Bồi dưỡng hình 8

Bài tập về vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng .Bài toán 1a : Cho hình thang ABCD AB//CD trong đó đáy CD bằng tổng hai cạnh bên BC và AD.. - Từ B dựng đờng thẳng song song với AC cắt AC

Phòng giáo dục & đào tạo quế sơn

Tài liệu bồi dỡng

môn hình học 8 ( Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi )

Lu hành nội bộ

Kính Thầy giáo, Cô giáo giảng dạy bộ môn Toán cấp THCS trong toàn huyện !

Nhằm giúp qúy Thầy giáo, cô giáo có một tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi,học sinh năng khiếu bộ môn toán của cấp Trung học cơ sở phù hợp, bộ phậnchuyên môn Phòng GD&ĐT Quế Sơn trên cơ sở tham khảo ý kiến của các thầy côgiáo có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy bộ môn, biên soạn bộ tài liệu “ Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Bộ môn Toán - Cấp THCS” “Tài liệu bồi dưỡng học

Để có thể sử dụng bồi dưỡng ở cấp trường, tài liệu không chia thành cácchuyên đề mà được phân bố theo chương trình của sách giáo khoa Tuy vậy, đểkhỏi manh mún, các nội dung được trình bày theo chủ đề kiến thức chứ khôngtheo từng bài Nội dung hình học 8 được tài liệu phân thành sáu chủ đề sau :

I Tứ giác, hình thang

II Hình bình hành

III Hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông

IV Đối xứng trục, đối xứng tâm

V Định lý Thalet và tam giác đồng dạng

VI Hệ thức lượng trong tam giác - Định lý Pitago

Với mỗi chủ đề kiến thức bài tập được phân thành sáu loại cơ bản :

1 Bài tập về vị trí tương đối của điểm, đường thẳng

- Chứng minh thẳng hàng

- Chứng minh song song, vuông góc

- Chứng minh đồng quy

2 Bài tập về chứng minh bằng nhau

- Chứng minh sự bằng nhau của góc, đoạn thẳng

- Chứng minh một tam giác là cân, đều Một tứ giác là hình thang cân,hình bình hành, hình thoi, hình vuông

Hy vọng tập tài liệu giúp ích phần nào đó trong công tác bồi dưỡng họcsinh giỏi bộ môn Toán của quý thầy cô

Bộ phận chuyên môn THCS

1 Bài tập về vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng

Bài toán 1a :

Cho hình thang ABCD (AB//CD) trong đó đáy CD bằng tổng hai cạnh bên

BC và AD Hai đờng phân giác của hai góc A ,B cắt nhau tại K Chứng minhC,D,K thẳng hàng

HD : Gọi E,F lần lợt là trung điểm của AC, BD ; I là trung điểm của EF ; J là trung

điểm của A’C

- Tam giác CAA’ có EJ là đờng trung bình nên EJ//AA’

- Tam giác FEJ có AA’ qua trung điểm A’ của FJ và // với EJ nên AA’ qua trung

điểm I của FE

- Hoàn toàn tơng tự chứng minh đợc BB’, CC’,DD’ qua I

- Các đờng thẳng trên đồng quy tại I

2 Bài tập về chứng minh bằng nhau

B

E

I

Cho tam giác ABC trong đó AB < AC Gọi H là chân đờng cao kẻ từ đỉnh

A M,N,P lần lợt là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC Chứng minh rằng tứ giácNMPH là hình thang cân

Đ-HD :

- Gọi I là trung điểm của BD.

- Chứng minh tam giác IMN cân tại I ( IM = IN = AD/2=BC/2)

- IM // DE và IN //CF

 đpcm

3 Bài tập tính toán

Bài toán 3a :

Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC kéo dài cắt nhau tại E Hai cạnh

AB và DC kéo dài cắt nhau tại M Hai phân giác của hai góc CED và BMC cắtnhau tại K Tính góc EKM theo các góc trong của tứ giác

EF

MI

Bài toán 3b :

Cho hình thang ABCD M,N lần lợt là trung điểm của hai đáy AD và BC O

là điểm thuộc MN Qua O kẻ đờng thẳng song song với đáy hình thang Đờngthẳng này cắt AB,CD lần lợt tại E,F Chứng minh rằng OE=OF

HD : Chứng minh SBNMA = SNCDM (Do có tổng hai đáy và chiều cao bằng nhau )

Chứng minh SBEN=SNFC và SEAM = SFMD để đợc SEMN =SFMN

Từ đó có EH = FI ( với EH, FI lần lợt là hai đờng cao của hai tam giác

Có : SADM = SABCM = SAME => SABI = SCEI

 SABC = SEBC => BE// AC

- Từ B dựng đờng thẳng song song với AC cắt AC tại E.

