Hỏi có bao nhiêu cách lập đoàn đại biểu, trong đó có hai nữ, ba nam và chọn 1 nam làm trưởng đoàn.. 1,0điểm Chọn 2 người nữ trong 4 nữ.b[r]
Trang 1BỘ ĐỀ THI HỌC KÌ 1 THAM KHẢO
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
ĐỀ 1
I PHẦN CHUNG (8,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm)
1) Giải các phương trình sau:
a)
cos
b) 3 sin 2xcos2x 2
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y 5 cos2 x 1
3
Câu 2 (2,0 điểm)
1) Tìm hệ số của x4 trong khai triển 1 x6
2) Một hộp đựng 20 quả cầu trong đó có 15 quả cầu xanh và 5 quả cầu đỏ, chọn ngẫu nhiên hai quả cầu từ hộp Tính xác suất để chọn được hai quả khác màu
Câu 3 (3,0 điểm)
1) Trong mp(Oxy), cho đường tròn (C): x 32 y 202 25
Tìm ảnh của (C) qua phép
tịnh tiến theo v = (2; –5).
2) Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang đáy lớn AD, đáy nhỏ BC
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
b) Gọi G, H lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và tam giác SCD Chứng minh rằng đường thẳng GH song song với mặt phẳng (SAD)
II PHẦN RIÊNG (2,0 điểm)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 4a (1,0 điểm) Xác định số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng biết u3 7
và
u6 19
Câu 5a (1,0 điểm) Cho biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển
n
x 1
3
bằng 5 Tìm số hạng đứng giữa của khai triển
B Theo chương trình nâng cao
Câu 4b (1,0 điểm) Cho tập A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn, gồm 3 chữ số
khác nhau đôi một, được lập từ các chữ số của tập A
Câu 5b (1,0 điểm) Giải phương trình: cos3x cos4x sin3x sin4x
-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD :
Trang 2CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu 1
(3điểm) 1 (2,0 điểm)
a)
cos
k Z
2
2 3
b) 3 sin 2xcos2x 2 3sin2x 1cos2x 2
sin2x.cos6
+ cos2x.sin6
=
2
2
x
k Z
3
k Z
7 24
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25 0,25
0,25
0,25
2 (1,0 điểm)
y 5 cos2 x 1
3
Ta có
2
3
Vậy GTNN của hàm số là 1 đạt được khi
0,25
0,5
0,25 Câu 2
Trang 3Vậy hệ số của x4 trong khai triển là 15 0,25
2 (1,0 điểm)
Ta có : Số phần tử KGM là n() = C202 190
Gọi B là biến cố: “ Chọn được 2 quả khác màu”
n(B) = C C15 51 . 1
P(B) =
C C C
1 1
15 5 2 20
10.19 38
0,5
0,25 0,25
Câu 3
(3điểm)
1 (1,0 điểm)
Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính Do đó ta
chỉ cần tìm ảnh của tâm I Ta có ( C ) : x 32 y 20225
Tâm I (3;20), bán kính R = 5
Gọi I’ = T I v( ) I x y'( '; ')
Ta có
x
II'v y' 20 5 15' 3 2 5 I'(5;15)
Ảnh của ( C ) qua T v
là đường tròn ( C’ ) có tâm I’(5;15) bán kính R’ =
R = 5 nên có phương trình là: ( x – 5 )2 + ( y – 15 )2 = 25
0,5
0,25
0,25 2a (1,0 điểm)
Hình vẽ
Ta có: S(SAB) (SCD) S là điểm chung thứ nhất của hai mp
Do AB và CD không song nên cắt nhau tại I
I CD ((SCD)) ( ) ( )
mp
Vậy SI là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
0,25 0,25 0,25 0,25 2b (1,0 điểm)
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD
Theo giả thiết, ta có :
2 3
GH // MN
mà MN // AD ( đường trung bình của hình thang) GH // AD
và AD(SAD) GH // (SAD)
