De thi vao 10 nam hoc 20152016 cac tinh

2) Gọi M,N,J lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng DE,DF,EF. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt đường trìn ngoại tiếp tam giác AFN tại P khác A. Chứng minh rằng bốn điểm M,N,[r]

Đề 1

Bộ giáo dục đào tạo đề thi tuyển sinh

Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2015-2016

xy P y





Cõu 3 Cho tam giỏc nhọn ABC khụng cõn cú tõm đường trũn nội tiếp là điểm I Đường

thẳng AI cắt BC tại D Gọi E,F lần lượt là cỏc điểm đối xứng của D qua IC,IB.

1) Chứng minh rằng EF song song với BC.

2) Gọi M,N,J lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng DE,DF,EF Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AEM cắt đường trỡn ngoại tiếp tam giỏc AFN tại P khỏc A Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,J cựng nằm trờn một đường trũn.

3) Chứng minh rằng ba điểm A,J,P thẳng hàng.

Cõu 4.

1) Cho bảng ụ vuụng 2015 2015 Kớ hiệu ụ ,i j là ụ ở hàng thứ i , cột thứ j Ta viết cỏc số

nguyờn dương từ 1 đến 2015 vào cỏc ụ của bảng theo quy tắc sau :

i) Số 1 được viết vào ụ (1,1)

ii) Nếu số k được viết vào ụ i j,  , i 1 thỡ số k+1

được viết vào ụ i1, j1

iii) Nếu số k được viết vào ụ 1, j thỡ số k+1 được

viết vào ụ  j 1,1 (Xem hỡnh 1.)

Khi đú số 2015 được viết vào ụ m n,  Hóy xỏc định

Bộ đề thi tuyển sinh năm 2015 – 2016 các tỉnh

Ta thấy x-y =0 là nghiệm của phương trình

Nếu y 0 nhân hai vế của phương trình với y

X2 – 1  (x -1)2 ta có x+1 x-1 suy ra 2 x- 1 suy ra x= 2 hoặc x= 3

3) Với x y, là những số thực thỏa mãn đẳng thức x y2 22y 1 0.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 3 1

xy P y

Vây max P = 3 khi

b) Ta có : BC FE  FED EDB BED 

mà APM 180  AEM BED  APM DEF

Tương tự : DFE APN

APN APM DFE FED MPN  

mà MJNMDNEDF  MJN MPN 180  MPNJ nội tiếp

c) Ta có : APM DEF và JPM JNM JEM  JPM APM  A PJ, thẳng hàng

k    

  Số đầu tiên ở hàng chéo thứ k 63là

( 1)

1 19542

k k 

 Như vậy số 2015 nằm ở vị trí thứ 2015 1954 1 62   của hàng chéo thứ 63(Vị trí áp chót)Tọa độ của nó là (2,62)

2) Theo Cauchy 4 số ta có : 4abc ab bc ac   44a b c3 3 3  1 abc a b c  33 abc33 a b c2 2 2BĐT tương đương : a2b2c2 33 a b c2 2 2  2ab bc ac  

(1)Đặt 3a2 x b, 3 2 y c, 3 2 z x y z , ,  0

Bộ đề thi tuyển sinh năm 2015 – 2016 các tỉnh

TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC VÀ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2015

MÔN THI:TOÁN(VÒNG II)

Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I.(3 điểm)

Câu II.(3 điểm)

1)Tìm số tự nhiên n để n 5 và n 30 đều là số chính phương (số chính phương là bình phương của một số nguyên)

1) Chứng minh rằng BNAC

2) Gọi Qlà điểm đối xứng với A qua N.Đường thẳng ACcắt BQtại D.Chứng minh rằng bốn điểm B D N C, , , cùng thuộc một đường tròn,gọi đường tròn này là  O

3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD cắt  O tại G khác D.Chứng minh rằng NG

song song với BC

Câu IV.(1 điểm) Ký hiệu S là tập hợp gồm 2015 điểm phân biệt trên một mặt phẳng.Giả sử tất cả các điểm của S không cùng nằm trên một đường thẳng.Chứng

minh rằng có ít nhất 2015 đường thẳng phân biệt mà mỗi đường thẳng đi qua ít nhất hai điểm của S

Câu 1: 1 Đặt

333

530

Bộ đề thi tuyển sinh năm 2015 – 2016 các tỉnh

2 2 2 2

1

1

33

x y

 H là trung điểm của NP.Mà BH NP

 Tam giác PNB cân tại B BN = BP.

