mỗi chương gồm bài tập trắc nghiệm và bài tập tự luậnchương 1 : khối đa diệnchương 2 : mặt cầu, mặt trụ, mặt nónchương 3 : phương pháp tọa độ trong không giansau mỗi chương đều có đáp án cho từng chương cụ thể
Trang 2www.facebook.com/daykem.quynhon `
Trang 3www.facebook.com/daykem:quynhon
LỚI NÓI ĐẤU :
Các bạn đang cẩm trong tay một trong các cuốn sách thuộc bộ sách Bồi
dưỡng Toán THPT (bao gồm Bồi dưỡng Đại số 1Ú; Bồi dưỡng Hình học !0, Bồi
dưỡng Đại số,& Giải tích J1 Bồi dưỡng Hình học 11, Bỏi đưỡng Giải tích 12) do
ee
Cũng như các cuốn trước đó„ Bồi dưỡng 'Hình học Ì2 có những đặc điểm
se Hệ thống thí đụ được chọn lọc kĩ lưỡng, có tính điển hình và khai thác tối
đa các góc cạnh của mỗi phần kiến thức nhằm giúp các bạn nấm vững nội dưng chương trình Nhiều thƒ dụ mới mẻ đó là trới trẻ của cuốn tài liệu
Lời giải thí dụ không rườm rà, ngắn gon tr ng khoảng 5 - 6 đồng in trong sách Dẫn đất tự nhiên, diễn trình theo ki ẩm tay chỉ việc” một cách tường
*® Sách có 3 chương được biên soạn sắt đúng với kiến thức chương trình Hình
học 12 của bộ GD&:ĐT bắt đầu áp dụng từ năm học 2008 ~ 2000 Hệ thống kiến thức trình bày phù hợp với trình tự thời gian học trên lớp để học sinh tiện theo
dõi Tất cả các chứng minh nêu tong sách được khai thác từ những kiến thức cơ
ban được biên soạn trong.SGK
* Sau mỗi phần, sách có hệ thống bài tập tương thích để các bạn rèn luyện và
hoàn thiện hiểi biết của mình Nên nhớ rằng, kiến thức chỉ irỡ thành hàng cần trong cơ thể bạn, nếu bạn thấy mình vượt qua được các bài tập ấy (Bạn chỉ nên sử dung phan hướng dẫn giải bài tập ở cuối sách như là để đối chiếu kếi quả, hoặc
tham khảo cách giải khác sáu khi đã phát huy hết mọi nổ lực tự giải của mình),
2 Mặc dù đã rất cố gắng, cuốn sách vẫn có thể còn những hạn chế và thiếu sót
- bởi kinh nghiệm và sự hiểu biết Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn
‘doc Mọi góp ý xin liên hệ với tác giả theo địa chí sau day:
Trang 4www.facebook.com/daykem.quynhon
Trang 5www.facebook.com/daykem.quynhon
_ Chương L KHOI DA DIEN VA THE Tích CỦA NÓ
1, Kiến thức cần nhớ
le Hình đữ diện là hình gỗm hữu hạn các đa giác phẳng thoả man hai điều kiện
a) Hai đa giác hoặc không có điểm chung, hoặc có một điểm chung hoặc có một cạnh chung
b) Mỗi cạnh chung của hai đa giác là cạnh chung của hai đa giác
« Mỗi hình đa diện chia không gian thành hai phản : phần bên trong vả phân bên
ngoài
* Hình đa điện và pharr bén trong cla né goi la mot Aheii der itn
2} Một khối đa diện có thể phản châu thành các khối tứ điện
3) Có 4 khôi đa diện đều : khối tử diện đều khối lập phương khối 8 mặt đêu, khỏi 12
mặt đều khối 20 mat déu
s Cho hình chóp S.4BC Trên các tia SA, 6B, SC lấy lần lượt các điểm 44, Z', Ch khác
với điểm S Khi đó
VUS.A'BIC) SA’
V(S.ABC) ~ SA’ SB’ SC
it Ba dạng toán thường gặp
Dạng 1 Tính thễ tích của khối đa diện
© Dé tinh thé tich của một khối TRBƯỜI la có thể ;
+ Phân chía khối đã.cho ra nhiều phân Tỉnh thê tích từng, phần rồi cộng bại - + Tinh mét phan thể tích của khối rồi suy ra thể tích toàn khối
+ Tạo ra một ' khối phụ chữa khối đã cho Tinh thé tich khối phụ rồi khối cần tính (Có nhiên thê tích khếi phụ tạo ra phải thuận lợi để tính thệ tích.)
+ Cách vẽ hình phụ trong lỡi giải nhằm kết nối khoảng cách và góc giữa hai đường thăng
chéo nhau thành những giả thiết "đi tuận lo?” cho việc tính thẻ tích trong khối phụ
Bài toán 1 Tính thể tích khối lăng trụ
[ Thí dụ 1 Cho lăng trụ 48C 1,2,C) có thể tịch bang 6, Tinh thé tich cia khéi ABBC,
Loi bìnk: Từ công thức thể tích của lăng trụ và hình chóp ta CÓ :
e Thể tích khối ee bang sine tích lãng trụ cô cùng điện tích đây và chiều cao
® Hai mặt chéo của một hình lăng trụ liền kể với một đường chéo của một mật chia
khỗi lăng trụ ra ba phần có thể tích tương đượng
Trang 6Diện tích tam giác đều 4BC la § =—— (h.2)
Gọi 7 là trung đi điểm 8C,O là hình chấn vuơng gốc eta) trên mặt phang.(4BC) |
Theo giả thiết :
+ A\A = A\B=A,C suy ta OA = OB = ĨC.S Ĩ là trọng tâm của tam giác đều 48C
Kết luận, thé tích của khối Tang trụ là ƒ = §À- =4 EB ==
| Thi dụ 3 Cho lãng trụ đứng ABCABC, cĩ day ABC là tam giác vuơng tại 4,
AB =24J3,'C = 60) Đường thẳng BC) tạo với mặt bên (44C¡C) một gĩc 307 Tĩnh thể tích khối lăng trụ
lài giải „ :
k (a 3) Ta cĩ, 4BC.AiC¡ là lăng trụ đứng nên 44 L (18C) > 44 +48: Theo gia
thiét AABC là tam giác vuơng tại 4, tức là 4B.LĐC
Từ các điều ấy suy ra ABL(AACC) = 4B LAC Do vậy BC là hình chiếu vuơng gĩc của ĐC; trên (44C nên GBC là Bde giữa ch va mat bén (44,C,C) Theo gia thiết
BC A=30°
® Trong tam giác ABC (vuơng tai 4, é= 60°)
Trang 7
Trong tam gác đều ÁBC tacó m= SỬ) '@
Trong tam giác 4i.47 vuông tại 4 và 4 14 = 300
Bài toán 2 Tĩnh thể tích khối hộp
Thí dụ 5 Cho khối hộp đứng ABCD.A\B\C\D; c6 day là hình bình hành và
BCD = 45”, Các đường chéo AC, và DB; theo this uf lan lượt tạo với đáy một góc
45° va 60° Tinh thé tích của khối hộp khi chiêu cao của nó bằng 2
ˆ Lời giải
- (Đường cao thì đã rõ Vấn đề là tìm điện tích day)
Từ giá thiết suy các cạnh bên vuông góc với đây và có độ dài bằng 2,
GAC = 45°, ñ,DB = 60° 4Ð = 135” (h.5)
Trang 8www.facebook.com/daykem.quynhon
« Trong tam giác C,C4 vuông cân tại C có 4C = CịC =2
« Trong tam giác B,DB vuông tại 8 có 8D = #,Bcot60”= 5 :
« Ap dung dinh ly ham sé cosin lan lugt yao hai tam gidc ABD va CBD ta c6:
BD? = AB’ + AD’ — AB AD.2costS? => < ‘= 4B + AD -AB.ADY2 (1)
AC? = DC? + Da? ~ DC.DA.2 605135"
Lõi bình: Bạn có thể thay thế giả thiết biết chiều cao của khối chóp bằng biết độ dải
hoặc là một đường chéo bình hộp, hoặc là một đường chếo của mặt 48#CD Khi đó bạn
có bài toán mới mà cách giải hoàn toàn tương tự
Thí dụ 6 Cho khôi hộp đứng 4BCD.AIBICLD có đây là hình thoi Diện tích hai mặt
| chéo ACCAÁI, BDD,B; lan hugt là sị và s Tính thể tích của khối hộp theo 51 va 82,
© Goi Suaen la dign tich hinh thoi ABCD.(h.6)
The tích cửa khoi chop la V = Supe Aral 5 qa) 7
ø Gọi Ó = ÁC ¬ðD Theo giả thiết
BA,D la tam giác vuông tại ấ¡ nên:
Trang 9Bài toán 3 Tỉnh thể tích khối chóp — _ ;
Thi du 7_ Cho hinh chép ti giác đều S_4BCD, có cạnh đây băng œ và góc ở đình của
mỗi mặt bên bằng 24 Tĩnh thể tích của khối chop ay
Lữi giải '
(Diện tích đáy đã rõ Vấn để lù tìm đường cao )
Gọi O=.4C.¬ BD: (h7) Từ giả thiết suy ra
+ O lã tâm bïnh vuông ABCD
s Trong tam giác SEC' ta: có -
Lời bình: Bạn cé thé thay thé gia thiết biét canh day cia khéi chép bing a bang biét
độ đãi hoặc là đường cag- hoặc Jà cạnh bên hoặc là một đường, chéo của đây ABCD, Khi
đó bạn ‘c6 bai toán mới mã cách giải hoàn toàn tương tự
Thí dụ 8 Cho tình chép SABC cd SAL (ABC) day là tam giác “ABC cân tại 4, do !
