Bi 2 ết rằng, chiều dài mảnh vườn hơn chiều rộng mảnh vườn là 5.. m Tính chi ều rộng mảnh vườn.[r]
Trang 1S Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2019-2020 Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề)
Câu 1 (2,0 điểm)
1
x x A
x
=
+ và
( 0, 1)
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x= 2
b) Rút gọn biểu thức B
c) Tìm x sao cho biểu thức C = −A B nhận giá trị là số nguyên
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình 4 3
+ =
(không sử dụng máy tính cầm tay) b) Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 2
150m Biết rằng, chiều dài mảnh vườn hơn chiều rộng mảnh vườn là 5 m Tính chiều rộng mảnh vườn
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho hàm số y =(m−4)x+ + (m 4 mlà tham số)
a) Tìm mđể hàm số đã cho là hàm số bậc nhất đồng biến trên
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của mthì đồ thi hàm số đã cho luôn cắt parabol
:
P y=x tại hai điểm phân biệt Gọi x x1, 2là hoành độ các giao điểm, tìm msao cho x x1( 1− +1) x2(x2− = 1) 18
c) Gọi đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng ( )d Chứng minh khoảng cách từ điểm
( )0;0
O đến ( )d không lớn hơn 65
Câu 4 (3,5 điểm)
Cho đường tròn tâm Ođường kính AB K ẻ dây cung CDvuông góc với AB tại H
(H nằm giữa Avà O, H khác A và O) Lấy điểm G thuộc đoạn CH G khác C và H), tia (
AG cắt đường tròn tại E khác A
a) Chứng minh tứ giác BEGH là tứ giác nội tiếp
b) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng BE và CD Chứng minh KC KD =KE KB
c) Đoạn thẳng AK cắt đường tròn tâm O tại F khác A Chứng minh G là tâm đường tròn nội
tiếp tam giác HEF
d) Gọi ,M N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B lên đường thẳng EF.Chứng minh
Câu 5 (0,5 điểm)
Cho a b c là các s, , ố thực dương thỏa mãn: a+ + +b c ab+bc+ca= 6
Trang 2Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3
b + c + a ≥
ĐÁP ÁN Câu 1
a) Điều kiện x≥0,x≠ 1
Khi x =2(tmdk)ta thay vào biểu thức A ta được:
2 2 1
2 1
−
b) Điều kiện: x≥0,x≠ 1
1
1
B
x x
c) Điều kiện : x≥0,x≠ 1
Ta có:
C A B C
Với
0 1
1
x C
x
x C
+
( )
1
x
x
+
Vậy x=0thì C = −A B nhận giá trị nguyên
Câu 2
)
a
Trang 3Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) 2 1
3 3
x y
= b) Gọi chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật là x m( ) x> 0
Khi đó chiều dài mảnh vườn là x+5( )m
Diện tích mảnh vườn là: x+5( )m
Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là 2
150m nên ta có phương trình:
2
2
5 150
5 150 0
15 10 150 0
10( )
15( )
x x
x x
x tm
x ktm
=
⇔ = −
Vậy chiều rộng của mảnh vườn là 10m
Câu 3
a) Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất đồng biến trên khi
4
m
− > >
b) Gọi đồ thị hàm số y =(m−4)x+ +m 4là đường thẳng ( )d
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
x = m− x+ + ⇔m x − m− x− − =m
Số giao điểm của (d) và (P) đồng thời cũng là số nghiệm của phương trình (*)
Có các hệ số a=1,b= −(m−4 ,) c= − − m 4
Ta có:
Ta có: ∆ > ∀0 m
Nên (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Áp dụng hệ thức Vi et cho phương trình (*) ta có: 1 2
1 2
4 4
Theo đề ra ta có:
( ) ( )
2 2
18 0
x x x x
x x x x
x x x x x x
Trang 4( )2 ( ) ( )
2
2
7 10 0
2
2( )
5( )
m tm
m tm
=
⇔ =
Vậy m∈{ }2;5 thỏa giá trị bài toán
c) Ta có: ( )d :y =(m−4)x+ + m 4
