Hình chiếu của A’ lên (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 0. a) Tính diện tích toàn phần của lăng trụ b) Tính thể tích khối lăng trụ.[r]
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC HÌ I TOÁN 12 (2009-2010)
I/ LÝ THUYẾT
A.GIẢI TÍCH
1) Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
2) Cực trị
3) Tìm GTLN, GTNN của hàm số
4) Các công thức lũy thừa và công thức lôgarít
5) Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarít
6) Phương trình mũ và lôgarít
B HÌNH HỌC
1) Quan hệ vuông góc, khoảng cách, góc
2) Tính diện tích, thể tích khối đa diện, hình nón, hình trụ, hình cầu
A1) TÓM TẮT LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH :
I Chương I :Ứng dụng của đạo hàm và khảo sát hàm số :
1) Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:
a) Định lý: (Mở rộng)
Cho hs có đạo hàm trên K
f’(x) 0, ∀ x ∈ K ⇒ Hs f(x) đồng biến trên K
f’(x) 0, ∀ x ∈ K ⇒ Hs f(x) nghịch biến trên K
( Dấu “=”chỉ xãy ra tại một số hữu hạn điểm )
b) Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y=f(x)
+ TXĐ D = ?
+ y’ = ? tìm các điểm xi (i=1,2,…n) mà tại đó y’(x)=0 hoặc y’(x) không xác định
+ Lập BBT
+ Kết luận
2) Cực trị của hàm số:
a)Qui tắc I ( Tìm điểm cực trị của hàm số y=f(x) )
+ Tìm TXD D= ?
+ y’(x) = ? tìm các điểm tại đó y’(x)=0 hoặc y’(x) không xác định
+ Lập BBT
+ Kết luận điểm cực trị của hàm số
b) Định lý:
Hs y=f(x) có đạo hàm tới cấp 2 trong khoảng (x0-h;x0+h), h>0
¿y ' (x0)=0
y ''(x0)>0
⇒ x0
¿ {
là điểm cực tiểu của hàm số
¿y ' (x0 )=0
y ''(x0)<0
⇒ x0
¿ {
là điểm cực đại của hàm số
c) Qui tắc II ( Tìm điểm cực trị của hàm số y=f(x))
Trang 2+ Tìm TXD D= ?
+ y’(x) = ? giải pt y’(x)=0 ⇒ x1, x2,…
+ y’’(x) = ? và tính y’’(x1); y’’(x2),…( Xem dấu của y’’ dương hay âm ) + Kết luận điểm cực trị của hàm số
3) GTLN, GTNN của hàm số:
a) Đn :
M =max
D f ( x) ⇔
∀ x∈ D: f (x)≤ M
∃ x0∈ D: f (x0)=M
¿ {
;
m=min
D f (x )⇔
∀ x ∈ D: f (x )≥ m
∃ x0∈ D: f (x0)=m
¿ {
b) Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b)
+ Xét hàm số trên khoảng (a;b)
+ y’ = ? tìm các điểm xi (i=1,2,…n) mà tại đó y’(x)=0 hoặc y’(x) không xác định
+ Lập BBT
+ Kết luận
c) Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f(x) trên đoạn [a;b]
+ Xét hàm số trên đoạn [a;b]
+ y’ = ? tìm các điểm xi (i=1,2,…n) mà tại đó y’(x)=0 hoặc y’(x) không xác định
+ Tính y(a)=?, y(x1)=?,….,y(b)=?
+ So sánh và kết luận : max[a; b] y=? min[a ;b ] y =?
