Tài liệu ôn thi vào 10 năm học 2010

Chứng minh tương tự ta cũng có MN là tiếp tuyến của I tại M, VËy MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®­êng trßn I, K.. Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp.[r]

Đặng Đình Điệt Trường THCS Hùng Thắng - TL 1

Phần I : Đại số

I – Căn bậc hai

Dạng I : Căn bậc hai - Định nghĩa , kí hiệu.

Ví dụ 1 : Tìm x biết x2 = 8

Giải : x =  82 2

Ví dụ 2 : Tìm x biết x12

5

1 4

1

0 1































x x

x x

x

2 3

và

3

2

4

và

sánh

So

:

3

dụ

Ví

15

2 3 3 2 18

12

18 2 3

; 12 3 2

; 15

16

4

co

Ta

:

Giai















Ví dụ 4 : Tính 5,47 0,25

Giải : 5,47 0,25 5,47.0,55,43,58,9

Bài tập tự giải :

1) Tìm x biết a) x2 1 2 b) x2 52

2

1 ) 4

1 25 , 0

a

3) So sánh 2 5 và 3 3

4) Tìm giá trị nhỏ nhất của y biết:

a)y = x2 – 2x +3 b)y = 9x2  x12 11

Dạng 2 : Căn thức bậc hai- điều kiện tồn tại- hằng đẳng thức A2  A

Ví dụ 1 : a) Tìm x để biểu thức 2x4 có nghĩa ?

Giải : Ta có 2x4 có nghĩa khi 2x40x2

b) Tìm x để x2 5 có nghĩa?

Giải : Ta thấy x2  0x nên x2 5 có nghĩa với mọi x

Ví dụ 2 : Giải phương trình : 2x3  x1

4 2

3 1

3 2

0 3 2



































x

x x

x x

Ví dụ 3 : Tính  1 3 2 52 6

Giải : Ta có :  

3 2 3 2 3 2 6

2 5

1 3 3 1 3 1

2 2

























Bài tập tự giải :

Đặng Đình Điệt Trường THCS Hùng Thắng - TL 2

1) Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa :

5

2 ) 2

) 30 5 ) 2







x d x c x b

x

a

2) Rút gọn biểu thức :

1 2 1

2

)

6 12 33 6 6

15

)

2







x x x

x

b

a

3) Giải phương trình: x2+2x = 3-2 2

4) Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: 3x2 4x

Dạng 3 :Quy tắc khai phương.

Ví dụ 1 : Tính

105 21 5 441

25

441

25



 :

có

Ta

Ví dụ 2 : Tính a) 3 12 b) 4a 16a

Giải : a) 3 12  3.12  36 6

b) 4a 16a  4a.16a  64a2 8a

Ví dụ 3 : Tính a)

16

9 : 25

36 ) 49

4 ) 225

c b

a b

Giải : a)

5

3 15

9 225

81 225

b)

7

2 49

4 49





c)

15

24 4

3 : 5

6 16

9 : 25

36 16

9 : 25

Ví dụ 4 : Tính

a)3 22 33 22 3 b)1282 1622 6 24: 2

Giải :

a)3 22 33 22 3     3 2 2  2 3 2 18126

b)1282 1622 6 24: 2  642 812 3 12 82.92 32 310 Bài tập :

1) Rút gọn biểu thức

b a a b a b a

2) Rút gọn và tính giá trị biểu thức :

A 416x9x2 khix- 2

2 2 2

c)( 282 14 7)7 8 d)( 83 2 10)( 23 0,4)

e)15 505 2003 450: 10

4)Tính a)A(2 3) 74 3 b)B( 10 6) 4 15

Đặng Đình Điệt Trường THCS Hùng Thắng - TL 3

5)Tìm x biết:

a) 4x  5 b) 9(x1) 21 c) 4(1 x)2 60

6)Tìm x biết:

a)(7 x)(8 x) x11 b) x3 1x 2

7) Phân tích thành tích:

a)82 15 b)1 3 5 15 c) 10 14 15 21 d)3 18 3 8

e)x6 x 8 f) abb ab a b

Dạng 4 : Các phép toán về căn bậc hai :

