Chuyên đề bồi dưỡng Hình học ôn luyện vào 10 chuyên

Chúng tôi có tổng hợp các dạng bài tập về hình học từ cơ bản đến nâng cao chọn lọc từ nhiều nguồn đồng thời có đáp án kèm theo giúp các em tự hệ thống, củng cố kiến thức, chuẩn bị thật tốt cho kì thi vào lớp 10 sắp tới.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP HÌNH HỌC

A.DẠNG TOÁN CHỨNG MINH I.Chứng minh hai góc bằng nhau.

Cách 13:

Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc

Cách 14:

Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

II.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.

Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng một biểu thức

III.Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

Cách 1:

Sử dụng tính chất tiếp tuyến ( vuông góc với bán kinh đi qua tiếp điểm)

Hai cạnh góc vuông của tam giác vuông ( chứng minh tam giác vuông):

a) áp dụng định lý đảo của định lý Pi – Ta – Go

b) Trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng

c) Tam giác ABC có tổng hai góc bằng 900

Cách 8:

Sử dụng tính chất đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng //thì vuông góc với đường thẳng còn lại

Cách 9 :

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn thì bằng 900

IV.Chứng minh hai đường thẳng //.

Là hai cạnh đáy của hình thang.

V.Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng

nhìn xuống cạnh chứa hai đỉnh còn lại

dưới một góc ( hai góc bằng nhau)

Cách 3: (h9)

Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh

bằng góc trong của đỉnh đối diện

Cách 4: (h10)

Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một

điểm ( mà điểm đó có thể xác đinh

được) Điểm đó là tâm của đường tròn

ngoại tiếp tứgiác

Cách 5 : trường hợp đặc biệt:

( Khi áp dụng cần phải chức minh)

a)Nếu hai cạnh đối của tứ giác

AB và DC cắt nhau tại M

thỏa mãn: MA.MB = MD.MC

ta có thể chứng minh:

tứ giác ABCD nội tiếp.

b)Nếu hai đường chéo của tứ

giác AC và BD cắt nhau tại P thỏa

Cách 1:Gắn vào hai tam giác đồng dạng.

Cách 2: Sử dụng định lý Talét, hệ quả của định lý Talét.

Cách 3: Sử dụng tính chất đường phân giác trong tam giác.

Cách 4: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Cách 5: Lập hai tỷ số từ tích chứng minh chúng cùng bằng một tỷ số thứ ba.

VII.Chứng minh hai tam giác bằng nhau.

1.Trường hợp tam giác thường:

a) Ba cạnh bằng nhau đôi một ( c-c-c)

b) Một cặp góc bằng nhau xen giữa hai cặp cạnh bằng nhau (c-g-c)

c) Một cặp cạnh bằng nhau kề giữa hai cặp góc bằng nhau (g-c-g)

2.Trường hợp tam giác vuông:

a) Cạnh huyền – góc nhọn tương ứng bằng nhau

b) Cạnh huyền – cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau.

VIII.Chứng minh hai tam giác đồng dạng.

1.Trường hợp tam giác thường:

b) Có hai cạnh góc vuông tương ứng tỷ lệ

IX.Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của (O;R).

Cách 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.

Cách 2: Chứng minh khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng bán kính.

Cách 3: Chứng minh góc tạo bởi tia MT với một dây của đường tròn bằng nửa số

đo của cung bị chắn

MT là tiếp tuuyến của (O;R)

*Hoặc

MT là tiếp tuuyến của (O;R)

Cách 4: Đặc biệt:

Nếu MT2=MA.MB đi chứng minh:

MT là tiếp tuuyến của (O;R)

X.Chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng.

Chứng A, B, C cùng thuộc thuộc một đường nào đó: đường trung trực củađoạn thẳng, đường phân giác của một góc.

Cách 5:

Chứng minh AB, AC là hai tia trùng nhau

XI Chứng minh ba đường đồng qui.