0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 4a
(1điểm)
Gọi số hạng đầu tiên là u1 và công sai là d
Theo đề bài ta có hệ phương trình:
u11 d
d
u1 14
0,5 0,5
Câu 5a
(1điểm)
Hệ số của số hạng thứ 3 là : n
C
2
n2 n 90 0 n 10
0,25 0,25
Trang 4Vậy số hạng đứng giữa của khai triển là:
5
Câu 4b
(1điểm) Gọi số cần tìm có dạng: abc
Điều kiện a 0 , c là số chẵn
Trường hợp 1: c = 0 có một cách chọn
a có 6 cách chọn
b có 5 cách chọn Theo qui tắc nhân có 1.6.5 = 30 số
Trường hợp 2: c là số chẵn khác 0, c có 3 cách chọn 2, 4, 6
a có 5 cách chọn ( a 0, a c )
b có 5 cách chọn Theo qui tắc nhân có: 3.5.5 = 75 số Vậy có tất cả 30 + 75 = 105 số
0,25 0,25
0,25 0,25 Câu 5b
(1điểm) Phương trình cos3x cos4x sin3x sin4x
(cos3x – sin3x) + (cos4x – sin4x) = 0
(cosx – sinx )(1 + sinxcosx) + (cos2x – sin2x) = 0
(cosx – sinx ).( 1 + sinx.cosx + cosx + sinx) = 0
(cosx – sinx )[ sinx(1 + cosx) + (1 + cosx)] = 0
(cosx – sinx )(1 + cosx)(1 + sinx) = 0
x x
1 cos 0
1 sin 0
x x x
4
2 2
0,25
0,5
0,25
Trang 5ĐỀ 2
I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7,0 điểm).
Câu 1.(1,0điểm)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y=sin (x − 2 π
3 )− sin x
Câu 2 (2,0điểm) Giải các phương trình sau:
a 2 cos2x+(1− 2√3)cos x −√3=0
b 3 cos x+sin x=1
Câu 3 (2,0điểm)
a Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người Hỏi
có bao nhiêu cách lập đoàn đại biểu, trong đó có hai nữ, ba nam và chọn 1 nam làm trưởng đoàn
b Tìm hệ số của x3 trong khai triển biểu thức x − x22¿6, x ≠ 0
¿
Câu 4 (2,0điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N và P lần
lượt trung điểm của SA, SB và AD
a Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SPC) và (SDN).
b Tìm giao điểm K của đường thẳng MN và mặt phẳng (SPC).
c Chứng minh hai đường thẳng PK và SC song song
II PHẦN RIÊNG( 3,0 điểm) Học sinh học chương trình nào làm theo chương trình đó.
A CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN.
Câu 5A (2,0điểm)
a Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất 2 lần Tính xác suất của biến cố A: “ Số chấm trong hai lần gieo bằng nhau”
b Cho cấp số cộng (un) với un = 3n-1 Tìm u1 và công sai d
Câu 6A (1,0điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C) tâm I(1;-3), bán kính là
2 Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm O tỷ số -3
B CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO.
Câu 5B (2,0điểm)
a Có 6 học sinh khối lớp 10, 8 học sinh khối lớp 11 và 10 học sinh khối lớp 12 Chọn ngẫu nhiên 8 học sinh Tính xác suất của biến cố A: “ Để 8 học sinh được chọn thuộc không quá 2 khối lớp”
b Giải phương trình sau: cos x +cos 3 x+2cos 5 x=0.
Câu 6B (1,0điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(2;3) và đường thẳng d có phương
trình: x+y-1=0 Tìm tọa độ điểm B là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục d
-Hết
Trang 6
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 11
Dưới đây là sơ lượt lời giải và biểu điểm
Học sinh có lời giải khác nhưng lập luận và kết quả chính xác, bài làm đúng đến ý nào thì cho điểm tối đa đến ý đó
I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7,0 điểm).
