Chinh phuc bai toan phan so

Muốn viết 1 hỗn số có phần nguyên khác 0 dưới dạng 1 phân số ta nhân phần nguyên với mẫu rồi cộng với tử, kết quả tìm được là tử của phân số, còn mẫu vẫn là mẫu đã cho.. Muốn so sánh ha[r]

CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ

3 Mọi số tự nhiên đều có thể viết dưới dạng phân số, VD: 8 = 8/1 = 16/2 = ……

* Muốn viết 1 số tự nhiên dưới dạng phân số có mẫu số là 1 ta viết tử số bằng số tự nhiên đó, còn

mẫu số là 1 VD 9 = 9/1 TQ A = A/1

* Muốn viết 1 số tự nhiên dưới dạng 1 phân số có mẫu số là số cho trước ta viết mẫu số bằng số

cho trước, còn tử số bằng tích của số tự nhiên với mẫu số cho trước

VD 4 = x/3, ta có phân số: 4.3/3 = 12/3

TQ: A = x/B = A.B/B

4 Phân số thập phân là phân số có mẫu là 10, 100, 1000,……

5 Các phân số bằng nhau được coi là cùng 1 giá trị, giá trị đó là số biểu diễn bởi phân số Tập hợp

các số biểu diễn bởi phân số kí hiệu là Q + VD : 2/3 = 4/6 = 6/9 = ……

TQ: a/b = c/d  a.d = b.c

* Tính chất: (1) Phản xạ: a/b = b/a

(2) Đối xứng: Nếu a/b = c/d thì c/d = a/b

(3) Bắc cầu: Nếu a/b = c/d và c/d = e/f thì a/b = e/f

II Bài tập

Bài 1: Định nghĩa hai phân số bằng nhau Cho VD?

Bài 2: Dùng 2 trong 3 số sau 2, 3, 5 để viết thành phân số (tử số và mẫu số khác nhau)

x x

x x x x

Bài 7: Một người đi xe đạp với vận tốc a km/h Hỏi trong 30 phút người ấy đi được bao nhiêu km?

Trong 1 phút người ấy đi được bao nhiêu km? (ĐS: a/2 km; a/60 km)

Bài 8: Sau a giờ, kim giờ quay được bao nhiêu vòng? (ĐS: a/12 vòng)

Bài 9: Một ngọn nến cháy từ 7h12/ → 7h25/ Hỏi thời gian nến cháy là mấy phần của 1h?

Bài 10: Một người lien lạc phải đi 1 con đường dài 132km Mỗi ngày đi được 35 km Hỏi sau 3 ngày

người ấy đi được mấy phần đường?

Bài 11: Một vòi nước chảy vào một cái bể từ 10h đêm → 6h sáng hôm sau Mỗi giờ vòi chảy vào bể

được 360 lít nước Bể có thể chứa được 4m3 và lúc đầu đã chứa 1100 lít Hỏi đến 6h sang thì khối nước trong bể chiếm mấy phần bể?

Bài 12: Tìm số tự nhiên x biết rằng a) Phân số x/15 có giá trị = 3

b) Phân số 132/x có giá trị = 11

Bài 13: Tìm 1 phân số biết rằng a) 1/3 = 1/4 số đó (ĐS: 4/3)

b) 1/4 = 1/3 số đó (ĐS: 3/4)

Bài 14: Viết số 100 dưới dạng tổng của 1 số tự nhiên và 1 phân số bằng cách dung:

a) 6 chữ số giống nhau b) 9 chữ số khác nhau

Hướng dẫn

f) 9909/8808 = 29727/26424 = 39636/35232

Hướng dẫn

a/ * 2323/9999 = 23.101/99.101 = 23/29 * 232323/999999 = 23.10101/99.10101 = 23/99 d/ * (27425425 - 27425)/99900000 = (27425000 + 425 - 27000 - 425)/99900000 =

[(27425 - 27).1000]/99900 1000 = (27425 – 27)/99900 e/ (29700 – 54)/(30800 - 56) = [(29700 – 54).2]/[(30800 – 56).2] = (59400 – 108)/(61600 - 112) f/ 9909/8808 = 9909.3/8808.3 = 29727/26424 = 39636/35232

Bài 17: Điền số thích hợp:

a/ 4/5 = ?/60 b/ ?/9 = 12/54 c/ 63/72 = 7/? d/ 65/? = 5/9

Bài 18: Tìm phân số bằng phân số 13/17 biết rằng tổng của tử và mẫu của nó bằng 900?