Cách 1:

Chứng minh đó là 3 đường trung tuyến,3 đường cao, 3 đường trung trực, 3đường phân giác trong (hoặc một phân giác trong và hai phân giác ngoài của haigóc còn lại) trong một tam giác

Cách 2:

Gọi giao điểm của hai đường là Q chứng minh đường còn lại cũng đi qua Q

B DẠNG BÀI TẬP TÍNH TOÁN.

I.Tính số đo góc.

Dựa vào các kiến thức sau:

1.Gắn vào giải tam giác vuông (Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông)2.Hai góc kề bù có tổng số đo bằng 1800

3.Tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 900

3.Tính chất các góc trong đường tròn

5.Góc này bằng góc kia đã biết số đo

II.Tính độ dài đoạn thẳng.

Cách 1: Gắn vào giải tam giác vuông.

Cách 2: áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông.

Cách 3: Gắn vào tỷ lệ thức (xem các cách như chứng minh dẳng thức hình

học)

III Tính diện tích chu vi các hình

*Có thể chuyển về bài toán tính độ dài các đoạn thẳng

* Chú ý :

-Tỷ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỷ số đồngdạng

- Tỷ số chu vi của hai tam giác đồng dạng bằng tỷ số đồng dạng

- Hai tam giác có chung đường cao thì tỷ số diện tích bằng tỷ số cạnh tươngứng Hai tam giác có chung cạnh thì tỷ số diện tích bằng tỷ số hai đường cao tươngứng

- Khéo léo khi phân chia hình

C.TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÌNH A LÀ HÌNH B

*Giả sử hình A là hình B cần thêm điều kiên gì? Điều kiện đó có liên quan

gì đến điều kiện bài ra?

D.DẠNG QUĨ TÍCH HAY TẬP HỢP ĐIỂM

1.Nếu M cách đều hai đầu đoạn thẳng AB cố định thì M nằm trên trung trực củaAB

2.Nếu M cách đều hai cạnh của một góc thì M nằm trên tia phân giác của góc đó.3.Nếu M cách O cố định một khoảng không đổi R thì thuộc (O;R)

4.Nếu M nhìn xuống AB cố định một góc không đổi thì M nằm trên cung chứagóc dựng trên đoạn AB

5.Nếu M cách đường thẳng cố định a một khoảng bằng h thì M nằm trên 2 đườngthẳng // với a và cách a một khoảng bằng h

MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC CƠ BẢN Bài 1

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại 2 điểm A và B Vẽ đườngkính AC và

AD của (O) và (O’) Tia CA cắt đường tròn (O’) tại F,tia DA cắt đường tròn (O) tại E

1 Chứng minh tứ giác EOO’F nội tiếp

2 Qua A kẻ cát tuyến cắt(O) và (O’) lần lượt tại M và N Chứngminh tỉ số

không đổi khi đường thẳng MN quay quanh A

3 Tìm quỹ tích trung điểm I của MN

4 Gọi K là giao điểm của NF và ME Chứng minh đường thẳng KIluôn đi qua mộtđiểm cố định khi đường thẳng MN quay quanh A

5 Khi MN // EF Chứng minh MN = BE + BF

Bài 2

Cho hình vuông ABCD cố định E là điểm di động trên cạnh CD(E C và D ) Tia

AE cắt đường thẳng BC tại F Tia Ax vuông gócvới AE tại A cắt đường thẳng DC tại K

1 Chứng minh

3 Chứng minh KAF vuông cân

4 Chứng minh đường thẳng BD đi qua trung điểm I của KF

5 Gọi M là giao điểm của BD và AE Chứng minh IMCF nội tiếp

6 Chứng minh khi điểm E thay đổi vị trí trên cạnh CD thì tỉ số không đổi Tính tỉ số đó?

Bài 3

Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) M là điểmthuộc cung nhỏ

AC Vẽ MH BC tại H , vẽ MI AC tại I

1 Chứng minh

2 Đường thẳng HI cắt đường thẳng AB tại K.Ch/ minh MKBK.