Mặt khác lại có: M là trung điểm của BC, AP

 Tứ giác ACPB là hình bình hành  AC = BP  AC = BN

b,Do tứ giác ACPB là hình bình hành  PACAPB

Mà tam giác PBN cân tại B  APBANB  ANBPAC  CAN BNQ

Có: AC = NB, NQ = AN

 BNQCAN  NBDNCD  N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

c, G là giao điểm (DQG) với (DBC)  CAGBQG

Mà GBQGCA  Tam giác GBQ đồng dạng tam giác GCA

Câu 4 Giả sử trên mặt phẳng có n điểm thẳng hang thì tồn tại một đường thẳng

Theo bài ra các điểm đã cho không cùng nằm trên một đường thẳng nên tồn tại ít nhất một điểm không cùng nằm trên đường thẳng đó nối điểm đó với n- 1 điểm đã cho ta được n-1 đường thẳng với đường thẳng đi qua n-1 điểm ta được n đường thẳng Thay

n = 2015 thì tồn tại ít nhất 2015 đường thẳng

P

G D

Q

N

H M A

Đề 3

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Trường đại học sư phạm Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2015

Môn thi :TOÁN

( Dùng cho mọi thí sinh vào trường chuyên ) Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1 (2.5 điểm ) Cho biểu thức

2

2 2

2 2

1 11

 ; 2 Giả sử a, b thay đổi sao cho 4a b  ab 1 Tìm min P Câu 2 ( 2 điểm ) cho hệ phương trình.

1 Giải phương trình khi m = 2

2 Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m Giả sử (x0,y0) là một nghiệm của của hệ phương trình chứn minh đẳng thức x02y02 5x0 y0 10 0 

Câu 3(1.5điểm )Cho a, b là các số thực khác o.Biết rằng phương trình    

0

a x a b x b 

Có nghiệm duy nhất Chứng minh a b

Câu 4 ( 3điểm ) Cho tam giác ABC có các góc ABC và góc ACB nhọn góc BAC =

600 Các đường phân giác trong BB1, CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại I.

1> Chứng minh tứ giác AB1IC1 nội tiếp

2 Gọi K là giao điểm thứ hai khác B của đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BC1I Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp

Bộ đề thi tuyển sinh năm 2015 – 2016 các tỉnh

1 Giải phương trình khi m = 2

2 Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m Giả sử (x0,y0) là một nghiệm của của hệ phương trình chứn minh đẳng thức x02y02 5x0 y0 10 0  1.

m

vì m2 +1 khác 0 phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m

2 Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m Giả sử (x0,y0) là một

nghiệm của của hệ phương trình chứn minh đẳng thức x02y02 5x0 y0 10 0  1

Nếu a và b cùng dấu thì phương trình vô nghiệm

Phương trình có nghiêm duy nhất khi a và b khác dấu và  0 suy ra a b .

Câu 4

1.Ta có B IC1 1BIC120o  B IC1 1BAC 120o60o 1800

Mà hai góc này đối nhau

Nên tứ giác AB1IC1 nội tiếp (đpcm)

2 Vì tứ giác BC1IK nội tiếp nênBIC1 BKC 160o

( góc nội tiếp cùng chắn BC 1 )

Và BIK BC K 1 ( góc nội tiếp cùng chắn BK )

Xét tam giác ABC: KCB 1180o BAC ABC  180o 60o ABC1200 ABC

Xét tam giác BC1K: BIK BC K 1 180o  BKC1 ABC180o 60o  ABC1200 ABC

Suy raKCB1 BIK  Tứ giác CKIB1 nội tiếp (đpcm)

3 Vì BIC1BAC 60o Tứ giác ACKC1 nội tiếp  KAC1KCC1(cùng chắn cung KC1)

Và AKC1ACC1(cùng chắn cung AC1) Mà ACC1KCC1(GT)

Suy ra KAC 1 AKC1  Tam giác C1AK cân tại C1 C1A = C1K (1)

CMTT: B1A = B1K (2)

Từ (1), (2) suy ra B1C1 là đường trung trực của AK nên AK B1C1 (đpcm

Bộ đề thi tuyển sinh năm 2015 – 2016 các tỉnh

Câu 5 ( 1 điểm) Tìm các số thực không âm a và b thỏa mãn

ĐỀ THI TUYỂN SINH TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2015

Môn thi: Toán ( Dùng cho học sinh chuyên toán và chuyên tin) Thời gian : 120 phút

