TỔNG HỢP KIẾN THỨC TOÁN 8-307

- Trong hình thang vuông, AD đóng vai trò là đường cao của hình thang ABCD, c, Hình thang cân - Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau... D là trung điểm của

TỔNG HỢP KIẾN THỨC TOÁN 8

A ĐẠI SỐ

1 Các hằng đẳng thức đáng nhớ:

- Bình phương của một tổng: (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2

- Bình phương của một hiệu: (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2− 2𝑎𝑏 + 𝑏2

- Hiệu của hai bình phương: 𝑎2− 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)

- Lập phương của một tổng: (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3+ 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2+ 𝑏3

- Lập phương của một hiệu: (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3− 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2− 𝑏3

- Tổng hai lập phương: 𝑎3+ 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2− 𝑎𝑏 + 𝑏2)

- Hiệu của hai lập phương: 𝑎3− 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2+ 𝑎𝑏 + 𝑏2)

2 Tìm bậc của đơn thức/đơn thức đồng dạng

- Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức

+ Số thực khác 0 là đơn thức bậc không

+ Số 0 được coi là đơn thức không có bậc

- Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến Các

số khác 0 được coi là những đơn thức đồng dạng

VD1: Tìm bậc của đơn thức: -2x2y3

Bậc của đơn thức -2x2y3 là: 5

VD2: Các đơn thức: xy2; -4xy2; 6xy2 là các đơn thức đồng dạng

NOTE: Các số khác 0 được coi là những đơn thức đồng dạng Ví dụ: 6; -8; 68 là các

đơn thức đồng dạng

3 Tìm tập xác định của một phân thức

VD1: Tìm điều kiện để phân thức 2𝑥

(𝑥+1)(𝑥−2) xác định

Điều kiện để phân thức xác định: (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) ≠ 0 => 𝑥 ≠ −1; 𝑥 ≠ 2

VD2: Tìm tập xác định của phân thức: 𝑥

3𝑥2+1

Vì 𝑥2 ≥ 0 với mọi 𝑥 nên 3𝑥2+ 1 > 0 với mọi 𝑥

Vậy phân thức 𝑥

3𝑥2+1 luôn xác định với mọi giá trị của 𝑥

4 Tính giá trị của phân thức

Các bài toán liên quan đến giá trị của phân thức

+ Trước tiên, tìm điều kiện xác định của phân thức

+ Nếu tại giá trị của biến mà giá trị của phân thức được xác định thì phân thức ấy và phân thức được rút gọn có cùng một giá trị

(𝑥+1)(𝑥−2) Tính giá trị của phân thức tại 𝑥 = 1

- Điều kiện xác định của phân thức: 𝑥 ≠ −1; 𝑥 ≠ 2

- Với 𝑥 = 1 thay vào phân thức đã cho ta được:

2.1 (1 + 1)(1 − 2)= −1

5 Tìm giá trị của x để phân thức đạt giá trị nguyên

VD: Tìm x để để phân thức: 𝐴 = −8

𝑥+3 đạt giá trị nguyên

- Tập xác định: 𝑥 ≠ −3

- Để A đạt giá trị nguyên thì 𝑥 + 3 ∈ 𝑈(8) = {±1; ±2; ±4; ±8}

Ta có bảng:

Vậy 𝑥 ∈ {−11; −7; −5; −4; −2; −1; 1; 5} thì A nhận giá trị nguyên

6 Tìm x để phân thức có giá trị nào đó

VD: Tìm x để phân thức 𝑥−6

𝑥(𝑥−4) có giá trị bằng 1

Để phân thức 𝑥−6

𝑥(𝑥−4) có giá trị bằng 1 thì:

𝑥−6

𝑥(𝑥−4) = 1 (đkxđ 𝑥 ≠ 0; 𝑥 ≠ 4)

 𝑥2− 5𝑥 + 6 = 0  𝑥2− 2𝑥 − 3𝑥 + 6 = 0

 𝑥(𝑥 − 2) − 3(𝑥 − 2) = 0  𝑥(𝑥 − 2) − 3(𝑥 − 2) = 0

 (𝑥 − 3)(𝑥 − 2) = 0  (𝑥 − 2) = 0 ℎ𝑜ặ𝑐 (𝑥 − 3) = 0

 𝑥 = 2 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 = 3

Vậy với 𝑥 = 2 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 = 3 thì phân thức đã cho có giá trị bằng 1

7 Giải phương trình

- Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:

Với 𝑎 ∈ 𝑅, ta có: |𝑎| = { 𝑎, 𝑘ℎ𝑖 𝑎 ≥ 0

−𝑎 𝑘ℎ𝑖 𝑎 < 0

VD1: Giải phương trình: |𝑥 − 2| = 5

Ta có: |𝑥 − 2| = 5  𝑥 − 2 = 5 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 − 2 = −5