Ví dụ 1 : 75  52.3 5 3

2 3  22.3  12

5

1 5

5 5

1

2 



9

6 2 6 3

6 4 ) 6 ( 3

6 4 6

3

4



3 7

) 3 7 ( 8 3 7









Bài tập :

1) So sánh 20 và 3 5

2) Khử mẫu :

5 3 3

5

3 5 ) 3

6

)







2 2

1 c)

b a

3) Tính :

27 2 3

2 2 5 , 4 3

1 5 72

2

1 4

b

4) Tính

b) 6

1 3

216 2

8

6 3 2

















a

5 7

1 : 3 1

5 15 2

1

7 14

























c)

10 2 7

15 2 8 6 2 5









4) Rút gọn biểu thức:

b

a 0, b 0, a





b a ab

a b

b

a



































1

1 1

1

a

a a a

a a

II : Hàm số bậc nhất - Định nghĩa – Tính chất

Dạng 1 : Hàm số bậc nhất

Ví dụ 1 : Các hàm số sau, hàm số nào đồng biến , nghịch biến ?

a) y = 2x- 3 b) y = 1 – 2x c) y = (1 - 2)x 3

Giải : a) a= 2 > 0 : Đồng biến

Đặng Đình Điệt Trường THCS Hùng Thắng - TL 4

b) a = - 2 < 0 : Nghịch biến

c) a = 1 - 2< 0 : Nghịch biến

Ví dụ 2 : Tìm m để hàm số sau đồng biến , nghịch biến ?

y = ( 2m – 1 ) x + m – 2

Giải : Hàm số đồng biến khi 2m – 1 > 0

2

1

m



Hàm số nghịch biến khi 2m – 1 < 0

2

1

m



Ví dụ 3 : Cho hàm số y = -2x + b Tìm b biết khi x = 2 thì y = -1?

Giải : Thay x =2 , y = -1 vào ta có : -2 2 +b = -1 4b1b3

vậy y = -2x + 3

Ví dụ 4 : Cho hàm số y = mx – 3 Tìm m biết khi x=2 thì y=1?

Giải : Thay x=2 , y=1 vào ta có : m.2 – 3 = 1 => m= 2 ; vậy y=2x- 3

Ví dụ 5 : Cho hàm số y= ( m-1)x + 3

a) Tìm m để đồ thị hàm số song song đường thẳng y=2x?

b) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với 2 trục toạ độ tam giác cân?

c) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành 1 góc 450?

Giải :

a) m-1=2 => m=3 vậy y =3x+3

b) Đồ thị cắt Oy tại (0;3) , cắt Ox tại nên

1 m

3





























2 m

0 m 1 1 m 3 1 m 3

c) Để 450 thì hay m1 1 







 2 m

0 m

Ví dụ 6 : Tìm m để các đường thẳng sau song song?

y=(m-3)x + 2 , y=(3m – 7)x – 3

Giải : để 2 đường thẳng song song thì m-3 = 3m – 7 => m= 2

Ví dụ 7 : a) Chứng minh 3 đường thẳng sau đồng quy : y=2x + 1 (1), y=-x+1 (2) y= x 1 (3)

2

1 

b) m=? để các đường thẳng sau đồng quy : : y=mx + 2 (1), y=-x + 3 (2) , y=2x – 1 (3) ?

Giải :

a) Giao của (1) và (2) là (0;1) thay vào (3) thoả mãn Vậy 3 đường đồng quy

b) Giao của (2) và (3) là (4/3;5/3) thay vào (1) được m=2

Ví dụ 8: CMR đường thẳng y = mx+3 - m luôn đi qua 1 điểm cố định ?

Giải :

y = mx+3 - m => m(x-2) = y-3 ,không phụ thuộc m khi x=2,y=3.Từ đó đường thẳng luôn đi qua điểm cố định ( 2;3) với mọi m

Ví dụ 9 : Tìm m để 2 đường thẳng sau vuông góc ? y = 2x - 3 ; y = (m-2)x + 3

Giải : 2 đường thẳng vuông góc khi tích 2 hệ số góc bằng 1 tức là 2(m-2) = 1 suy ra m=5/2

Ví dụ 10 :

Viết phương trình đường thẳng di qua A(1;3) và song song đường thẳng y = 2x – 1 (1) ?