Câu 1: (2,5 điểm) 1 Cho a ≥ 0, a # 1 Rút gọn biểu thức

Tìm giá trị của biểu thức P x y   x2 xy y 2

Câu 2: (2 điểm) Một xe tải có chiều rộng 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua một

cái cổng có hình parabol Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách

từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới mỗi chân cổng là 2 5m (bỏ qua độ dầy của cổng)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol (P) y ax2 với a < 0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua Chứng minh a = -1

2 Hỏi xe tải có thể qua cổng được không? Tại sao?

Câu 3: (1,5 điểm) Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn a2b2 1 2(ab a b  )

Chứng minh a và b là hai số chính phương liên tiếp.

Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) M là trung điểm của cạnh BC.

O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H Các tiếp tuyến với (O) tại B,C cắt nhau tại S Gọi X,Y lần lượt

là giao điểm của đường thẳng È với các đường thẳng BS,AO Chứng minh rằng:

1 MX BF ; 2 Hai tam giác SMX và DHF đồng dạng ; 3

EF BC

FY CD

Câu 5: (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có các đỉnh là các

điểm nguyên (một điểm được gọi là điểm nguyên nếu hoành độ và tung độ của điểm

đó là các số nguyên).Chứng minh rằng hai lần diện tích của tam giác ABC là một số nguyên

Hướng dẫn giải

Câu 1: (2,5 điểm)

1 Cho a ≥ 0, a # 1 Rút gọn biểu thức

Nếu xy> 1/3 Thì P = 2 ; Nếu xy < 1/3n thì P = 3xy

Câu 2: (2 điểm) Một xe tải có chiều rộng 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua một

cái cổng có hình parabol Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách

từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới mỗi chân cổng là 2 5m (bỏ qua độ dầy của cổng)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol (P) y ax2 với a < 0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua Chứng minh a = -1

2 Hỏi xe tải có thể qua cổng được không? Tại sao?

Bộ đề thi tuyển sinh năm 2015 – 2016 các tỉnh

Suy ra các tứ giác BFHD, BFEC , BFEC nội tếp

Góc ACB = góc XFB = góc FBX

( cùng chắn cung AB, góc trong bằng góc ngoài đối diện).

Tam giác BXF cân suy ra XF = XB

Vì M là trung điểm của BC nên FM là trung tuyến suy ra FM = MB.Vậy XM là trung trực BF hay MX BF

2 Xét hai tam giác FHD và tam giác XMS

ta có góc DFH = góc SXM ( vì cùng phụ với hai góc bằng nhau).

Góc FDH = góc FBH = góc BSM ( cùng phụ với hai góc bằng nhau)

Vậy Hai tam giác SMX và DHF đồng dạng

3 Ta chứng minh được tam giác AFE đồng dạng tam giác ACB và tam giác AFY đồng dạng tam giác ADC suy ra

Đề 6

SỞ GIÁO DỤC &ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 : (1 điểm) Tính: A  3 x2 2 x x  2 1  với x  2

Bộ đề thi tuyển sinh năm 2015 – 2016 các tỉnh

Bài 2: (1,5 điểm) 1) Vẽ đồ thị (P) hàm số

24

1 2

Bài 4:(2,0 điểm) Cho phương trình x2  2( m  1) x  2 m  0 (m là tham số)

1) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

2) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dương.

3) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.

Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của cạnh AC.

Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N Đường thẳng BM cắt đường tròn đường kính MC tại D.

1) Chứng minh tứ giác BADC nội tiếp Xác định tâm O của đường tròn đó 2) Chứng minh DB là phân giác của góc ADN.

3) Chứng minh OM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MC.

4) BA và CD kéo dài cắt nhau tại P Chứng minh ba điểm P M, N thẳng hàng.

§Ò 7

Hải Phòng ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

Năm học: 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

I Phần 1: Trắc nghiệm (2,0 điểm) Hãy chọn chỉ một chữ cái đứng trước câu trả lời đúng.