Bài 19: Tìm phân số bằng phân số 188887/211109 biết rằng tổng của tử và mẫu của nó bằng 108? Bài 20: Tìm x, y biết rằng: (3 + x)/(5 + y) = 3/5 và x + y = 16

Bài 21: CMR nếu 3 phân số a/b; c/d ; e/f bằng nhau thì phân số (a.m + c.n + e.f)/(b.m + d.n + f.p) (m, n, p là các số tự nhiên khác 0) cũng bằng các phân số đã cho

B TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ

RÚT GỌN PHÂN SỐ

I Lý thuyết

1 Tính chất

- Nếu nhân cả tử số và mẫu số của 1 phân số với cùng 1 số tự nhiên, hoặc 1 số nguyên khác 0 thì ta

được 1 phân số bằng phân số đã cho TQ: a/b = a.m/b.m ( m  N hoặc m  Z, m ≠ 0)

- Nếu chia cả tử số và mẫu số của 1 phân số với cùng 1 số tự nhiên, hoặc 1 số nguyên khác 0 thì ta

được 1 phân số bằng phân số đã cho TQ: a/b = a:m/b:m ( m  N hoặc m  Z, m ≠ 0)

- Rút gọn từng bước dựa vào dấu hiệu chia hết VD 30/105 = 30: 5/ 105: 5 = 2/7

- Chia tử và mẫu cho ƯCLN của chúng để rút gọn hoàn toàn VD ƯCLN(30,105) = 15

= là phân số tối giản khi b là số nguyên khác 3 và 5

c/ Ta có ƯCLN(3n + 1; 3n) = ƯCLN(3n + 1 – 3n; 3n) = ƯCLN(1; 3n) = 1

+ là phân số tối giản (vì tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau)

Bài 9: Rút gọn các phân số sau:

Bài 11: Phân số (5n + 6)/(8n + 7) (n  N ) có thể rút gọn cho phân số nào?

• Nhận thấy: 3 và 7, 3 và (3n + 1), (6n + 1) và (3n + 1) đều là cá số nguyên tố cùng nhau

• Do đó: nếu (6n + 1) ℅ 7 thì phân số (18n + 3)/(21n + 7) có thể rút gọn được

a/ Hãy xác định phân số đó rồi rút gọn

b/ Nếu thêm 52 vào tử của phân số trên trước khi đã tối giản thì phải thêm vào mẫu bao nhiêu để giá trị của phân số không đổi?

a/ Gọi d là ước chung của (12n + 1) và (30n + 2) Ta có 5.(12n + 1) – 2.(30n + 2) = 1 ℅ d

Vậy d = 1 nên (12n + 1) và (30n + 2) nguyên tố cùng nhau

b/ Tương tự câu a

Bài 15: Cho phân số (n + 9)/(n – 6) (n > 6, n  N)

a/ Tìm mọi giá trị của n để phân số có giá trị là số tự nhiên?

b/ Tìm mọi giá trị của n để phân số là số tối giản?

Vậy khi n  (7, 9, 11, 21) thì phân số (n + 9)/(n – 6) có giá trị là số tự nhiên

b/ (n + 9; n – 6) = (n- 6; 15) Vậy muốn (n + 9; n – 6) = 1 để phân số đã cho là tối giản thì phải có (n- 6; 15) = 1 => (n – 6) ℅ 3 và (n – 6) ℅ 5 Do đó n ≠ 3k và n ≠ (5k + 1)

Bài 16: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đây là tối giản: 7/(n + 9) ; 8/(n + 10) ; 9/(n

+ 11) ; …… ; 31/(n + 33)

Hướng dẫn

Các phân số đã cho có dạng a/a + (n + 2) Vì các phân số này tối giản nên (a + 2) và a phải nguyên tố cùng nhau Vậy (n + 2) phải nguyên tố cùng nhau với 7, 8, 9, … , 31 và (n +2) là số nhỏ nhất Vậy (n + 2) phải là số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn 31, tức là (n +2) =37 → n = 35

Bài 17:Tìm các phân số theo thứ tự bằng các phân số 6/10, 44/77, 30/55 sao cho mẫu của phân số

thứ nhất bằng tử của phân số thứ hai, mẫu của phân số thứ hai bằng tử của phân số thứ ba?