Giải : PT đường thẳng qua A có dạng y = ax + b, ta có a.1 + b = 3 , mặt khác đường thẳng song song (1) => a =

2 từ đó b = 1 Vậy y = 2x + 1

Dạng 2 Hệ phương trình.

Ví dụ 1 : giải hệ phương trình :















8 y 2 x

1 y 3 x

Đặng Đình Điệt Trường THCS Hùng Thắng - TL 5

Giải :















8 y 2

x

1 y 3

x















































1 y

2 x 1

y 3 x

13 y 13 16

y 4 x 6

3 y 9 x 6

Ví dụ 2 : Cho hệ phương trình :















5 y 2 mx

4 y x 2

a) Giải hệ khi m=1

b) Tìm m để hệ có 1 nghiệm , VSN , VN ?

Giải :

a) m=1 ta có hệ :

























































2 y

1 x 5 y 2 x

3 x 5

y 2 x

8 y x 4 5 y 2 x

4 y x 2

b) Hệ đã cho



















(*) 5 ) x 2 4 ( 2 mx

x 2 4 y

(*)(m4)x3 , Từ đó :

 Phương trình có 1 nghiệm khi m40m4

 Phương trình VSN :không xảy ra

 Phương trình VN khi m-4=0 tức là m = 4

Ví dụ 3 : Lập phương trình đường thẳng đi qua các điểm A(1;2) và B(-1;3) ?

Giải : Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b (a0)

Đường thẳng đi qua A,B nên ta có hệ phương trình :

2

5 x 2

1 y 2

5 b 2

1 a 3 b a

2 b a













































Bài tập :

1) Giải hệ phương trình



































































































5 y

4 x 3

1 y

1 x

1 ) e

5 y x 8

2 y 2 x 4 ) d 1 1 y

3 1 x 2

2 1 y

1 2 x

1 ) c 0 ) y x ( 4 ) 2 y ( 3

1 2 y 3

3 x ) b

; 4 y x

x 4 y ) a

2) Tìm a,b để hệ có nghiệm x=2 , y=5 ?













 3 ay bx

a by x

3) Tìm a để hệ có nghiệm âm ?













 2 ay x

1 y 6 x

4) Cho hệ phương trình :



















2 ay x

m 2 y mx a) Tìm m để hệ có nghiệm (x=1;y=1)

b) Tìm m để hệ có VSN ; VN ?

Đặng Đình Điệt Trường THCS Hùng Thắng - TL 6

5) Giải hệ phương trình :















 20 yz

15 xz

12 xy

6) Lập phương trình đường thẳng đi qua :

a) A(1;2) , B(1;3)

b) A(2;3) , B(-1;3)

c) A(-1;4) , B(2;5)

III - Phương trình bậc hai, quy về bậc hai.

Ví dụ 1 : Giải Pt : 9x2-30x+225=0

Giải : (15)2 9.22518000

Phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2 : Giải Pt : 3x2+10x - 48= 0

Giải :

13

0 169 48 3 5















3

13 5 x

3

8 3

13 5

x1     2    

Ví dụ 3 : Với giá trị nào của k thì phương trình :

a) 2x2+kx – k2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt?

b) 25x2+mx+2 = 0 có nghiệm kép?

c) 5x2+18x+m = 0 vô nghiệm?

Giải :

a) phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi 0k2  k2 0 k2 0 k 0

b) Phương trình có nghiệm kép khi 0m2 2000m10 2

c) Phương trình vô nghiêm khi

5

81 m 0 m 5 81 0 '     



Ví dụ 4 : Với giá trị nào của b thì phương trình (b -1)x2 - (b+1)x- 72=0 có 1 nghiệm bằng 3 ? Tìm nghiệm còn lại?

Giải : Thay x=3 vào phương trình ta có :

(b-1).9 – (b+1).3 – 72 = 0

=>b=14

Thay b=14 vào ta có : 13x2-15x-72=0 , theo Viet ta có x1.x2=-72/13 từ đó x2=-72/39

Ví dụ 5: Cho phương trình x2+3x-1=0 Không giải phương trình hãy tính ?