dài đường trưng tuyến 47 là a cạnh bên S tạo với đáy một góc œ và tạo với mặt phẳng (S47) một sức / Tịnh thể tích khôi chóp
Lời giải
(H3) Tir gia thiét suy ra SBA =a, SALBC Tam giác 4BC cân tại 4 nén ADLBC,
'Kết hợp với SALBC suy ra BCL(SAD) Boi thé SD a hình chiều -Yuông góc cia SB trên
AB BD
"Trong các tam giác vuông S48 S4D BAD ws có SE= =
cosa sing
Trang 10Lời bình: Trong Thí dụ trên $4 _L BC (nghĩa là- (S4, 8C) = ø = 90" y và „1/2 là đoạn thắng
vuông góc vuông chung của cặp cạnh đối điện Š4 và ØC Từ (*) suy ra P== §4.BC.4D
tố $A.BC 4Dsiaa Đó là một minh hoa của bài toán trong Thí dụ Ø sau đây :
Thí dụ 9 Cho tứ diện 48CD-: Goi dla oo cách gitta dB va CD va a R sóc giữa ị
hai hai đường thang dé Chứng minh Y= 24B.CDdAsine |
„ Do vậy suz- = s4: ‘BCD: sina =4 AB.CDsina
Xem tứ điện 4`BCØ1à khối chộp' ˆ
6 dinh A’va day la ABCD Ta cé:
1
Vecsen = =m d= 2 4BCD.lsina
10 ; 5
Trang 11www.facebook.com/daykem.quynhon
Vay Vines LY Vane xài LABCDad sina (dpem) é Ø, B
Dựng hinh hop 4C;BD).DACBD
ngoại tiếp tứ diện 4&CD.Khi đó
(AC\BO)), (DAVCB:D) nén khoảng
cach gitta AB va CD ciing 1a khoảng
cách giữa (4C: \BD;) va (DA;CB, Dy tire
là hình hộp tạo ra cỏ đường cao bằng a,
Đo 4ð # An: nên từ giả thiết Suy ra
(AB.CD)= (4B,.CL CDH a
R6 rang dién.tich day D.4,CB)D la
I all eh asin ot
Spacn, = 3 AB CDsing =~ AB.CDsina 5 Hình 10
-_ Phạp= Sige = ABC d.sina => Fwy = Fig + 48.CD.dsine (đpem)
Loi bình; Trong cả lãi trên đều sử dụng phương pháp vẽ khối Phu (Tạo ta
một chứa khối píụ khối đã cho Tỉnh thể tích khỗi phụ rồi suy ra thẻ tích khối cần tính.)
Cách vẽ hình phụ trong lời đã kết nổi thành công khoảng cách và góc giữa hai:
đường thăng chéo nhau thành những giả thiết “đủ thuận toi” cho việc tỉnh thê tích trong
Theo giả thiết c = 4AD=8BC- (1
Lai cd BC = se 18: (đường trung bình của tam giác) (2)
Tir (1) (2) suy ra AD = toa nên ⁄1⁄48C Ja tam pide vudng tai 4 hay 4C) L 4B)
Tuong ty cing c6 ABy L AD, “AD, LAC, ,
Theo cách vẽ ta CÓ sự ;; = imi
=4-24B,AC.A 14D, (3)
Trong các tam giác vuông °
BAC), C\AD), DAB, ta cb: — CG
AB) + AC) = BC? = 4c" (4)
AB; + AD} = B,D? = 4b (5)
AC? + AD? = C,D? =4a? (6)
Trang 12www.facebook.com/daykem.quynhon ' ˆ
tạ <b` te (9
Cộng theo từng về các đăng thức trên suy ra AB + AC} + AD;
Hiệu của (7) với mỗi đăng thức (4) (5) (6) cho :
ABy= Ye? +b ma") AC, = Vu (tự chỉ), AD, = Anta Brat ey
Thay các kết quả vữa tính được vào (3) có :
Dạng 2 Tìm tỉ số thê tích của hai khối đa diện
Bồ đề Cho hình chóp Š.48C.Trên các tỉa S4, SB SC lây lần lượt các điểm A" BNC
khác với điểm S Khi đó
V(S.A'B'C), V(S.4BC)-
a : Lời giải œ.12) Goi S, nit sea: theo thứ tự là diện tích tam giác S4B và SA”
Goi H.W’ theo thứ tự là hình chiêu của 4, 4ˆ trên mặt phằng (BSC)
Từ Các tam giác vuông déng dang SAH vaSA 'Htacó ae (2)
Trang 13www.facebook.com/daykem.quynhon
: s Wsugc› _ S4" SB' SC'
Thay (1), (2) vào (3) ta có Foun: = SBC (porn), sti
Xời nhắn: Trong các bài toán tính toán về ï số thê tích, các bạn được sử đ ung bd dé nay › Thí dụ 11 Cho khối chóp S.4BCD có đáy là hình bình hành Goi 2’, D' theo thứ tự
là trung điểm của SB, SD, Mặt phẳng (4#'Ð") cất 6C tại C° Tìm thẻ tích hai khối
chop SAB’C’D’va S.ABCD :
(13) Trong mặt phẳng (42CD), lấy Ở = AC A BD
NGi B°D": Trong mat phang (SBD), lay [= SO B'D", so
Trong mặt phẳng (SÁC), từ 4, Ó lần lượt kê các đường thẳng song song với 47 cất SC
Tathdy BD la đường trung bình của tam giác 6BD nên suy ra B''/BD, vì thể có-7
là trung điệm của SƠ Ta cũng, có Ở là trung điểm 4C: 8
‘Theo tinh chat cdc đường thắng song
song ta có C”, Ở theo thứ tự lã trung điêm
Vs ave: eal Â, Vs ape +h ADC eh 2 Vs ape at
Léi nhắn: Không có công thức tỉ số thể tích của hai hình chóp đầy không nhải là tam giá Thí dụ 12 Cho khối tứ diện 48CD Gọi P,Q theo thir ty là các điểm thuộc 4B, 4Ð
thoâ mãn 24P'= P4; 40 = 2C Mặt phẳng (2) qua PO chia khối tử điện ra hai:
Trang 14
Vậy tỉ số thể tích cua hai khối do mặt phàng (0) chia tứ điện 4BCD tạo thành x
as 13 Cho khôi op ABCD ABC wr Các iễm AZ theo thứ tự là trung điêm của
hộp dơ mặt phẳng (24AZM) chia ra
+ Mat phẳng (1M chia khối hộp
ra2 phan, thê tích điểm +1 kí hiệu là
Fy phan con lai ki higu ta Fe
+ ¿là thể tích khối tứ diện AdiU'