3 DF cắt EB tại M, HF cắt EC tại N.Chứng minh MIH ~ MAB

4 Gọi E là trung điểm IH và F là trung điểm AB Chứng minh tứgiác KMEF nội tiếp Suy ra ME EF

Bài 4

Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC vớiđường tròn ( B

và C là hai tiếp điểm ).Vẽ CD AB tại D cắt (O) tạiE Vẽ EF BC tại F; EH AC tại H

1 Chứng minh các tứ giác EFCH , EFBD nội tiếp

2 Chứng minh EF2 = ED EH

3 Chứng minh tứ giác EMFN nội tiếp

4 Chứng minh MN EF

Bài 5

Cho đường tròn (O) và điểm A ở ngoài đường tròn Vẽ tiếp tuyến AMvà cát tuyếnACD (tia AO nằm giữa hai tia AM và AD) Gọi I làtrung điểm CD

1 Chứng minh tứ giác AMOI nội tiếp đường tròn Xác định tâm K

2 Gọi H là giao điểm của MN và OA Chứng minh CHOD nội tiếp

3 Đường tròn đường kính OA cắt (O) tại N Vẽ dây CB MO cắtMN tại F Chứngminh CFIN nội tiếp

4 Tia DF cắt AM tại K Chứng minh KE AM

Bài 6

Cho OM = 3R , MA , MB là hai tiếp tuyến , AD // MB , MD cắt (O)tại C, BC cắt

MA tại F, AC cắt MB tại E

1 Chứng minh MAOB nội tiếp

2 Chứng minh EB2 = EC.EA

3 Chứng minh E là trung điểm MB

4 Chứng minh BC.BM = MC.AB

5 Tia CF là phân giác của

6 Tính diện tích BAD theo R

1 Chứng minh MIHF và OHEI là các tứ giác nội tiếp

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) ; haiđường cao AD

và BE cắt nhau tại H (D BC ; E AC ; AB < AC)

1 Chứng minh các tứ giác AEDB và CDHE nội tiếp

2 Chứng minh OC vuông góc với DE

3 CH cắt AB tại F Chứng minh :

4 Đường phân giác trong AN của cắt BC tại N , cắt đườngtròn (O) tại K (K khác A) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếpCAN Chứng minh KO và CI cắt nhau tại điểm thuộc đườngtròn (O)

Bài 10

Cho (O;R) và dây BC = 2a cố định M tia đối tia BC Vẽ đườngtròn đường kính

MO cắt BC tại E , cắt (O) tại A và D (A thuộccung lớnBC) AD cắt MO tại H, cắt

OE tại N

1 Chứng minh MA là tiếp tuyến của (O) và MA2 = MB.MC

2 Chứng minh tứ giác MHEN nội tiếp

1 Chứng minh tứ giác ACIO nội tiếp Suy ra số đo góc OID

2 Chứng minh OI là tia phân giác của COM

3 Chứng minh CIO ~ CMB Tính tỉ số

4 Tính tỉ số Từ đó tính AM , BM theo R

5 Khi M là điểm chính giữa cung BC.Tính diện tích tứ giác ACIOtheo R

Bài 12

Cho ABC (AC > AB và BAC 900) Gọi I , K lần lượt là trungđiểm AB và

AC Các đường tròn (I ) đường kính AB và (K ) đườngkính AC cắt nhau tại điểm thứ hai là D Tia BA cắt (K) tại E; tia CAcắt (I) tại F

1 Chứng minh B,C, D thẳng hàng

2 Chứng minh BFEC nội tiếp

3 Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với với đường tròn ngoạitiếp AEF So sánh DH và DE

