Tích phân cơ bản & tính chất tích phân Nhóm 1... Tính các tích phân sau:... Tính chất tích phân BT 5... f x dx Lời giải tham khảo... Tích phân chứa dấu trị tuyệt đối BT 14.
Trang 1§2 TÍCH PHÂN Khái niệm tích phân
- Cho hàm số f x( ) liên tục trên K và a b, K Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của f x( )
trên K thì F b( )−F a( ) được gọi là tích phân của f x( ) từ a đến b và được kí hiệu ( )
b
a
f x dx
a a
I = f x dx=F x =F b −F a (a cận dưới, b cận trên)
- Đối với biến số lấy tích phân, có thể chọn bất kì một chữ số khác nhau thay cho x nghĩa là,
I =f x dx= f t dt= =F b −F a (không phụ thuộc biến mà phụ thuộc cận)
Tính chất của tích phân
(1) b ( ) a ( )
f x dx= − f x dx
a
a
f x dx =
kf x dx=k f x dx
f x g x dx= f x dx g x dx
f x dx= f x dx+ f x dx
f x dx= f x f x dx= f x f x dx= f x
Dạng toán 1 Tích phân cơ bản & tính chất tích phân
Nhóm 1 Tích phân cơ bản
BT 1.Tính các tích phân sau:
1 1
3x −4x+5dx= x −2x +5x =14 4− =20
2
4x 3x 10 dx
−
c) Tính 4( )
2
1
3
x + x dx=
d) Tính 2 ( )2
0
1
x x+ dx=
e) Tính
1
3
0 1
dx
x = +
f) Tính
4
2
1
x
Trang 2g) Tính
3
2 1
dx
x x
h) Tính
1
3
0
x
e dx =
i) Tính
2018
0
7x dx =
j) Tính
6
dx
+
k) Tính
3
11 3
dx
x =
−
l) Tính 1( )5
0
2x+1 dx=
m) Tính 3( )10
1
1 3x− dx=
n) Tính
2
2
1 4 1
dx
x
=
−
o) Tính
4
2 1
4
1 2x dx=
−
p) Tìm số thực m thỏa mãn 1 2
1
1
m x
e +dx e
−
q) Tìm số thực m thỏa mãn ( )
0
m
x+ dx=
r) Tìm số thực m thỏa mãn 5 ( )
2
m −x dx= −
s) Tìm số thực m thỏa mãn 2( )4 122
5
m
x dx
t) Tìm số thực m thỏa mãn ( 2 )
0
m
x − x+ dx=
BT 2 Tính các tích phân sau:
Trang 3a) Tính
2
3
sin xdx
=
b) Biết
0
1
4
a
x xdx =
c) Có bao nhiêu số nguyên m (0; 2018) thỏa
0
m
xdx =
d) Tính
2
3
3
2 cos 3
3
e) Biết
4
0
2 sin 5
2
= = + với a b , Tính giá trị của P=ab+ −b a
f) Tính
3
2
4
cos
dx
x
=
g) Biết
3 4
2 6
1 sin
dx x
với a b c , , 0 Tính P=a2+b3+abc
h) Tính
4
6
3 cos sin
dx
a b
= +
với a b , Tính giá trị của P=ab− +a b
i) Tính
4
2
6
tan xdx
=
j) Tính
3
2
4
cot xdx
=
k) Tính
2
2
6
sin xdx
=
l) Tính
3
2
4
cos xdx
=
Trang 4m) Biết
4
0
2
10
b
= +
với a b, là các số nguyên Tính a+b
n) Tính
4
0
sin 5 sinx xdx
=
o) Tính
6
0
sin 4 cosx xdx
=
p) Tính
4
0
sin 6 cos 2x xdx
=
q) Tính
6
0
cos 3 cosx xdx
=
r) Tính
6
0
cos 6 cos 2x xdx
=
s) Tính
4
4
0
sin xdx
=
BT 3 Tính các tích phân sau:
a) Biết
2
1
1
2x 1dx a
b
−
a b− b) Biết
3
1
8 2
3
với a, b là số nguyên dương Tính P=ab+ +a b
c) Biết
3
0
5
4
x− dx= a− b
với a, b là các số nguyên Tính P=a b + −a b
d) Tính
3
3
1
1 4xdx
−
e) Biết
6
2
2
dx
−
với a, b là số nguyên dương P=ab+ +a b
f) Tính
5
2 1 3
dx
x
−
−
=
−
g) Tính
7
2
4
dx
Trang 5h) Tính
5
3
4
xdx
i) Tính
5
1
5
xdx
j) Biết
2
dx
với a b c, , + Tính P= + +a b c
k) Tính
6
dx
l) Tính
3
dx
Nhóm 2 Tích phân hàm số hữu tỷ
BT 4 Tính các tích phân sau:
a) Biết
2
0
1 ln
dx
b
x = a
−
với b 0 Tính S =a2+b
b) Biết
1
0
ln 2 2
x
x
−
với a b , Tính P= +a 2b+2a−2 b