# E;¡ là thể tích:k KD?
+ Piz la thé tich khGi KDN
_ Từ các giả thiết A/, N là trung
điểm các cạnh chứa nó kết hợp với J”“”, Hình] Š tính chất các đường thăng song
Trang 15bảy lời giải theò cách trên (người ta nói đó lả lời giai afin} :
Dạng 3 Giải bài toán hình học bằng phương pháp thê tích
Đề tính một đại tượng hình học nào đó bảng phương pháp thể tích người ta lâm như sau :
ˆs Đưa đại lượng cần tính gắn vào biểu thức tỉnh thể tích của một khối nào đö
® Dũng cách khác để tinh thể tích của khối ấy -
® So sánh hai kết quả của thể tích để rút ra giá trị đại lượng cần tìm
Phương pháp thể tích thường được dũng để tính các yêu tổ về khoảng cách điện tích
hoặc chứng minh một hệ thức nào đó yo sá :
Thi du 14 (Tinh khoảng cách) *
Cho hinh hop chit nhat ABCD.4,B\C\D, c6 4
cạnh 47) vi -
AB = a, BC = 2a, Diém M thude
1ƒ = 3A//2, Tính khoảng cách từ 37 đến mặt phang (43,0)
Mat khae Fi, any liên IM.AB.B,B SE ates @®)
Goi khoang cach tir Af dén mat phẳng (21C) là h
Goi / fa trung diém B,A Từ tam giác, vuông cân 3.1 ta suy ra Í?”
Trang 16www.facebook.com/daykem:quynhon
Lời bình: Việc nhận biết điện tích AC “8⁄4 thật chóng, vánh Đã một lần ta biết đến (ít
ra là Phạm Quác Phong — Bồi dưỡng Hình học ]1 trang 72): Trong, một tứ diện vuõng bình phương diện tích mặt huyén bằng tổng bình phương các mặt vuõng, Theo đó :
| 1) Dựng điện của lăng trụ tạo.bởi mat phẳng (P)
| 2) Tinh điện tích thiết điện nói trên -
Lời giải
1) (h.17), Trong mat phẳng (ACC), qua ake
đường thăng vuông gót vét-A,C’ cat CYC tại M: (Bơi -
có 4C=va° +b '<Sc nên N thuộc đoạn CC)
AM 1 BC
AM LAC
=>AM L(A BOYS AM LAB :
Vậy Aí là giao.của 8B với đường tháng vuông,
góc với 4,# ké 4 trong mat phang (4) BAB) Thiét
điện là tam giác 4Ä#N - `
Thay (2) (3) vào (1) có 5, yay = =
Thi dy 16 (Chimg minh hé thức) š
Chứng mình tông các khoảng cách từ một điểm bất kì trong tứ điện đều đến các mặt
của tử diện ấy là một số hằng
Trang 17www.faceböok:com/daykem:quynhon
3 Lời giải
(h.19) Gọi 44 là một điểm bất kì trong
tứ diện đều 48C Gọi đ„, dạ, 4 do theo
thứ tự là khoảng cách từ điểm Ä⁄Z đến các"
mat (BCD), (ACDY, (ABD), (ABC) Goi § R
diện tích của của mỗi mặt bên Ta có thể
tích của tứ điện /BCD là Vag y = sử =
, Tuong ty” Vesacr = 24
1 PAyxpra = se
© „co = Ste, tdprde + dyed, +dy + de +iầp= “ưu ` ——
Suy ra Euro Viseco + Vuuap + Ý uuùc, = > (dy + dy + dee + dy)
Cé nhién ao là đại lượng không đôi, nên (*) cho ta có điều phải chứng mình
‘Lai bình: Khi một đại lượng não đó là một số hằng, nhự dòng nước chảy tự nhiên ~
thay cho yêu cầu chứng minh, người 1a yêu câu tính giá trị của đại-lượng ấy Các bạn
theo đõi tiệp thí dụ dưới đây, : 4
Thí dụ 17 Cho hình chóp tam giée S.ABC M là một điểm năm trong tam giác ABC
Các đường thang qua M song song với S4, $ð, :SC lần lượt cất các mat (BSC), (CSA),
(ASB) tai A*, B’, C' Chứng mình rằng : - 3
theo thứ tự là hình chiếu của À2, 4 trên - `
mat phang (BSC) Ti các cặp tam giác
đồng dạng ANAS va ANMA’, AA,AS vie
Trang 184 vuông góc với %8 cat SB tai C, cắt SAM tai N Goi BAM =x Tính thể tích hai khối
Cách 2 Ta có thể tích khối Liên SAMB là
Ÿ suy = qŠ/-AM.MB= - ch 2Rsinx 2Rcosx
_ = l ah rae fos x Save 2Rhcosx (5)
4R“cosx_ 4R ir cos’x it +4? cos* x >
Trang 19www.facebook.com/daykem.quynhon `
Thay (5); (6) vào (4) ta có
Tir (3), (7) suy ra HC = :
BÀI TẬP 1
Khi lăng trụ i
Cho lang tru dimg ABC.A,B\C) có đáy 4BC là tam giác vuông, 48 = BC = a,
AA, = a2 Gọi M là trung điểm của cạnh BC ;
1) Tinh theo a thé tích khối ing tru ABC.A,B,C;
2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 4A va BiC
1.2, Chứng mình thể tích khôi lãng trụ cựf tam giác (lăng trụ có hai đây không song song,
ˆ với nhau) băng tích của thiết điện thăng với trung bình cộng của ba cạnh, ;
1.3 Cho lãng tru đứng 4BC.A,8\C, Các mặt phẳng (ABC), (ABC), (41BC) cắt nhan tại
O Goi H la hình chiêu vuông góc của Ø trên mặt phẳng (ABC)
1) Chứng minh ring Hla trong tam tam giác 4BC ‹
2) Tính thê tích tứ điện OABC theo thé tich ling tru dimg ABC.A\B\C;, +
1.4 Cho hình lap phuong ABCDA’B'C''D? có các cạnh băng -a Gợi K là trung điểm của
8C, Ƒlà tâm của mặt bên (CC 'D} oh oe
1) Xae định thiết diện-của hình lập phương tạo bởi mặt phẳng (4XD
2) Tính thể tích các khối đa điện dở mặt phẳng (4X?) chịa ra trên hình lập phương
1.5 Cho hình hệp chữ nhật 48CDA\B;C,D: đường chéo 4C = đ hợp với đây 4BCD một góc œ và hợp với mặt bên (8CC,#)) một góc 8
1) Chứng minh CAC, =a, AC\B= 8 2) Tinh theo ava Ø thể tích của khối hộp,đã cho,
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của V, + :
1.6 Tính thê tích của khối chóp từ giác đệu S.48CD biết cạnh đáy bằng a, góc 45B =ơ
