nghiên cứu BĐT Cauchy-Schwarz và ứng dụng

Đây là một bất đẳng thức được ứng dụng rộng rãi trong giải toán cao cấp và toán sơcấp, được vận dụng vào giải các bài toán hay và khó trong các kỳ thi quan trọng như: thi chọn học sinh g

A LỜI MỞ ĐẦU

Kính thưa các thầy cô và các bạn! Như chúng ta đã biết, bất đẳng thức là

một vấn đề khá phức tạp và có ứng dụng phong phú trong toán học Nó liên

quan đến nhiều lĩnh vực khác như: Giải tích, lượng giác, hình học … Do đó,đây là lý thuyết rất quan trọng, trong đó đặc biệt là BĐT Cauchy-Schwarz Đây

là một bất đẳng thức được ứng dụng rộng rãi trong giải toán cao cấp và toán sơcấp, được vận dụng vào giải các bài toán hay và khó trong các kỳ thi quan trọng

như: thi chọn học sinh giỏi, thi quốc gia hay thi Olympic quốc tế …

Hơn nữa, đối với học sinh phổ thông, bất đẳng thức là chuyên đề phức

tạp và không dễ Phần đông học sinh đều không giải được bài toán bất đẳngthức và các bài toán có liên quan Một phần do các bạn chưa biết cách vận dụngbất đẳng thức cơ bản, một phần các bạn chưa nắm được bất đẳng thức này

Vì vậy, việc nghiên cứu đẳng thức Cauchy-Schwarz có ý nghĩa đặc biệt quan trọng Nó không những có ý nghĩa lớn trong việc khảo cứu các bất

đẳng thức cơ bản mà còn có tác dụng lớn trong việc học tập sau này

Do từ lý do trên đây nên chúng em đã tập trung nghiên cứu BĐT

Cauchy-Schwarz và ứng dụng của nó để viết nên chuyên đề Một số kĩ thuật sử dụng bất

đẳng thức Cauchy-Schwarz, nhằm thực hiện hai nhiệm vụ: làm rõ các dạng của

hai bất đẳng thức trên; vận dụng chúng vào bài toán phổ thông Để làm được

điều này, tập thể lớp 11 Toán đã tiến hành đọc một số tài liệu có nhắc đến các

nội dung trên, từ đó phân tích, tổng hợp lại, hệ thống những gì làm được mộtcách hợp lý

Nội dung nghiên cứu được trình bày theo các phần:

Phần I Nhắc lại một số kiến thức cơ bản

Phần II Các phương pháp và kĩ thuật áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

§1 Một số bài toán mở đầu

§2 Kỹ thuật thêm bớt một lượng

§3 Kỹ thuật đổi biến

§4 Cân bằng hệ số trong bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

§5 Phép biến đổi Thuận-Nghịch trong Cauchy-Schwarz

§6 BĐT Cauchy-Schwarz với dấu bằng khi a=b=c=1

§7 BĐT Cauchy-Schwarz trong hình học và lượng giác

 BÀI TẬP TỔNG HỢP Phần III Phụ lục :

Phụ lục 1: Áp dụng BĐT Holder trong việc chứng minh BĐT

Với việc trình bày các nội dung theo một hệ thống chuyên đề trong đề tài

Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz như trên, hy vọng sẽ giúp mọi

người hiểu rõ và có thêm một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hiệu

quả hơn

Đồng Hới, ngày tháng năm Tập thể lớp 11 Toán

2 1 1 2 2

2 2 1 2 2

2 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (a1,a2, a n) và (b1,b2, b n) là 2 bộ tỉ lệ, tức

là tồn tại số thực k để a i =kb i,∀i =1,n

CHỨNG MINH: Có thể chứng minh BĐT trên bằng 3 cách đơn giản sau:

Cách 1: Chứng minh bằng phương pháp tam thức bậc 2 Đây là phương thức

rất quen thuộc:

Xét tam thức sau:

2 2

2 2 2 1

()

Khai triển ra ta có:

)()(

2)(

)(

1 2 1

2 1

i i i n

i

a x

2 1

2

)(

)(

))(

i i i n

i i n

2 1 1 2 2

2 2 1 2 2

2 2

(2

1 2 1

2 1

2 2

j j

i i n

j j

i n

j

j

i

b a

b a b

b a

a

Cho i chạy từ 1 đến n rồi cộng cả n vế BĐT lại ta có kết quả Đây cũng làmột chứng minh rất ngắn gọn.

Khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, chúng ta cần chú ý thêm các hệquả quan trọng của nó để áp trong việc giải toán

Hệ quả 1: (BĐT Schwarz) Đây là hệ quả trực tiếp của BĐT

Cauchy-Schwarz

Với 2 dãy số (a1,a2, a n) và (b1,b2, b n), b i ≥0∀i=1,n, ta luôn có:

n n

n

n

b b

b

a a

a b

a b

a b

a

+++

+++

≥++

+

)

(

2 1

2 2

1 2

2

2 2 1

2 1

Hệ quả 2: Với 2 dãy số thực a 1 , a 2 , ,a n và b 1 , b 2 , ,b m , ta có

2 2 1 2 2 1 2

2 2 2 2

1 2

1

)(

))(

(

)(

)(

b a b a b

b a a

b b a

a b

a b

a

+

≥++

⇔

+++

≥++

+

Đẳng thức cũng xảy ra khi (a1,a2, a n) và (b1,b2, b n) là 2 bộ tỉ lệ

Hệ quả 3: Với mọi dãy số thực a 1 , a 2 , ,a n ta có:

2 2

1 2 2

2 2

Mở rộng của BĐT Cauchy-Schwarz:

Với m dãy số dương (a1,1,a1,2, ,a1,n),(a2,1,a2,2, ,a2,n), ,(a m,1,a m,2, ,a m,n),

ta có:

m m

i

n

j m m

i j i n

,

Đẳng thức xảy ra khi m dãy đó tương ứng tỉ lệ.

Đây chính là BĐT Holder, một bất đẳng thức mạnh, có nhiều ứng dụng Tuy

không được sử dụng phổ biến trong chương trình phổ thông hiện nay, nhưng lại

rất hữu ích đối với việc chứng minh các bài toán HSG, Olympic BĐT Schwarz là hệ quả trực tiếp của BĐT Holder với m=2.

Cauchy-CHỨNG MINH:Sử dụng trực tiếp BĐT AM-GM cho m số dương:

m m

i n

j j i

m m

j j

n

i i m

m n

i i n

i

a m

a

a a

a a

++

1 1 ,

1 , 1

1 ,

1 ,

1 , 2

1 , 2

1 , 1

1 , 1

Xây dựng n-1 bất đẳng thức tương tự nữa:

m m

i

n

j j i

m m

j j

n

i i m

m n

i i n

i

a m

a

a a

a a

++

1 1 ,

1 , 1

1 ,

2 ,

1 , 2

2 , 2

1 , 1

2 , 1

1, 1

j j

Sau đó cộng theo từng vế của n bất đẳng thức ta suy ra được đpcm 

Ta có 2 hệ quả trực tiếp của BĐT Cauchy-Schwarz suy rộng là:

Hệ quả 4: Với dãy số dương a 1 , a 2 , a n ta có:

n n

n

a a

Trên đây là 1 số lí thuyết cơ bản về BĐT Cauchy-Schwarz Sau đây chúng ta

sẽ tìm hiểu về các phương pháp và kĩ thuật áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz vàogiải toán

II CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT ÁP DỤNG BĐT CAUCHY-SCHWARZ:

§ 1 Một số bài toán mở đầu:

-Mở đầu là một bất đẳng thức rất quen thuộc, bất đẳng thức Nesbit

Bài toán 1: Cho a, b, c >0 CMR :

32

Điều này hiển nhiên đúng, vậy BĐT (2.1) được chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Ta tiếp tục với bài toán sau:

Bài toán 2:(Mathscope.org)Cho a, b, c là các số thực dương CMR :

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Bài toán 3: (THTT-1/2011)Cho a,b,c>0 và thỏa mãn abc=1 CMR:

Lời giải bài toán:

Ký hiệu A là vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

5 2 2

q p qc pb

q p qb pa

q p c b

+++

+++

+

≥+

p qb

b

q pa a

p q

Vậy ta có điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a= =b c

Bài toán 8: Cho , , a b c>0 thỏa mãn :a2+ + =b2 c2 1 Chứng minh rằng:

Cộng vế theo vế bất đẳng thức, ta thu được điều phải chứng minh Dấu bằng

xảy ra khi và chỉ khi a= =b c

Bài toán 9: Cho 4 số thực không âm là a b c d thỏa mãn điều kiện:, , ,

Bài toán 11: Giả sử , , a b c là các số thực dương.Chứng minh rằng :