Bài 13

Cho đường tròn (O) và dây AB Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoàiđường tròn Từđiểm E chính giữa cung lớn AB kẻ đường kính EFcắt dây AB tại D Tia CE cắt (O)

tại điêm I Các tia AB và FI cắtnhau tại K

1 Chứng minh EDKI nội tiếp

2 Chứng minh CI.CE =CK.CD

3 Chứng minh IC là tia phân giác ngoài đỉnh I của AIB

4 Cho A , B , C cố định Chứng minh khi đường tròn (O) thay đổinhưng vẫn đi qua A , B thì đường thẳng FI luôn đi qua một điểmcố định

Bài 14

Cho ABC vuông tại A Trên cạnh AC lấy điểm D Vẽ đường tròn(O) đường kínhCD.Đường tròn (I ) đường kính BC cắt (O) tại E AEcắt (O) tại F

1 Chứng minh ABCE nội tiếp

2 Chứng minh BCA = ACF

3 Lấy điểm M đối xứng với D qua A ; N đối xứng với D qua đườngthẳng BC Chứng minh BMCN nội tiếp

4 Xác định vị trí của D để đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMCN cóbán kính nhỏ nhất

Bài 15

Cho ABC có Bvà Cnhọn các đường tròn đường kính AB và ACcắt nhau tại

H Một đường thẳng d tùy ý đi qua A lần lượt cắt haiđường tròn tại M và N

1 Chứng minh H BC

2 Tứ giác BCNM là hình gì ? Tại sao?

3 Gọi I và K là trung điểm của BC và MN Chứng minh bốn điểm A, H, I , Kmộtđường tròn Từ đó suy ra quỹ tích của I khi dquay quanh A

3 Chứng minh EKF cân

4 Gọi I là trung điểm EF Chứng minh I , A , K thẳng hàng

5 Khi EF quay quanh B thì I và K di chuyển trên đường nào?

Bài 17

Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với(O) Vẽ dây BD// AC AD cắt (O) tại K Tia BK cắt AC tại I

1 Chứng minh IC2 = IK.IB

2 Chứng minh BAI ~ AKI

3 Chứng minh I là trung điểm AC

4 Tìm vị trí điểm A để CK AB

Bài 18

Cho đường tròn (O;R)và điểm A cố định với OA = 2R BC là đườngkính quay quanh O Đường tròn ngoại tiếp ABC cắt đường thẳngAO tại I

1 Chứng minh OI.OA = OB.OC Suy ra I là điểm cố định

2 Trường hợp AB , AC cắt (O) tại D và E DE cắt OA tại K

a Chứng minh tứ giác KECI nội tiếp

b Tính AK theo R

c Gọi N là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp ADEvới OA Chứng minh tứ giác BOND nội tiếp Suy ra Nlà điểm cố định

3 Tìm vị trí của BC để diện tích ABC lớn nhất

4 Tìm vị trí BC để bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC nhỏ nhất

Bài 19

Cho đường tròn (O; R) và dây AB cố định M là điểm di chuyển trêncung lớn cungAB Vẽ hình bình hành MABC Vẽ MH BC tại H cắt (O)tại K BK cắt MC tại F

1 Chứng minh tứ giác FKHC nội tiếp Suy ra K là trực tâm củaMBC

2 Tia phân giác của AMB cắt (O) tại E và cắt tia CB tại N.Chứngminh MBN cân Suy ra N thuộc một cung tròn cố định tâm O’khi M di chuyển trên cung lớn AB

3 Chứng minh AB là tiếp tuyến của (O’)

4 Khi AB = R Tính diện tích tứ giác OEO’B theo R

Bài 20

Cho đường tròn (O; R) và một dây AB cố định ( AB< 2R ) Mộtđiểm M tùy ý trêncung lớn AB ( MA , B ) Gọi I là trung điểmcủa dây AB và (O’) là đường tròn qua M và tiếp xúc với AB tại A.Đường thẳng MI cắt (O) ; (O’) lần lượt tại các giaođiểm thứ hai là N, P

