HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGÁIT I.Kiến thức1. Phương trình và bất phương trình mũ và lôgarít a..[r]
Trang 1HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGÁIT
I.Kiến thức
1 Lũy thừa: thua so a
n n
a a a a
n
a a
m
n
a n a m ;a>0
2 Lôgarít :
Cho 0<a1 và x 1; x 2 >0 ta có;
a.log (a x x1 2) log a x1loga x2 b.
1
2
d.
log log
log
a b
a
x x
b
Hệ quả:
1 log
log
a
b
b
a
1
3 Đạo hàm của hàm số mũ và lôgarít
1 1
2 2
1.( )'
1
3.(ln )'
1 4.(log )'
ln 5.( )'
2 7.(sinx)'=cosx
8.(cosx)'=-sinx
1 9.(tanx)'=
cos
-1 10.(cotx)'=
sin
a
n
n n
x
x
x
x a
x
n x
x x
1 1
2 2
' 3.(ln )'
' 4.(log )'
ln
2 7.(sinu)'=u'cosu
8.(cosu)'=-u'sinx
u 9.(tanu)'=
cos -u' 10.(cotu)'=
sin
a
n
n n
u u u u u
u a
u
n u
u u
4 Phương trình và bất phương trình mũ và lôgarít
a Phương trình
Trang 2( ) ( )
a
( ) 0 hoac ( ) 0
f x g x
a
b Bất phương trình
Nếu a>1 thì a f x( ) a g x( ) f x( )g x( )
Nếu 0<a<1 thì a f x( ) a g x( ) f x( ) g x( )
Nếu a>1 thì
a
( ) 0
a
g x
Nếu 0<a<1 thì
a
f ( ) 0
a
x
II BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Đơn giản biểu thức
a.
1 4
4
4 1
3 2
a-1
1 a
c.
1 -1
1
4
Bài 2: Tính giá trị biểu thức
a
2
7
1 1
log 4 log 2
4 2
1log 3 3log 25
1 log 5 2
c.C log 6.log 9.log 23 8 6
Bài 3 Rút gọn biểu thức
a.
3 5
2 5
4 16 64
log
2
A
b.
loga
a
c.
C
a b a
Bài 4: Tìm tập xác định các hàm số sau
a.
2
x
y
x
b.
2
2x 3x 1 1
c.
2 2
Bài 5 a Biết log 25 a;log 35 b Tính theo a, b các lôgarít sau log 27;log 55 30
b.Biếtlog 3923 x;log 1123 y.Tính theo x, y các lôgarít sau log 7;log 23 3
Bài 6: Tính đạo hàm các hàm số sau
Trang 3a.y (x2 2x3)e x b.
ln x y
x
c.
y
d.y x 2ln x2 1
Bài 7 Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn hệ thức đã cho
ay e sinx y c' osx-ysinx-y''=0
b y e c x osx 2y'-2y-y''=0
Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất các hàm số sau
a.y 2x2 4x 2; 3;1
b.y 2x 1 2 ; 1;33 x
c.
sin os
y d.
2
2 1
2
x x
Bài 9: Giải các phương trình sau
a 4x1 6.2x1 8 0
b.5x1 53x 26
c.( 7 48 )x ( 7 48 )x 14
d 9x 6x 2.4x
Bài 10 Giải bất phương trình sau.
a.6.4x 13.6x 6.9x 0
b.4x1 2x1 2x2 12
c 9x 2.3x 3
Bài 11: giải các phương trình sau
a.log (2 x 5) log ( 2 x2) 3 b log 2 x4log4xlog8 x13
c
1
5 lg x 1 lg x
Bài 12: Giải phương trình
a.log (22 x 1)2 log (2 x 1)3 7 b.3log 16 4logx 16x2log2 x
c.log2x 5log2x6 0 d. 4
7
6
III ĐÁP ÁN
Bài 1: a
1 1
3 3
1 1
3 3
3 1 1
4
1
a a
Trang 4
2 2
c C
Bài 2:
a.
2
7
1 1log 4
log 2
4 2
2 2
7
1 1log 2
log 2 2
4 2
25 4
b.
4
1 log 3 3log 25
1 log 3 6
=
2 4
2
log 6.log 2.log 3
2 log 3 log 3
3
log 2.log 3
Bài 3:
a.
3 5
2 5
4 16 64
log
2
A
4 6
2 3 4 5 6 2 3 5
1
5
3 5 5 2
13
3
2
13 log 2
3
b.
loga
a
1 1 1
3 1 6 12
log ( ( ) a a a )
a
4
c.