 𝑥 = 7 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 = −3

Vậy nghiệm của phương trình là: 𝑥 = 7 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 = −3

VD2: Giải phương trình: |𝑥 − 7| = 2𝑥 + 3 (*)

- Ta có: |𝑥 − 7| = 𝑥 − 7 khi |𝑥 − 7| ≥ 0  𝑥 ≥ 7

|𝑥 − 7| = −(𝑥 − 7) khi |𝑥 − 7| < 0  𝑥 < 7

- Với 𝑥 ≥ 7 phương trình (*)  𝑥 − 7 = 2𝑥 + 3  𝑥 = −10 (Không TMĐK) Vậy 𝑥 = −10 không là nghiệm của phương trình (*)

- Với 𝑥 < 7 phương trình (*)  7 − 𝑥 = 2𝑥 + 3  3𝑥 = 4  𝑥 = 4

3 (TMĐK) Vậy 𝑥 =4

3 là nghiệm của phương trình (*) Kết luận: Phương trình (*) có một nghiệm là 𝑥 =4

3

VD3: Giải và biện luận theo m phương trình: |2 − 3𝑥| = 2𝑚 − 6 (*), với m là tham số

- Nếu 2𝑚 − 6 < 0  𝑚 < 3 thì pt (*) vô nghiệm

- Nếu 2𝑚 − 6 = 0  𝑚 = 3 thì pt (*) trở thành:

|2 − 3𝑥| = 0  2 − 3𝑥 = 0  𝑥 =2

3

 Phương trình có nghiệm duy nhất

- Nếu 2𝑚 − 6 > 0  𝑚 > 3 thì pt (*) trở thành:

2 − 3𝑥 = 2𝑚 − 6 ℎ𝑜ặ𝑐 2 − 3𝑥 = −(2𝑚 − 6)

 3𝑥 = 8 − 2𝑚 ℎ𝑜ặ𝑐 3𝑥 = 2𝑚 − 4

 𝑥 =8−2𝑚

3 hoặc 𝑥 =2𝑚−4

3

 Phương trình có 2 nghiệm

- Kết luận:

𝑚 < 3 pt (*) vô nghiệm

𝑚 = 3 thì pt (*) có nghiệm duy nhất: 𝑥 =2

3

𝑚 > 3 thì pt (*) có 2 nghiệm: 𝑥 =8−2𝑚

3 và 𝑥 =2𝑚−4

3

8 Giải bất phương trình (BPT)

NOTE:

- Khi nhân BPT với một số 𝑎 ≠ 0 ta phải:

+ Giữ nguyên chiều BPT nếu 𝑎 > 0

+ Đổi chiều BPT nếu 𝑎 < 0

- Phân thức: 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) > 0 khi:

Tập xác định: 𝑔(𝑥) ≠ 0

TH1: {𝑓(𝑥) > 0

𝑓(𝑥) < 0 𝑔(𝑥) < 0

- Phân thức 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)< 0 khi:

Tập xác định: 𝑔(𝑥) ≠ 0

TH1: {𝑓(𝑥) > 0

𝑓(𝑥) < 0 𝑔(𝑥) > 0

ÁP DỤNG

Cách giải BPT một ẩn:

Dạng: 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0  𝑎𝑥 > −𝑏

 𝑥 > −𝑏

𝑎 𝑛ế𝑢 𝑎 > 0 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 <

−𝑏

𝑎 𝑛ế𝑢 𝑎 < 0 Vậy nghiệm của BPT 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0 là:

𝑆1 = {𝑥|𝑥 >−𝑏

𝑎 , 𝑎 > 0 } ℎ𝑜ặ𝑐 𝑆2 = {𝑥|𝑥 <

−𝑏

𝑎 , 𝑎 < 0 }

VD1: Giải BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

2𝑥 + 2

3 < 2 +

𝑥 − 2 2

 2𝑥 + 2

3 − 2 −

𝑥 − 2

2 < 0

 2(2𝑥 + 2) − 12 − 3(𝑥 − 2) < 0

 4𝑥 + 4 − 12 − 3𝑥 + 6 < 0

 𝑥 < 2

VD2: Giải BPT sau:

3 − 6𝑥

𝑥2 + 2 > −1 Tập xác định: BPT xác định với mọi giá trị x

Ta có:

3 − 6𝑥

𝑥2+ 2 > −1 

3 − 6𝑥

𝑥2+ 2+ 1 > 0 

3 − 6𝑥 + 𝑥2+ 2

𝑥2+ 2 > 0 

𝑥2− 6𝑥 + 5

𝑥2+ 2 > 0

Vì 𝑥2+ 2 > 0 với mọi giá trị x nên ta có:

𝑥2− 6𝑥 + 5 > 0  (𝑥 − 1)(𝑥 − 5) > 0

TH1:

{𝑥 − 1 > 0

𝑥 − 5 > 0  {

𝑥 > 1

𝑥 > 5  𝑥 > 5

TH2:

{𝑥 − 1 < 0

𝑥 − 5 < 0  {

𝑥 < 1

𝑥 < 5  𝑥 < 1 Vậy nghiệm của BPT là: 𝑥 > 5 hoặc 𝑥 < 1

9 Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Phương pháp chung:

Bước 1: Lập phương trình

+ Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn, điều kiện thích hợp cho ẩn

+ Biểu đạt các đại lượng khác theo ẩn (chú ý thống nhất đơn vị)

+ Dựa vào dữ kiện, điều kiện của bài toán để lập phương trình

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Kết luận bài toán (rõ ràng, mạch lạc)

Các dạng bài toán cơ bản:

+ Dạng toán chuyển động

+ Dạng toán liên quan đến các kiến thức hình học

+ Dạng toán công việc làm chung, làm riêng

+ Dạng toán chảy chung, chảy riêng của vòi nước

+ Dạng toán tìm số

+ Dạng toán sử dụng các kiến thức về %

Công thức cần lưu ý khi giải bài toán bằng cách lập phương trình:

+ Thời gian t, quãng đường S, vận tốc v: S = v.t; v = S/t; t = S/v

+ Chuyển động của tàu thuyền khi có tác động dòng nước:

V xuôi dòng = V thực + V dòng nước

V ngược dòng = V thực – V dòng nước

+ Khối lượng công việc A, năng suất lao động N, thời gian làm việc T: A = N.T

B HÌNH HỌC

1 Tứ giác

- Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CG,

DA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng

nằm trên một đường thẳng

- Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng

có bờ là đường thẳng chứa bất cạnh nào của tứ giác

Định lý: Tổng các góc của một tứ giác bằng 360o

2 Hình thang, hình thang vuông, hình thang cân

a, Hình thang

- Hình thang là tứ giác có hai cạnh đáy song song

- AH là đường cao của hình thang

Nhận xét:

- Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau

- Nếu một hình thang có hai cạng đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau

Diện tích hình thang:

- Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao

𝑺 = 𝟏

𝟐(𝑨𝑩 + 𝑪𝑫) 𝑨𝑯

b, Hình thang vuông

- Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông

- Trong hình thang vuông, AD đóng vai trò là đường cao

của hình thang ABCD,

c, Hình thang cân

- Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau

- Nếu ABCD là hình thang cân với đáy là AB và CD thì:

𝐶̂ = 𝐷̂ 𝑣à 𝐴̂ = 𝐵̂

Tính chất

Định lý 1 Trong hình thang cân, hai cạnh kề bằng nhau AD = BC Định lý 2 Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau AC = BD Định lý 3 Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân

Dấu hiệu nhận biết

1 Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân

2 Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân

Đường trung bình

Định nghĩa:

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác

(D là trung điểm của AB; E là trung điểm của AC)

Định lý 1:

Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song

song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba

Định lý 2:

Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ

3 và bằng nửa cạnh ấy

Định lý 3:

Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và

song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai

Định lý 4:

Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy

và bằng nửa tổng hai đáy

3 Hình bình hành

- Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song

Định lý:

Trong hình bình hành:

- Các cạnh đối bằng nhau

- Các góc đối bằng nhau

- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi

đường

Dấu hiệu nhận biết:

1 Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành

2 Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành

3 Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành

4 Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành

5 Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành

4 Hình chữ nhật

- Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông

- Tính chất:

Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Dấu hiệu nhận biết:

1 Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật

2 Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật

3 Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật

4 Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật

Áp dụng vào trong tam giác:

1 Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền

2 Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông

5 Hình thoi

- Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau

Tính chất:

- Hai đường chéo vuông góc với nhau

- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi

Dấu hiệu nhận biết:

1 Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi

2 Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi

3 Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi

4 Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi

5 Hình vuông

- Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau

- Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau

- Hình vuông là hình thoi có bốn góc vuông

Dấu hiệu nhận biết:

1 Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông

2 Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông

3 Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình

vuông

4 Hình thoi có một góc vuông là hình vuông

5 Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông

6 Tam giác đồng dạng

Gồm 3 Trường hợp: c.c.c; c.g.c; g.g

7 Định lý Ta-let:

- Định lý Ta-let thuận và đảo:

Cho tam giác ABC:

- Hệ quả của định lý Ta-let

8 Tính chất tia phân giác

AD là tia phân giác của góc BAC

AE là tia phân giác của góc Bax

Ta có: 𝐴𝐵

𝐴𝐶 = 𝐵𝐷

𝐸𝐶

9 Hình lăng trụ Hình hộp, hình chóp đều