Từ đó ta có điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a= =b c

Bài toán 12: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=1 CM:

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Bài toán 14: Cho x;y;z >0 và x+ + ≤y z 1 Chứng minh:

Đẳng thức xảy ra khi 2 2

39

22

ab bc ca

+ +

⇔ ≥

+ +

áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz để chứng minh một cách nhanh chóng và phù

hợp Các bài toán nêu ra ở §1 nhằm giúp các bạn làm quen với BĐT

Cauchy-Schwarz và có một cái nhìn khái quát về nó Sau đây là một số kĩ thuật áp dụng

BĐT Cauchy-Schwarz thường dùng

§ 2 Kỹ thuật thêm bớt một lượng

-Thường thì kỹ thuật này dùng để áp dụng với các bài toán có chứa phân số,

ta bắt đầu ngay với 1 ví dụ quen thuộc

Ví dụ: (BĐT Nesbit ) Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng :

32

Vậy ta có điều phải chứng minh

Qua VD trên các bạn có thể hình dung ra được rằng kỹ thuật ta đang áp dụng

là thêm bớt 1 lượng ở cả tử và mẫu nên bất đẳng thức đã cho là tương đương ,thế nhưng việc chứng minh lại dễ dàng hơn hẳn Ta bắt đầu áp dụng cách giảitrên bằng các bài toán sau :

 Nhận xét: ta thấy rằng nếu nhân với lượng là a+ + +b c 2a2+2b2+2c2 thì

sẽ gặp ngay vướng mắc đó là 3(a2+ +b2 c2)≥ + +(a b c)2 và như vậy bất đẳng

Nhân vế theo vế của các bất đẳng thức ta có được a4+ + ≥b4 c4 a3+ +b3 c3

Vậy từ đó ta có được điều phải chứng minh

Ta tiếp tục với 1 bài toán dùng kĩ thuật tương tự :

Bài toán 2: Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn : a+ + =b c 3 CMR:

 Nhận xét: Ta thấy rằng nếu nhân với lượng là a+ + +b c 2a2+2b2+2c2

thì sẽ gặp ngay vướng mắc đó là 3(a2+ +b2 c2)≥ + +(a b c)2 và như vậy bấtđẳng thức sẽ ngược dấu

Vấn đề sẽ được giải quyết nếu ta nhân với một lượng ở cả tử và mẫu cácphân số lần lượt là a2;b2; c :2

Tới đây ta có thể dùng bất đẳng thức Chebyshev hoặc đơn thuần là Schwarz như sau:

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi a b c= = =1

Bài toán 3: Cho a b c là các số thực không âm thỏa mãn không có 2 số đều, ,bằng 0 Chứng minh rằng :

Vậy ta có điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a= =b c

Bài toán 5: (IMO 2001.Pro A2) Chứng minh rằng nếu , , a b c>0 thì:

a a + abc + b b + abc + c c + abc≤ + +a b c

Thay vào trên, ta có bất đẳng thức được chứng minh xong Dấu bằng xảy ra

Từ đó ta thu được điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a= = =b c d

Bài toán 7: Cho các số thực dương , , a b c có tổng bằng 1.Chứng minh rằng:

Vậy nên bất đẳng thức cần chứng minh ta quy về chứng minh bất đẳng thứcsau:

Nhân 2 bất đẳng thức trên vế theo vế ta có điều phải chứng minh.Dấu bằng

xảy ra khi: a= =b chaya=b c; =0 và các hoán vị

Bài toán 9: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng

càng tốt) Với chú ý rằng 4a-(3a-b+c)=a+b-c>0 Từ đó ta thấy bớt đi 1 lượng ¼

là thích hợp Viết bất đẳng thức đã cho dưới dạng tương đương

Bài này tôi phải dùng S.O.S rất mong đọc giả suy nghĩ thêm

Để kết thúc phần này mình xin đưa ra một số bài luyện tập cho các bạn :

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số thực dương ta đều có:

2 3 3

(Titu Andreescu, MOSP 1999)

Bài 4: Cho các số thực dương , , a b c Chứng minh rằng:

Bài toán tổng quát:

Nếu x x1; 2 ; ;x n y y1; 2; ; y n; z z1; 2; z3 z n (n≥2) là các số thực sao cho

Bài 10: Cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abcd=1 Chứng minh rằng