1.7 Tinh thé tích của khối chóp tứ giác đều S4BCD biết trung đoạn 'bằng đ, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ø Ms a b
1.8, Biệt thê tích của khôi hộp 4BCD.4yB;C,D, bằng 1 Tính thể tích khối tứ diện 4ð;CÐ
Cho lăng trụ 4BC.4B\C) có độ dài cạnh bên bang 2a, day ABC la tam giác vuông tại
4,AB= a, AC= a3 va hinh chiéu vuông góc của điểm điểm 4¡ trên mặt phẳng (48C)
là trung điểm của cạnh BC,
1) Tính theo a thê tích khối chóp 4i.48C -
2) Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng ⁄44; và B,CN
1.10 (TSDH, khéi B — 2008):
“Cho hình chóp S.48CD có đáy 4BCD là hình vuông cạnh 22, S4 = a, SB =a¬l3 và mặt
phẳng (4ð) vuông góc với day Goi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh 4B, BC
1) Tính theo z thể tích khối chóp S.BMDM -_ - ˆ
2) Tính cosin của góc giữa hai đường thing SM, DN
19
Trang 20` www.facebook.com/daykem.quynhon
1.11 Cho khối tử giác đều §_4BCD có khoảng cách từ đỉnh 4 đến mặt phẳng (SBC)
bang 2a Góc giữa mật bên và cạnh đáy bang x
L) Tỉnh thể tích cũa khối chóp theo ¿Và x
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích ây:
1.12 Cho khối chóp S.48CD có đáy tà hình vuông S4 vuông he! với mặt pháng đầy va
SA = 2a Goi BY D' lân lượt 1a hinh chiéu cua 4 trén SB va SD Mat phẳng (1P.D`) cat SC
tại CC Tính thê tích cửa khối chóp S.48'C”Ј
1.13 Cho (4) và (4') là hai đường thăng chéo nhau hợp với nhau một góc 60" va
khoảng cách giữa chúng, bằng | h: Trên đường thẳng (24) đặt đoạn thẳng 4ö = a trên
ˆ 1) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.4B CD’ va S.ABCD
2) Tinh thé tich cia hai khdi ch6p S.48'C'D’
1.16, Cho khối a giác đều S.4BŒD đáy có cạnh đáy bằng, ä và cạnh bên nghiêng trên
đáy một góc 60” Từ một điểm / trên duéng cao SH sao cho -2§ƒ = /f7, kẻ một mặt phãng,
vuông góc với một cạnh bên Tính 'tỉ số thê tích hai khỗi nhận được
1.17 Cho hình chóp 8„4BŒD có đáy 4BCD là hình chữ rihật và cạnh 3⁄4 vuông góc với đáy Một mặt phang (a) qua 4 vuông góc với cạnh SC” cat SB,'SC SD lần lượttại BC, Ð`
1) Chứng mình tứ giác 4'C”D' có hai góc đối diện vuông
2) Chứng minh rang khi S di chuyển trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tai A thi mat phẳng (4#'Œ!P') tuôn đi i qua một đường thăng cô định và các điểm
4, 8, B’,C’, D° cùng cách đều một một điểm cố định với một khoảng cách không đối
3) Giả sử góc giữa cạnh SC và mặt bên (54) bằng x Tỉnh tỉ số của khối chóp
S.AB'CD'và khi chop S.4BCD theo x, biét răng 4B = 8C
Phương pháp, thể tích:
1.18 Cho tứ diện 48CD có DA L.(4BC) 4BC = 901, Tính khoảng cách từ 4 đến mặt phẳng (DBC) néu AD = a, AB = b, BC.= b '
1.19 Cho tứ diện 4BCD và @ là một điểm nằm trong tứ điện và cách đều các mặt của tứ
diện một khoảng z Gọi ð¿, ñụ, Ja.; Bị, theo thử tự là khoảng cách từ các điểm 4 B C D
đến các mặt đối diện Chứng minh rằng: đe a + a + Al,
1.20 Cho tir dign ABCD va M là một điểm nằm trong tứ diện Gọi 4, đạ, đ đụ, theo
thứ tự là khoảng.cách từ.M đến các mặt đối diện lần lượt với các đỉnh 8 C D Gọi
Aa, he, he, Ay theo thir tr là khoảng cách từ các điểm 4 8 Cy D dén éac mat đối diện với
các đình ấy Tính tổng: ki đo „ác „ấn
hy Ty Tây hy 1.21 Cho hình.chóp S.4BCD có đây ABCD là hình bình hành Một mặt phẳng la cit
SA, SB, SC theo thir tr tai 4’, 8’, C’, D’ Chimg minh: ~
Trang 21www.facebook,com/daykem.quynhon
a) Vssge = Vesen = Säpb E ỨNep ») a se SD"
1.22 Cho hình chop SABC và Œ là trọng tâm 44/C Một mặt nh (a) cất SA SB SC
SG theo.thirty tai BLO Go - Chứng minh
Bài tập trắc nghiệm ˆ
11.1 Cho hình chóp S.48C'D cö đáy là 48C là hình thoi cạnh ø (2 > 0) gác BAD = 60"
Hình chiểu vuông góc của SŠ trên mặt phẳng ( (ABE'D) tring, với tâm ( của đây va SB = a
11.2 Cho hình hộp chữ nhật ABCD: B c Ð` có các cạnh AA4`=1,AB = =3
Khoảng cách từ 44 đến mặt phẳng (ABD) Na: a
11.3 Cho lăng trụ tam giác 4ZC.4`8'C” Gọi D là trung điểm °C’, Ala ti số thể tích
khối tử diện 48'D và khối lăng trụ đã cho Trong các số dưới đây số nào ghỉ giá trị
11:4 Cho tứ điện -#48CD có đây là tam giác 48C vuông ại B:.1D £ (4BC): AB = 3a,
AC = 5a, AD = BC = 4a (a> 0) Dig + điện la
11.5 Cho hình lang trụ đứng ,{8C4'8'C.Biết, 4
tam giác vuông tại 4 Thê tích của tứ điện'C `8 ›4'là :
11.6 Thé tích hình tứ diện đều có cạnh bằng u la: ae
11.7 ABCDA’BC'D" là hình lăng trụ có đáy 4C? là hình vuông cạnh œ Các cạnh bên
tạo với đầy một góc 60° Dinh 4” cach đều các đỉnh 4, B.C D Trong các số dưới đây
số nào ghi giá trị thể tích của hình lăng trụ nói trên ?
a exe g4,
11.8 Cho hình diện 4BC'D và #'là trung điề :
Trong các số đưới đây: số nảo ghỉ giá trị tỉ số thể tích g iữa khối tứ diện 4B'C'D và phần còn lại của khỏi tứ diện điện 48€'D ?