1 Điều kiện xác định của biểu thức A =

2 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất ?

x

y  

C

21

y x



 

D

325

5 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết cạnh AC = 8, BC = 10 (Trong hình

1) Độ dài đoạn thẳng CH bằng:

6 Cho đường tròn (O) đường kính AC, hai tiếp tuyến MA và MB của đường tròn (Trong

hình 2) Biết ACB 700 Số đo góc AMB bằng

R



C

33

R



D

53

b/ Tìm m để đồ thị (d) và (d’) của hai hàm số cắt nhau tại một điểm có hoành độ dương

Bài 2 (2,0 điểm) 1 Cho phương trình x2 – (m – 3)x – m + 2 = 0 (1) (với m là tham số)a) Giải phương trình (1) khi m = 0

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm

2 Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi ngược dòng từ bến B về bến A mất 6 giờ 15 phút Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng quãng sông AB dài 60 km

và vận tốc dòng nước là 4 km/h

Bài 3 (3,0 điểm) Cho  ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có đường cao AH Gọi I và K lần

lượt là hình chiếu của A lên các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O)

Bộ đề thi tuyển sinh năm 2015 – 2016 các tỉnh

a) CMR các tứ giác AHBI và AHCK nội tiếp đường tròn

b) CMR  AHI và  AKH đồng dạng

c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AI và AK  ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để

AH = AM + AN ?

Bài 4 (1,0 điểm) Cho hai số dương x và y có tổng bằng 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

HẢI PHÒNG ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

Năm học 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN

Phần 1 Trắc nghiệm (2,0 điểm) Mỗi câu đúng được 0,25 điểm

Vậy điểm M(-1; -1) tọa độ giao điểm của (d) và (d’) 0,25đ

b/ Xét phương trình hoành độ giao điểm

2x – 1 + 2m = -x – 2m 3x = 1 – 4m  x =

1 43

m

 > 0  1 – 4m >  m <

14

x 

loại

Vận tốc ca nô xuôi dòng là x4(km h/ ), ngược dòng là x 4(km h/ ).Thời gian ca nô xuôi dòng là

60( )

4 h

x  , ngược dòng là

60( )

4 h

x  Tổng thời gian ca nô chạy xuôi và ngược dòng là 6h15 phút bằng25

4 h Nên ta lập được phương trình

AI  BI; AK  CK (T/c hình chiếu)  AIB 90 ;0 AKC 900

+ Xét tứ giác AHBI có: AHB AIB 1800Suy ra tứ giác AHBI nội tiếp (Dấu hiệu nhận biết)+ Tương tự tứ giác AHCK nội tiếp

0,25đ0,25đ0,25đ

0,25đ

b

Tứ giác AHBI nội tiếp (cmt)  ABI AHI (cùng chắn AI)

Tứ giác AHCK nội tiếp(cmt)  AKH ACH (cùng chắn AH ) 0,25đ

Mà ABIACB ( cùng chắn AB) hay ABI ACH

Chứng minh tương tự AIH AHK (2)

Từ (1) và (2) suy ra AHIAKH (g.g)

Bộ đề thi tuyển sinh năm 2015 – 2016 cỏc tỉnh

AKC AHB (K H 90 ;0 ACK ABH )

12

0,25đ

0,25đ

0,25đ0,25đ

Đề 7

Sở giáo dục và đào tạo

Hng yên 2015 kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt Năm học– 2016 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút

2) Tỡm m để đồ thị hàm số y mx  2 đi qua điểm P  (1; 2)

Cõu 3: ( 1,5 điểm ) Cho phương trỡnh x2  2( m  1) x  2 m  0 (m là tham số)

1) Giải phương trình với m  1

2) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x x1; 2 thỏa mãn x1  x2  2

Câu 4: ( 1,5 điểm )

1) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB  3 cm BC ,  6 cm Tính góc C?

2) Một tàu hỏa đi từ A đến B với quãng đường 40km Khi đi đến B, tàu dừng lại

20 phút rồi đi tiếp 30km nữa để đến C với vận tốc hơn vận tốc khi đi từ A là 5km/h Tính vận tốc của tàu hỏa trên quãng đường AB, biết thời gian kể từ khi tàu hỏa xuất phát từ A đến khi tới C hết tất cả 2 giờ.

Câu 5: ( 2,5 điểm ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O và

AB<AC Vẽ đường kính AD của đường tròn (O) Kẻ BE và CF vuông góc với AD (E;

F thuộc AD) Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC).

1) Chứng minh bốn điểm A, B, H, E cùng nằm trên một đường tròn.

2) Chứng minh HE//CD

3) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh ME MF

Câu 6 (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số lớn hơn 1 Chứng minh:

MBO MEO  ;  MCO MFO  

Tam giác BOC cân tại O nên MBO MCO   

Suy ra  MFO MEO   hay tam giác FEM cân tại M

Câu 6

Ta có

2

4( 1) 4a 1

Bộ đề thi tuyển sinh năm 2015 – 2016 các tỉnh

§Ò 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2015-2016

Môn Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)

Câu 1 (1,5 điểm) a) Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn n 2 4 và

n  là các số nguyên tố thì n chia hết cho 5.