4) Tiệm cận (xem SGK)
5) Sơ đồ khảo sát hàm số (SGK)
6) Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) (C ) là :
y=f '(x0)(x − x0)+y0 ( k=f’(x) là hệ số góc )
II Chương II : HÀM SỐ LŨY THỪA, HS MŨ, HS LÔGARIT
$1 Lũy thừa :
a)Lũy thừa với số mũ nguyên :
* a0 = 1 ; a − n= 1
a n ; 00 và 0-n vô nghĩa
b) Tính chất căn bậc n :
n
√a √n b=√nab
n
√a
n
√b=
n
√a n
√b
(√n a)m=√n a m
n
√k
√a=nk√a
c) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ :
a
m
n
=√n a m ( Với a > 0, n,mZ, n 2)
1
n n ( với a>0 , nZ, n 2)
d) Tính chất lũy thừa với số mũ thực : Với a,b >0 và x,y R ta có :
a x a y
=a x+ y
a x
a y=a
x − y
(a x)y=axy (a b) x=a x b x
(a b)x=a x
b x
e)So sánh lũy thừa :
Trang 3
¿
¿a>1 α>β
⇔ a α
>a β
¿
¿
¿0<a<1 α<β
¿ {
¿
$2.Hàm số lũy thừa, hs mũ Hs lôgarít
a)Các phép toán đạo hàm cơ bản:
*(C)’=0 ( C là hằng số )
*(u ± v)’=u’ ± v’
*(k.u)’ = k.(u)’
(u v)'=u ' v+v ' u
(u v)'=u ' v − v ' u
b) Đạo hàm của hs đơn giản Đạo hàm của hs hợp
(x α)'=α x α− 1
(1x)'=− 1
x2
(√x)'= 1
2√x
(u α)'=α u α − 1 u '
(1u)'=− u '
u2
(√u)'= u '
2√u
(e x)'=e x
(a x)'=a x ln a
(e u)'=u ' e u
(a u)'=u ' a u ln a
(ln x ) '= 1
x
(loga|x|)'= 1
x ln a
Lưu ý :
¿a>1
x>1
¿
0<a<1
0<x <1
⇒log a x >0
¿ {
(ln u ) '=u '
u
(loga|u|)'= u '
u ln a
¿a>1 0<x <1
¿
0<a<1 x>1
⇒log a x <0
¿ {
$3 Công thức lôgarít
a) Định nghĩa :
a α
=b ⇔α=log a b ;(a , b> 0 , a≠ 1)
( log a b lô ga rít cơ số a của b )
b Tính chất :
Cho a,b > 0 và a 1 ta có :
e.Lô ga rít của một lũy thừa :
Định lí 3:
Cho b,a > 0 , a 1
loga b α=α log a b
Đặc biệt :
Trang 4
*loga1=0
*loga a=1
aloga b
=b
*loga a α=α
c.Lô ga rít của một tích :
Định lí 1 :
Cho a,b,c >0, a 1 ta có :
log a (b 1 b 2 ) = log a b 1 + log a b 2
Tổng quát :
loga (b 1 b 2 b n ) = log a b 1 +log a b 2 + +log a b n
( b1 ,b 2 …b n >0, 0< a 1 )
d.Lô ga rít của một thương :
Định lí 2 :
loga b1
b2=loga b1− log a b2
( b 1 , b 2 ,a >0; a 1)
Đặc biệt :
loga1
b=− log a b
loga√n b=1
nloga b
f.Đổi cơ số :
Định lí 4 :
loga b=logc b
logc a ⇔ log a b log c a=log c b
Đặc biệt :
loga b= 1
logb a
loga α b=1
α loga b
( α ≠ 0 , a , b>0 ; a ,b ≠ 1¿
g Lô ga rít thập phân, lô ga rít tự nhiên
1 Lô ga rít thập phân :
log10b = logb = lgb ( lốc b)
2.Lô ga rít tự nhiên :
logeb = lnb ( lốc Nêper của b)
$5 Phương trình mũ và PT lôgarít
I.Phương trình mũ :
1.Phương trình mũ cơ bản :
a x
=b (1 ) (với 0 < a 1 )
Cách giải :
b ≤ 0⇒ PT(1)VN
*b > 0 ⇒ PT(1 ) có nghiệm duy nhất x=log a b
2 Cách giải của một số pt mũ đơn giản :
a) Đưa về cùng cơ số :
a f(x) = a g(x) (với 0 < a 1 )
⇔ f(x)= g(x)
b) Đặt ẩn phụ :
Đặt t = a f(x) > 0 dưa về pt dạng :
A.t 2 + B.t + C = 0
Hoặc : A.t 3 + B.t 2 + C.t +D = 0 , …
c) Lô ga rít hóa :
VD4 : Giải các pt sau :
¿
a 3¿x 2x2=1 ¿b¿ 3x 8
x x+ 2=6 ¿
HD :
a)Lấy lô ga rít cơ số 3 hai vế ta được :
II PT LÔ RA RÍT
1.PT lô ga rít cơ bản :
log a x = b ( 0 < a 1)
⇔ x=a b ( với b ∈ R¿
2.Cách giài một số PT lô ga rít đơn giản : a)Đưa về cùng cơ số :
¿f (x)>0,(hay : g( x)>0)
f (x )=g(x)
¿
loga f (x )=log a g(x )
b)Đặt ẩn số phụ :
Đặt t= log a x đưa pt về dạng :
* At 2 +Bt +C = 0
* At 3 + Bt 2 +Ct +D = 0 Giải tìm t suy ra x
c)Mũ hóa :
VD4 : Giải pt