2

1

x1 

Giải : Theo Viet ta có















 1 x x

3 x x

2 1

2 1

11 1

1 9 )

x x (

x x 2 ) x x (

x

1

x

1

2 2 1

2 1

2 2 1 2

1















Ví dụ 6 : Cho phương trình x2- 2(m-1)x-2(m+5) = 0

a) Giải phương trình khi m=2

b) Trong trường hợp phương trình có 2 nghiệm x1,x2 , hãy lập 1 hệ thức giữa chúng không phụ thuộc vào m? c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A=x1 +x2

Giải :

Đặng Đình Điệt Trường THCS Hùng Thắng - TL 7

a) m=2 ta có phương trình : x2-2x-14=0

15

1

x

15

14

1

'

1  







Δ

b) Ta có x1+x2=-2(m-1)

x1x2=-2(m+5)

=> x1+x2- x1x2=7 là hệ thức cần tìm

c)A=(x1+x2)2-2x1x2 = 4(m-1)2+4(m+5) = 4m2+24 24 , vậy A min=24 <=>m=0

Ví dụ 7 : Cho phương trình x2+(m+5)x+6-m=0

Gọi x1,x2 là nghiệm của phương trình , tìm m để 2x1+3x2=13 ?

Giải :Ta có :



























13 x

3 x

2

m 6

x x

5 m x

x

2 1

2 1

2 1

Giải ra được x1=-3m-28,x2=23+2m thay vào ta có 3m2+62m+319=0 từ đó m=11 và m=29/3

Ví dụ 8 Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là 2/3 và 4/3?

Giải : ta có 2/3+4/3=2

2/3.4/3=8/9

Vậy chúng là nghiệm của phương trình bậc hai x2-2x+8/9=0 hay 9x2-18x+8=0

Ví dụ 9.Giải các phương trình :

a) (2x2-x-1)2-(x2-7x+6)2=0 b) 2x4-7x2-4=0 c) 1

1 x

1 1 x







c) (y2+2y)2-3(y2+2y)+2=0 d)y2+2y-2 y2  y+1=0

Giải :

a) Biến đổi phương trình thành (3x2- 8x+5)(x2- 6x-7)=0 , giải ra được x1=1,x2=5/3,x3=-7

b) Đặt x2=t 0 ,ta có phương trình 2t 2 – 7t – 4 = 0, giải ra được t = 4 vậy x = 2 2

c) đk : x1, quy đồng và khử mẫu được phương trình x2= - 1 , phương trình vô nghiệm

d) Đặt y2+2y=t , ta có phương trình t2-3t+2=0; t1=1,t2=2 , từ đó có 2 phương trình :

y2+2y-1=0 và y2+2y-2=0 giải ra được y=-1  2và y=-1 3

e) Đặt y2 2y=t 0 , ta có phương trình t 2-2t+1=0, giải ra được t=1 vậy y2+2y-1=0 ,

từ đó y=-1  2

IV- Quan hệ giữa đường thẳng và đường cong.

Ví dụ 1 Tìm giao điểm của (d):y= x 2và (P):y=

2

4 1

Giải : Ta giải phương trình x2= hay x2- 2x – 8 = 0 Giải ra được x1=4,x2=-2 =>y1=4,y2=1

4

1

2 x 2

1 

Vậy giao điểm là A(4;4), B(-2;1)

Ví dụ 2 Cho đường thẳng (d):y=mx-2 và đường cong (P):y=x2 Tìm m để (d) và (P) không cắt nhau, tiếp xúc nhau, cắt nhau tại hai điểm?

Giải : Xét phương trình x2=mx-2 => x2-mx+2=0

8

m

Δ 2 

Để 2 đường không cắt nhau thì Δm2 8<0 hay 2 2<m<2 2

Để 2 đường tiếp xúc nhau thì Δm2 8=0, m=2 2

Để 2 đường cắt nhau tại hai điểm thì Δm2 8>0, m>2 2hoặc m<2 2

Bài tập tự giải:

Cho đường thẳng (d) có phương trình y = (m-1)x + m và parabol (P) : y = x2 Tìm điều kiện của m để :

Đặng Đình Điệt Trường THCS Hùng Thắng - TL 8

a) (d) đi qua điểm có hoành độ –2 trên (P)

b) (d) tiếp xúc (P)

c)* Giải BPT (m-1)x + m > x2

V- Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Dạng 1 Toán chuyển động

a) Một ô tô dự định đi từ A đến B trong 1 thời gian nhất định Nếu xe chạy với vận tốc 35Km/h thì đến muộn

2 giờ Nếu xe chạy với vận tốc 50Km/h thì đến sớm 1 giờ Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu?

Giải: Gọi quãng đường AB là x (Km) , x>0; thời gian dự định đi là y(giờ),y>2

Nếu xe chạy với vận tốc 35Km/h thì hết thời gian x/35 giờ và đến muộn 2 giờ nên ta có phương trình : x/35 – y

= 2

Nếu xe chạy với vận tốc 50Km/h thì hết thời gian x/50 giờ và đến sớm 1 giờ nên ta có phương trình : x/50 – y = -1

Kết hợp 2 phương trình ta có hệ phương trình























1 y 50 x

2 y 35 x

Giải hệ được x=350,y=8 (thoả mãn)

Vậy quãng đường AB dài 350Km, thời gian dự định đi lúc đầu là 8 giờ

b) Một ca nô đi từ bến A đến bến B cách nhau 60Km, cả đi và về hết 12,5 giờ.Biết vận tốc dòng nước là 2Km/h , tính vận tốc thực của ca nô?

Giải : Gọi vận tốc thực của ca nô là x(Km/h),x>2

Vận tốc ca nô lúc đi là x+2 (Km/h), lúc về là x-2(Km/h)

Thời gian ca nô đi là 60/x+2 giờ; thời gian ca nô về là 60/x-2giờ

Theo bài ra ta có phương trình: 12,5 x 9,6x 4 0

2 x

60 2 x

















Giải ra được x=10(Tm),x=-0,4<0(loại)

Vậy vận tốc thực của ca nô là 10Km/h

Dạng 2 : Toán về số và chữ số

a) Tìm hai số tự nhiên lẻ liên tiếp biết tổng các bình phương của chúng bằng 202?

Giải :Gọi số lẻ thứ nhất là n (n là STN) thì số lẻ thứ hai là n+1

Theo bài ra ta có phương trình : n2 + (n+1)2 = 202 hay n2 + 2n – 99 = 0

Giải ra được n1=9 (TM),n2=-11(loại)

Vậy 2 số lẻ là 9 và 11

b) Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số biết tổng các chữ số của nó là 13 và nếu cộng 34 vào tích 2 chữ số thì được chính số đó?

Giải :

Gọi số tự nhiên là ab10ab (a,bN,1a9,0b9)

Theo bài ra ta có hệ phương trình

















b a 10 34 ab

13 b a

Giải hệ ta có a=7,b=6 ( thoả mãn)

Vậy số cần tìm là 76

Dạng3 : Toán làm chung , làm riêng

a)Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 12 giờ Hai đội cùng làm sau 4 giờ thì

đội I được điều đi làm việc khác, đội II làm nốt công việc trong 10 giờ Hỏi đội II làm một mình thì hoàn thành công việc sau bao lâu?

Giải:Gọi thời gian đội II làm xong công việc một mình là x (giờ) x>12

Mỗi giờ tổ II làm được 1/x công việc

Đặng Đình Điệt Trường THCS Hùng Thắng - TL 9

Hai tổ đã làm chung trong 4 giờ được 1/3 công việc , còn lại 2/3 công việc

Theo bài ra ta có phương trình : 10

x

1 : 3

2



Giải ra được x=15(thoả mãn)

Vậy tổ II làm một mình xong công việc sau 15 giờ

c) Trong tháng đầu, hai tổ công nhân làm được 800 chi tiết máy Sang tháng thứ hai , tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 20% , nên cuối tháng hai tổ làm được 945 chi tiết máy Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ làm được bao nhiêu chi tiết máy?

Giải :Gọi số chi tiết máy mà tổ I làm được trong tháng đầu là x ( chi tiết)

số chi tiết máy mà tổ II làm được trong tháng đầu là y ( chi tiết)

ĐK: x,y nguyên,dương,nhỏ hơn 800

Tháng đầu , hai tổ làm được 800 chi tiết nên ta có phương trình x+y=800

tổ I vượt mức 15%x chi tiết, tổ II vượt mức 20%y chi tiết nên ta có phương trình

15%x+20%y=145

Kết hợp 2 phương trình ta có hệ phương trình















145 y

% 20 x

% 15

800 y x

Giải ra được x= 300, y= 500 (thoả mãn)

