ung dung BDT Schwarz

S ách giáo khoa Toán ỏự Toán ịự NXắ Giáo d ụ cự ổợợỏọ. pdf Machine.[r]

ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ ĐỂ GIẢI TOÁN

Bài toán xuất phát Cho hai số aự b là hai số bất kì và xự y là hai số

dýõngọ ẫhứng minh rằngủ

 

y x

b a y

b x

a









2 2

2

(1)

Chứng minh Bất đẳng thức cần chứng minh týõng đýõng vớiủ

 

0 2

) ( ) (

2

2 2 2

2

2 2

2

























bx ay

x b abxy y

a

xy b a y x x b y x y a

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúngọ ẻấu ỔỉỖ xảy ra khi

y

b x

a bx

Sử dụng bất đẳng thức ể1) hai lần ta cóủ

z y x

c b a z

c y x

b a z

c y

b x

a























2 2

2 2

2 2

(2) với ế số bất kì aự bự c và ế số dýõng xự yự zọ

Dấu bằng xảy ra khi

z

c y

b x

a



Týõng tự nhý trên, bằng phýõng pháp quy nạp toán họcự ta sẽ thu đýợc một bất đẳng thức tổng quát hõn Ờ bất đẳng thức Schwarz nhý sauủ

Với n số bất kì a1, a2, Ầ ự an và n số dýõng x1, x2, Ầ ự xn ta cóủ

n n n

n

x x

x

a a

a x

a x

a x

a





















2 1

2 2

1 2

2

2 2 1

2

Đẳng thức xảy ra khi

n

n

x

a x

a x

a







2 2 1 1

Sau đâyự ta sẽ sử dụng bất đẳng thức (*) để giải quyết một số bài toán chứng minh bất đẳng thức khácọ

Bài toán 1

Cho hai số aự b bất kìọ ẫhứng minh rằng  

8

4 4

b

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức ểửả ta cóủ

 2 22 4

4 4

b

Tiếp tụcủ

4 2

2 1

1

4 2

2 2 2

2 2 2

b

Vậy ta có điều phải chứng minhọ

Đẳng thức xảy ra khi a ỉ bọ

Bình luận Rõ ràng đây là một lời giải thật gọn gàngự Ộtrong sángỢọ Cái

khéo léo ở đây là ta đã sử dụng phép biến đổi

1

; 1

4 4 4

b

a

a   để biểu thức ở vế trái có dạng phân sốọ

Bài toán 2

a

c c

b b

a











2 2 2

với aự bự c là các số thực dýõngọ

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức ểửả ta cóủ

a c b

c b a a

c c

b b

a





















2 2

2 2

Đẳng thức xảy ra khi a ỉ b ỉ cọ

Bài toán 3

Cho hai số dýõng xự y thỏa mãn x ụ y ỉ ờọ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A =

y x

3 2



Lời giải Áp dụng bất đẳng thức ểửả ta cóủ

6

6 2 5 3 2 3













y x y

x A

Đẳng thức xảy ra khiủ











































3 2

3 6

3 2

2 6 6

3 2

y

x y

x

y x

Vậy giá trị nhỏ nhất của ĩ bằng

6

6 2

5 

đạt đýợc khi

3 2

3 6

; 3 2

2 6







x

pdf Machine

Bình luận Bắ quyết ở đây là gìữ Trả lờiủ Ta đã sử dụng phép biến đổi

 2 2; 3  3 2

2   để làm cho tử số có dạng bình phýõngự từ đó mới áp dụng

đýợc ểửảọ Yếu tố tử số có dạng bình phýõng là cực kì quan trọng khi áp dụng bất đẳng thức Schwarz

Bài toán 4

Cho x, y, z là các số dýõng thỏa mãn 1 1 1 4

z y x

Chứng minh rằng

1 2

1 2

1 2

1

















x

(Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ khối A nãm 2005) Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức ểửả ta cóủ

z x y x z x y x z x y x z y x

1 1 1 1 1

1 4

4

4 2

16









































z y y x z y y x z y y x z y x

1 1 1 1 1

1 4

4

4 2

16









































z y z x z y z x z y z x z y x

1 1 1 1 1

1 4

4

4 2

16









































Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta đýợcủ

1 16

4 4 1 1 1 4















z y x VT

Đẳng thức xảy ra khi x ỉ y ỉ z ỉ

4

3

Bình luận Một bài toán thi tuyển sinh đại học đã trở nên rất đõn giản với

kiến thức bậc THẫSố

Bài toán 5

Cho a, b, c là các số dýõngọ Chứng minh rằngủ

b a c a c b c b a a c c b b

1 2

1 2

1 3

1 3

1 3

1 Đẳng thức xảy ra khi nàoữ

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức (*) ta cóủ

 