+)Xét TH: m− = ⇔ = ta có: 4 0 m 4 ( )d :y =8là đường thẳng song song với trục hoành
( )
( )
d O d
+)Xét TH: m− ≠ ⇔ ≠4 0 m 4ta có:
Goi Alà giao điểm của đường thẳng ( )d với trục Ox ⇒ A x( A;0)
A
OA x
Gọi B là giao điểm của đường thẳng ( )d với trục Oy⇒B(0;y B)
4
B
B
OB y m
Trang 5Áp dụng hệ thức lượng cho OAB∆ vuông tại O có đường cao OH ta có:
4 4
4
m
+
2
2
OH
Giả sử khoảng cách từ O đến đường thẳng ( )d không lớn hơn 65 ⇔d O d( ;( ) )≤ 65
2
2
2
2
2
4
65
64 528 1089 0
m
m
m
+
8m−33 ≥ ∀ ⇒0 m OH ≤ ∀ ⇒65 m d O d, =OH ≤ 65
( )
d O d
⇒ không lớn 65 với mọi m≠4
Kết hợp hai trường hợp trên ta được khoảng cách từ O đến đường thẳng ( )d không lớn hơn 65
8 6 4 2
2 4 6 8
d
H
O B
A
Trang 7Câu 4
a) Ta có AEB=900(góc nôi tiếp chắn nửa đường tròn(O)) 0
90
GEB
Có CD⊥ ABtại H(gt) 0
90
GHB
Xét tứ giác BEGH có 0 0 0
90 90 180
GHB+GEB= + = ⇒ Tứ giác BEGH là tứ giác
nội tiếp
b) Dễ thấy tứ giác BECDnội tiếp đường tròn (O) ⇒KEC =CDB=KDB(góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp)
Xét tam giác KCEvà tam giác KBD có:
BKDchung; KEC =( )KDB cmt
KCE KBD g g KC KD KE KB dfcm
KB KD
c) Ta có: AFB=900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)⇒BF ⊥ AF(1)
Xét ∆KABcó hai đường cao AE KH c, ắt nhau tại G⇒Glà trực tâm KAB∆
P
Q
N
M
F
K
E
D
C
B O
G
Trang 8BG AK
⇒ ⊥ hay BG⊥ AF( )2
Từ (1) và (2) ⇒qua B kẻ được 2 đường thẳng BG BF cùng vuông góc v, ới AF
BG BF
90
GF AF AFG
Xét tứ giác AFGH có 0 0 0
90 90 180
AFG+AHG= + = ⇒Tứ giác AFGH là tứ giác nội
tiếp
GHF GAF
⇒ = (hai góc nội tiếp cùng chắn cung GF)
Tứ giác BEGH nội tiếp (cmt) GHE =GBE(hai góc nội tiếp cùng chắn cung GE)
Lại có: GAF =EAF =EBF =GBE(hai góc nội tiếp cùng chắn cung EF)
GHF GHE HG
⇒ = ⇒ là phân giác của EHF( )*
Tứ giác BEGH nội tiếp (cmt)⇒GEH =GBH (hai góc nội tiếp cùng chắn cung GH)
Mà GBH = FBA=FEA=GEF(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AF)
GEH GEF EG
⇒ = ⇒ là phân giác của HEF( )**
Từ (*) và (**) ⇒Glà giao điểm của hai đường phân giác của tam giác HEF ⇒Glà tâm
đường tròn nội tiếp tam giác HEF
d) Gọi Q là điểm đối xứng của E qua AB I, là giao điểm của QO với ( )O Khi đó IQ
là đường kính của ( )O
Vì Q là điểm đối xứng của E qua AB hay qua HB nên HB là đường trung trực của EQ
,
HE HQ AE AQ
⇒ = = và OE =OQ⇒ ∈Q ( )O
EHQ
∆ có HE =HQnên cân tại H
HB
⇒ vừa là đường trung trực, vừa là đường phân giác ⇒EHQ=2EHB
Vì HG là tia phân giác của EHF cmt( )⇒EHF=2GHE
EHQ+EHF = EHB+GHE = = ⇒FHQ=
, ,
F H Q
⇒ thẳng hàng⇒FQ=HQ+HF =HE+HF
Xét ( )O có 0
90
IFQ= APB= (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)⇒ AP⊥NBmà ( )
MN ⊥ NB gt ⇒MN / /APhay EF / /AP
AF PE
⇒ = (hai cung bị chắn bởi hai dây song song thì bằng nhau)
Lại có: AQ=AE (cmt)⇒ AE= AQ(tính chất dây căng cung)
AF AQ PE AE
⇒ + = + hay FQ= AP
FIQ PBA
⇒ = (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Xét FIQ∆ và ∆PBAcó:
90
IFQ= APB= cmt ;IQ=AB(vì đều là đường kính); (FIQ=PBA cmt)
Trang 9( )
FIQ PBA ch gn FQ AP
Xét tứ giác AMNP có 0
90
M =N =APN =
⇒Tứ giác AMNP là hình chữ nhật ⇒ AP=MN
Mà AP=FQ=HE+HF cmt( )⇒HE+HF =MN dfcm( )
Câu 5,
Với , ,a b cdương, Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
b + ≥ c + ≥ a + ≥
Ta có:
a b b c c a a b c ab bc ca a b c
a b c
a b c
b c a
, ,
a b c
∀ thỏa mãn bài toán ta có:
a b c ab bc ca a b c
a b c
a b c
b c a
Dấu bằng xảy ra ⇔ = = = a b c 1