1 Qui đồng mẫu số các phân số

- Là biến đổi các phân số sao cho chúng vẫn giữ nguyên giá trị nhưng có cùng chung 1 mẫu

- Qui tắc: + Rút gọn các phân số đến tối giản + Tìm 1 bội chung của các mẫu (BCNN)

+ Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu + Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ

tương ứng VD quy đồng 5/8 ; 4/25 ; 7/42

2 So sánh phân số

- Cùng mẫu số: Phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn, có tử bé hơn thì bé hơn, tử số bằng nhau thì bằng nhau

- Cùng tử số: Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì bé hơn

- Tử số và mẫu số khác nhau: Quy đồng để đưa về cùng tử số hoặc mẫu số rồi so sánh

- Ba cách để so sánh 2 phân số: + Qui đồng mẫu rồi so sánh các tử với nhau + Qui đồng tử rồi so sánh các mẫu với nhau + Chọn 1 phân số làm trung gian

- So sánh phân số với 1: * a/b < 1  a < b * a/b = 1  a = b * a/b > 1  a > b

II Bài tập

Bài 1: a/ Quy đồng mẫu các phân số sau: 1 1 1; ; ; 1

− và

5 7

− >

5 7

Bài 8: Cho phân số a

b là phân số tối giản Hỏi phân số a

a+b có phải là phân số tối giản không?

Hướng dẫn

Giả sử a, b là các số tự nhiên và ƯCLN(a, b) = 1 (vì a

b tối giản) nếu d là ước chung tự nhiên a của a + b thì

(a + b) d và a d

Suy ra: [(a + b) – a ] = b d, tức là d cũng bằng 1

kết luận: Nếu phân số a

b là phân số tối giản thì phân số a

a+b cũng là phân số tối giản

Bài 9: Quy đồng mẫu số

Bài 11: Tìm các phân số có tử là 1000, > 1/9 nhưng < 1/8 Có tất cả bao nhiêu phân số như vậy?

Hướng dẫn ( như bài 1 có 999 phân số)

Bài 12: Tìm phân số a/b biết rằng nếu thêm 6 vào tử và thêm 21 vào mẫu của nó thì giá trị của phân

số a/b không đổi Có bao nhiêu phân số như vậy?

Hướng dẫn

Các phân số thỏa mãn đề bài có dạng 2k/7k (k  N*)

Bài 13: Cho phân số a/b < 1 Hỏi phân số thay đổi như thế nào nếu ta thêm cùng 1 số tự nhiên

n ≠ 0 vào cả tử và mẫu

Hướng dẫn

a/b < 1  a < b  a.n < b.n  a.b + a.n < a.b + b.n  a.(b + n) < b(a + n)

 a/b < (a + n)/(b + n) Vậy nếu ta thêm cùng 1 số tự nhiên n ≠ 0 vào cả tử và mẫu của phân số a/b < 1 thì giá trị của phân số đó tăng thêm

Bài 14: Cho phân số a/b > 1 Hỏi phân số thay đổi như thế nào nếu ta thêm cùng 1 số tự nhiên

n ≠ 0 vào cả tử và mẫu

Hướng dẫn

a/b > 1  a > b  a.n > b.n  a.b + a.n > a.b + b.n  a.(b + n) > b(a + n)

 a/b > (a + n)/(b + n)

Vậy nếu ta thêm cùng 1 số tự nhiên n ≠ 0 vào cả tử và mẫu của phân số a/b > 1 thì giá trị

của phân số đó giảm đi

Bài 15: So sánh 2 phân số sau:

A = (19991999 + 1)/(19992000 + 1) B = (19991998 + 1)/(19991999 + 1)

Hướng dẫn

Rõ ràng A < 1 Ta có : a/b < 1  a < b  a.n < b.n  a.b + a.n < a.b + b.n

 a.(b + n) < b(a + n)  a/b < (a + n)/(b + n) (n  N*)

1 Khái niệm: số gồm phần nguyên và phần phân số Phần phân số luôn luôn nhỏ hơn 1

2 Muốn viết 1 phân số > 1 dưới dạng hỗn số ta chia tử cho mẫu, thương tìm được là phần nguyên

của hỗn số, số dư là tử của phân số kèm theo, còn mẫu vẫn là mẫu đã cho

3 Muốn viết 1 hỗn số có phần nguyên khác 0 dưới dạng 1 phân số ta nhân phần nguyên với mẫu rồi

cộng với tử, kết quả tìm được là tử của phân số, còn mẫu vẫn là mẫu đã cho

4 Muốn so sánh hai hỗn số có hai cách:

- Viết các hỗn số dưới dạng phân số, hỗn số có phân số lớn hơn thì lớn hơn

- So sánh hai phần nguyên:

+ Hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì lớn hơn

+ Nếu hai phần nguyên bằng nhau thì so sánh hai phân số đi kèm, hỗn số có phân số đi kèm lớn hơn

thì lớn hơn Ở bài này ta sử dụng cách hai thì ngắn gọn hơn:

1 Cộng 2 phân số cùng mẫu ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu số TQ a/m + b/m = (a +b)/m

2 Cộng 2 phân số không cùng mẫu ta quy đồng mẫu số rồi cộng 2 phân số đã quy đồng mẫu số

TQ a/m + b/n = (a.n +b.m)/m.n

3 Tính chất: * Giao hoán: a/b + c/d = c/d + a/b

* Kết hợp: (a/b + c/d) + p/q = a/b + (c/d + p/q)

* Cộng với 0: a/b + 0 = 0 + a/b = a/b

* Thêm, bớt vẫn không đổi: a/b + c/d = (a/b + e/f) + (c/d - e/f)

C/ Trừ phân số

1 Số đối: tổng của chúng bằng 0 * a/b + ( - a/b) = 0 * -a/b = a/-b = -a/b

2 Muốn trừ 1 phân số cho 1 phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ a/b – c/d = a/b + (-c/d)

3 Trừ 2 phân số cùng mẫu ta trừ các tử với nhau và giữ nguyên mẫu số TQ a/m - b/m = (a -b)/m

4 Trừ 2 phân số không cùng mẫu ta quy đồng mẫu số rồi trừ 2 phân số đã quy đồng mẫu số TQ

a/m - b/n = (a.n -b.m)/m.n

5 Khi trừ 2 hỗn số nếu phần phân số của số trừ > phần phân số của số bị trừ thì ta phải rút 1 đơn vị

trong phần nguyên của số bị trừ và them vào phần phân số để có 1 phân số > phân số ở số trừ rồi tiếp

tục làm như trên VD 3 1/2 – 1.3/4 = 2 2/3 - 1 3/4 = (2-1) + (3/2 - ¾ + = 1 ¾

6 Tính chất: Cùng thêm, cùng bớt vẫn không đổi a/b - c/d = (a/b + e/f) - (c/d + e/f)

= (a/b - e/f) - (c/d - e/f)

Bài 8: Tính tổng của các phân số > 1/8 , < 1/7 và có tử là 3 (3/22 + 3/23 = 135/506)

Bài 9: Viết mỗi phân số sau đây thành tổng của 2 phân số tối giản có mẫu khác nhau?

Bài 17: Viết 3/11 thành tổng của 2 phân số có tử số là 1 và mẫu khác nhau?

Bài 18: Viết 5/21 thành tổng của 3 phân số có tử số là 1 và mẫu khác nhau?

Bài 19: Có 5 quả cam chia đều cho 6 người Làm cách nào để chia được mà không phải cắt bất kỳ

quả nào thành 6 phần bằng nhau?

Bài 20: Cộng các phân số sau: a/ 65 33

− + b/ 36 100

Bài 23: Có 9 quả cam chia cho 12 người Làm cách nào mà không phải cắt bất kỳ quả nào thành 12

phần bằng nhau?

Hướng dẫn

- Lấu 6 quả cam cắt mỗi quả thành 2 phần bằng nhau, mỗi người được ½ quả Còn lại 3 quả cắt làm

4 phần bằng nhau, mỗi người được ¼ quả Như vạy 9 quả cam chia đều cho 12 người, mỗi người được 1 1 3

2 + = 4 4 (quả) Chú ý 9 quả cam chia đều cho 12 người thì mỗi người được 9/12 = ¾ quả nên ta có cách chia như trên

Bài 24: Tính nhanh giá trị các biểu thức sau:

a/ 7 1 3

− + − b/ 5 3 3

HD: Quy đồng mẫu VT, rút gọn được VP

Từ công thức trên ta thấy, cần phân tích bài toán như sau:

Bài 29: Hai can đựng 13 lít nước Nếu bớt ở can thứ nhất 2 lít và thêm vào can thứ hai 9

2 lít, thì can thứ nhất nhiều hơn can thứ hai 1

2lít Hỏi lúc đầu mỗi can đựng được bao nhiêu lít nước?