Log 2 (5-2 x ) = 2-x (1) (SGK)
Trang 5log3(3x 2x)=log31
⇔log33x+ log32x2=0
⇔ x(1+x log32)=0⇔
x=0
¿
log32=− log2 3
¿
¿
¿
¿
¿
¿
b)ttự
II/ MỘT SỐ BÀI TOÁN THAM KHẢO :
A.GIẢI TÍCH
Bài 1 : Cho hàm số y = x3 –mx2 +mx -1, (Cm)
1) Khảo sát hàm số khi m= -1, kí hiệu đồ thị (C )
2) Viết PTTTT tại các giao điểm của (C ) với trục hoành
3) Biện luận theo k số nghiệm của PT : x3 + x2 – x –k = 0
4) Tìm m để hàm số có cực trị
5) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 2
6) Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định
7) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Bài 2 : Cho hàm số y=1
3x
3−(m−1)x2−(m−2) x
1) Khảo sát hs khi m= 2, kí hiệu đồ thị (C )
2) Tìm những điểm trên (C ) sao cho tiếp tuyến tại đó có hệ số góc nhỏ nhất 3) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho xCĐ+2xCT =4
Bài 3 : Cho hàm số y = x4 – 2(m+1)x2 +2m – 1 ,(Cm)
1) Khảo sát hàm số khi m = 1, kí hiệu đồ thị (C )
2) Viết PTTT của (C ) biết tiếp tuyến đó song song với trục hoành
3) Biện luận theo a số nghiệm PT : -x4 +4x2 +a +1 = 0
4) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x= 1
5) Tìm m để hàm số có đúng 1 cực trị
6) Tìm m để hàm số có 3 cực trị
Bài 4 : Cho hàm số y=mx+5
x − 2 , ( Cm) 1) Khảo sát hàm số khi m = 2, kí hiệu đồ thị (C)
2) Viết PTTT của (C ) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = 9x +2009
3) Tìm những điểm thuộc ( C) có tọa độ nguyên
4) Tìm những điểm trên (C ) sao cho tống khoảng cách từ đó đến 2 đường tiệm cận có giá trị nhỏ nhất
5) Tìm m để hàm số nghịch biến trên tập xác định
Trang 66) CMR tích khoảng cách từ một điểm tùy ý trên (C ) đến 2 đường tiệm cận bằng một hằng số
7) CMR đồ thị (C) luôn cắt đường thẳng y = x +a tại 2 điểm phân biệt M và N Tìm a để độ dài MN đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 5 : Cho hàm số y= − x
2 +2 mx− 2 m+1
x −2
1) Tìm m để hàm số nghịch biến trên tập xác định
2) Tìm m để hàm số có cực trị
Bài 6 : 1)Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=− x+1 − 4
x+2 trên [-1;2]
2) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = cos3x – cosx +2 trên [0; π2 ]
3) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x6 + 4(1-x2)3 trên [-1;1]
4) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 22x +1 trên [0;2]
5) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=log1
2 (x2 + 4) trên [-1;1]
6) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = sin4x + cos4x +sinxcosx
7)Cho hàm số y = x3 – mx2 +2(m+2)x – 3m+3 có đồ thị là (Cm), m là tham số Tìm m để (Cm) nhận I(1;2) làm tâm đối xứng
Bài 7 : 1) Áp dụng công thức tính : A=16log154
+8log4 9 + 5
4
3 log8√5
B=81log153
+ 27log3 6
+3
4
3 log89 C=3
√5
1 log57
√−log 0,1
2) a) Biết log5=a Tính log125000 ; log0,00625 ; log 1
√ 5 1000 theo a b) Viết biểu thức sau dưới dạng rút gọn lũy thừa với cố mũ hữu tỉ 6
√b3 5
√b√3b
3) Cho y=exlnx CMR : y ''− y '=xex −e x
x2
Bài 8 : Vẽ đồ thị các hàm số : a) y=x −3 b) y=5 2 x c) y=(51)x
Bài 9 : 1) Tìm tập xác định của hàm số a) 2 x −6¿
1 3
y=¿
b) y = log2(4x+7) c) y= log5(5-x2) d) y=log7(2 x − 3 4 − x )
2)Cho hs x
2 +1 ¿4
y=e sin 2 x+ ln√x2+2+log7¿ Tính y’(0)