c) Biết
1
0
ln 2 1
x
dx a b x
+
với a b , Tính P=ab− +a b
d) Biết
2 2
0
ln 1
x
+
S = a+ +b e) Biết
1 3
0
ln 3 ln 2,
+
với a b c, , Q Tính S =2a+4b2+3 c3
f) Biết
0 2
1
x
−
−
với a b , Tính giá trị của S = +a 4 b
g) Biết
5 2
3
1
ln
dx a x
+
với a b, là các số nguyên Tính S= −a 2 b
h) Tính
1
2
x
dx
+
i) Tính
1
3
x
dx x
= +
j) Biết
1
2
0
3ln
dx
b là phân số tối giản Tính giá trị của biểu thức
2a 2b
P= + −ab
Trang 6k) Biết
1
0
ln 2 ln 3
S = + −a b ab l) Biết
5
2
3
ln 5 ln 3 ln 2
dx
−
S= − + +a b c m) Biết
5
2
1
3
ln 5 ln 2
+
với a b c , , Tính S = + −a b ab
n) Biết
2
1
ln 2 ln 3 ln 5
xdx
o) Biết
1
2
0
ln 2 ln 3
dx
với a b , Tính S= +a b
p) Biết
3
2
2
ln 2 ln 3 ln 5
dx
2a+b +2 c q) Biết
1
2
0
5 2
ln 2 ln 3
x
với a b , Tính 2a −3ab
r) Biết
2
2
0
1
ln 5 ln 3
x
P=ab+ −a
s) Biết
2
2
1
ln
a dx
+
b là phân số tối giản Tính 2
b
a +
nhóm 3 Tính chất tích phân
BT 5 Bài toán sử dụng tính chất ( ) ( ) ( ) , ( ) ( )
f x dx= f x dx+ f x dx f x dx= − f x dx
a) Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn 0;10 thỏa mãn 10 ( )
0
7
f x dx =
2
3
f x dx =
P=f x dx+ f x dx
Lời giải tham khảo
7= f x dx= f x dx+ f x dx+ f x dx
b
a
f x dx =
b
c
f x dx =
với a b c Tính ( )
c
a
I = f x dx
Trang 7c) Cho hàm y= f x( ) liên tục trên thỏa mãn 3 ( ) 3 ( )
f x dx= f x dx=
( )
4
1
f x dx =
d) Cho hàm số f x( ) xác định liên tục trên thỏa 5 ( )
2
3
f x dx =
5
9
f x dx =
( )
7
2
f x dx =
e) Biết f x( ) là hàm số liên tục trên và thỏa mãn 6 ( ) 6 ( )
f x dx= f t dt= −
( )
2
0
3
f v − dv=
f) Cho 4 ( )
2
10
f x dx =
2
5
g x dx =
2
I = f x − g x dx
g) Cho 5 ( ) 5 ( )
f x dx f t dt
−
1
1 3
g u du
−
=
1
−
= +
h) Cho tích phân 4 ( )
0
f x dx a
=
2 0
cos
x
−
i) Biết 2 ( )
0
5
f x dx
=
0
2 sin
+
j) Cho 2 ( )
1
5
f x dx
−
=
1
2
g x dx
−
= −
1
−
k) Cho 4 ( )
1
10
f x dx
−
=
4
2
f x dx =
0
f x dx
−
l) Cho 6 ( )
3
7
f x dx =
3
x f x dx
m) Cho 2 ( )
0
1
f x dx =
0
BT 6 Bài toán sử dụng tính chất ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( )
f x dx= f x = f b − f a f x dx= f x
a) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên đoạn 1; 2 , f ( )1 =1 và f ( )2 =2 Tính 2 ( )
1
f x dx
Lời giải tham khảo
Trang 8Sử dụng tính chất và định nghĩa có 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
1 1
f x dx= f x = f − f = − =
b) Cho hàm f x( ) có đạo hàm liên tục trên 1; 4 , f ( )1 =1 và 4 ( )
1
2
f x dx=
Tính f ( )4
c) Cho f x( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;3 , f ( )3 =5 và 3 ( )
1
6
f x dx=
Tính f ( )1 d) Cho hàm số f x( ) liên tục, có đạo hàm cấp hai trên đoạn 1;3 ,f ( )1 =1 và f( )3 =m. Tìm m để
( )
3
1 f x dx=5
e) Biết f ( )1 =12, f( )x là hàm số liên tục trên 1; 4 và 4 ( )
1 f x dx=17
Tính f ( )4
f) Cho hàm f x( ) có đạo hàm trên −3;5 , f ( )− =3 1 và f ( )5 =9 Tính 5 ( )
34f x dx
−
g) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm cấp 3 trên −3; 2 , f ( )− =3 4 và f ( )2 =6 Tính giá trị của tích