- Lấy M là trung điểm của DE

- AM là đờng thẳng cần dựng

TIP : Thực chất của phép dựng trên là biến đổi hình thang về một tam giác tơng

đ-ơng ( có diện tích bằng diện tích hình thang ) Để chuyển bài toán về bài tập dựngtrung tuyến của tam giác Sau đây là bài tập áp dụng việc biến đổi trên

Bài toán 4b : Cho tứ giác ABCD I là điểm bất kỳ của AB Qua I hãy dựng đờng

thẳng chia tứ giác làm hai phần có diện tích bằng nhau

B

C

FI

J

Dấu “=” xảy ra lúc M∈[AC] và M∈[BD]

 M ≡ O ( Với O là giao điểm hai đờng chéo )

Chứng minh EL, FM, DN đồng quy

Giải :

Dựa vào tính chất của đờng trung

bình chứng minh các tứ giác LFEM ,

NO

M

Chứng minh rằng : trong một tam giác ba đờng cao đồng quy

HD : - Dễ dàng chứng minh ba đờng trung trực trong một tam giác đồng quybằng cách dựa vào tính chất đờng trung trực của đoạn thẳng

- Từ ba đỉnh của tam giác ABC đựng các đờng thẳng song song với cạnh đốidiện Các đờng thẳng này đôi một cắt nhau tại MNP

- Các tứ giác BCNA và BCAM là các hình bình hành nên HA là đờng trungtrực của MN

- Tam giác MNP nhận các đờng cao của tam giác ABC làm các đờng trungtrực

- Các đờng trung trực của tam giác MNP đồng quy hay các đờng cao củatam giác ABC đồng quy

2 Các bài toán chứng minh sự bằng nhau :

Bài toán 2a:

Cho tứ giác ABCD E,F lần lợt là trung điểm của AB, CD M,N,P,Q lần lợt

là trung điểm của AF, CE, BF, DE Chứng minh rằng MN = PQ

FM

Bài toán 2b :

Cho tứ giác ABCD Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC ;

G là đỉnh thứ t của hình bình hành CADG ; H là đỉnh thứ t của hình bình hànhCABH

Cho hình bình hành ABCD có ADC = 750 và O là giao đIểm hai đờng chéo

Từ D hạ DE và DF lần lợt vuông góc với AB và BC (E thuộc AB, F thuộc BC ) Tính góc EOF

Có O là trung điểm của DB

Từ đó có đợc OE =OD=OB=OF (Quan hệ trung tuyến ,cạnh huyền )

EOD = 2EBO ( Vì ∆EOB cân tại O )

DOF = 2FBO ( Vì ∆FOB cân tại O )

Cộng hai đẳng thức trên để đợc : EOF = 2( EBO + OBF ) = EBF

Do EBF = ADC nên EOF = 2ADC = 2.750 = 1500

CD

E

FO

B

JI

Bài toán 3b :

Cho tam giác đều ABC Một đờng thẳng song song với BC cắt AB,AC lần

l-ợt tại D và E Gọi G là trọng tâm của tam giác ADE, I là trung điểm của CD Tính

số đo các góc của tam giác GIB

HD : Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB , đờng này cắt DE tại K

- Tứ giác DBCK là hình bình hành nên BK cắt DC tại trung điểm I của DC

- Chứng minh hai tam giác DBG và EKG bằng nhau

- Từ đó có đợc GIB =900 và BGI = BGK/2 = DGE/2

- Có DGE = 1200 ( Do ADE đều ) nên BGI = 600 và GBI = 300

4 Các bài toán quỹ tích, dựng hình

Bài toán 4a :

Cho tam giác cân ABC (AB=AC) Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AClấy điểm E sao cho DA=CE Tìm quỹ tích trung điểm I của DE khi D di động trêncạnh AB

GD

a C1 :( Dựa vào kiến thức về hình bình hành )

Phân tích :

Gọi O’ là điểm đối xứng của A qua O Khi O là trung điểm của MN thì tứgiác AMO’N là hình bình hành

Cách dựng :