Câu 1 Tìm giá trị lớn nhất và gia trị nhỏ nhất của hàm số: y=sin (x − 2 π
3 )− sin x
1,0điểm Biến đổi về y=−√3 cos (x − π
Lý luận −√3 ≤−√3 cos (x − π
Kết luận: GTLN là √3 đạt được khi cos (x − π
3)=− 1⇔ x=4 π
3 +k 2 π 0,25
GTNN là - √3 đạt được khi cos (x − π
3)=1⇔ x= π
Câu 2 Giải các phương trình sau:
2.a 2 cos2x+(1− 2√3)cos x −√3=0
1,0điểm Đặt t = cosx, −1 ≤t ≤1 , được phương trình: 2t2+(1 −2√3)t −√3=0 (1) 0,25
Pt (1) có 2 nghiệm t= √3 và t = − 12 , so sánh điều kiện của t, nhận t
= − 12
0,25
Ta có cos x= −1
2 có nghiệm: x= 2 π
x=− 2 π
2.b 3 cos x+sin x=1
1,0điểm Đưa về phương trình : 3
√10cos x+
1
√10sin x=
1
√10
0,25
Đưa về pt: sin α cos x +cos α sin x= 1
√10 ⇔ sin(x+ α ) = sin(
π
2− α¿ ,
0,25
x = π2− 2 α+k 2 π , với sin α= 3
√10 , cosα= 1
√10
0,25 Câu 3
3.a Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5
người Hỏi có bao nhiêu cách lập đoàn đại biểu, trong đó có hai nữ, ba nam
và chọn 1 nam làm trưởng đoàn
1,0điểm Chọn 2 người nữ trong 4 nữ Có c42 cách chọn 0,25
Trang 7Câu Nội dung Điểm 3.a Chọn 3 người nam trong 6 nam Có c63 cách 0,25
Chọn 1 người nam trong 3 nam đã chon làm trưởng đoàn Có 3 cách 0,25
Theo quy tắc nhân Có tất cả c42c63 3 = 360 cách chọn cần tìm 0,25 3.b
Tìm hệ số của x3 trong khai triển biểu thức x − x22¿6, x ≠ 0
¿
1,0điểm
Viết
− 2
x2 ¿k
c6k x 6 −k¿
x − 2
x2¿
6
k=0
6
¿
¿
(hoặc ghi số hạng thứ k+1:
−2
x2 ¿
k
c6k x 6 − k
¿
)
0,25
Gọn:
− 2¿k
c6k x 6 −3 k¿
x − 2
x2¿
6
=∑
k=0
6
¿
¿
(hoặc −2¿
k
c6k x 6 − 3 k
¿ )
0,25
Kết luận: −2¿
1
Câu 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N và P
lần lượt trung điểm của SA, SB và AD
4.a Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SPC) và (SDN)
4b Tìm giao điểm K của đường thẳng MN và mặt phẳng (SPC)
4c Chứng minh hai đường thẳng PK và SC song song
M
P
A
B
D
I
Q
S
C
Trang 8Lý luận P trung điểm CQ Lý luận KP//SC 0,25
II PHẦN RIÊNG( 3,0 điểm) Học sinh học chương trình nào làm theo chương trình đó.
A CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN.
Câu 5A
5A.a Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất 2 lần Tính xác suất
của biến cố A: “ Số chấm trong hai lần gieo bằng nhau”
- P(A )=n( A)
6
36=
1 6
0,5
5A.b Cho cấp số cộng (un) với un = 3n-1 Tìm u1 và công sai d
Câu 6A Đường tròn ( C) tâm I(1;-3), bán kính là 2 Viết phương trình ảnh của
đường tròn (C) qua phép vị tự tâm O tỷ số -3
1,0điểm - Goi I’( x;y) là ảnh của I qua V(O, −3) ta có: OI'=− 3OI 0,25
- Gọi R’ là bán kính đường tròn ảnh: R’ = |−3| 2 =6 0,25
- Phương trình đường tròn ảnh: (x+3)2+(y − 9)2=36 0,25
B CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu 5B
5B.a Có 6 học sinh khối lớp 10, 8 học sinh khối lớp 11 và 10 học sinh khối lớp
12 Chọn ngẫu nhiên 8 học sinh Tính xác suất của biến cố A: “ Để 8 học
sinh được chọn thuộc không quá 2 khối lớp”
+ Chọn 8 học sinh một khối lớp: Có 1+ c108 = 46 0,25
+ Chọ 8 học sinh có 2 khối lớp: Có
(c148 − 1)+(c168 − c108
)+(c188 −1 −c108 )=59539
0,25
+ Số kết quả biến cố A: |Ω A|=46+59539=59585
+ P(A )=|Ω A|
3505 43263
0,25 5B.b Giải phương trình sau: cos x +cos 3 x+2cos 5 x=0.
