.
b2 = ab' c2 = ac' h2 = b'c' ah = bc
h2=
1
b2+
1
c2
2 Tỉ số lợng giác của góc nhọn
0 < sin < 1 0 < coss < 1
tg α= sin α
cos α cot gα=
cos α sin α
sin2 + cos2 = 1
tg.cotg = 1 1+tg2α= 1
cos2α 1+cot g
sin2α
3 Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
b = asinB = acosC b = ctgB = ccotgC
c = a sinC = acosB c = btgC = bcotg B
4 Đờng tròn.
- Quan hệ vuông góc giữa đờng kính và dây.
ấy
vuông góc với dây ấy
- Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn + Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
a
b' c'
b c
h
H
B
C A
b
a c
C B
A
Phần II:
hình học
Trang 6- Liên hệ giữa cung và dây:
Trong một đờng tròn hay trong hai đờng tròn bằng nhau:
+ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
+ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn + Dây lớn hơn căng cung lớn hơn
5 Tiếp tuyến của đờng tròn
- Tính chất của tiếp tuyến: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
- Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến:
+ Đờng thẳng và đờng tròn chỉ có một điểm chung
+ Khoảng cách từ tâm của đờng tròn đến đờng thẳng bằng bán kính
+ Đờng thẳng đi qua một điểm của đờng tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó
- Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau
MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau thì:
+ MA = MB
+ MO là phân giác của góc AMB
+ OM là phân giác của góc AOB
Chú ý: Trong một đờng tròn
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
- Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
- Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 900 có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung
- Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông và ngợc lại góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đờng tròn
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
6 Độ dài đờng tròn - Độ dài cung tròn.
- Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d
- Độ dài cung tròn n0 bán kính R : 180
Rn
l
7 Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn
- Diện tích hình tròn: S = R2
- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n0:
2
R n lR
8 Các loại đờng tròn
Đờng tròn ngoại tiếp tam giác Đờng tròn nội tiếp
tam giác
Tâm đờng tròn là giao của ba đờng trung trực của tam giác
Tâm đờng tròn là giao của ba đờng phân giác trong của tam giác
9 Các loại hình không gian.
a Hình trụ.
- Diện tích xung quanh: Sxq = 2rh
- Diện tích toàn phần: Stp = 2rh + r2
- Thể tích hình trụ: V = Sh = r2h
b Hình nón:
- Diện tích xung quanh: Sxq = 2rl
- Diện tích toàn phần: S = 2rl + r2
c Hình nón cụt:
- Diện tích xung quanh: Sxq = (r1 + r2)l
- Thể tích: V =
1
3h r r r r
d Hình cầu.
B O A
M
O
C B
A
O
C B
A
Trang 7- Thể tích hình trụ: V =
2
1 r
3 h
- Diện tích mặt cầu: S = 4R = d
- Thể tích hình cầu: V =
3
4
3R
10 Tứ giác nội tiếp:
Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc
11 Chứng minh MT là tiếp tuyến của đờng tròn (O;R)
Cách chứng minh:
- Chứng minh OT MT tại T (O;R)
- Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng MT bằng bán kính
- Dùng góc nội tiếp
12 Các bài toán tính toán độ dài cạnh, độ lớn góc
Cách tính:
- Dựa vào hệ thức lợng trong tam giác vuông
- Dựa vào tỷ số lợng giác
- Dựa vào hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
- Dựa vào công thức tính độ dài, diện tích, thể tích