- Dựng O’ đối xứng với A qua O

- Dựng đờng thẳng qua O’ song song với Ay cắt Ax tại M

- Dựng đờng thẳng qua O’ song song với Ax cắt Ay tại N

C 2 :( Dựa vào kiến thức về đờng trung bình )

Phân tích :

Khi O là trung điểm của MN thì đờng thẳng qua O song song với Ay sẽ cắt

Ax tại trung điểm của AN

Cách dựng :

- Dựng đờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax tại O1 Trên tia Ax dựng

M sao cho O1 là trung điểm của AM

 HI + IB < HC + CD => HB < HD

 NB < ND => NB < MC

Bài toán 5c :

Một con kênh có hai bờ song song P,Q là hai điểm cố định nằm ở hai phía

con kênh Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đờng đi từ P đến Q nhỏnhất

- Chøng minh ICKM lµ h×nh b×nh hµnh => IC//MK

- Chøng minh I lµ trùc t©m cña tam gi¸c CBM => CI vu«ng gãc víi BM

HM

KI

A

G

EF

I

H

Từ IA = BC cùng với IAH = BCA chứng minh hai tam giác IAC và BCGbằng nhau Đợc CBG = AIC cùng với IA vuông góc với BC đợc BG vuông góc vớiIC

Tơng tự chứng minh đợc CE vuông góc với IB

 đpcm ( Tính chất ba đờng cao trong tam giác )

2 Bài tập về chứng minh bằng nhau

Bài toán 2a :

Cho hình vuông ABCD Gọi M,N lần lợt là trung điểm của AB,AD BN,

CM cắt nhau tại P Chứng minh rằng DP =AB

HD : Gọi I là giao điểm của hai đờng thẳng BN và CD Dễ dàng chứng minh đợc

Dựng về phía ngoài của tam giác

tam giác đều ABF’ Các tam giác FAF’ và

 Tam giác FDC đều

C2 : Dựng I phía trong tam giác sao cho IBC =ICB =150 CI cắt FB tại J

Có : BI = BF (Do cách dựng ) và FBI = 900 -(150 +150 ) = 600 nên tam giác

P

MN

I

CD

F

F’

IJ

HD : Trên tia đối của tia CB lấy điểm E’ sao cho CE’ = AE

Chứng minh đợc hai tam giác ADE và CDE’ bằng nhau để đợc :

- Tam giác vuông BHK có HO là trung tuyến nên HO = BK/2 = FC/2

- Tam giác FHC có trung tuyến HO bằng nửa FC nên nó vuông tại H Hay gócFHC = 900

A

DE

- Điểm đối xứng của M qua O thuộc cạnh BC (M’)

- Điểm đối xứng của N qua O thuộc cạnh AD (N’)

- Đờng thẳng qua O vuông góc với MM’ cắt AB ở E và DC ở F Dễ dàngchứng minh đợc OE =OF =OM

Cách dựng :

- Dựng M’ đối xứng với M qua O

- Dựng N’ đối xứng với N qua O

- Dựng đờng thẳng d vuông góc với MM’ Trên d lấy E,F sao cho OE=OF=

OM

- Dựng các đờng thẳng MN’, NM’

- Qua E dựng đờng thẳng vuông góc với MN’ cắt MN’ tại A và NM’ tại B

- Qua F dựng đờng thẳng vuông góc với MN’ cắt MN’ tại D, và NM’ tại C

E-

DE

DÊu “ =” x¶y ra lóc E,F,G ∈ BD

E ∈ BD => MN//AC => ∆MBN vu«ng c©n t¹i B

G∈ BD => PQ//AC => ∆PDQ vu«ng c©n t¹i D

Cho hình vuông ABCD ; M là điểm bất kỳ trên cạnh AB Đờng vuông gócvới CM tại C cắt đờng thẳng AB tại K Tìm ví trí của M để đoạn MK có giá trị nhỏnhất

Giải : Gọi I là trung điểm của MK A M B I K

điểm của BC, D là trung điểm của HF

a Chứng minh O1MO2 là tam giác vuông cân

H

E

FD

PQK

(1)

HD :

a Chứng minh hai tam giác HAC và BAC bằng nhau để đợc :

- HC = BF

-AHC = ABF cùng với AH vuông góc với AB đợc HC vuông góc với BF

O1M và O2M lần lợt là hai đờng trung bình của hai tam giác BHC và BCF nên :

- O1M song song và bằng nửa HC; O2M song song và bằng nửa BF

Kết hợp các kết luận trên để đợc điều cần chứng minh

d Hạ HP và FQ vuông góc với đờng cao từ AN của tam giác ABC.