phân 2 ( )
3 f x dx
BT 7 Tính các tích phân bằng phương pháp đổi biến hàm ẩn:
a) Cho f x( ) liên tục trên và 1 ( )
0
2017
f x dx =
0
sin 2 cos 2
Lời giải tham khảo
2
t= xdt= xdx xdx= dt Đổi cận
1 4
= =
I = f t dt = f x dx=
Cần nhớ: Đổi biến là phải đổi cận
b) Cho 4 ( )
0
16
f x dx =
0
I = f x dx
c) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn 2017 ( )
0
1
f x dx =
0
d) Cho 4 ( )
0
2
f x dx =
0
I = f x dx
e) Biết 3 ( )
1
f x− dx=
2
I = f x dx
Trang 9f) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục trên khoảng 1; 2 thỏa mãn 2 ( )
1 f x dx=10
( )
( )
2
1 f x dx ln 2
f x
=
Biết rằng hàm số f x( ) 0, x 1; 2 Tính f ( )2
g) Cho hàm f x( ) có đạo hàm trên 1; 2 , f ( )2 =2 và f ( )4 =2018 Tính 2 ( )
1
I = f x dx
h) Cho hàm số f x( ) liên tục trên và có 2 ( )
0
4
f x dx
=
0
= −
i) Cho tích phân 2 ( )
1
f x dx=a
2 0
I =x f x + dx theo a
j) Cho f x( ) liên tục trên thỏa 9 ( )
1
4
f x
dx
0
=
( )
3
0
I = f x dx
k) Cho hàm số f x( ) liên tục trên và có 4 ( )
0
f x dx
=
2 0
2
1
x f x
dx
+
Tính tích phân ( )
1
0
I = f x dx
l) Cho f x( ) là hàm liên tục và a 0 Giả sử rằng với mọi x 0;a , ta có f x ( ) 0 và ( ) ( ) 1
f x f a−x = Tính
( )
0
1
a
dx I
f x
= +
BT 8 Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần của hàm ẩn:
a) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên 1; 2 thỏa f ( )1 =0, f ( )2 =2 và 2 ( )
1
1
f x dx =
( )
2
1
I =x f x dx
Lời giải tham khảo
Chọn
2 2
1 1
u x du dx
dv f x dx v f x
Lưu ý: Tùy vào bài toán mà ta cần chọn u và dv sao cho
b
a
vdu
đơn giản nhất
Trang 10b) Cho hàm số f x( ) có nguyên hàm là F x( ) trên 1; 2 ,F( )2 =1 và 2 ( )
1
5
F x dx =
( ) ( )
2
1
I = x− f x dx
c) Cho hàm f x( ) liên tục trên và ( ) 2 ( )
0
f = f x dx= Tính 1 ( )
0
I =x f x dx
d) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 2 thỏa mãn 2 ( )
0
3
f x dx =
và f ( )2 =2
Tính tích phân 4 ( )
0
I = f x dx
e) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa 2 ( ) ( )
1
f x f x dx=
( )1 1, ( )2 1
f = f Tính f( )2
f) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa 1( ) ( )
0
x+ f x dx=
( ) ( )
2f 1 − f 0 =2 Tính tích phân 1 ( )
0
I = f x dx g) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm cấp hai và liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn các điều kiện
( )
1
2
0
12
x f x dx=
và 2f ( )1 − f ( )1 = −2 Tính tích phân 1 ( )
0
I =f x dx
h) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn 3 ( ) ( )
0
8
f x
xe f x dx=
và f ( )3 =ln 3 Tính 3 ( )
0
f x
I =e dx
i) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa ( ) 1 ( )
0
223
10
f = xf x dx= Tính tích phân ( )
1
2
0
I =x f x dx
j) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa ( ) 1 2 ( )
0
1
3
f = x f x dx= Tính Tích phân ( )
1
3
0
I =x f x dx
Trang 11k) Cho hàm f x( ) có đạo hàm liên tục trên 0;3 thỏa f ( )3 =2 và 3 3 ( )
