CHỦ đề 1 NGUYÊN hàm

Trong bộ môn giải tích, một nguyên hàm của một hàm số thực cho trước f là một hàm F có đạo hàm bằng f, nghĩa là, F′ = f.. Quá trình tìm nguyên hàm được gọi là tích phân bất định.. Tìm mộ

Trong bộ môn giải tích, một nguyên hàm của một hàm số thực cho trước f là một hàm F có đạo hàm bằng f, nghĩa là, F′ = f Quá trình tìm nguyên hàm được gọi là tích phân bất định Tìm một

biểu thức cho nguyên hàm là công việc khó hơn so với việc tìm đạo hàm, và không phải luôn luôn thực hiện được

Tuy nhiên, bất kỳ hàm số liên tục trên đoạn hay khoảng từ giá trị a đến b, thì đều tồn tại nguyên

hàm của hàm số đó trên đoạn/khoảng từ a đến b nêu trên

Nguyên hàm được liên hệ với tích phân thông qua định lý cơ bản của giải tích, cung cấp một

phương tiện tiện lợi để tính toán tích phân của nhiều hàm số Điều thú vị là tích phân ra đời trước

nguyên hàm từ rất lâu, khi còn học phổ thông tôi nhầm rằng chúng được phát mình cùng thời

1 Cơ sở lý thuyết

a Định nghĩa Cho hàm số y= f x( ) xác định trên tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn của R) Nếu ta có hàm số F x( ) xác định trên K sao cho F'( )x = f x( ) thì F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x( )trên K

b Định lí 1 Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( )trên Kthì với mọi hằng số C, hàm số

( ) ( )

G x =F x + cũng là một nguyên hàm của C f x( )trên K

c Định lí 2 Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên Kthì mọi nguyên hàm của

( )

f x trên Kđều có dạng G x( )=F x( )+ với C là hằng số C

d Định lí 3 Mọi hàm số f x( )liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

tancos ax b dx=a ax+b +C+

cotsin ax b dx= −a ax+b +C+



2 Các dạng toán

Dạng 1 Tính nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm

Phương pháp giải Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản trong bảng nguyên hàm.

Dạng 2 Nguyên hàm dạng

11

++ C ( )3

2

x C

+

2 2 13

x C

++

x C

−+

Hướng dẫn giải Ta có

2 3

3

3 11

x dx

Hướng dẫn giải Cách 1 Ta thấy 1 ( )2

d x xdx

t C

−

−( 2 )2

3sin 1 3sinx 1

d xdx

xdx x



−

2 3

3 16

3 1

t dt

C t

xdx x

x C

3tan3

x C

xdx x

x C

x C

x C

4ln2

x C

4ln8

x C

x

C

++

Hướng dẫn giải Cách 1: Ta thấy 1 ( )

−+

−+

x C

−+

−+

Hướng dẫn giải Cách 1 Ta thấy dx d( )lnx d(lnx 1)

Hướng dẫn giải Cách 1 Ta thấy 1 ( )

ln 2

dx= d + do đó ( ) ln 2 1

2 1

x x

Dạng 4 Sử dụng phép chia đa thức và tách ra nhiều phân số

Phương pháp giải Thường dùng khi biểu thức dưới dấu nguyên hàm có dạng phân số, bậc tử

lớn hơn bậc mẫu Ta chú ý: u kq phandu

v= + v với kq là kết quả phép chia, phandu là phần dư của phép chia

Ví dụ 1 Tính nguyên hàm 3 1

1

x dx x

Hướng dẫn giải Có phép chia đa thức: A C D

B= + B trong đó C là kết quả, còn D là phần dư của

phép chia Trước hết ta lấy 3x +1 chia cho x −1 được kết quả là 3 và dư 4 do đó 3 1 3 4

−+

−+

dx x

−+

A ( )2

2 cosx −2cosx+ln cosx+ + 1 C B ( )2

cosx 2cosx ln cosx 1 C

2sin cos sin

−

−+

−

−+

Hướng dẫn giải Nguyên hàm khá phức tạp, ta sẽ biến đổi tử có một lượng giống với mẫu để rút

gọn xuống như sau:

+ ++

=+

1 2

x x

x C x

−+

x dx

x x

e C

Hướng dẫn giải Ta thấy rằng nếu đặt x x

t=e dt=e dx, rất tiếc trên tử không có x

e nên buộc lòng ta phải nhân thêm x

e vào cả tử và mẫu Với nhận định ta có lời giải sau: Ta có

x x

e C e

Ngoài ra ta còn có một số dạng căn thức thường gặp sau:

x t

2

x t

2 1 tan

4 1 tan

t dt t

+

=+

2 sin

xdx x

Công thức: udv =uv−vdu

- Các loại hàm cơ bản: hàm logarit, hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ

- Khi nguyên hàm có dạng tích hai hàm nhân nhau ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm

từng phần

- Khi giải nguyên hàm ta cần phải xác định đặt đâu là u , đâu là dv Kinh nghiệm cho thấy thứ

tự đặt u là logarit, đa thức, lượng giác, mũ ( đọc tắt là lô đa lượng mũ ), sau khi đặt u thì toàn bộ

x dx x



A tan ln sinx ( x)− +x C B tan ln sinx ( x)+ +x C

C tan ln sinx ( x)−2x+ C D 2 tan ln sinx ( x)− + x C

x

x dx

Hướng dẫn giải Đặt 1 1 2

22

t x

=  = =  = thì 2 cos t tdt=2tcostdt Tiếp tục

dx x

sinx costan

Do đó cos x e dx x =e x.sinx−sin x e dx x +C ( )2 Thay ( )2 vào ( )1 ta được:e xsinxdx

( cos ) sin sin

Dạng 10 Sử dụng đồng nhất thức

Phương pháp giải Khi giải các bài nguyên hàm dạng phân thức u

v với bậc tử nhở hơn bậc mẫu

ta thường cố gắng tách phân thức này ra thành tổng của những phân thức đơn giản hơn Chú ý trong chương trình học hiện nay không nên quá đào sâu vào dạng toán này!

21

31

13

f x x

C x

x x

Câu 20 Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2

=+ , biết

Câu 23 Phát biểu nào sau đây là đúng?

A cos 2 xdx= −2sin 2x+C B cos 2 xdx=2sin 2x+C

Câu 24 Phát biểu nào sau đây là đúng?

A e sinx xcos xcos

=

− và F( )2 = Tính1 F( )3

A F( )3 =ln 2 1− B F( )3 =ln 2 1+ C ( ) 1

32

34

x

218

Câu 36 Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2

cos2

N x

x

=+ và lúc đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con Vậy ngày thứ 12 số lượng vi khuẩn (sau khi làm tròn) là bao nhiêu con?

Câu 44 Cho F x( ) là một nguyên hàm của ( ) 3 x

f x =e thỏa mãn F( )0 =1 Mệnh đề nào sau đây là

+

C F x( )= 2x− + 1 4 D.F x( )= 2x− −1 10

Câu 47 Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 1

2 x 3

f x e

=+ thỏa mãnF( )0 =10 Tìm F x( )

F a

x

f x x

=+ thỏa mãn F( )1 =0

Tìm giá trị nhỏ nhất m của F x( )

1 22

2017 2018

1 22

+

=+ (4a− b 0) là nguyên hàm của hàm số f x( )

Bảng đáp án

11.A 12.A 13.B 14.B 15.B 16.B 17.A 18.A 19.B 20.C 21.C 22.B 23.D 24.B 25.C 26.B 27.D 28.C 29.B 30.B 31.B 32.C 33.C 34.B 35.C 36.C 37.A 38.A 39.D 40.D 41.A 42.A 43.A 44.A 45.B 46.B 47.A 48.D 49.B 50.D 51.C 52.A 53.B 54.C 55.C 56.C 57.D 58.B 59.C 60.D