-Chứng minh hai tam giác HQA và ANB bằng nhau => HQ=AN

-Chứng minh hai tam giác FPA và ANC bằng nhau => FP=AN

 HQ = FP

Từ đó chứng minh HQFP là hình bình hành => AN qua trung điểm D củaHF

Với tam giác AHF ta có điều ngợc lại AM vuông góc với HF

e Gọi K là trung điểm của AC ta có :

III Đối xứng trục và đối xứng tâm :

1 Bài tập về vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng

Bài toán 1a :

Cho tam giác nhọn ABC có AH là đờng cao Gọi E,F lần lợt là điểm đốixứng của H qua các cạnh AB,AC Gọi M,N lần lợt là giao điểm của EF vớiAB,AC Chứng minh rằng MC ⊥ AB và NB ⊥ AC

Giải :

Tam giác MNH có AM,AN là phân giác

ngoài của hai góc M,N nên AH là

phân giác của góc MNH

Do CH ⊥ AH nên CH là phân giác

ngoài của góc MNH

Tam giác MNH có CN,CH là phân giác

ngoài của hai góc N,H nên CM là phân giác trong của góc HMN

 CM ⊥ MB ( Vì MB là phân giác ngoài của HMN ) Hay CM ⊥ AB

Tơng tự chứng minh đợc NB ⊥ AC

Bài toán 1b :

Cho tam giác ABC và P là điểm bất kỳ Gọi M,N,Q lần lợt là trung điểmcủa AB,AC,BC Gọi A’,B’,C’ lần lợt là điểm đối xứng của P qua Q,N,M Chứngminh AA’,BB’,CC’ đồng quy

a Chứng minh O thuộc đờng trung trực của M1M2

b Gọi Oz là tia thuộc đờng trung trực M1,M2 Chứng minh rằng MOx nhận Otlàm phân giác

t

NE

b Có zOM2 = zOM1 = xOy

 zoy + yOM2 = zOy + yOM = xOy

 zOy + zOy + xOM = xOy

 zOy = Mox

 MOt = tOz ( Do xOt = tOy )

 Ot là tia phân giác của góc MOz

4 Bài tập về quỹ tích , dựng hình

Bài toán 4a :

Một con kênh có hai bờ song song P,Q là hai điểm cố định nằm ở hai phía

con kênh Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đờng đi từ P đến N bằng

đoạn đờng từ Q đến M (N nằm bờ kênh phía P và M nằm bờ kênh phía Q)

HD :

PT : - Giả sử dựng đợc P Gọi P’ là đỉnh thứ t của hình bình hành PNMP’ Lúc đó

PN = P’M => P’M=MQ => M thuộc trung trực của P’Q

CD : -Dựng P’ sao cho PP’ vuông góc với bờ kênh và chiều dài của PP’ bằngchiều rộng của bờ kênh

- Dựng trung trực (d) của P’Q d cắt bờ kênh phía Q tại M Từ đó dựng N

A

CB

PP’

Q

NMd

M đối xứng với N qua trục là đờng

thẳng (d) qua P vuông góc với MN

Do MN//BC nên (d) vuông góc

với BC

Đờng thẳng đối xứng với đờng

thẳng AB qua trục (d) cắt đờng

thẳng AC tại N

Nên có cách dựng :

- Dựng (d) qua P và vuông góc với BC

- Dựng đờng thẳng đối xứng với đờng thẳng AB qua trục (d) ,đờng thẳng này cát ờng thẳng AC tại N

đ Dựng M đối xứng với N qua (d)

- Tam giác PMN là tam giác cần dựng

5 Bài toán cực trị hình học

Bài toán 5a : ( Bài toán con chim )

Trong mặt phẳng P cho đờng thẳng d hai điểm A,B nằm cùng một nửa mặtphẳng bờ Xác định trên d điểm M sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất

Giải :

a Trờng hợp A,B nằm ở một nửa mặt phẳng : B

Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua trục (d) A

MA +MB = MA1 + MB ≥ A1B

TIP : Thay đổi vị trí tơng đối của A,B so với d

ta đợc một số bài toán khác cần giải quyết

Bài toán 5b :

Cho hai điểm cố định A,B cùng nằm trên mặt phẳng bờ d Tìm trên d hai

điểm M,N sao cho :