1 Chứng minh IA2 = IP.IM

2 Chứng minh tứ giác ANBP là hình bình hành

3 Chứng minh IB là tiếp tuyến của đường tròn (MBP)

4 Chứng minh khi M di chuyển thì P chạy trên một cung tròn cố

định

Bài 21

Cho ABC có góc A tù , đường tròn (O) đường kính AB cắt đườngtròn (O’)

đường kính AC tại giao điểm thứ hai là H Một đường thẳngd quay quanh A cắt đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại M và N saocho A nằm giữa M và N

1 Chứng minh H BC và tứ giác BCNM là hình thang vuông

2 Chứng minh tỉ số không đổi

3 Gọi I là trung điểm MN , K là trung điểm BC Chứng minh 4điểm A , H , I , K cùng thuộc một đường tròn và I di chuyển trênmột cung tròn cố định

4 Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích MHN lớn nhất

Bài 22

Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O Trên cùng một nửa mặtphẳng bờ AB

kẻ các tia Ax và By vuông góc với AB Một đường thẳngd thay đổi cắt Ax tại M , cắt By tại N sao cho AM.BN = a2

1 Chứng minh AOM ~ BON và MONvuông

2 Gọi H là hình chiếu của O trên MN Chứng minh đường thẳng dluôn tiếp xúc với một nửa đường tròn cố định tại H

3 Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp MON chạy trênmột tia cố định

4 Tìm vị trí của đường thẳng d sao cho chu vi AHB đạt giá trị lớnnhất, tính giá

trị lớn nhất đó theo a

Bài 23

Cho ABC có ba góc nhọn với trực tâm H Vẽ hình bình hànhBHCD Đường thẳng qua D và // BC cắt đường thẳng AH tại E

1 Chứng minh A , B , C , D , E cùng thuộc một đường tròn

2 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , chứng minh BAE = OACvà BE

1 Chứng minh M , N di động trên một đường tròn cố định

2 Gọi I là trung điểm BC Vẽ dây MD // BC Chứng minh DN điqua điểm cố định

3 Chứng minh đường tròn (OHI) luôn đi qua 2 điểm cố định

Bài 25

Cho ABC có A  45 0 , BC = a O là tâm đường tròn ngoại tiếpABC B’ và C’ là chân các đường cao hạ từ B và C xuống các cạnhtương ứng Gọi O’ là điểm đối xứng của O qua đường thẳng B’C’

1 Chứng minh A , B’ , O’ , C’ cùng thuộc một đường tròn tâm I

1 Chứng minh AMB đều và tính MA theo R

2 Qua điểm C thuộc cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến với (O) cắt MA tạiE và cắt MB tại F Chứng minh chu vi MEF không đổi khi Cchạy trên cung nhỏ AB

3 OF cắt AB tại K , OE cắt AB tại H Chứng minh EK OF

4 Khi sđ BC= 900 Tính EF và diện tích OHK theo R

Bài 27

Cho đường tròn (O;R) và dây BC cố định Điểm A di chuyển trêncung lớn BC.Cácđường cao BD và CE cắt nhau tại H

1 Chứng minh BEDC nội tiếp đường tròn

2 Vẽ đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB và AC lần lượt tại Mvà N Chứng minh MN // ED và 4 điểm B, C , M , N cùng thuộcmột đường tròn

3 Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ A đi qua mộtđiểm cố định

4 Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ H cũng đi quamột điểm cố định O’

5 Tìm độ dài BC để O’ thuộc đường tròn (O)

Bài 28

Cho đường tròn (O ; R) có dây BC = R 3 Vẽ đường tròn (M) đườngkính BC Lấy điểm A(M) (A ở ngoài (O) ) AB , AC cắt (O) tại Dvà E Đường cao AH của

ABC cắt DE tại I

1 Chứng minh AD.AB = AE.AC

2 Chứng minh I là trung điểm DE

3 AM cắt ED tại K Chứng minh IKMH nội tiếp

1 Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD

2 EPQ cân