6
11.9 Đáy của hình hộp đứng là một hình thoi có đường dito nhò bằng, đgóc nhọn bằng
a Nếu diện tích của một mặt bên bang S thi thé Me của hình hộp ấy bang :
A dScosa; B assin<; € + dssina; Ð.4§Sing
vn
Trang 22l www.facebook.com/daykem.quynhon
11.10 Cho khỏi lăng trụ tam giác 48C.4“BˆC có thể tích bằng # Gọi í lả trung điểm
các cạnh 44 8B" Khí đó thể tích của khối đa diện 48C/CT băng
4 5 di
11.11 Cho hình lập phương 4BCD.1i Bi C\D) c6 cạnh bằng 1 tâm oO trong các số dưới
đây số nào ghỉ giá trị thẻ tích khối tử điện ie
11.14 THẾ tích của hình đo: au giác đều có ot đáy bang a, cạnh tân nghiêng trên
đáy một góc 60” là:
A ave a 26 Cc # 3 D
1115 Day của hình chóp SABC 4 là một hình vuông cạnh ở Tinh thể tích của hình chóp
đó Biết rắng cạnh bên %4 vuông góc với mặt phng đáy còn cạnh ŠC tạo với mặt phẳng
11.18 Cho khéi lãng trụ tam giác đều ABC ABC) Goi M la trung điểm Aa’ Mat
phang (MB,C) chia khéi lăng trụ thành hai phần À số thể tích hai phan đó bằng :
11.19 “Tứ diện OABC 06-04, OB, OC d6i một vuông góc với nhan và @4_- a8 = 24.,
OC = 3a,Goi M,N la trung điểm lần lượt cua hai cạnh AB: 8C Khi đó thể tích của khôi
Trang 23www.facebook.com/daykem.quynhon
Chương Iĩ, MẬT CAU, MAT TRU, MAT NON
g1 MẶT chu, KHOI CAU
I Kiến thức cần nhở u80: R) 1a tap hop {44 | OAƒ7= RYT
Khối câu Š((2: #) lá tập hợp ¡A/| (2A7<'R1
Mặt câu lá hinh tròn xoay tạo bởi utyột đường tròn khi quay quanh một đường kính của nó
Khoi cau 1a hinh tron xoay tạo bởi một hình tròn Khi quay quanh một đường kinh của nó
2 Giao của mỗi cầu S((2: #) và mật phang (/?)
Goi dla khoảng tách tư €2 đến mặt phăng (?) là hình chiếu vuông tóc cửa (2 trên mặt phăng, (7)
ud > thì mật phẳng (P) không cắt mặt cầu
+ Néud = R thi giao la diem A Khi đó ta nói : +
— Mat cau S(O; 8) xúc với mặt phang (P) tai H = š
~ Mặt phẳng (Œ)1ã Tiếp diện của mặt cầu S(; K) tại /7 I xếu xoay
+ Nếu 4< & thì giao là đường trồn tâm A, ban kinh r=VR? -@?
Đặc biệt, khi ¿= 0 thì giao được gọi là đường tròn lớn (r = 8)
3 Giao của mặt cầu $0: #) và đường thăng a (A)
Gọi ở là khoảng cách từ 2 đến đường thang 4) H là hình chiếu vuông góc của Ó
trên te) ‘
+ Nếu ở< R thi (Aycất mặt câu tại hai điểm phân biệt
+ Nếu đ= R thì (4) tiếp xúc với mặt au tai A Ta cling ndi (A) la một tiếp tuyển của
mặt cầu Các tiếp tuyến của mặt cầu tại H trầm trên tiếp diện của mat câu tại điểm â;
+Néud>R thi (1) khény cả
4 Vẽ các tiếp tuyển kể từ 4Í
+ Các doạn thăng nói voi tiếp điểm lân nhau
+ Tập hợp các tiếp điêm là một đường tròn,
5 Dién tich mat cau ban kinh RF aS = 4x”
Thể tích khỗi cầu bản kinh #8 là V^ Sak
H Gác bài toán thường gặp
Bài toán 1 Xác định tâm và bán kính mặt câu ngoại tiếp khối đa điện
* Nhốc lại : Đường thắng đi qua tâm cửa đường tròn và vuông góc với mặt phẳng
chứa đường tròn được gọi là trục của đường tròn ây „
Như vậy trục của đường tròn là lập hợp các điểm cách đều mọi điểm của đường tròn
« Cẩn và đủ để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đa giác đáy có đường tròn ngoại tiếp
* Tâm mật cầu ngoại tiếp hình chộp la giao của trục đường tròn ngoại tiếp đa ite
đây (gọi đắt lò trục cua đáy) và mặt phẳng: trung trực của một cạnh bền
Bởi thể trong trường hợp thuận lợi tim được trục của đáy Thì việc tìm tâm ngoại tiếp khếi chóp dưa về tìm giao của mặt phẳng trung trực của một cạnh bên với trục của đầy
hw Wa
Trang 24Thi du 1°, Cho te diện ABCD cô 3 canh DA, DB, DC đồi ¡ một “viii góc với nhau
Cho biết D4 = V3; DBA= 60°; DCB =30°,
_Xác định tâm và ban-kinh mat cdu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Lời giải
œ 23) Gọi7, K theo thứ tự là trung điểm của 8C, DA Vẽ hình bình hành KĐ/Ơ Ta d
có Ở là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện LCD, Thật vay: ‘
Theo giả thiết ta có ABDC vudng tai
Bán kinh mặt cầu phai tim la R = OD =/28 = 27
Thi du ar Cho tir dién ABCD 'c6 canh DA 1 (ABC), nhj dién canh DB 1a nhj vuông
Cho biét 4B = a;, BDC = 45°; DBA'= 60°
Trang 25> BCL (DAB) > BCI DB (dpemy(h.24)
2) Ta cĩ DAC = DBC =90° suy te DC I đường
, Kính vả trung điểm 7 của nĩ là tâm đường trịn
ngưĩại tiếp tứ diện 4BCD 1 ˆ
Trong tam.giác D4B vuơng tại 4 ta cĩ
Thi du 3 Cho tir điện 4BCD cĩ 4 = AC = AD-= BD- =a CD = h hai mặt t phẳng |
1) Chứng minh 4ẬC D là tam giác vuơng
2) Xác định tâm và bán kỉnh của tứ diện,
1) Gọi rlà trung điểm BC (h.25) Do AB = ÁC nên AABC Ia tam giác cần suy ra
AI LBC Theo giả thiết (18C) :L (BCD) => AI 1 (BCD) => IB, IC, ID là hình chiếu
vuơng gĩc của 4B, 4C, 4D trên mặt 'phẳng (BC `
=> ABCD la tam gide vudng tai D (dpem) l " . 3} ® Trong mặt phẳng (ABC) OJ đường t trung tr trực của đoạn thẳng AB cit Altai O Ta
Từ Ø) @) ta cĩ Ø4 = QB = =e OD nén O fa tam dùng tron ngoai tiép tir dién ABCD
_ © Goi /1a trung điểm 4B Ta cĩ O7 1 AB Trong hai tam giác đồng dạng
2,
4Ư và 41B ta cĩ L0 ¿¡ pạc 648 „ế
Trong: iam giác 8C? vuơng tại Ð cĩ BC” = BDỲ+ CŨ) = dÈ + hề,
Trong tam giác 487 vuơng tại / cĩ
Trang 26www.facebook.com/daykem.quynhon
Thí dụ 4` Cho tứ diện 42C D có mặt 44/82 là tam giác vuông tại -{ mặt am | giác déu cé cạnh bằng 4ø Mặt phẳng vuông góc với Ac, qua BD cat AC tai EF E nam i
i giữa zÍ và C .4BED cân tại £ và BED = 30” Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp tử điện l Y
Lời giải
