Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận các giá trị nguyên... Với giá trị nào của góc nhọn α thì biểu thức P=3sinα+ 3 cosα đạt giá trị lớn nhất?. Cho biết giá trị lớn nhất đó.
Trang 1Nội dung – chủ đề
Mức độ
Tổng
Thông hiểu Vận dụng
thấp
Vận dụng cao
Phương trình bậc hai -
Định lý Vi et
2 2
2 2
1
1 1
1
1 1
Tiếp tuyến của đường
tròn
1 1,75
1 1,75
ĐỀ BÀI
Bài 1: (2,0 điểm)
2 14 28 16
A
=
1 Tìm x để A có nghĩa; Rút gọn biểu thức A
2 Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận các giá trị nguyên
Bài 2: (2,0 điểm)
Cho phương trình x2 −2mx m+ 2 − − =m 6 0 (m là tham số)
1 Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 sao cho
1 2
2 1
18 7
x x
x + x = .
2 Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 sao cho
x + x =
Trang 2Bài 3: (3,0 điểm)
1 Cho bốn số thực bất kỳ a b c d, , , Chứng minh:
( 2 2) ( 2 2)
Dấu bằng xảy ra khi nào ?
2 Với giá trị nào của góc nhọn α thì biểu thức P=3sinα+ 3 cosα đạt giá trị lớn
nhất? Cho biết giá trị lớn nhất đó
3 Tìm số tự nhiên n để n+ 18 và n− 41 là hai số chính phương
Bài 4: (3điểm):
Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn (O) Vẽ hình bình hành ABCD, tiếp tuyến tại C của (O) cắt AD tại N
1 Chứng minh AD là tiếp tuyến của (O)
2 Chứng minh AC, BD, ON đồng quy
……… ……Hết………
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH (ĐỀ ĐỀ XUẤT )
MÔN : TOÁN - LỚP 9
Bài 1: (2,0 điểm)
2 14 28 16
A
=
1 Tìm x để A có nghĩa; Rút gọn biểu thức A
2 Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận các giá trị nguyên
1) Để A có nghìa, trước hết x≥0 Đặt t= x x( ≥ 0)
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )
2
3 2
A
Để biểu thức A có nghĩa thì:
t ≥ t ≠ t ≠ t ≠ ⇔ ≥ x x ≠ x ≠ x ≠ (*)
0,25đ Khi đó, rút gọn ta được:
( 1 )
2 2
t
A
t
+
=
− Thay t= x x( ≥ 0) Vậy 2( 12)
x A
x
+
=
−
0,25đ
2)
2 3
t t
A
− + +
0,25đ
Để A là nguyên thì x nguyên và t− ∈ ± ±2 { 1; 3} 0,25đ
Trang 3Bài 2: (2,0 điểm)
Cho phương trình x2 −2mx m+ 2 − − =m 6 0 (m là tham số)
1.Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 sao cho
1 2
2 1
18 7
x x
x + x = .
2.Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 sao cho
x + x =
1) Để phương trình x2 −2mx m+ 2− − =m 6 0 có hai nghiệm thì
2 2
' m m m 6 m 6 0 m 6
∆ = − − − = + ≥ ⇔ ≥ − (1)
0, 25đ
Với điều kiện (1),
2 2
2
+
2; 3
0,25đ
2
⇔ − − = ⇔ = − = (thỏa mãn điều kiện (1) và đều
khác -2 và khác 3)
0,25đ
2) Với điều kiện (1),
( )2
2 2
1 2 8 1 2 2 1 2 64 1 2 2 1 2 2 1 2 64
x + x = ⇔ x +x + x x = ⇔ x +x − x x + x x = (2)
0,25đ
+Nếu x1 và x2 cùng dấu thì 1 2 2 ( ) ( )
6 0
m
x x
≥ −
0,25đ
⇔ + = ⇔ = ⇔ = ± (thỏa mãn điều kiện (3))
0,25đ
+ Nếu x1 và x2 trái dấu thì 2 ( ) ( )
(4)
1 2 4 1 2 64 4 4 6 64
+ Vậy để x1 + x2 =8 thì m= ±4
0,25đ
Trang 4Bài 3: (3,0 điểm)
1.Cho bốn số thực bất kỳ a b c d, , , Chứng minh:
( 2 2) ( 2 2)
Dấu bằng xảy ra khi nào ?
Ta có:
( 2 2) ( 2 2) ( )2 ( 2 2) ( 2 2)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
c, d bất kỳ
0,25đ
Vậy: 0 ≤ ab cd+ ≤ (a2 +c2) (b2 +d2) , ∀a b c d, , , ∈R
Dấu đẳng thức xảy ra khi ad bc− =0 hay c d(a 0,b 0)
0,25đ
2.Với giá trị nào của góc nhọn α thì biểu thức P=3sinα + 3 cosα đạt giá trị lớn nhất? Cho biết giá trị lớn nhất đó
Áp dụng kết quả trên ta có :
3sin 3 cos 0
P= α + α >
0,25đ
3sin 3 cos 3 3 sin cos 2 3
max 2 3
cos 3 tg
α
α
3 Tìm số tự nhiên n để n+ 18 và n−41 là hai số chính phương
Để n+ 18 và n− 41 là hai số chính phương thì
2
18
0,25đ
Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: p q p q− =+ =591⇔q p==2930
0,25đ
Từ n+ = 18 p2 = 30 2 = 900 suy ra n= 882 0,25đ Thay vào biểu thức n−41, ta được 882 41 841 29 − = = 2 =q2
Vậy với n= 882 thì n+18 và n−41 là hai số chính phương
0,25đ
Bài 4: (3điểm):
Trang 52 1
C B
M
O
GT: ABC (AB = AC) nội tiếp (O)
Vẽ hình bình hành ABCD.Tiếp tuyến tại C của (O) cắt AD tại N
KL: 1 AD là tiếp tuyến của (O)
2 AC, BD, ON đồng quy
0,5đ
Chứng minh:
1) Chứng minh AD là tiếp tuyến của (O)
Ta có: AB = AC (giả thiết) và OB = OC (bán kính (O))
OA là trung trực của BC OA BC
0,5đ
Mặt khác AD//BC (Cạnh đối của hình bình hành)
OA AD
0,5đ
Vậy AD vuông góc với bán kính OA của (O) tại A Do đó AD là tiếp tuyến
của (O)
0,25đ
2) Chứng minh AC, BD, ON đồng quy
Ta có: NA = NC và ¶N1 =¶N2 (Tính chất của tiếp tuyến)
0,25đ
NAC cân tại N và NO là đường phân giác góc N 0,25đ
Do đó NO đồng thời là trung tuyến nên NO qua trung điểm M của AC 0,25đ Mặt khác ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung
điểm mỗi đường Tức là AC và BD cắt nhau tại M
0,25đ
Ghi chú: Thí sinh làm bài theo cách khác ( nếu đúng) vẫn được điểm theo quy định.
TRƯỜNG THCS VĨNH LỘC
NGƯỜI RA ĐỀ
Nguyễn Thị Thu Hằng
