Chinh phục bài toán hình học không gian thi THPT QG

Nếu chứng • Khái niệm trục đa giác: Đường thẳng vuông góc mặt phẳng chứa đa giác tại tâm đa giác, là tập hợp các điểm trong không gian cách đều các đỉnh đa giác... • M là trung điểm CC’

MỘT SỐ KẾT QUẢ, BÀI TOÁN HÌNH

KHÔNG GIAN KINH ĐIỂN

• Định lí Pythagore : Nếu a, b không cùng phương, lần lượt chứa các đoạn thẳng AB, AC

thì tại A khi và chỉ khi

• Tiêu chuẩn vectơ: Gọi u, v lần lượt là các vectơ chỉ phương của a, b Chỉ ra

• Tính chất bắc cầu:



 , mp(P) chứa b



• Định lí 3 đường vuông góc: Xét mặt phẳng (P) chứa a mà không chứa b Gọi b’ là hình

chiếu của b trên a Khi đó nếu thì

• Hệ quả (bổ đề tam giác): Xét tam giác ABC với BC thuộc đường thẳng b Nếu chứng

• Khái niệm trục đa giác: Đường thẳng vuông góc mặt phẳng chứa đa giác tại tâm đa giác,

là tập hợp các điểm trong không gian cách đều các đỉnh đa giác.

VD: O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác,

với S thỏa thì SO là trục của tam giác ABC,

a) là đoạn vuông góc chung của AB, CD.

b) MN vuông góc với IK.

a) ABCD là tứ diện đều (giả thiết) nên

ABC, ACD, ABD, BCD là các tam giác

đều bằng nhau, suy ra các đường trung

tuyến bằng nhau, tức Thế thì tam giác

MCD cân tại M nên trung tuyến MN

đồng thới là đường cao, tức Tương tự

b) Lấy K thuộc AC nên Theo định lí Thales đảo lần lượt cho tam giác ACB () và tamgiác ACD () suy ra IK và JK lần lượt song song với AB và CD nên chúng cùng vuônggóc với MN Vậy nên

Mở rộng: Cho tam giác cân ABC, ABD chung đáy AB nhưng không đồng phẳng Dựng đoạn vuông góc chung của AB, CD.

GIẢI

• Lấy M là trung điểm AB Tam giác ABC cân, có đáy AB nên tam giác này cân tại C, tứctrung tuyến CM cũng là đường cao Tương tự,

• Trong tam giác CDM, hạ đường cao MH Có thuộc mp(CDM) và (chứng minh trên)

Mà lại có nên MH là đoạn cần dựng

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có , và Gọi M là trung điểm CC’ Chứng minh

P HÂN TÍCH : Có yếu tố độ dài, góc thì định lý Pythagore là phương án khả dĩ Để ý lăng trụ đã cho

là lăng trụ đứng nên các mặt bên là các hình chữ nhật

G IẢI

• M là trung điểm CC’ (giả thiết) mà lại có (các mặt bên là hình bình hành) nên:

• Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC:

Chú ý ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên các cạnh bên vuông góc với mặt đáy

• Áp dụng định lý Pythagore lần lượt cho tam giác BCM vuông tại C, tam giác A’BAvuông tại A, tam giác A’MC’ vuông tại C’:

• Thế thì Tam giác A’MB vuông tại M, tức

Bài 3: Cho tứ diện có , tam giác BCD vuông tại C Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC.

a) Chứng minh tất cả các mặt của tứ diện đều là tam giác vuông và

b) Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên AD Chứng minh

a) Các bước chứng minh của chúng ta như sau:

 Chứng minh tất cả các mặt của tứ diện đều là các tam giác vuông:

• Theo giả thiết, cho , nên ABC, ABD là các tam giác vuông Theo đề bài, ta còn có tamgiác BCD vuông tại C

• Lại do nên Vậy ta cũng có tam giác ACD vuông tại C Suy ra tất cả các mặt của tứ diệnđều là các tam giác vuông

 Chứng minh tam giác BHD vuông tại H:

• () và (giả thiết) nên Lại có nên hay tam giác BHD vuông tại H

b) (điều phải chứng minh)

Bài 4: Cho hình chóp có Gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC, SBC.

a) Chứng minh

b) Chứng minh

P HÂN TÍCH :

a) Để ý HK là đoạn nối trực tâm của hai mặt nên khó khai thác, tức nên tập trung khai tháctính vuông góc của BH, BK dựa vào giả thiết trực tâm, lại có BK vuông góc SC nên cầnchỉ ra BH cũng vuông góc với SC Kết hợp với SA vuông góc với mặt đáy thì điều trênkhá rõ ràng theo bổ đề tam giác.

b) Để ý HK, SC lại xuất hiện nên việc áp dụng câu a/ là khá rõ

G IẢI

a) K là trực tâm của tam giác SBC (giả thiết) (

(do BH thuộc mp(ABC))

Lại có H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết) Vậy nên Kết hợp với (), rút ra , chứng minhhoàn tất

b) Ta sẽ chứng minh AH, BC, SK đồng quy Lấy

(giả thiết) ()

Để ý nên (AR, AH cùng thuộc mp(ABC)) (HK thuộc mp(SAR))

Kết hợp với (), suy ra , chứng minh hoàn tất

Bài 5: Cho hình hộp thoi cạnh a (hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau) và Tìm điều kiện x,

y, z để A’B’CD là hình vuông.

P HÂN TÍCH : Để ý A’B’CD là hình bình hành nên để thỏa đề bài, cần thêm hai cạnh kề bằng nhau

và một góc vuông trong các 4 góc ở đỉnh Việc khai thác giả thiết góc vuông không dễ dẫn tớiđáp án, mà biểu diễn giả thiết góc vuông ấy thành một hệ thức vectơ chính là lời giải

tức (z là góc trong tam giác)

Khi đó đã có A’B’CD là hình thoi, vậy để nó là hình vuông, ta cần thêm: () (x, y là các góctrong tam giác) Kiểm tra lại, ta thấy thì yêu cầu đề bài thỏa

L ƯU Ý :

Góc giữa đường thẳng a và mp(P) luôn là góc nhọn

Liên hệ các điểm đặc biệt (chân đường cao tới mặt đáy, các hình chiếu vuông góc có sẵn) đểdựng ảnh của a lên mp(P) Chẳng hạn cần dựng hình chiếu A’ của A trên mp(P), điểm đặc biệt

b) Một số mô hình thường gặp để dựng hình chiếu điểm đặc biệt:

Mô hình 1: Cho trước mp(P) chứa AB, S nằm ngoài mp(P) và H là hình chiếu của S trên mp(P) Dựng hình chiếu H’ của H trên mp(SAB):

• Trường hợp tổng quát: Dựng R là hình chiếu của H trên AB thì H’ là hình chiếu của Htrên SR:

• Trường hợp đặc biệt (tam giác SAB vuông tại A, trường hợp vuông tại B thì thực hiệntương tự): H’ là hình chiếu của H trên SA:

B ÀI TẬP :

Dạng : Cho sẵn hình chiếu đường thẳng lên mp hoặc dễ dàng suy ra từ định nghĩa.

Bài : Cho hình chóp có và đáy là tam giác vuông tại A, Tính cos góc giữa SA và mp(ABC).

P HÂN TÍCH : Để ý SA cắt mp(ABC) tại A nên mấu chốt là xác định hình chiếu của S trên mp(ABC).Lại do nên dựa theo khái niệm trục của tam giác, ta suy ra hình chiếu H của nó sẽ thỏa

G IẢI Gọi H là trung điểm BC.

• Tam giác ABC vuông tại A nên , tức H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Theokhái niệm về trục của tam giác thì H là hình chiếu của S trên mp(ABC), suy ra

• Xét tam giác SAH vuông tại H, ta được

Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, Tính góc giữa SC và mp(ABCD).