A’

dP

A1

của M qua trục Ox; Oy A M

MA + AB +BM = M1A +AB +BM2 ≤ M1M2

Dấu “=” xãy ra khi A,B ∈ M1M2 O

 A là giao điểm của M1M2 với Ox B

B là giao điểm của M1M2 với Oy

M2

TIP: Bằng cách ràng buộc thêm các điều kiện của điểm M : M chạy trên một

đoạn thẳng; chạy trên một đờng tròn nằm trong góc xOy ;Tổng OA + OB không

đổi; Thay đổi góc xOy; Thay đổi đại lợng cần tính cực trị chúng ta sẽ đợchàng loạt các bài toán khác

Bài toán 5d :

Cho góc nhọn xOy và hai điểm AB thuộc miền trong của góc đó Tìm các

điểm C,D lần lợc thuộc Ox và Oy sao cho đờng gấp khúc ACDBA có độ dài nhỏnhất

Giải :

Lấy A1 đối xứng với A qua Ox; B1 đối xứng với B qua Oy Do AB cố địnhnên đờng gấp khúc ACBD có độ dài nhỏ nhất lúc AC + CD + DB nhỏ nhất

Có AC +CD +DB = A1C + CD +DB1 ≥ A1A2

Dấu ”=” xảy ra lúc C,D ∈[A1B1]

 C là giao điểm của A1B1 với Ox và D là giao điểm của A1B1 với Oy

F

a 2IJ = M1M2

AM1 =AM=AM2

M1AM2 =2BAC = CONST

IJ min (max) <=> M1M2 min (max)

<=> AM1 min (max) <=> AM min (max)

AM nhỏ nhất khi AM ⊥ BC

AM lớn nhất khi AM = Max(AB,AC )

b Chu vi tam giác MEF = MF + ME +EF = M1M2

 Để chu vi tam giác MEF nhỏ nhất thì M là chân đờng cao từ A xuống BC.theo bài toán 1a thì E,F cũng là chân của hai đờng cao còn lại

Giải :

Gọi O là giao điểm của AC và BD

M,N lần lợt là giao điểm của GH và EF

Bài toán 1b : ( Tổng quát bài toán 1a/ II)

Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là chân đờng vuông góc từ A xuống BD M,N theo thứ tự là các điểm BH và CD sao cho :

Chứng minh rằng AM vuông góc với MN

GMHM

CN

CD=

IDE

FA

C

G

HB

OM

NE

để chứng minh hai tam giác ABM và ACN đồng dạng để đợc :

Và BAM = CAN => MAN = BAC

 Hai tam giác MAN và BAC đồng dạng

 AMN = ABC = 900 ( đpcm )

2 Bài tập về chứng minh bằng nhau

Bài toán 2a :

Cho hình thang ABCD (AB // CD ) Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại

I Qua I kẻ đờng thẳng song song với hai đáy cắt AD tại E và cắt BC tại F

Cho hình thang cân ABCD (AD//BC ) Gọi M,N là trung điểm của BC và

AD Trên tia đối của tia AB lấy điểm P bất kỳ PN cắt BD tại Q Chứng minh MN

là tia phân giác của góc PMQ

HD :

1

IF 1 AB= 1 CD+

AMAB

AN AC

IF CD

P

Gọi I,K,P lần lợt là giao điểm của AD với PM , AD với MQ, PQ với BC

- Dễ dàng chứng minh đợc MN vuông góc với AD

- Có : IN/MP = IA/BM = AN/BP

Cho tam giác ABC có Â = 2 B Cho AB = c ,AC =b Tính BC2 theo b,c

Gọi AI là phân giác của tam giác Ta có :

Giải : Gọi K là giao điểm CI với AB ; H là giao điểm của BI và AC

Qua N kẻ đờng thẳng song

song với KC cắt KH tại Q Qua P

kẻ đờng thẳng song song với HB

Q ∈ KH Hay tập hợp các điểm Q là đoạn KH

Đảo : Tơng tự phần thuận với điểm xuất phát là Q ∈ KH Chứng minh M thuộc BC

Bài toán 4b :

Cho góc xOy và một đờng thẳng d bất kỳ cắt hai cạnh của góc Tìm đoạnthẳng AB (A ∈ Oy; B∈ Ox ) sao cho AB vuông góc với d và có trung điểm I nằmtrên d

Giải :

Giả sử đã dựng đợc AB

Gọi E là giao điểm của d với Ox

Từ E kẻ đờng thẳng song song M

H