Hướng dẫn

- Dùng sơ đồ đoạn thẳng để dể dàng thấy cách làm

- Ta có: Số nước ở can thứ nhất nhiều hơn can thứ hai là:

Gọi 2 phân số cần tìm 1/x, 1/y (x, y  N*) Ta có: 1/x + 1/y = 1/8 (1)

Do x và y có vai trò như nhau nên ta có thể giả sử rằng: x < y Từ (1) => 1/x < 1/y

1/8 = 1/9 + 1/72; 1/8 = 1/10 + 1/40 ; 1/8 = 1/12 + 1/24 b/ 1/10 = 1/11 + 1/110 = 1/12 + 1/60 = 1/14 + 1/35 = 1/15 + 1/30

Bài 31: Tính tổng các phân số sau đây 1 cách nhanh chóng nhất

Bài 34: Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể Vòi 1 chảy trong 8h, vòi 2 chảy trong 6h đầy bể Vòi 3

tháo trong 4h thì bể cạn Bể đang cạn nếu mở cả 3 vòi thì sau 1h chảy được bao nhiêu phần bể? (1/24 bể)

Bài 35: Tìm số tự nhiên x biết rằng: 1/3 + 1/6 + 1/10 + …+ 2/x.(x + 1) = 1999/2001

PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN SỐ

Bài 1: Thực hiện phép nhân sau:

x x

23 24 3

2 1

3 313

x x x

x x x

= −

= −

=

Bài 3: Lớp 6A có 42 HS được chia làm 3 loại: Giỏi, khá, Tb Biết rằng số HSG bằng 1/6 số HS khá,

số HS Tb bằng 1/5 tổng số HS giỏi và khá Tìm số HS của mỗi loại

SÁô học sinh trung bình là (5 + 30):5 = 7 (HS)

Bài 4: Tính giá trị của cắc biểu thức sau bằng cach tính nhanh nhất:

Bài 9: Lúc 6 giờ 50 phút bạn Việt đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 km/h Lúc 7 giờ 10 phút bạn

Nam đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 12 km/h/ Hai bạn gặp nhau ở C lúc 7 giờ 30 phút Tính quãng đường AB

Hướng dẫn

Thời gian Việt đi là:

7 giờ 30 phút – 6 giờ 50 phút = 40 phút = 2

3 giờ Quãng đường Việt đi là:

Bài 12: Thực hiện phép tính chia sau:

Hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ là: 1- 1

12 = 11

12 (vòng/h) Vậy thời gian hai kim gặp nhau là: 1 11:

2 12 = 6

11 (giờ)

Bài 16: Một canô xuôi dòng từ A đến B mất 2 giờ và ngược dòng từ B về A mất 2 giờ 30 phút Hỏi

một đám bèo trôi từ A đến B mất bao lâu?

Bài 2: Tổng tiền lương của bác công nhân A, B, C là 2.500.000 đ Biết 40% tiền lương của bác A

bằng 50% tiền lương của bác B và bằng 4/7 tiền lương của bác C Hỏi tiền lương của mỗi bác là bao nhiêu?

Bài 2: Trong một trường học số học sinh gái bằng 6/5 số học sinh trai

a/ Tính xem số HS gái bằng mấy phần số HS toàn trường

Hướng dẫn

a/ Theo đề bài, trong trường đó cứ 5 phần học sinh nam thì có 6 phần học sinh nữ Như vậy, nếu học sinh trong toàn trường là 11 phần thì số học sinh nữ chiếm 6 phần, nên số học sinh nữ bằng 6

11 số học sinh toàn trường

Số học sinh nam bằng 5

11 số học sinh toàn trường

b/ Nếu toàn tường có 1210 học sinh thì:

Bài 3: Một miếng đất hình chữ nhật dài 220m, chiều rộng bằng ¾ chiều lài Người ta trông cây xung

quanh miếng đất, biết rằng cây nọ cách cây kia 5m và 4 góc có 4 cây Hỏi cần tất cả bao nhiêu cây?

Hướng dẫn:

Chiều rộng hình chữ nhật: 220.3 165

4 = (m) Chu vi hình chữ nhật: (220 165 2+ ) =770(m)

Số cây cần thiết là: 770: 5 = 154 (cây)

Số học sinh lớp 6A là: (102 : 51) 16 = 32 (học sinh)

Số học sinh lớp 6B là: (102 : 51) 18 = 36 (học sinh)

Số học sinh lớp 6C là: (102 : 51) 17 = 34 (học sinh)