C
a b a
Bài 4:
a.Đk
1
x
2
Trang 52
1
1
x
x
1
2
c.ĐKlog (2 x2 2 ) 1 0x log (2 x2 2 ) 1 log 2x 2
x
x
Vậy Txđ D ;1 3 1 3;
Bài 5
a.Ta có log 27 log 35 5 3 3log 3 3b5
30
log 5
log 30 log (6.5) log 6 log 5
b.Ta có log 392 log (2 7 ) 3log 2 2log 7 a3 3 3 2 3 3
log 112 log (2 7) 4log 2 log 7 b3 3 4 3 3
Từ đó ta có hệ
3log 2 2log 7 4log 2 log 7
a b
3
3
2 log 2
5
log 7
5
b a
Bài 6
y(x2 2x3)e x y' (2 x 2)e x (x2 2x3)e x (x21)e x
b.
ln x
y
x
1 ln
x
Trang 6y
'
y
4
d.
2ln 2 1
2
2
1
x
x
3 2
2
1
x
x
Bài 7
Ta có y c' osx-ysinx-y''=cos 2x esinx sinx.esinx sinx.esinx cos 2x esinx 0
Vậy y c' osx-ysinx-y''=0
b.y e c x osx y'e c x osx-sinx.ex
Ta có2y'-2y-y'' 2( osx-sinx.e ) 2 osx.ee c x x c x 2sinx.ex 0
Vậy 2y'-2y-y''=0
Bài 8
a.y 2x2 4x 2; 3;1
2 4 2
Ta có (1) 128; ( 3) 1; 2 1
1
4
b.
1 3
Ta có D=R ; y'2x 1 23 xln 2 y' 0 2x 123 x x2
65
24
Vậy
65
4
Trang 7c.y 5sin x 5cos x
sin 1-sin
Đặt tsin2x (0 t 1)
1 '( ) 0
2
2
2 2
axf(x)=6 khi
2
x k
x
x R
k
d.
2
2 1
2
x
x
Txđ D=R
2
2
2
x x
x
y
x
2 2
x y
x
1 2
x
Bảng biến thiên:
x
1 2
1
2
y’ - 0 + 0
-y
1
2 4
2
2 4
2 1
2 4
1
2
x R y f
;
2 4
1
2
x R y f
Bài 9
a 4x1 6.2x1 8 0
Đặt t=2x1 đk t>0
Ta có t2 6t 8 0
2 4
t t
Trang 8Với t=2 ta có2x1=2 x0
Với t=4 ta có2x1=4 x1
b.5x1 53x 26
26 0
x x
Đặt t5 ;x t 0 Ta có
2
125
t t
125 5
t t
Với t=125 ta có 5x 125 x3
Với t=5 ta có 5x 5 x1
c.( 7 48 )x ( 7 48 )x 14
Ta có ( 7 48 ) ( 7x 48 )x 1
Đặt
1
t
Pttt
1
14
t
t
t
t
d 9x 6x 2.4x
x
x
2
x
x
3
1
2
0 3
2( )
2
x
l
Bài 10.
a.6.4x 13.6x 6.9x 0
2
x
x
Trang 91; 1
b 4x1 2x1 2x2 12
3
2
Bài 11
a.log (2 x 5) log ( 2 x2) 3 (1) ĐK x 5
Pt(1) log2x 5 x2 3 log 92
x 5 x2 9 x2 3x 19 0
2
(loại);
2
Vậy phương trình có nghiệm
2
b.ĐK x 0
2
2
1
3
c
1
5 lg x 1 lg x Đặt t lgx đk t 5và t 1
Pttt
1
2
11
t
Với t=2 ta có lgx 2 x100
Với t= ta có lgx 3 x1000
Bài 12 a ĐK x 1
log (x 1) log (x 1) 7 4log22x 13log2x 1 7 0
Đặt tlog2x 1 Pttt
4
Với t=1 ta có log2x 1 1 x 1 2 x3
Với
7
4
t
2
7
4
b ĐK 0 x1
Trang 1016 2
3
2 2
3
Đặt tlog2x (t 0) Pttt
2
log
c.log2x 5log2x6 0 Đặt t 5log2x6 (t>0)
2 2
6
5
t
Pttt
2
2
6
5
t
(loại)
1
2
III Bài tập
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:
log 3625
A = log 16+ log 27 58
3
5
log log
log
.Bài 2:
a Cho hàm số y(x2 1)e x CMR y''' y'' y' y4e x.
bTính đạo hàm của hàm số y = e 2x+1 sin2x
c Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 2 lnx trên đoạn 1;e
Bài 3: Giải phương trình
a 5.4x 2.25x 7.10x
b.log2x 10log2x6 9
:c
2
x 1
log log
Bài 4 : Giải phương trình sau
Trang 11a log22x 5log 2x 6 0 b.3 2 + x + 3 2 – x = 30
c.32x1 9.3x 6 0
d.log (3 x 2)log5x2log (3 x 2)