2
5461 120
x f x dx =
phân 3 4 ( )
0
I =x f x dx
l) Cho hàm số f x( ) thỏa ( ) 4, ( ) 2, ( ) 3
b
a
x f x dx= f a = − f b =
( ) ( )
f a = f b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
m) (Đề thi tham khảo Bộ GD&ĐT câu 50 năm 2018) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục trên
0;1 thỏa ( ) 1 ( ) 2
0
f = f x dx= và 1 2 ( )
0
1 3
x f x dx =
0
f x dx
Cách giải Ta có: 1 2 ( )
0
1
3=x f x dx Chọn
3
u f x du f x dx
0
1
3=x f x dx=3x f x −3x f x dxx f x dx= −
2
7 x f x dx 7 7x f x dx f x dx
0
7
f x dx=
( ) ( )
2
7x f ' x f x dx 0 f x 7x f x dx 0
4
x
0
Cách giải 2 Ta có 1 2 ( )
0
1
3=x f x dx Chọn
3
0
1
3=x f x dx=3x f x −3x f x dxx f x dx= −
Trang 12Ta lại có:
( )
( )
1
2 0
2
1
2 3 0
7
f x dx
x dx
1
2 3
1
2 3 0
4
f x = f x dx= − x dx= − x +C
x
0
n) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa ( ) 1 ( ) 2
0
f = f x dx= và ( )
1
0
1
5
xf x dx =
0
f x dx
o) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục trên 0; 2 thỏa ( ) 2 ( ) 2
0
f = f x dx= và ( )
2
2
0
1 3
x f x dx =
0
f x dx
p) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa ( ) 1 ( ) 2
0
f = f x dx= và ( )
1
0
1 2
xf x dx = −
0
f x dx
q) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục trên 0; 2 thỏa ( ) 2 ( ) 2
0
f = f x dx= và ( )
2
0
17
2
xf x dx =
0
f x dx
BT 9 Cho hàm số f x( ) liên tục và lẻ trên đoạn −a a; Chứng minh: ( ) 0
a
a
−
Trang 13Chứng minh Ta có ( ) ( ) ( )
0
a
f x dx
Đặt x= − t dx= −dt Đổi cận:
= − → =
= → =
Do f x( ) là hàm số lẻ và liên tục trên −a a; nên f ( )− = −x f x( ) f ( )− = −t f t( )
−
0
a
−
a) Cho f x( ) là hàm số lẻ thỏa mãn 0 ( )
2
2
f x dx
−
=
0
I =f x dx b) Tính tích phân
2017
2019 4 2017
2018
−
c) Tính tích phân
4
2018
4
d) Biết
4
2 4
sin
4 1
dx
−
−
=
với a, b là các số nguyên dương Tính T =ab
BT 10 Cho hàm số f x( ) liên tục và chẵn trên đoạn −a a; Chứng minh rằng:
0
0
1
x
f x
b
+
0
0
a
A f x dx
−
= Đặt x= − t dx= −dt Đổi cận
= − =
= =
Do f x( ) là hàm số chẵn và liên tục trên −a a; nên f ( )− =x f x( ) f ( )− =t f t( )
a
A= −f −t dt= f −t dt =f −x dx= f x dx=B
Suy ra
2
I
0
Trang 142 Chứng minh: ( ) ( ) ( )
0
1
x
f x
b
+
Đặt x= − t dx= −dt Đổi cận
= − =
= =
1
t
b
−
−
−
2
x x
+
0
1
2
a) Cho hàm số f x( ) là hàm chẵn và liên tục trên , thỏa mãn 3 ( )
0
6
I = f x dx=
3
A f x dx
−
1
B f x dx
−
2
cos 3sin
b) Cho f x( ) là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn −6; 6 Biết rằng 2 ( )
1
8
f x dx
−
=
( )
3
1
f − x dx=
1
I f x dx
−
c) Cho f x( ) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn −1;1 thỏa mãn 1 ( )
1
4
f x dx
−
=
( )
1
1
2x 1
f x
−
=
+
d) Tính tích phân
3 2018
3
1
x
x
e
−
= +
e) Tính tích phân
1
2 1
dx I
x
−
=
Trang 15f) Tính tích phân
4
4
cos
2917x 1
x
=
+
g) Tính tích phân
4
4
sin cos
6x 1
+
=
+
BT 11 Cho hàm số f x( ) xác định và liên tục trên đoạn a b; Chứng minh rằng:
1) Nếu b ( )
a