(26) Từ -18CD là tam giác đều suy
được các kết qua sau:
ˆe CB= CD = EB= ED = AB=AD
5 BE - Ha „=8E= Bosna wee
sin30 sinl20 - Sin120 v3
AE=V 4B - Bi yee ee * ule
So sánh (3) (4) ta có ‹ AB + BC=AC & ABC =90°
Từ các kết quả trên suy ra ADC = ABC =90" => AC Ia đường kính đường vả trung,
điêm của 24C là tâm của mr dién ABCD
Bai toan 2 Dién tich mat cầu và thể tích khối cầu
Gọi @ ỞỚ, 2, ï theo thứ tự là trọng iam ABC trong tam, A4,3,C4, trung diém 4B:
OO Theo giả thiết ta có CD DC = 30"
Gọi 7 theo thứ tự là trung điểm ØÓ, thì 7 là tâm và /C là ‘hin kinh cua mii cầu ngoại
Trang 27xứng cha Ợ qu Lay điềm Af sao cho A/` vuông gị gỉ
MỊN = 2B Tính thể tích khối cầu (5) đi qua đường tron da cho va diem M
(h.28) Gọi (4) là trục của đường tròn đã cho Ta có (4) // 1N Trong mặt phẳng (A⁄
4) kế đường trung Trực của XiA cắt với (9 tại.7, thì 7 là tâm của mặt cầu (S)-Gọi bán
kính của (9) là x Ta có x = M '= 1A (A)
ae hai tam giác vuông IMB, LAO ta c6
Thi-dy 7 Cho hình chóp S48C Biết tằng có một mặt câu (6) tiếp xúc với ba cạnh i
của tam giác 4C tại trung điểm của mỗi cạnh đồng thời mặt câu ây & qua trung
điểm của các canh S4, SB, SC 4
1) Chimg minh SABC là hình chép đều
2) Tính điện tích mặt cầu biết cạnh đáy và chiều cao của hình chóp là ø và ñ,
Lời giải
A) Goi a BC A Cy theo thir ty la tung điểm:
cia cae canh S4.SB SC.) BC BA (h.29) Ta c6:
FAL RC, AABC đồng dang voi nhau theo ti
AB 2
Gọi ¿ x theo thứ tự là tâm và bán kính của
mat câu (#) Lại gọi @ (2'lần lượt là hình chiếu
vuông góc của / trên (4ØC) (4B 'C”) Goi (a)
là mặt phẳng trung trực của Cˆ€'
Do c6 (1) nén co J=O'ON(a) G)
Theo giả thiết „4;„ Ø¡ là các tiếp điểm của tiếp
tuyển kẻ từ Z tới (Ý) nên có
2Bái =2BB\, © BRA= BC
27
Trang 28www.facebook com/daykem quynhon
Tương tự 8⁄4 = 4C nên 1⁄4BC là tam giác đều: (4)
Từ (2), (4) suy ra 14`8ˆC” cũng là tam giác đều (5)
Do co (4), (5) suy ra: 20° RB? = 20°C" = OB = OC nén O ‘OBB
và O'ÓCC ` là hai hình thang vuông bảng nhau => 28 'ÿ=2C'C => SB= SC
Tương tự $4 = $8 nên S.4C là hình chóp đều (dpem)
“vay diện tích mặt cầu phải tính bang: an? = an
Bài toán 3 Điểm thuộc mặt câu
Đường tròn cổ định cña mặt cầu biến thiên
1) Để chứng mình điểm 4 thuộc mặt cầu (0, #) bạn có thể sử dụng
s« Chứng tỏ (24 = R
s Chứng tỏ iA] =90° trong đỏ ¿7 là một đường kính a
2) Để chứng minh 3 điệm , BC cùng thuộc một mat cầu, bạn có thể sĩ dung 2 cách sau :
s Chứng tỏ 3⁄4 = Q) X.-
« Chứng tõ TAS = BI = ICI = 90° trong đó ¿7 là một đường kinh
3) Cho 4 lá một diem thuộc mat cau (O, &): Đề chứng minh điểm 4 thuộc một đường
tròn cô định của.mặt cầu (Ó R) ban phải khang dinh duge đồng thời hai điều kiện sau :
f Co mot đường thăng (4) cố định đi qua tâm của mặt cầu đã cho
« Mặt phẳng qua zÍ vuông góc với (24) là mặt phãng cổ định,
Thi du 8, Cho đường, thang (A) va mot điểm 4 nằm ngoài (1) Gọi (P) là mặt phang
qua 4 va (A) Một góc xay quay quanh 4 cất (4) tại 8 và C Trên đường thing At
qua-4 va vudng góc với (P) lấy một điểm S: Goi H; K la hinh chiéu vuông góc của Í
1) Chứng minh 5 điểm 4, 8, C, Ø1, K cùng thuộc một mặt cầu
2) Tinh bán kính mặt cầu trên, nêu 4 = 2 4C =3 Bac
3) Giả sử A4BC' vuông tại 4 Chứng mình rằng mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
ABCHK luôn đi qua một đường tròn cố định khi S thay đi trên 44 và góc vuông
x42 quay quanh i
1) (1.30) Ké cš đường kí kính 4D của ' đường tròn ngoại tiếp - ABC,
Ta có 4BD = ACD =90°
py [Sd L (ABC) = SALCD k ` C
Từ Rees (theo (13) SCDL(SCD)>CD.LAK
Kết hợp với giá thiết SC L AK Tacé AK 1 (SCD) > AK L KC
28
Trang 29www.facebook.com/daykem.quynhon
Hay AKC = 90", Tương tự AHC =90° :
Vậy nên Cˆ #⁄ Ä cùng nằm rrên đường tròn đường kính 4Ð tđpcm)
3) (h31) Lấy lầy điểm đối xứng của ⁄4 qua đường thẳng (4) Cổ nhiên Z cổ định
Tacé BAC = BFC =90° =>, F tiiưộc đăờng tròn ngoại tiếp 448C =» # thuộc mị câu ngoại tiệp khỏi đa diện 4RCHK Vậy khi 44BC vuông tại 4 mặt cầu ngoạt tiếp khó
đã điện 48CTIK luôn đĩ'qua một đường tròn đường kính
AF co dinh nam trong mat phang (SAF)
Loi-nhan: Cac bạn liên hệ với fap 1.17 ; : P
Lời bình s Thay cho câu 3 bài toán có thể yêu câu tìm tập hợp tâm 7 của mặt cầu
ngoại tiếp khối đa điện khi $ thay đổi trên 4! và góc-vuông xáy quay quanh 4 Với kết
quả câu 3 ta thấy rằng tập hợp 7 là trục của đường tròn (SAF) `
,„ 9 Néu la mét đường tròn cô định thi.ca mat phang chứa đường tròn và trục của nó đều phải cỗ định Bởi thê đường tròn cổ định của một mặt cầu biển thiên ất phải
thuộc mặt phẳng cố định vuông góc với một đường thang cố định đi qua tâm của mặt câu ây Trong bài toán trên
+Khi BAC = 90”©> BC là đường thẳng cố định đi qua tâm của mặt cầu
+ Lại có 4 là điêm cô định, đường tròn cố định phải thuộc.mặt phẳng qua 41 và vuông góc với đường thắng öC (mặt pháng (S4/#)) Lời giải bài toán đã cho ta thay tat ca những suy nghĩ đó, Các ban theo dõi tiệp Thí dụ sau
Thi du 9 Cho mặt câu (5) tâm Ở bán kính # và 44 là một điểm trên (8) Ba tia 4x, Ay,
i
Az d6i một vuông góc với nhau cắt (9) tại B, C.D Cee
1) Chứng minh mặt phẳng (8C'D) luôn đi qua một điểm cỗ định xà E
2) Chứng minh rằng hình chiếu /7 của D trên đường thăng 8€ thuộc một mặt cầu cô
29
Trang 30:.WWwW.facebook:com/daykem.quynhon
Lời giải
1) Dựng hình hộp chữ nhật có ba kích thước la ABDC DC)A,8\(n.32) RO rang cae dinh