Vậy trong tháng đầu tổ I làm được 300 chi tiết máy, tổ II làm được 500 chi tiết máy

Bài tập tự giải:

1) Một ôtô đi từ Hà Nội xuống Hải Phòng với vận tốc 50 km/h , lúc về xe chạy với vận tốc nhanh hơn lúc đi 5 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi 12 phút Tính quãng đường mà xe chạy từ Hà Nội đến Hải Phòng

Đáp số : 110 km 2) Hai bến A, B cách nhau 120 km Lúc 7 giờ một ca nô đi xuôi dòng từ bến A với vận tốc 12 km/h , cùng lúc đó một chiếc ca nô khác ngược dòng từ bến B Chúng gặp nhau lúc mấy giờ , biết vận tốc của ca nô đi từ bến B là 14 km/h và vận tốc dòng nước là 2 km/h

Đáp số : 11giờ

3) Tìm một số có hai chữ số biết chữ số hàng chục hơn chữ số hàng đơn vị là 5 và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới hơn số cũ 45 đơn vị

Đáp số : 27

4) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước thì bể đầy sau 5 giờ Nếu vòi thứ nhất chảy một mình trong 2 giờ

và thì được 1/15 bể Hỏi vòi 2 chảy một mình trong bao lâu thì đầy bể ?

Đáp số : 15 giờ V- Bài tập tổng hợp

1) Cho biểu thức A=

x 1

1 ) x 1

1 x 1

1 ( : ) x 1

1 x 1

1 (

















a)Rút gọn A

b)Tính A khi x=7+4 3

c)Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất

Giải :

) 1 (

1 1

1 1

1

1 2

1 1

2 1

1 1

2

:

1

2

1

1 ) 1

1 1

( : ) 1

1 1

(

)

x x

x x

x x

x x x

x

x

x

x x

x x

x

x x

A

a





















































b)x74 3(2 3)2  x 2 3

Đặng Đình Điệt Trường THCS Hùng Thắng - TL 10

Từ đó

2

3 3 5 ) 3 1 )(

3 2

(

1









c)A đạt giá trị nhỏ nhất khi x(1 x)lớn nhất

4

3 4

3 ) 2

1 (

)

1

(  x  x  

x

GTLN của x(1 x)là -3/4 , vậy A nhỏ nhất là -4/3 khi và chỉ khi x=1/4

2) Cho

2

2 : ) 1 )

1 (

















a

a a a

a a a a

a a

A

a) Tìm TXĐ của A b) Rút gọn A c) Tìm a nguyên để A có giá trị nguyên

Giải :

a) TXĐ :



















































2

; 1

0 2

1

; 0 0

0

0 2

0

a

a a

a a a

a

a a

b) Rút gọn A=

2

) 2 ( 2 2

2 1 1

2

2 : ) 1 (

) 1 (

2

2 : )

1 (

) 1 )(

1 ( )

1 (

) 1 )(

1 ( 2

2 : ) 1 1

(













































































a

a a

a a

a a a

a a

a a

a a a

a a

a

a a

a

a a a a

a

a a a a

a a a

a a a a

a a

c)

2

8 2 2

8 ) 2 ( 2 2

) 2

(

2





















a a

a a

a

A

Ư(8)=











Z 8 a 2 a 2

A  1;2;4;8

Từ đó giải ra được a=-1;-3;0;-4;2;-6;6;-10;

Phần II: hình học

Bài 1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại

H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P

Chứng minh rằng:

1 Tứ giác CEHD, nội tiếp

2 Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn

3 AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC

4 H và M đối xứng nhau qua BC

5 Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

Lời giải:

1 Xét tứ giác CEHD ta có:

 CEH = 900 ( Vì BE là đường cao)

 CDH = 900 ( Vì AD là đường cao)

H

( (

2

1

1 1 P

N

F

E

M

B

A

O

Mà  CEH và  CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp

2 Theo giả thiết: BE là đường cao => BE  AC => BEC = 900

CF là đường cao => CF  AB => BFC = 900 Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn

3 Xét hai tam giác AEH và ADC ta có:  AEH =  ADC = 900 ; Â là góc chung

=>  AEH  ADC => => AE.AC = AH.AD

AC

AH AD

AE 