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2  2 (y x y ) 2( x1).

Câu 2 (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức:

b) Tìm m để phương trình:x 2 x 3 x4 x5 m có 4 nghiệm phân biệt

Câu 3 (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x2  x 4 2 x 1 1  x

Câu 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây cung BCR 3 cố định Điểm A di động

trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn Gọi E là điểm đối xứng với B qua AC và F là điểm đối xứng với C qua AB Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABEvà ACFcắt nhau

tại K (K không trùng A) Gọi H là giao điểm của BE và CF.

a) Chứng minh KA là phân giác trong góc BKC và tứ giác BHCK nội tiếp.

b) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhất, tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó theo R.

c) Chứng minh AK luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 5 (1,0 điểm) Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: 2 2 2

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

a) (0,5 điểm)

Ta có với mọi số nguyên m thì m2chia cho 5 dư 0 , 1 hoặc 4

+ Nếu n2chia cho 5 dư 1 thì n2 5k 1 n2 4 5k5 5; k*.

nên n 2 4 không là số nguyên tố

0,25

+ Nếu n2chia cho 5 dư 4 thì n2 5k 4 n216 5 k20 5; k*.

nên n 2 16 không là số nguyên tố Vậy n 2 5 hay n chia hết cho 5. 0,25

Bộ đề thi tuyển sinh năm 2015 – 2016 các tỉnh

+ Nếu ' 0  12 4 3

1

y y

+ Với y 3 thay vào phương trình (1) ta có: x2  8x16 0  x 42  0 x4

+ Với y 1 thay vào phương trình (1) ta có: x2  0 x0.

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm nguyên : x y ;   0;1 ; 4;1 ; 4;3 ; 0; 1         

 y 9 y16 m y2 25y144 m0 (2)

Nhận xét: Với mỗi giá trị y 0 thì phương trình: x12 y có 2 nghiệm phân biệt, do

đó phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân

Với x y 0 không thỏa mãn phương trình (2).

+ Trường hợp 2: x2y thay vào phương trình (2) ta có:

0,25

Câu 4 (3,5 điểm)

Bộ đề thi tuyển sinh năm 2015 – 2016 các tỉnh

a) (1,5 điểm)

Ta có AKBAEB (vì cùng chắn cung AB

của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB)

Mà ABEAEB(tính chất đối xứng) suy ra AKBABE (1)

AKC AFC (vì cùng chắn cung ACcủa

đường tròn ngoại tiếp tam giác AFC)

ACF AFC(tính chất đối xứng) suy ra AKC ACF (2)

0,5

Mặt khác ABEACF(cùng phụ với BAC) (3).

Từ (1), (2) , (3) suy ra AKBAKC hay KA là phân giác trong của góc BKC. 0,25Gọi P, Q lần lượt là các giao điểm của BE với AC và CF với AB.

Ta có BC R 3 nên

2

BOC BAC BOC 

Trong tam giác vuông ABP

có APB90 ;0 BAC 600  ABP300 hay ABEACF 300

0,25

Tứ giác APHQ có

AQH  APH   PAQ PHQ   PHQ  BHC  (đối đỉnh) 0,25

Ta có AKC ABE300, AKBACF ABE300 (theo chứng minh phần a)

Mà BKC AKC AKB AFC AEB ACF ABE  600 suy ra BHC BKC 1800

nên tứ giác BHCK nội tiếp.

Gọi M là giao điểm của AH và BC thì MH vuông góc với BC, kẻ KN vuông góc với BC

(N thuộc BC), gọi I là giao điểm của HK và BC

Khi HK là đường kính của đường tròn (O’) thì M, I, N trùng nhau suy ra I là trung điểm

của BC nên ABC cân tại A Khi đó A là điểm chính giữa cung lớn BC . 0,25

c) (0,5 điểm) Ta có BOC120 ;0 BKC 600suy ra BOC BKC  1800

Ta có OB=OC=R suy ra OB OC   BKO CKO  hay KO là phân giác góc BKC

theo phần (a) KA là phân giác góc BKC nên K ,O, A thẳng hàng hay AK đi qua O cố định 0,25

a b c

hay x  y z 3. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

3 3.2

Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp Chuyên Tin học)

Câu 1 (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x2  3 x   2 0.

b) Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn:

1 3.