của hình hộp này thuộc mặt cầu (7
Goi = AA Oy BB ‘thi †là tâm
Của mặt câu (9 Cô nhiên A.Ai.Tlà
các điểm cô định Gọi G là trọng tâm -
Tóm lại mặt phẳng (8C) luôn đi
qua một điểm cỗ định Œ được gác
(2p) theo thứ tự tại 4), 4›, Gọi Hị lã hình chiếu vuông góc của 4 trên (P) 5
1) Chứng mỉnh 5 điểm 4, L Ái; 4a, Hị cùng thuộc một mặt câu: chỉ rõ tâm của mặt câu
tỉnh diện tích của mặt cầu theo ä, & và khoảng cách h giữa mặt phẳng, (P) va (Q)-
2) Chimg minh khi mat phẳng (Q) thay đôi thị tâm mặt cầu nói trên luônthuộc một
đường thằng cổ định va mat cầu ấy luôn đí qua một đường tròn có định
Trang 31www.facebook.com/daykeim.quynhon `
=a +Pootath = a +H 1+.cota)"
Dign tích mặt cầu là Š= 4ø = afa” + # (1+ cota)] «i CO
2) Xét mặt phẳng () chứa j7 và vuông Sóc với (4s) Rõ rằng (R} là mặt phẳng cỗ định
và vuông góc với đường thẳng cố định (2g) đi qua tâm của mặt cầu đang xét: Bôithế Tiên
đường tròn (ý) đường kính ¿7 là đường tròn có định của mặt cầu đang xét Vậy khi mặt phang (Q) thay đôi, mặt cầu (114,421) luôn đï qua đường tròn dường kính 17 nằm trong
mat phẳng vuông góc với (4a)
Lời bình: (*) Để tính diện tích mặt cấu, nếu biết được #” thì không cần bi
'Bạn có thê một đường thẳng, hoặc một đoạn thẳng tiếp xúc với mặt cầu theo may
© Bé chime minh đường thẳng (4) là tiếp tuyến của mặt cầư-(O, #) ta chứng
° Khi A là một điểm thuôc mặt cầu (O, R) thi đường thăng (4) qua 4 là tiếp tuyến
ˆ của mặt cầu ấy khi và chỉ khi OAL(A) | eo
® Chờ A va B la hai điểm thuộc mặt cầu (Ó, #) vã đường thẳng A4 một tiếp tuyển
của mặt cầu, Khi đó đường thắng 1 tiêp xúc với mặt cầu khi và chỉ khi Ä⁄Z4 = À⁄4B —-
Thí dụ 11” Cho hình chóp S.4BC có đáy là AABC vudng tai:4, ACB =30°, BC = 2a,
cạnh ŠC vuông góc với mặt phẳng (42C), SC =x Gọi (4) là đường thang qua B va
1) Với giá trị nào của x thì (4) là một tiếp tuyến của với mặt cầu đường kính %4
2) Tính theo ø thể tích khối chớp 548C khi x nhận giá trị ở câu¿1
1) Gọi 7, K theo thứ tự là trung điểm của 54, 4C
=> IK 1! SCII (A) = Khoảng cách từ 7 đến (4) -
(4) khi và chỉ khi khoảng cách từ £ đến (4) bằng » tức là 2 =BK
SA aS
ga © SMaalio SA = 50 SAC +SC= 5g
Ă© d+x)=52) x)=422 œ x=2a,
31
Trang 32www.facebook:com/daykem.quynhon
2) Dễ dàng suy ra SAB SCB =90° nén SBA đường kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
S.ABC Theo két qua cau 1; 8C.-= BC= 2a SB= 2a/2 `
- bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chop SABC là &=-a2 và thể tích của nó là
y.4zR` =a (2) = Sa ˆz-/2
Thi dy 12 Chirig minh néu cdc te th của một.tứ diện tiếp xúc với một mặt câu thi |
các cặp cạnh của tứ diện ấy đôi một bằng nhau -
AC, 4D BC.:CD DB của tử điện theo thứ tự
Thi dy 13 Cho duong tròn (ý) đường kính AB va một điểm C trên đường thắng
-| vuông góc với mặt phẳng đường tròn tại 4, Gọi M là indt điểm bất kỉ trên đường tròn,
7 là hình chiêu vuông góc của 4 lên CAZ
| 1) Chimg-minh khi M thay déi, diém 4 luén thude mét-dudng tron 6 dinh,
2).Giả sử các tiếp tuyến tại 4 và 4 của đường tron (4) cất nhau tại K Chứng minh ‡-
RH là tiếp tuyến chung của hai mặt cầu đường kính 4B va AC
2) Từ (1) > 4H L HB => H thuộc mặt cầu đường kính 4B
Từ (2) = H thuộc mặt cầu đường kinh 4C
Do ÁC L AK nên K4 là tiếp tuyến của mặt cầu đường kính AC + (4)
Trang 33www.facebook.com/daykem.quynhon
Đo #£M là tiếp tuyến của (ý) nên KALI on
tiếp tuyến của mặt cầu đường kính 43 (5)
Goi J 1a trung diém 4M Ta cd es
‘Fir (4), (5) (8) = KF 1a tiếp tuyến của
mặt câu đường kính AC đồng thời cũng là
tiêp tuyên của mặt câu đường kính „4B
(dpem)
Kk Hình 35
- §2 MAT TRY, HÌNH TRU, KHOI TRU,
MAT NON, HINH NON, KHOI NON
, I Kiến thức cần nhớ ;
A Mặt trụ, hình trụ, khối trụ
1 Mat tru 7(4, 8) là tập hợp các điểm J cách đường thang (4) mét khoang R Mat tra la
hình tròn xoay tạo bởi đường thẳng / khi quay quanh đường thẳng (4) song song với /
- Hình trụ là phần của mặt trụ 7(.J; #) nằm giữa hai mặt phẳng phân biệt (7) và (")
vuông gốc với (24) cùng với hai hình tròn (`) và ( €”) là giao tuyến của mặt trụ với (P)
3 Khối trụ là hình trụ cùng với phân bên trong của nõ 2
Kh Thể tích của khối tụ : la hinh tron xoay tgo boi mién hinh chit nbat khi quanh quanh một cạnh của nó
V=aRh
B Mặt nón, hình nón, khối nón $ :
1 Cho điểm Ó nằm trên đường thẳng (4), Mặt nón đình Ø trục A, g6c 6 dinh 2a (a < 180°)
là hình tạo bởi đường thẳng (4) di qua Ở và hợp với (2) một góc bằng a ` `
Mặt nón là hình tròn xoay tạo bởi đường thẳng / khi quay quanh đường thăng (A) cat
2 Hình nón là hình tròn xoay 120 bởi một tam giác cân khi quanh quanh trục đối xứng
.* Điện tích xưng quanh của hình nón NG, R) bang nrữá tích của chủ vi đáy với đường
ua Oa
Trang 34` wwrtrtfbdeedfksonedflngfbestugsynbom,
© Diện tích toàn phẩn của hình nón bằng tổng điện tích xung quanh và diện tích đầy
Sip = ARI + zR` = mR(l + R)
3 Khối nón là hình nón cùng với phần bền trong của nó
Khối nón là hình tròn xoay tạo bởi một miễn tam giác cân khi quanh quanh trục dối
xứng của tam giác đó
Thẻ tích của khôi nôn : J r= 3 leh
II Các bài toán thường gặp Bài toán 1 Tính các diện tích, thể tích liên quan với mặt trụ, khối trụ
| Thí dụ 15 Một hình trụ có bẩn kính đáy # = 5 Một mặt phăng song song và cách