Bài 10 : Rút gọn các biểu thức sau :
1) 0 , 25¿
− 5
2
A=(161 )− 0 ,75+ ¿ 2)
3+¿+a
2 3
a¿
¿
a
4
3 ¿
B=
với a>0
Trang 73)
2 b¿− 1+(a2)− 1
¿
C=(2 b+ a
2)−1¿
4) D= (a√3 − 1)
√ 3 +1
a√5 −3 a 4 −√ 5 +a√ 2 (1a)√2 −1
Bài 11 : a) Cho m = log52 và n = log53 Hãy phân tích log√5432 theo m và n
b) Cho a= log712 và log1224 = b Hãy phân tích log5168 theo a và b
Bài 12 : Giải các pt
1)6 x -5 = 0 ; 2) 25 x +5 = 0 ;3) 6 2x-3 = 1
4) 2 2x+1 +4 x+1 = 5 ;5)25 x = 5 10 ;6) (0,5) x-21 = 4 x ; 1,5¿
9 x −31
=(32)x+1
7 ¿ ¿
8)25 x -5 x+1 -6 = 0 ; 9) 144 x -12 x+1 +11 = 0 ; 10) 27 x -9 x +1 +8 = 0
Bài 13 : Giải các PT sau :
1) 7 (x −2)(3 − x) =1 2) (34)5 x −3=(43)(8 x −9) 3) 81x + 9x+1 -10 = 0 4) 2x + 2x-1 +2x-2 = 56
5) 4x + 3
2
+ 9x= 6x +1 6) 5 5x+4 5−(x+ 1) − 5=0 7) log3x +log3(x-2) = 1
8) log2(x2+8)=log2x +log26 9) 3 log32x −28 log3x +9=0
10) log(x3−8)−log(x2+2 x+4)=1 11) log1
2x −
1 log2x −1=1 12) log2(x-1)+log2(x-3) = 3 ; 13) log 2 x +log 4 x +log 8 x = 22
14)
¿
a log¿32x − 4 log3x +3=0¿b¿ 5 log22 (x −2)+6 log2(x −2)+1=0¿c¿ log53x −log52x − 4 log5x +4=0¿d¿ (log72x −3)(log22x − 4)=0¿
B.HÌNH HỌC:
B1) Lý thuyết :
1) Thể tích khối đa diện
a)Thể tích khồi lập phương :
V=a 3
b)Thể tích khối hộp chữ nhật :
V= a.b.c
a
b c
c) Thể tích khối lăng trụ :
2)Mặt tròn xoay : a) Diện tích xung quanh của hình nón :
Sxq=π r l
(r bán kính, l đường sinh ) b) Diện tích toàn phần của hình nón:
Stp=π r l+π r2 c) Thể tích khối nón :
V =1
3π r
2 h
r
h l
(r bán kính, h chiều cao ) d) Diện tích xung quanh của hình trụ :
Sxq=2 π r l
Trang 8V= B.h
h
(B diện tích đáy, h chiều cao)
d) Thể tích khối chóp :
V =1
3B h
h
e) Tỉ số thể tích của khối chóp S.ABC
và khối chóp S.A’B’C’ là :
V V S A ' B 'C '
S ABC
=SA'
SA .
SB'
SB .
SC'
SC
B
S A' B'
C'
e) Diện tích toàn phần của hình trụ :
Stp=2 π rl+2 π r2 f) Thể tích của khối trụ :
V =π r2 h
h r l
(r bán kính đáy, h chiều cao) g) Diện tích của mặt cầu : S=4 π r2
h) Thể tích khối cầu :
V =4
3 π r 3
r A
B2) Bài tập :
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a Góc giữa SC và
mặt đáy bằng 300 , SA vuông góc với ( ABCD)
1) CM mặt bên SBC là tam giác vuông
2)Tính thể tích của khối chóp S ABCD
Bài 2 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh 2a Hình
chiếu của A’ lên (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600
a) Tính diện tích toàn phần của lăng trụ
Trang 9c) Tính tỉ số thể tích hình chóp A’.ABC và lăng trụ ABC.A’B’C’
Bài 3: Cho một hình trụ có chiều cao bằng 2 lần đường kính đáy , diện tích xung
quanh của hình trụ là 904 cm2
1) Tính bán kính đáy
2) Tính thể tích của khối trụ
Bài 4 : Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua trục là tam giác vuông cân có cạnh 2a 3
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón
Bài 5 : Cho hình chop tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a.
1) Tính thể tích hình nón ngoại tiếp hình chóp
2) Tính diện tích toàn phần của hình nón
3) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và thể tích khối cầu đó
Bài 6 : Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết AB=a, AC=AD=BC=BD=CD=a
√3
HẾT
(Chúc các em ôn tập thật tốt )