Bộ đề thi tuyển sinh năm 2015 – 2016 các tỉnh b) Cho a và b là các số thực thỏa mãn các điều kiện:

6.2015

b) Bạn Nam viết một chương trình để máy tính in ra các số nguyên dương liên tiếp theo thứ

tự tăng dần từ 1 đến 1000 dưới dạng sau:

12345678910111213141516 9989991000

Trong dãy số trên, tính từ trái qua phải, chữ số thứ 11 là chữ số 0, chữ số thứ 15 là chữ số 2.Hỏi chữ số thứ 2016 trong dãy số trên là chữ số nào?

Câu 4 (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD tâm O, M là điểm di động trên cạnh AB Trên

cạnh AD lấy điểm E sao cho AM AE, trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BM BF.

a) Chứng minh rằng đường thẳng OA là phân giác trong của góc MOE , đường thẳng

OB là phân giác trong của góc MOF . Từ đó suy ra ba điểm O, E, F thẳng hàng.

b) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M tới đường thẳng EF Chứng minh bốn điểm A, B, H,O cùng nằm trên một đường tròn.

c) Chứng minh rằng khi điểm M di động trên cạnh AB thì đường thẳng MH luôn đi

Phương trình đã cho tương đương với phương trình

Theo định nghĩa phép toán T, ta có:

Dễ thấy các phương trình (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt

Do (3) nên b khác 0 Chia hai vế của (2) cho b2 ta được

6 , 2015

Bộ đề thi tuyển sinh năm 2015 – 2016 các tỉnh Giả sử a và b là các số tự nhiên sao cho n  2015  a n2;  2199  b2.

Suy ra  AMO  AEO c g c    MOA EOA   

Chứng minh tương tự, ta có OB là phân giác trong của góc MOF 0,25đMặt khác, MOA MOB AOB    90o  MOE MOF  2AOB180o hay E, O, F

H

M

F

B A

O E

I

b) (1,00đ)

Tứ giác AEHM nội tiếp đường tròn đường kính ME nên MHA MEA 45 o 0,25đ

Tứ giác BFHM nội tiếp đường tròn đường kính MF nên MHB MFB 45 o 0,25đ

Ta thấy O và H cùng nhìn AB dưới một góc vuông nên bốn điểm A, B, H,O cùng nằm

c) (1,00đ)

Đường thẳng MH cắt đường tròn đường kính AB tại điểm thứ hai I (I khác H).

Ta có AHI BHI 45o nên I là điểm chính giữa cung AB (không chứa O) của đường

tròn đường kính AB

0,50đ

Do A, B, O là các điểm cố định nên I là điểm cố định (I đối xứng với O qua đường

thẳng AB).

Vậy, khi M di động trên cạnh AB, đường thẳng MH luôn đi qua điểm cố định I (I đối

xứng với O qua đường thẳng AB).

Đồ thị hàm số y  f x   là đường gấp khúc gồm 02 tia và 03 đoạn thẳng liên tiếp

nhau Mặt khác f x    0,    x nên tồn tại giá trị nhỏ nhất của f x   trên  và giá

trị nhỏ nhất này sẽ đạt được tại đầu mút nào đó của các tia hoặc các đoạn thẳng

0,50đ

Nói cách khác: min f x  min f  1 ,f  2 , f  3 , f  4  f  3 8

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f x   bằng 8, đạt được khi x  3. 0,25đ

Ghi chú: Học sinh có thể sử dụng phương pháp chia khoảng.

§Ò 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VĨNH LONG

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút

Bộ đề thi tuyển sinh năm 2015 – 2016 các tỉnh

a) Vẽ đồ thị parabol (P)

b) Biết đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt Gọi hoành độgiao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là x1, x2 Tìm m để x12 x22 6

Bài 4 (1.0 điểm) Một đội xe cần chở 36 tấn hàng Trước khi làm việc, đội được bổ sung

thêm 3 chiếc nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn hàng so với dự định Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe, biết khối lượng hàng chở trên mỗi xe như nhau