f x dx=k
b
a
f a b+ −x dx=k
2) Nếu f a( + −b x)= −f x( ) thì ( ) 0
b
a
f x dx =
3) Nếu f a( + −b x)= f x( ) thì ( ) ( )
2
a b
x f x dx= + f x dx
Hướng dẫn chứng minh
1 Chứng minh: Nếu b ( )
a
f x dx=k
b
a
f a b+ −x dx=k
Đặt t= + − a b x dt= −dx Đổi cận: x= =a t b và x= =b t a
f a b+ −x dx= − f t dt = f x dx=k
2 Chứng minh: Nếu f a( + −b x)= −f x( ) thì ( ) 0
b
a
f x dx =
Đặt t= + − a b x dt= −dx Đổi cận: x= =a t b và x= =b t a
f a b+ −x dx= − f t dt= f x dx
f a b+ −x dx= − f x dx= f x dx f x dx=
3 Chứng minh: Nếu f a( + −b x)= f x( ) thì ( ) ( )
2
a b
x f x dx= + f x dx
Đặt t= + − a b x dt= −dx Đổi cận: x= =a t b và x= =b t a
xf x dx= − a b t f a b t dt+ − + − = a b t f a b t dt+ − + −
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
+ − =
Trang 16Suy ra 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
a b
x f x dx= a b+ f x dx x f x dx= + f x dx
a) Cho tích phân 2018 ( )
1
5
f x dx =
trong đó f x( ) là hàm số liên tục trên đoạn 1; 2018 Tính tích
1
I = f −x dx
b) Cho tích phân 2 ( )
1
10
f x dx
−
=
trong đó f x( ) là hàm số liên tục trên đoạn −1; 2 Tính tích phân
2
1
−
c) Cho f x( ) là hàm số liên tục trên a b; thỏa ( ) 7
b
a
f x dx =
b
a
f a b+ −x dx
d) Biết 4 ( )
0
ln 1 tanx dx alnc
b
b là phân số tối giản và c 0. Tính a+9b c− .
e) Biết 6
0
sin
b
a
x xdx
c
với a b c , , Tìm phần nguyên của a+2 +10b c−
f) Biết ( )
0
xf x dx
=
0
g) Biết ( )
0
2
3
f x dx
=
0
h) Chứng minh rằng
2 0
sin
n
xdx
= +
i) Tính tích phân
0
sin 1
xdx x
+
BT 12 Cho hàm số f x( ) xác định và liên tục trên và thỏa mãn mf ( )− +x nf x( )=g x( ) thì
m n
=
+
Hệ quả: Nếu f x( ) liên tục thì 0;1 thì
2
Trang 17
a) Cho f x( ) liên tục trên và thỏa f ( )− +x 2017f x( )=cos x Tính 2 ( )
2
I f x dx
b) Cho f x( ) liên tục trên và thỏa ( ) ( ) 2
1
4
x
2
I f x dx
−
c) Cho hàm số f x( ) liên tục trên thỏa mãn f x( )+ f ( )− =x 2 2 cos 2 ,+ x Tính tích x
phân 32 ( )
3
2
−
BT 13 Cho tích phân a T ( )
a
f x dx k
+
=
với f x( ) là hàm xác định, liên tục trên và tuần hoàn với
chu kỳ T thì tích phân ( ) ( )
f x dx f x dx k
+
0
a T
T
J f x dx
+
= Đặt t= −x T Đổi cận x T t 0
= → =
= + → =
T
+
+
Lưu ý: Hàm số f x( ) có chu kỳ T thì f x T( + )= f x( ) với T là số dương nhỏ nhất
a) Cho tích phân ( ) 2018
a
a
= = với f x( ) là hàm xác định, liên tục trên và tuần hoàn
với chu kỳ Tính tích phân ( )
0
I f x dx
b) Tính tích phân
5 4
sin 2
cos sin
xdx I
=
+
c) Tính tích phân
2017
0
1 cos 2
Trang 18Nhóm 4 Tích phân chứa dấu trị tuyệt đối
BT 14 Tính các tích phân sau:
a) Tính tích phân
2 2 0
I = x −x dx Ta có: x2− = =x 0 x 0 hoặc x =1
Bảng xét dấu 2
x −x trên đoạn 0; 2 :
1
b) Tính tích phân
3 2 0
2
I = x − x dx c) Tính tích phân
4 2 0
I = x + x− dx d) Tính tích phân
3
0
I = x − x +xdx
e) Tính tích phân
0
cosx sinxdx
f) Tính tích phân
2
0
1 cos 2
g) Tính tích phân
3
6
h) Tính tích phân 1
12x 2 x
−
i) Tính tích phân 2
−