1,0điểm - Biến đổi về pt: 2 cos x (cos 2 x+cos 4 x −4 sin2x cos 2 x)=0 0,25
- Giải: cos sx=0⇔ x= π
- giải pt: cos 2 x+cos 4 x − 4 sin2x cos 2 x=0 ⇔ 4 cos2
2 x −cos 2 x −1=0 0,25
Trang 9
⇔ cos 2 x=1+√17
8 ⇔ x=±1
2acr cos
1+√17
8 +k 2 π
¿
cos 2 x= 1 −√17
8 ⇔ x=±1
2acr cos
1 −√17
8 +k 2 π
¿
¿
¿
¿
¿
0,25
Câu 6B Cho điểm A(2;3) và đường thẳng d có phương trình: x+y-1=0 Tìm tọa độ
điểm B là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục d
Trang 10ĐỀ 3 I.PHẦN CHUNG : ( 8 điểm)
Câu 1: (3 đi ểm)
1) Tìm tập xác định của hàm số sau y = sin x 2 cos x −1
2) Giải phương trình :
a) 2sinx +1 = 0
b) Sin2x - √3 cos2x =2
Câu 2 : ( 2 điểm)
1): Khai triển nhị thức: (2x + 3 )6
2)Một hộp đựng 3 bi đỏ,5 bi xanh v à 6 bi vàng Bốc ngẫu nhiên ra 3 bi ,tính xác suất để 3 viên bi lấy được chỉ có một màu?
Câu 3 : ( 1 điểm)
Cho A( 1;-2 ) đường thẳng d :3x – y + 10 = 0 Tìm d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép
vị tự tâm A t ỉ s ố k = 3
Câu 4: ( 2 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD các cạnh đáy không song song nhau Gọi M là điểm nằm trong mặt phẳng (SCD)
1)Tìm giao tuyến của hai mặt (SAB) và (SCD)
2)Tìm thiết diện của mặt phẳng (P) đi qua M song song với CD và SA
II.PHẦN HAI ( 2 điểm)
(Học sinh chọn 1 trong 2 phần sau)
Phần 1 :Theo chương trình chuẩn
Câu 5a: ( 1 điểm)
Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng biết
¿
u1− u3 +u5 =10
u1+u6=17
¿ {
¿
Câu 6 a: (1 điểm)
Tìm số tự nhiên chẳn có 5 chử số đôi một khác nhau và chữ số đầu tiên là chữ số lẽ
Phần 2: Theo chương trình nâng cao
Câu 5b: (1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số sau :
y= |sin x+√3 cos x +6|+10
C âu 6b: (1 điểm)
Tìm số tự nhiên lẽ có 5 chữ số đôi một khác nhau và chữ số đầu tiên là chữ số chẵn
Heát
Trang 11ĐÁP ÁN
x ± π
x=− π
3+k 2 π
¿
x= 4 π
3 +k 2 π
¿
¿
¿
¿
k Z
0.5
2.1 64x6 + 576x5 + 2160x4 +4320x3 + 4860x2 +2946x +729 1 2.2 Khơng gian mẫu : |Ω| =C3
|Ω A| =C33 +C53 + C 3
V(A,2)(M) = M’
¿
x= x '+1
2
y= y ' − 2
2
¿{
¿
Thế vào pt d
0.25
Ta đ ư ợc:3x’ – y’ + 25 = 0 0.25
4.2 Kẻ đường thẳng qua M song song CD , cắt SC tại H,cắt SD
Kẻ đường thẳng qua K song song SA cắt AD tại E 0.25
Kẻ đường thẳng qua E song song CD c ắt BC tại F 0.25
u1+2 d=10
2u1+5 d=17
¿ {
¿
u1=16; d= -3
1
Trang 126a Gọi số cần tìm có dạng : abcde 0.25
chọn e có 5 cách chọn b có 8 cách chọn c có 7 cách chọn d có 6 cách
Vâ y có :5.5.8.7.6 =8400 số 0.25 5b .y = |2 sin(x + π
chọn e có 5 cách chọn b có 8 cách chọn c có 7 cách chọn d có 6 cách
V ậy c ó :4.5.8.7.6 = 6720 s ố 0.25
Trang 13ĐỀ 4
I Phần chung dành cho tất cả học sinh: (8 điểm)
Câu 1 : (3 điểm )
6)
b) 2 sin x −2 cos x=√2
Câu 2 : (2 điểm)
2) Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất 2 lần Tính xác suất để lần gieo thứ 2 xuất hiện mặt sấp
Câu 3 : (1 điểm)
Câu 4 : (2 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn là AD
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
b) Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của AB, SA và SD Chứng minh rằng: NP// (SBC)
II Phần tự chọn : (2 điểm)
Học sinh chọn 1 trong 2 phần sau:.