Bài 5 (1.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 15cm và AC = 20cm Tính độ

dài đường cao AH và trung tuyến AM của tam giác ABC

Bài 6 (2.0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn, hai đường cao BD và CE cắt

nhau tại H (D thuộc AC; E thuộc AB)

a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp được trong một đường tròn

b) Gọi M, I lần lượt là trung điểm của AH và BC Chứng minh MI vuông góc ED

Bài 7 (1.0 điểm) Biết phương trình bậc hai (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0

x y

O

y = x 2

x2 = 2(m – 1)x + 5 – 2m⇔ x2 – 2(m – 1)x + 2m – 5 = 0Theo định lý Vi-ét:

Vậy: lúc đầu đội có 9 chiếc xe.

a) Tứ giác ADHE có:AD ⊥ DH (BD ⊥ AC – gt)

AE ⊥ EH (CE ⊥ AB – gt)Nên AEH ADH 90   0

Do đó: AEH ADH 180   0

Vậy tứ giác ADHE nội tiếp được trong một đường tròn

b) Tứ giác BEDC có:

BEC BDC 90  (gt) nên cùng nội tiếp nửa đường tròn tâm I đường kính BC (1)

Tương tự, tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn tâm M đường kính AH và E, D là giao điểm

của hai đường tròn tâm M và tâm I Do đó đường nối tâm IM là đường trung trực của dây

chung ED Suy ra: MI ⊥ AD (đpcm)

Bài 7 Theo đề: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0

CB

Bộ đề thi tuyển sinh năm 2015 – 2016 các tỉnh

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPTNăm học: 2015 – 2016

Môn thi : TOÁN Ngày thi: 06/6/2015

Câu 1 a) Giải phương trình : x+2015=2016

b) Trong các hình sau : Hình vuông, Hình chữ nhật, Hình thang cân, Hình thang vuông Hình nào nội tiếp được đường tròn ?

Câu 2 Cho hệ phương trình

(I) ( với m là tham số)

a) Giải hệ (I) với m=1

b) CMR hệ (I) luôn có nghiệm duy nhất với mọi m Tìm nghiệm duy nhất đó theo m Câu 3 : Cho Parabol (P) : y=x2 và đường thẳng (d) có pt : y=2(m+1)x-3m+2

a) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) với m=3.

b) CMR (P) và (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A; B với mọi m.

Gọi x1 ; x2 là hoành độ của A;B Tìm m để x12 + x22 =20.

Câu 4 Cho (O;R) và dây DE< 2R Trên tia đối của tia DE lấy A, qua A kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với (O), (B,C là tiếp điểm) Gọi H là trung điểm DE K là giao điểm

BC và DE

a) CMR tứ giác ABOC nội tiếp.

b) Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp ABOC CMR: H thuộc (I) và HA là phân giác góc BHC CMR : AK2 = 1

AD+

1AECâu 5 Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn 7 (a12+

√3(2a2

+b2)

√3 (2b2

+c2)

√3(2 c2

+a2)

¿b) Với m=0 thì hệ có nghiệm là

¿

x=3 y=− 1/3

¿{

¿Với m 0 Xét biểu thức

m2− 2m+3

¿{

¿Câu 3 : a) với m=3 thì (d) là : y=8x-7

Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ

¿

y=x2y=8 x −7

¿{

¿



¿x=1 y=1

E

M B

O

Bộ đề thi tuyển sinh năm 2015 – 2016 các tỉnh

Vậy với m=3/2 hoặc m=-2 thì x12 + x22 =20.

Câu 4

a) Vì AB, AC là 2 tiếp tuyến với (O)

=> góc ABO= góc ACO = 900

 góc ABO+ góc ACO = 1800

nªn ABOC nội tiếp.

b) Vì H là trung điểm của DE nên OH vuông góc DE => góc AHO = 900

Lại có góc ABO= góc ACO = 900

mµ H thuộc (I).

 Góc AHB = góc AOB ( cùng chắn cung AB của (I) ) (1)

 Và góc AHC = góc AOC ( cùng chắn cung AC của (I) ) (2)

Mà OA là phân giác góc BOC ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại 1 điểm ở bên ngoài đường tròn) nªn góc AOB = góc AOC (3)

Từ (1) (2) (3) => góc AHB = góc AHC, hay HA là phân giác góc BHC.

c) Gọi M là gioa điểm AO và BC => BC vuông góc AO tại M

 góc KMO = góc KHO =900 => KHOM nội tiếp.