| trục 20" của hình trụ một khoảng bằng 3 cất hai đáy theo thirty tai 48, 4° 8"
1) Tinh dién tich thiết diện 48Ö'.4” nêu chiều cao ú = 15
2) Tính diện tích Xung quanh và thể tích hình trụ trong trường hợp thiết diện có điệ
tích bang 96
1) Gọi K là trung điểm 4 (h.36)
Tacé OK LAB OK LAA suy ra KL.(ABEA`)
Do vay 46 dai OK chinh [a khoang cach giữa trục và mặt phang, thiét điện Theo giả
thiét OK = 3 Trong AOK4 vuông tại Ktacö:
Trang 35L0i binh: Tinh diện tích toàn phân và thể tích của một.hinh trụ có thiết diện qua-trụe
là một hình vuông lä bài toán tương tự với bài toán trên l '
Ta có bán kinh day cua hinh try cling ban,
Thi du 17 Cho hinh hép ABCD A,B,CD, nội tiếp trong một hình trụ cho trước: |
góc giữa đường thing B,D va mặt phẳng (418/1,1i) bằng 30" Khoảng cách giữa trục
Theo giả thiết “— = = =4D=3a 30>
+) Đường kính đáy hình trụ bang Sa NI “3 oo
=> BD
+) Dễ thấy B,D 1a g6c gia duing ining
B.D va mat phang (4BB,4;) Theo giả thiết
- 4B|D= 30”: Trong A48,Đ vuông tại 4 có
Từ đó có thể tích khối cầu phải tính là Ý = = xả: ale
Thí đụ 18 Cho hình trụ (7) có bán kính đầy bằng 4, chiều cao bằng 3 Tìm một hình
trụ (T¡) khác có bán kính đáy là x, chiều cao băng y và có thể tích bảng thẻ tích hình
trụ (7) đã cho
=36ad`
Trang 36
Với x= cove 2; V6ix=4co¥
Cap net € 3) cho ta hình trụ D ban dau, niên không thích hợp Vậy hình trụ
+ Thể tích của khối trụ là V'= my + Diện tích toàn phần của hình trụ là
Trang 37` Bài toan 2 Tính các diện tích, thể tích liên quan với mặt nón, khối nón
Thí dụ 21 Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh day bang a canh bén nghiéng trén
day mot gc 60°, Tinh dign tich toan phan va thé tich hinh Adh ngoại lêp hình chóp ay
Gọi O ld trọng tâm AABC, R la ban kính đáy hình nón
Trong tam giác đều 4BC ta có 8C = 2Ñ8sin4
© a=2Rsin60 => ‘R=
3
- Trong tam giac SOA | vuông tại oO ta có
+ §O = OAtan60° = nape =a
+ SA= OA qa
cos A “A? “5
` Diện tích xung quanh của hình nón là
Sạ=aRl + nRỲ = a.R.SA + aR?
(h.41) Gọi Ö là tâm đáy, 7 là trung diém 4B, thi SI AB, OF L AB (do ASAB, AOAB
là các tam giác cân) Trong :4SV2/ vuông tại © ta có :
Dan Tao cớ ào gay,
OH SƠ" OP OH? SO? OP
1 Le J4 1
132 20 or or +) SLOH = 6§OÓ.OI(= 2s„v„) > SII2 = 20.15 °
Trang 38www.facebook.com/daykem.quynhon
| "Thí dụ 23 “Thiết diện qua trục cua một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc |
| 1) Tính diện tích xung quanh và thê tích của hĩnh nón |
L2) Tỉnh diện tịch của thiết diện qua đỉnh hình nón và tạo với đáy một „óc 301 |
ABC tồn tại Xanh vỏ, đo làng”: Bề ngoài nhiều khi người ta cũng cần quên đï” những
điều như vậy nhưng bên trong chăng ai quên đâu Các bạn theo doi Thí dụ tiếp theo
=R—! là điểm nằm trong đường tròn () rên thiết diện -
| Thí dụ 24 Cho hình nón có bán kính đáy bằng #, đường cao bằng $O = z, Một
đường thắng (2) cất đường tròn day tại hai điểm 44 và à 8 Xác định vị trí của (2) để
Lời giải (h 42) Gọi 7 là trung điểm BC thi OF L ee Gai, OL
“Trong AOI vudng tai /tacé: l= YO? -OP =VR* -:
Diện tich ASAB là 8 yin = SLIA= UP +R ~x”)
+Khi R2 f, theo bat dng thie
Trang 39thức có khi x = Ú Suy re maxsxus = hết ¬
*® Tóm lại diện tích tam giác Š⁄4B đạt giá trị lớn nhất khi đường thẳng (2) 'đi'qua tâm
SS fxyal RP - - Rye -x' theo plinong: phán khảo sát hams số bằng đạo ham
Bài toán 3 Mặt trụ, mặt nón cố định của một đường thẳng biến thiên
| Thi du 25 Cho hai điểm 4, B, mặt : phẳng (P),4 € (Œ?) 8 £ (P), Ở là hình chiếu của
; ở trên ứ), H: H# A X&-M là một điểm biến thiên trên mặt phẳng (P) sao cho, Juda, có |
‘ABM = BMH Chứng minh khi đó điểm M luôn nằm trên một mặt trụ tròn xoay có trực là AB
Lời giải Gọi X là hình chiều vuông gúc của A⁄ trên
Hại tam giác vuông BHM và MKB cỗ
chung canh huyén MB ya ABM = BMH nén
4BHM = 4MKB => MK = BH (const)
Vậy khỉ biển thiên trong mặt phẳng (P)-
điểm AZ luôn cách đường thẳng, AB mot -
khoang khéng d6i bing BH nén Ä⁄ nằm trên
mặt trụ tròn xoay cỏ trục là đường thang AB, Hink 45
ban kinh bang BH (dpcem)
Thi du 26 Cho hình nón đỉnh S, ban kinh R, góc ở đỉnh hình nón là 2a, 45°<a <90°
- 1) Tính dién tich xung quanh va thé tich khối nón
2) Tỉnh diện tích thiết diện do mặt phẳng ® cất hình nón thes hai đường sinh | vuông góc với nhau,
3) Một mặt phẳng qua đỉnh của hình nón tạo với đây một góc Ø, cắt hình nón theo hai đường sinh $4, SB Chimg HINH khi mặt phẳng thay đổi, đường trung tuyển SI của 445C luôn thuộc một mặt nón có định 3
Trang 40www.facebook.com/daykẻm.quynhon *
v= 38.50 = [nk Reota =3 ootz
R 2sin? a
3) S7 là trung tuyển cia ASAB => AB SI, AB L O7 Đặt 510 =8 Trong tam giác SÓT vuông tại Ở ta có JO = SOcorf = Reotacosf => ï thuộc đường tròn (2) tam O ban kinh
r= Reota cosf Bởi điểm 5 và (ở) cố định nên khi day:cung AB thay đỗi thì /$7 nằm trên
mặt nón có đường cao là SƠ và đãy là đường tròn (Ý)
Thí dụ 27 Cho tam giác đều 48C có cạnh bằng a, hải điểm 4, 8 cô định Ki hiệu
AA, là đường cao và (4) là trục của đường tròn ngoại tiếp 445C Trong mặt phẳng ,| chứa (3) và 44\, xét đường tròn (+) đường kính 44¡ Gọi S = (2) (ở)
1) Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón ngoại tiệp hình chop: ‘SABC
2) Chimg minh ring khi C thay 46i thi điểm S thuộc một đường trên cố định và mỗi
SABC thi c6 day là A4BC, đường cao là
5#, đường sinh là SCvà điện tích xung