Phần 1: Theo chương trình chuẩn:
Câu 5a : (1 điểm)
Một cấp số cộng có số hạng thứ nhất là 5, công sai là 3 Tính tổng của 16 số hạng đầu?
Câu 6a : (1 điểm)
Từ các phần tử của tập hợp A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm ba chữ số khác nhau ?
Phần 2: Theo chương trình nâng cao:
Câu 5b : (1 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 1 – sinxcosx.
Câu 6b : (1 điểm)
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau
và không chia hết cho 10
Trang 14
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1
(3,0 đ)
Vậy
6
D R k k Z
0.5
0.5
2a) 2 sin x −√3=0⇔sin x=√3
2
⇔sin x=sin π
3
¿
x= π
3+k 2 π
x= 2 π
3 +k 2 π
(k ∈Z )
⇔¿
0.25 0.25
0.25 0.25
2b) 2 sin x −2 cos x=√2
⇔cos π
4⋅sin x − sin π
4⋅ cos x=1
2
⇔ sin(x − π
4)=sinπ
6
x − π
4=
π
6+k 2 π
x − π
4=
5 π
6 +k 2 π
¿
¿
x= 5 π
12 +k 2 π
x= 13 π
12 +k 2 π
(k∈ Z )
⇔¿
0.25 0.25 0.25 0.25
Câu 2
(2,0 đ) 1) ( x+ 2)
4
= C04x4
+C41x3 2+C42x2.22+C43x 23
+C44 24
¿x4 +4 x 3 +24 x 2 +32 x+16
0.5 0.5
|Ω|=2 2=4 Gọi A là biến cố đang xét, ta có
|Ω A|=2 1=2 ( lần1 xuất hiện mặt S hoặc N; lần2 mặt S)
P ( A )=|Ω A|
2
4=
1 2
0.25
0.5 0.25
Trang 15Câu 3
(1,0 đ)
Theo BTTĐ, ta có: {x '=x+a y '= y +b
⇔ {x '=−5 −1 y '=2+1
⇔{x '=− 6 y '=3
Vậy M ' (−6 ;3)
0.25 0.25 0.25
Câu 4
(2,0 đ)
a) + (SAB) và (SCD) có điểm chung thứ nhất là S + Kéo dài AB và CD cắt nhau tại E ta có E là điểm chung thứ hai của
2 mp trên
Vậy giao tuyến cần tìm là đường thẳng SE
b)(1đ)
Ta có NP//AD
mà AD//BC nên NP//BC (2)
Do đó NP//(SBC)
0.25
0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
Câu 5a
(1 điểm)
u16=5+15 3=50
S16=(5+50).16
0.5 0.5
Câu 6a
(1 điểm)
Chọn c có 3 Chọn a có 4 Chọn b có 4 cách Vậy có thể lập được 3.4.4 = 48 (số)
0.25 0.25 0.25 0.25
Câu 5b
(1 điểm)
2sin2 x
Ta có:
− 1≤ sin 2 x ≤1
⇔1
2≥ −
1
2sin 2 x ≥−
1 2
⇔ 3
2≥ y ≥
1 2
1 2
+ Hs đạt GTLN khi
sin 2 x=−1 ⇔2 x =− π
2+k 2 π⇔ x=− π
4+kπ ( k∈ Z )
0.25
0.25
Trang 16+ Hs đạt GTNN khi sin 2 x=1⇔ 2 x= π
2+k 2 π ⇔ x= π
4+kπ ( k∈ Z )
0.25
0.25
Câu 6b
(1 điểm)
Gọi abc d là số cần lập Chọn d có 7 cách
Chọn a có 6 cách Chọn b có 6 cách Chọn c có 5 cách Vậy có thể lập 7.6.6.5= 1260 ( số )
0.25 0.25 0.25
0.25