 Δ AKO ∞ Δ AMH (g-g) => AH.AK= AM.AO = AB2

Lại có Δ ADB ∞ Δ ABE (g-g) => AD.AE = AB2 nªn AD.AE=AH.AK VËy 2 AD.AE = 2AH.AK= AK 2AH = AK.( AH+AH)= AK( AH+AD+HD) =AK( AD+ AH+HE) < Vì HD=HE>

 3(2a2 +b2 ) (2a+b)2 ;3(2b2 +c2 ) (2b+c)2 ; 3(2c2 +a2 ) (2c+a)2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn: TOÁN Ngày thi: 06/06/2015

Bài 1: (2 điểm) a) Rút gọn biểu thức P = 2  3  6  2 

b) Trong trường hợp m  0 Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phương trình (1), tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x  12  x22

Bài 3: (2 điểm) Trong một phòng có 80 người họp, được sắp xếp ngồi trên các dãy

ghế có chỗ ngồi bằng nhau Nếu ta bớt đi 2 dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm 2 người thì vừa đủ chỗ

Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế được xếp bao nhiêu chỗ ngồi.

Bài 4: (2 điểm) Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O) Vẽ các tiếp tuyến MA, MB

(A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MCD không đi qua O (C nằm giữa M và D) với đường tròn (O) Đoạn thẳng MO cắt AB và (O) theo thứ tự tại H và I Chứng minh rằng:

a) Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

Bộ đề thi tuyển sinh năm 2015 – 2016 các tỉnh

2) Tính giá trị của biểu thức A x 3 3 x khi x 2 2

3) Tìm tọa độ của các điểm có tung độ bằng 8 và nằm trên đồ thị hàm số y2x2

4) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB3, BC5 Tính cosACB.

Câu 2 (1,5 điểm) Cho biểu thức

.1

1) Rút gọn biểu thức Q ; 2) Tìm các giá trị của x để Q 1

Câu 3 (2,5 điểm) 1) Cho phương trình x2 2m 1x m 2 6 0 (1) (với m là tham số)

a) Giải phương trình với m 3.

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có các nghiệm x x1, 2 thỏa mãn 2 2

1) Chứng minh rằng: a) AM AB. AN AC. . ; b) Tứ giác BMNC là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh rằng: a) ADI ∽ AHO ; b) AD1 HB1 HC1 .

3) Gọi P là giao điểm của BC và MN K, là giao điểm thứ hai của AP và đường trònđường kính AH. Chứng minh rằng BKC 90 0

Câu 5 (1,0 điểm) 1) Giải phương trình 3x2 6x 6 3 2   x5 7x19 2 x

2) Xét các số thực dương a b c, , thỏa mãn abc 1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

x  xác định  x  1 0 x1, x  3 xác định  x 3 0  x3

Vậy điều kiện xác định của biểu thức x 1 x 3 là x 3

0,25

2) Với x 2 2 ta có A  2 2 3  3 2 2   2 1 2   2 1 2 0,25

3) Hoành độ của điểm cần tìm là nghiệm phương trình 2x 2 8 0,25

 x 2 Vậy có hai điểm thỏa mãn là: (2;8)và ( 2;8) 0,25

4) Vì tam giác ABC vuông tại A nên AC BC2 AB2  52 32 4 0,25

1) (1,5 điểm) a) (0,75 điểm) Với m 3, ta có phương trình (1) trở thành x2 4x 3 0 0,25

Ta có a b c   1 4 3 0  nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x11; x23 0,25Vậy với m 3, phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x11; x2 3 0.25

Bộ đề thi tuyển sinh năm 2015 – 2016 các tỉnh

AMH ANH  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên HM HN, tương ứng là đường cao của các tam giác vuông ABH ACH,

P

M

N I

H O

B

Do đó AMN ACB BCN BMN ACB BMN AMN BMN      1800

Mà các góc BCN BMN ,  ở vị trí đối diện nên suy ra tứ giác BMNC nội tiếp

0,25

2) (1,0 điểm)

a) (0,5 điểm) Ta có tam giác ABC vuông tại A và O là trung điểm của cạnh BC nên

OA OB OC   OAC cân tại O  OAC OCA   OAC BCN 

Mà AMN ACB BCN nên AMN OAC  AMN DAN

0,25

Vì AMN vuông tại A nên AMN ANM 900  DAN ANM 900  ADN 900

Mà MAN  900  MN là đường kính của đường tròn  I  I là trung điểm của MN

Vì tứ giác ANMK nội tiếp  PKM ANM (2)

Từ (1) và (2) suy ra PBM PKM 1800, do đó tứ giác PKMB nội tiếp

Bộ đề thi tuyển sinh năm 2015 – 2016 các tỉnh

2 2

2

2 2