P HÂN TÍCH : Giả thiết SA vuông góc với mặt phẳng đáy cho ta hình chiếu CA lên mp(ABCD),hướng giải quá rõ ràng

G IẢI

Theo giả thiết, SA vuông góc với mp(ABCD) nên góc tạo bởi SC với mp(ABCD) là

AC là đường chéo trong hình vuông cạnh a nên

Xét tam giác SAC vuông tại A:

Dạng 2: Dựng thêm đường phụ để xuất hiện hình chiếu.

Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O, Góc giữa SA và mp(ABCD)

là Tính sin góc giữa SA và mp(SCD).

P HÂN TÍCH : Mấu chốt vẫn là tìm ra hình chiếu của A trên mp(SCD) Để ý O là điểm đặc biệt (hìnhchiếu của S lên mặt đáy), điểm C thuộc mp(SCD) thuộc đường thẳng OA nên ta tìm hình chiếucủa A thông qua hình chiếu của H trên mp(SCD)

G IẢI

Để ý O là hình chiếu của S lên mặt đáy nên góc giữa SA và mặt phẳng đáy là góc

O là tâm hình vuông ABCD nên O là trung điểm chung của AC, BD, tức Thế thì nếu gọi I làtrung điểm của CD thì OI là đường trung bình trong tam giác DCB, rút ra OI vuông góc với CD(OI song song với BC)

Lấy K là hình chiếu của O trên SI thì K cũng là hình chiếu của O trên mp(SCD)

Dựng tia Ax song song với OK, thế thì Lấy CK cắt Ax tại H thì H là hình chiếu của A trênmp(SCD)

Vậy góc cần xác định là góc , có (xét tam giác ASH vuông tại H)

Lại xét tam giác SOA vuông tại O thì:

Do AH là ảnh của KO qua phép vị tự tâm O nên Lại áp dụng hệ thức lượng trong tam giácvuông cho tam giác SOI vuông tại O:

Vậy

3. Góc giữa mp(P) và mp(Q):

a) Nguyên lí xác định và tính:

• Định nghĩa: Tìm a, b lần lượt vuông góc với mp(P) và mp(Q) thì góc giữa a và b là góc

cần tìm.

• Dựa vào mặt phẳng phụ: Nếu mp(P) cắt mp(Q) theo giao tuyến d thì xác định mp(R)

vuông góc với d, cắt mp(P) và mp(Q) lần lượt theo các giao tuyến m, n Khi đó, góc giữa

m, n là góc cần tìm.

• Bổ đề diện tích: Xét hình H thuộc mp(P) Dựng hình chiếu H’ của hình H lên mp(Q) Kí

hiệu [X] là diện tích của đối tượng X Thế thì góc cần tìm có cos bằng

• Tổng quát định lí 2 mp vuông góc: Nếu mp(P) cắt mp(Q) theo giao tuyến d thì lấy M

thuộc mp(P), hạ MH vuông góc với d và gọi R là hình chiếu của M trên mp(Q) Khi đó góc cần tìm là góc Đây cũng là cách thường dùng để khai thác giả thiết góc giữa hai mặt phẳng.

b) Các dạng thường gặp khi xét góc giữa mặt phẳng (ABC), (DBC) (giao tuyến BC):

Dạng 1: ABC và DBC là các tam giác cân chung đáy BC:

• Phương pháp: Gọi M là trung điểm BC Khi đó góc cần tìm là góc giữa AM, DM.

• Chứng minh:

Tam giác ABC cân tại A có AM là trung tuyến nên AM cũng là đường cao⇒

Tương tự, nên mp(ADM) vuông góc với mp(ABC) và mp(DBC)

Góc cần tìm là góc giữa AM, DM

Dạng 2: ( làm tương tự):

• Phương pháp: Kẻ thì là góc cần tìm.

• Chứng minh:

BC vuông góc với AH, AD

vuông góc với mp(ABC) và mp(DBC)

P HÂN TÍCH : Có tam giác đều thì khai thác đường đặc biệt trong tam giác là ý tưởng dễ nghĩ tới.