 

 

b a c b a c c b a a c c b a a c

a c b a c b b a c c b b a c c b

c b a c b a a c b b a a c b b a

































































































2

2 )

2 ( 2

4 2

3

1 1 2

1 3

1

2

2 )

2 ( 2

4 2

3

1 1 2

1 3

1

2

2 )

2 ( 2

4 2

3

1 1 2

1 3

1

2 2 2

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minhọ

Đẳng thức xảy ra khi









































c b a c b a a c

b a c c b

a c b b a

2 3

2 3

2 3

Bình luận Sự sáng tạo trong lời giải này là ta đã cộng vào vế trái một

lýợng phù hợpự từ đó làm cho bài toán trở nên đõn giản hõn rất nhiều

Bài toán 6

Chứng minh rằng nếu aự bự c là các số thực dýõng thỏa mãn abc = ab + bc + ca thìủ

16

3 2 3

1 3

2

1 3

2

1

















a

Lời giải Từ abc ỉ ab ụ bc ụ ca suy ra 1111

c b a

Đặt x ỉ

a

1

, y =

b

1

, z =

c

1

thì x ụ y ụ z ỉ ộọ

Áp dụng bất đẳng thức (*), ta cóủ

a + 2b + 3c =

z y x z z z y y x z z z y y x z y

36 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2













































Suy ra

36

3 2 3

2

c b a











Týõng tựự ta cóủ

36

3 2 3

2

c b a











36

2 3

2 3

c b a











Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên ta đýợcủ

16

3 6

1 6

36

) (

6 2 3

1 3

2

1 3

2

1

































z y x z y x c b a c b a c b

pdf Machine

Bình luận Quan sát bất đẳng thức đã choự ta thấy không có dấu ỔỖ mà thay vào đó là dấu ỔặỖọ Điều đó chứng tỏ rằng biểu thức ở vế trái có giá trị lớn

nhất bằng một số nhỏ hõn

16

3

Vậy số đó là số nàoữ Ta thấy vai trò của aự bự c là

nhý nhau nên ta thay a ỉ b ỉ c ỉ ế vào vế trái thì đýợc số

6

1

Vậy bài toán rất có thể làủ

ỘChứng minh rằng nếu aự bự c là các số thực dýõng thỏa mãn abc ỉ ab ụ

bc + ca thìủ

6

1 2 3

1 3

2

1 3

2

1

















Thực tế qua chứng minh đã cho ta thấy điều dự đoán là chắnh xácọ Số

16 3

ở vế phải thực ra chỉ là cách Ộtung hỏa mùỢ của ngýời ra đề mà thôiố

Bài toán 7

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcủ

3 3 6 3

3 6 3

3 6

b a

c a

c

b c

b

a B













trong đó aự bự c là các số thực dýõng thỏa mãn điều kiện a ụ b ụ c ỉ ộọ

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức (*) ta cóủ

2 )

( 2

3 3 3 3 3 3

2 3 3 3 3 3 3 3 3 3

2 3 3 3 3

3 6 3

3 6 3

3

6

c b a c b a

c b a b a a c c b

c b a b

a

c a

c

b c

b

a







































Lại áp dụng bất đẳng thức ẫauchy-Schwarz (bất đẳng thức ắunhiacovskiả

ta cóủ

     2 2 2  3 2 3 2 32  2 2 22

3 3 3

3 3 3 3

3 3

) )(

(

1) c b a (do

) )( ( c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a                                   Lại cóủ     a - b b - c c - a 0

2 2 2 2 2 2 3

2 2

2

2 2 2 2 2

2 2





























a

3

1 3

2 2

2 2











c b a

Do đó ta cóủ

9

1

3 3 3





b c a

Tóm lạiủ

18

1



B

Vậy giá trị nhỏ nhất của ắ bằng

18

1

, đạt đýợc khi a ỉ b ỉ c ỉ

3

1

Bài toán 8

Cho a, b, c là ế số dýõng thỏa mãn abc ỉ ộọ ẫhứng minh rằngủ

2

3 ) (

1 )

(

1 )

(

1

3 3









c b c a c a b b

a

Đẳng thức xảy ra khi nàoữ

Lời giải Biến đổi vế trái của bất đẳng thức trên và áp dụng bất đẳng thức

(*) ta cóủ























































































c b a c

b a

c b a

a b

c c a

b b c

a cb ca

c ba bc

b ac ab

a b

a c a c b c b a

1 1 1 2

1 1 1 1 2

1 1 1

1 1

1 1 1

1 1 1

1 1

1 1

) (

1 )

(

1 )

( 1

2

2 2

2 2

2 2

3 3

3

Theo bất đẳng thức ĩM Ờ GM (bất đẳng thức ẫauchyả ta cóủ

3

1 3 1 1 1







abc c

b a

Từ đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a ỉ b = c = 1

Bình luận Một lần nữa ta thấy vai trò của yếu tố Ộtử số có dạng một bình

phýõngỢự tuy nhiên trong lời giải này đã đýợc triển khai một cách hoàn toàn khácọ

Bài toán 9

Chứng minh rằngủ

4 4 4 4 6 4 6 4 6

1 1 1 2

2 2

z y x x z

z z

y

y y

x

x

















với xự yự z là các số dýõngọ Đẳng thức xảy ra khi nàoữ

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức (*) ta cóủ

pdf Machine

 

4 6 4 6 2 4

6 2 4 4

4 1

1 1

1

y x

x y

x

x y x

x y









 (do x 12  4x  x) Týõng tự ta cũng cóủ

4 6 4 4

4 1

1

z y

y z



 ; 14 14 64 4

x z

z x





Cộng theo từng vế các bất đẳng thức trên ta đýợc bất đẳng thức cần chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi x ỉ y ỉ z ỉ ộọ

Bài toán 10

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A =

8 2

2 2

8 2

2 2 8

a c

c c

b

b b

a

a











trong đó aự bự c là các số thực dýõng thỏa mãn điều kiện ab ụ bc ụ ca ỉ ộọ

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức (*) ta cóủ

2 4 4 4 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 4 4 4

c b a a

c c

b b

a

c b a A

































Bây giờ ta sẽ chứng minh bất đẳng thức 2 2 2

c b a ca bc

ab     (3) Thật vậy ta cóủ

0 2 2 2 2 2 2

2 2

2

2 2 2 2

2 2







































a c c b b a

ca bc ab c

b a c

b a ca bc ab

Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúngọ Vậy bất đẳng thức ể3) đúngọ Đẳng thức xảy ra khi a ỉ b ỉ cọ

Do đó ta cóủ 2 2 2 2 2 2 4 4 4

c b a a c c b b

Từ đóủ

4

4 4 4

c b a

3

1 3

1 1 1 1

1 1

2 2

2 2 2 4 4 4 4 4 4



























c b a

Suy ra:

12

1



A

Tóm lạiủ Giá trị nhỏ nhất của ĩ bằng

12

1

khi a = b = c =

3

1

Bình luận Nhiều kĩ thuật đã đýợc sử dụng trong lời giải nàyự trong đó có

kĩ thuật đã đýợc sử dụng trong bài toán ộ khi viết

1

; 1

; 1

4 4 4 4 4

c

b b a

Bài toán 11 (Bất đẳng thức Nesbitt)

Cho ba số dýõng aự bự cọ ẫhứng minh rằngủ

2

3











c a c

b c b a

Lời giải

) (

2

2 2

2 2

ca bc ab

c b a bc

ac

c ba bc

b ac ab

a b a

c a c

b c b

a

































Do đó ta chỉ cần chứng minh đýợcủ abc2  3 (abbcca)

Thật vậyự ta cóủ

0 2 2 2 2 2 2

0 )

( 3

2 2

2

2 2 2

2 2 2 2





















































a c c b b a

ca bc ab c

b a

ca bc ab c b a ca bc ab c

b a

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúngọ Vậy ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a ỉ b ỉ cọ

Bình luận Trong bài toán nàyự ta thấy tử số chýa có dạng bình phýõngọ

Lúc đầu có thể ta nghĩ đến hýớng biến đổi a  a 2tuy nhiên nếu triển khai theo hýớng này thì sẽ gặp bế tắcọ ẫho nên một kĩ thuật khác đã đýợc sử dụng là Ộ nhân cả tử và mẫu với tử sốỢ để làm xuất hiện bình phýõng trên tử sốọ

Trên đây là ộ1 bài toán minh họa cho ứng dụng của bất đẳng thức Schwarz

Sau đâyự tôi xin đýa ra ộ7 bài toán khác và lời giải xin dành cho các bạn nhý là một cách chiêm nghiệm lại bất đẳng thức rất thú vị nàyọ Qua đó cho thấyự

từ một bất đẳng thức ban đầu týởng chừng đõn giảnự nếu biết khai thác một cách khéo léoự sáng tạo thì ta sẽ giải quyết đýợc một lớp phong phú các bài toán khácọ

Bài toán 12

Cho các số thực dýõng xự yự zự t thỏa mãn xyzt ỉ ộọ ẫhứng minh rằngủ

4 1

1 1

1

3 3

3





















zt ty y xz zt tx z xy yt tx t xy yz zx yz

x

Đẳng thức xảy ra khi nàoữ

Bài toán 13 pdf Machine

Cho các số dýõng aự bự cự pự qọ ẫhứng minh rằngủ

q p qb pa

c qa

pc

b qc

pb

a















3

Bài toán 14

Cho ba số dýõng xự yự zọ ẫhứng minh rằngủ

z y x x z z y y

9 2

2 2

Bài toán 15

Cho các số dýõng aự bự cọ ẫhứng minh rằngủ

c b a a c

a c c b

c b b a

b a





















2

Bài toán 16

Cho các số dýõng xự yự zọ ẫhứng minh rằngủ

a,

2

1 3 2 3

2 3











z x

z y

y z

y x x

b,

3

2 2

2

















z z

y x y

y z

x y x x

Bài toán 17

Cho các số dýõng aự bự cự dự eọ ẫhứng minh rằngủ

2

5



















e a e

d e d

c d c

b c b a

Bài toán 18

Cho các số dýõng aự bự c thỏa mãn ếểab ụ bc ụ caả ỉ ộọ Chứng minh rằngủ

c b a ab

c

c ca

b

b bc

a

a























1 1

1

2

Bài toán 19

Cho a, b > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất củaủ

P =

1 1

2 2





b b

a

Bài toán 20

Cho a, b, c là các số thực dýõngọ ẫhứng minh rằngủ

1 2 2







c c b

b b a

a

Bài toán 21

Cho a, b, c là các số thực dýõng và aổ ụ bổ ụ cổ ỉộọ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcủ

b a c

c a

c b

b c

b a

a A

3 2 3

2 3

2

3 3

3



















Bài toán 22

Chứng minh rằng với mọi số thực không âm aự bự c ta cóủ

c b a c b





1

Bài toán 23

Cho các số dýõng aự bự c có tổng bằng ếọ ẫhứng minh rằngủ

1 2 2

2 2

2 2

2











c c

b

b b

a

a

Bài toán 24

Cho các số thực dýõng aự bự c có tổng bằng ộọ ẫhứng minh rằngủ

2 2

2

1 4 1 4 1

c c

b b

a

















Bài toán 25

Chứng minh với mọi số dýõng aự bự cự d ta cóủ

3

2 3 2 3

2 3

2 3

















d b

a d

c a

d c

b d

c b a

Bài toán 26

Chứng minh với mọi aự bự c dýõngủ

abc

c b a abc ca

a c bc

c b ab

b a

















) (

1 1

3 2 3 2 3

pdf Machine

Bài toán 27

Cho các số thực dýõng xộự xổự … ự xn có tổng bằng ộọ Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcủ

2 2

2 2 2

1 1

1

1 1



















































n n

x

x x

x x

x A

Bài toán 28

Xét các số thực dýõng xự yự z thỏa mãn ðiều kiện x ụ y ụ z ỉ ộ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcủ

P

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Báo “Toán học và Tuổi trẻ”ự NXắ Giáo dụcọ

[2] Website http://www.maths.vn

[3] Sáng tạo ắất ðẳng thứcự Phạm Kim Hùngự NXắ Tri thứcự ổợợờọ

[4] Phýõng pháp giải các bài toán sõ cấpự Khoa Toán – Cõ – Tin họcự ÐH KHTN, ÐHQG Hà Nộiự NXắ ÐHQG Hà Nộiự ổợợợọ

[5] Sách giáo khoa Toán ỏự Toán ịự NXắ Giáo dụcự ổợợỏọ

pdf Machine