1 (1+a) 2 +

1 (1+b) 2 +

1 (1+c) 2 +

1 (1+d) 2 ≥ 1

Bài 11: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc=1 Chứng minh rằng

1 (a+1) 2 +b 2 +1 +

1 (b+1)+c 2 +1 +

1 (c+1) 2 +a 2 +1 ≤

1 2

§ 3 Kỹ thuật đổi biến -

Đôi khi ta gặp những bài toán mà nếu ta không đổi các biến trong bài toán

thành những biến số khác mà dễ nhìn nhận hơn, thì bài toán tương đối khó khăn

 Các bài toán:

Ta bắt đầu bằng 1 bài toán :

Bài toán 1: Cho , , a b c>0 Chứng minh rằng :

b= yz c= zxta có được điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Ta tiếp tục với 1 bài toán tương tự:

Bài toán 2: Cho , , a b c>0.Chứng minh rằng :

= = = với , ,x y z >0 Khi đó bất đẳng thứccần chứng minh tương đương với:

điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Bài toán:( IMO-1995) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1.

a

x b

Bài toán 3: Cho a, b, c >0 và a+ + =b c 1 Chứng minh rằng:

Từ đó ta có điều phải chứng minh

3

x= = ⇒ = = =y z a b c

Bài toán 4: Cho x ,y, z >0 thỏa mãn : x+ + + =y z 1 4xyz

Chứng minh rằng : xy+ yz+zx= + +x y z

Nhận xét ban đầu khi ta nhìn vào bài toán này thì hầu như sẽ không thấy

điều gì liên quan đến bất đẳng thức Cauchy-schwarz cả , thế nhưng nếu ta đổi

biến như sau :

tương đương với: a+ + ≥b c ab+bc+ca

Từ điều kiện, ta có được:

Vậy ta có điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi a= = =b c 1 hay x= = =y z 1

Bài toán 5: Chứng minh : a− +1 b− +1 c− ≤1 c ab( +1) với mọi số thực

Từ đó ta có điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi x=y=z hay a=b=c

Bài toán 6: Xét 4 số thực dương a b c d, , , thỏa mãn abcd =1 Chứng minhrằng:

1(1 a) +(1 b) + (1 c) +(1 d) ≥

Cộng lần lượt các bất đẳng thức với nhau ta có được điều phải chứng minh

cho 2 BĐT trên.Vậy phép chứng minh được hoàn tất, dấu bằng xảy ra khi và chỉ

khi x=y=z=t hay a=b=c=d.

Bài toán 7: Chứng minh rằng nếu , , a b c≥0và abc=1 thì :

= thìgiả thiết

ab+c + bc+a + ca+b ≥1 + ab + bc + ca

Bài 6: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a+b+c=1 Chứng minh rằng

b 2 b+1 ≥

1 3

Bài 9: Cho các số thực x,y Chứng minh rằng

3(x+y+1) 2 +1 ≥ 3xy Bài 10: Cho a,b,c ≥1 Chứng minh rằng

a-1 + b-1 + c-1  c(ab+1)

Bài 9: (APMO, 2004) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = 1.Chứng minh rằng:

§4 Cân bằng hệ số trong bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

-Ta sử dụng phương pháp này khi điều kiện để xảy ra đẳng thức giữa các hệ

số không bằng nhau nữa Từ đó thì độ phối hợp cũng khó hơn

 Các bài toán:

Ta bắt đầu từ một bài toán:

Bài toán 1:Cho 3 số thực , , x y z thỏa mãn x2 + y2 + z2 =2.Chứng minh rằng

Tiếp tục là một bài toán tương tự :

Bài toán 2: Cho x, y, z thỏa mãn xy+yz+zx=4 Tìm MinA biết

11

4 + y + z ≥

x

23

1()3

1(16

4

524

5)

2(

15

≤+

−

≤

)20

9,5

2(

4

25)52

Max

)20

9,

5

2(4

15)52

Ta có bảng biến thiên:

3 3f'(t) + 0 - 0 +

Một thử thách cho các bạn là hãy giải bài toán đầu tiên của chương nếu thay

điều kiện x2 + y2 + z2 =2 thành x2 + y2 +z2 =3.Mặc dù dấu bằng xảy ra khágiống nhau nhưng đây là một bài toán không dễ, mong các bạn tìm tòi lời giảicho bài toán trên

Ta tiếp tục bằng một bài toán với hướng đi khác:

Bài toán 5: Xét 3 số thực không âm , , x y z thỏa mãn x+ + =y z 1 CMR:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

20≤xu+ ≤yv (x +y )(u +v )= 16.25=20

yu xv v

y u

x yv

Ta có:

4a 3 + + 4b 3 + + 4c 3 3(4a 3 4b 3 4c 3) 3 7 + ≤ + + + + + =

Khai thác bài toán:

Bằng cách xét các cặp số như trên, ta có thể giải các bài toán sau:

Ta được điều phải chứng minh.