G IẢI Gọi M là trung điểm BC.

Theo giả thiết, tam giác DBC đều nên trung tuyến DM cũng là đường cao

BC thuộc mp(BCD), lại có (giả thiết) nên , suy ra , tức

Vậy góc cần tìm là góc Xét tam giác ADM vuông tại D:

II – Các kết quả, bài toán kinh điển về khoảng cách và thể tích:

1. Khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng: (xác định hình chiếu của điểm lên mặtphẳng với quy tắc đã đề cập ở b)

2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

a) Nguyên lí xác định:

• Có mp(P) chứa đường thẳng b, a⊥mp(P) tại A: Lấy H là hình chiếu của A trên b thì AH

là khoảng cách cần xác định:

• Có mp(P) chứa đường thẳng b, a cắt mp(P) tại A: Qua A kẻ b’ song song với b Gọi

mp(Q) là mp chứa a và b’ thì khoảng cách cần tìm là khoảng cách từ một điểm bất kì đến mp(Q).

• a và b đều cắt mp(P) mà không nằm trên mp(P): Dựng hình chiếu b’ của b trên mp(P).

Lấy A là giao điểm của a và mp(P) Khoảng cách cần tìm là khoảng cách từ A đến b’.

a) Tứ giác ABCD là hình vuông nên AB song song với CD, vậy khoảng cách cần tìm cũngchính là khoảng cách giữa CD và mp(SAB) Từ giả thiết, ta đã có Mặt khác BC thuộcmp(ABCD), Vậy khoảng cách cần tìm là

b) Gọi O là tâm hình vuông ABCD, thế thì O là trung điểm chung của AC, BD, tức

• BD thuộc mp(ABCD), Lại để ý (ABCD là hình vuông) nên

• BD cắt mp(SAC) tại O nên khoảng cách cần tìm cũng chính là khoảng cách OH từ O đếnSC

•

c) (ABCD là hình vuông), lại có (SA vuông góc với mặt đáy) nên , suy ra là hình chiếucủa SC lên mp(SCD) Vậy khoảng cách cần tìm là khoảng cách AK từ A đến SD Ápdụng hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác SAD vuông tại A.:

3 Thể tích

• Thể tích hình chóp: diện tích đáy nhân chiều cao

• Thể tích hình lăng trụ: diện tích đáy nhân chiều cao

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, H là trung điểm AB.

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

b) Tính tan góc giữa SD và mp(ABCD).

c) Gọi G là trọng tâm tam giác SCD Tính thể tích khối chóp S.ABG.

d) Tính khoảng cách giữa SD và AB.

P HÂN TÍCH :

a) Mấu chốt là tìm ra hình chiếu H của S trên mặt đáy, điều khá rõ ràng dựa vào giả thiếtmp(SAB) vuông góc với mặt đáy và định lí về hai mặt phẳng vuông góc

b) Dựa vào câu a, suy ra hình chiếu của SD trên mp(ABCD), từ đó mọi thứ rõ ràng

c) Mấu chốt là tìm ra khoảng cách từ G đến mp(SAB) có chứa điểm đặc biệt H Theo tínhchất trọng tâm, tịnh tiến điểm G về trung điểm BC do 2 điểm này cùng thuộc đườngthẳng qua S thuộc mp(SAB), Lại để ý CD song song với AB nên khoảng cách cần tìmchính là khoảng cách từ C đến mp(SAB)

d) AB thuộc mặt đáy, SC cắt mặt đáy tại C, đồng thời CD song song với AB nên khoảngcách cần tìm chính là khoảng cách từ một điểm trên AB (ta chọn điểm đặc biệt H) đếnmp(SCD) Tinh ý nhận ra thêm tam giác SCD vuông tại C cho ta lời giải

G IẢI

a) ABCD là hình thoi nên AC là tia phân giác của , kết hợp với , suy ra ABC, ADC, SAB làcác tam giác đều bằng nhau (cạnh a) nên cùng có đường cao , diện tích Suy ra diện tíchhình thoi ABCD là