Bất đẳng thức đã cho được minh hoàn toàn Có đẳng thức khi và chỉ khi

yz xy z y x

f( , , )= + + −

Trong đó x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x+y+z=1.

Bài 4 : Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

f (x, y) = 2 x + y Trong đó x ≥ 0, y ≥ 0, x3 + y3 ≤ 1

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Bài 10: (VietnamMO 2001) Cho a ,b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 21ab + 21bc + 21ca ≤ 12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

§5 Phép biến đổi Thuận-Nghịch trong BĐT Cauchy-Schwarz

Tuy nhiên, cách đưa BĐT về các dạng như trên không phải là một điều dễ

dàng Trong mục này chúng ta sẽ chứng minh một số bất đẳng thức trong các kỳthi quốc gia và các nước, quốc tế và xây dựng phương pháp chứng minh và xâydựng các bất đẳng thức này

 Các bài toán:

a) Phép biến đổi thuận BĐT Cauchy-Schwarz

Bài toán 1: Với a, b, c > 0, a+b+c = 1 Chứng minh rằng:

a b c

≥+ + (đpcm)

Bài toán 3: Với a, b, c > 0 và abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Từ các bài giải mẫu trên, chúng ta xây dựng phương pháp giải cho các bất

đẳng thức dạng này như sau:

Bước 1: gạch những thừa số dạng tổng trong BĐT để tìm biểu thức xuất

Sau đây chúng ta sẽ tiếp tục xét các ví dụ minh họa

Bài toán 4: Với a, b, c > 0 và abc = 1 Chứng minh rằng:

Bài toán 5: Cho a, b, c là các số thực dương CMR:

b) Phép biến đổi nghịch BĐT Cauchy-Schwarz

Nhiều BĐT được xoay vòng hay xây dựng từ các phép biến đổi nghịchCauchy-Schwarz mà chúng ta sẽ trình bày sau đây:

Bài toán 8: Với p, q, r và x, y, z là các số thực không âm, chứng minh rằng:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta suy ra:

( )2 ( 2 2 2) ( ) ( 2 2 2)

P≥ x+ +y z − x +y +z = xy+ yz+zx − x +y +z

Đây là điều phải chứng minh

Bài toán 11: Với a b c≥ ≥ >0 CMR:

b c+a +

c a+b

Bài 6: Cho a,b, c là các số thực dương Chứng minh rằng

2a a+b +

2b b+c +

2c c+a ≤ 3

Bài 7: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc=1 CMR:

b 3 (1+a)(1+c) +

c 3 (1+a)(1+b) ≥

3 4

Bài 9: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a+b+c=1 Chứng minh rằng:

ab 1+c +

bc 1+a +

ca 1+b ≤

1 4 Bài 10: Cho x, y, z là các số thực dương Chứng minh rằng:

1 1+y 2 +

1 1+z 23

Bài 13:Cho a,b, c, x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy + yz +

a 1 +a 2 + … + a n = b 1 +b 2 + … + b n Chứng minh rằng

a 1 3

b 1

+ a 2 3

b 2

+ a n 3

+ … + a n

2

)

§6 BĐT Cauchy-Schwarz với dấu bằng khi a=b=c=1

-Tại sao khi bất đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1 lại đặc biệt ? Do 1 n=1 vớimọi n là số tự nhiên, nên với bất đẳng thức hệ số không đồng bậc thường thì đề

sẽ cho giả thuyết để có được dấu bằng khi a=b=c=1 và đây cũng là một lớp rất

rộng các bài toán áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a= = =b c 1

Vậy ta có điều phải chứng minh

Nhân xét về bài toán: tuy lời giải không dài và những bước sau là dễ hiểu

nhưng các bạn có thể dễ dàng thấy rằng để tìm ra và áp dụng bất đẳng thức

(a+ +b c )(a + + ≥b c) (a + +b c ) thật không dễ chút nào, và dễ dàng