• Gọi H là trung điểm AB thì do tam giác SAB đều nên trung tuyến SH cũng là đường cao.Lại do mp(SAB) vuông góc với mp(ABCD) theo giao tuyến AB nên suy ra SH vuônggóc với mặt đáy

• Thể tích khối chóp cần tìm:

b) H là hình chiếu của S lên mặt đáy (chứng minh trên)góc giữa SD và mp(ABCD) là góc

• Áp dụng định lí cosin cho tam giác HAD:

• Xét tam giác SHD vuông tại H thì

c) Gọi E là trung điểm CD thì theo tính chất trọng tâm, SG qua E và (CE song song vớiAB) Lại để ý (SH vuông góc với mặt đáy), (ABC là tam giác đều) nên , tức Vậy

d) AB thuộc mặt đáy, SD cắt mặt đáy tại D nên khoảng cách cần tìm cũng chính là khoảngcách từ H trên AB đến mp(SCD)

• AB song song CD do ABCD là hình thoi, suy ra HC cũng vuông góc với CD, lại có SHvuông góc với CD (SH vuông góc với mặt đáy) nên CD vuông góc với mp(SHC) Vậykhoảng cách cần tìm là khoảng cách HK từ H đến SC

• Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác SHC vuông tại H:

Bài 4: Cho khối chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy ABC là tam giác cân tại A có trung tuyến SB tạo với mp(ABC) góc u và tạo với mp(SAD) góc v.

Chứng minh thể tích khối chóp S.ABC là:

Tam giác ABC cân tại A có AD là trung tuyến ⇒ Lại có (do ) nên

Tam giác SAB vuông tại A

Tam giác SBD vuông tại D

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABD vuông tại D:

Thể tích khối chóp S.ABC:

Bài 5: Cho khối chóp S.ABC và trên SA, SB, SC lần lượt lấy không trùng S Chứng minh:

P HÂN TÍCH : Đề bài không cho biết đường cao của các khối chóp được liên hệ thể tích nên việc dựngcác đường cao ấy là hiển nhiên So sánh hai đường cao theo Thales, so sánh diện tích mặt đáytam giác theo tỉ số cạnh khi chúng có góc ở đỉnh chung

G IẢI

Do thẳng hàng nên hình chiếu của chúng trên mp(SBA) cùng thuộc đường thẳng qua S

Gọi H, lần lượt là hình chiếu của trên mp(SBA) thì thẳng hàng Áp dụng định lý Thales chotam giác SCH ( song song với CH):

Bài toán thiếu yếu tố đường cao, nhưng khi dựng đường cao thì rất khó liên kết với dữ kiện góc

Ta nghĩ đến việc so sánh thể tích cần tính với thể tích một khối tứ diện dễ tính hơn và có liên hệtrực tiếp với các góc đã cho Công thức bài trở nên hữu dụng

G IẢI Trên các tia lần lượt lấy thỏa

Các tam giác là các tam giác cân tại A có một góc nên chúng là các tam giác đều là tứ diện đềucạnh

Gọi M là trung điểm , H là trọng tâm tam giác Theo khái niệm trục đa giác, ta có H là hìnhchiếu của A trên mp()

Tam giác đều nên trung tuyến BM đồng thời là đường cao Lại do tam giác này cạnh nên độ dàiđường cao tương ứng:

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác AHB’ vuông tại H:

Thể tích tứ diện :

Theo đẳng thức bài :

Bài : Cho tứ diện ABCD có Chứng minh.

P HÂN TÍCH : Việc tường minh hóa giả thiết là rõ ràng, nó không chỉ giúp xác định góc và khoảngcách giữa AD, BC mà còn gợi ra ý tưởng xác định thể tích ABCD qua một khối trung gian. Lưu

ý diện tích tam giác có thể tính bằng nửa tích hai cạnh nhân sin góc giữa hai cạnh đó

G IẢI

Lấy E thỏa BCDE là hình bình hành Thế thì và

Ta có: