Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân KONTOROVICH LEBEDEV và FOURIER

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNPHẠM VĂN HOẰNG TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KONTOROVICH-LEBEDEV VÀ FOURIER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - N

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM VĂN HOẰNG

TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KONTOROVICH-LEBEDEV VÀ FOURIER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM VĂN HOẰNG

TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KONTOROVICH-LEBEDEV VÀ FOURIER

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1LỜI NÓI ĐẦU 3

1.1 Không gian Lp và Lp với hàm trọng 61.2 Các phép biến đổi tích phân 101.3 Tích chập và một số tích chập suy rộng 121.3.1 Sơ lược về tích chập đối với phép biến đổi tích phân 121.3.2 Định nghĩa tích chập suy rộng 14Chương 2 TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI HAI PHÉP BIẾN ĐỔI

2.1 Định nghĩa 172.2 Tính chất toán tử của các tích chập 18Chương 3 TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI BA PHÉP BIẾN ĐỔI

3.1 Giới thiệu 363.2 Tính chất của tích chập suy rộng 383.3 Ứng dụng tích chập suy rộng giải một lớp phương trình, hệ

phương trình tích phân 51KẾT LUẬN 57TÀI LIỆU THAM KHẢO 59

CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

LỜI NÓI ĐẦU

Tích chập đối với các phép biến đổi tích phân đã được các nhà toán họcnghiên cứu từ lâu và được ứng dụng để giải quyết một lớp lớn các bài toán nhưđánh giá tích phân, tính tổng của một chuỗi, tìm nghiệm của các phương trìnhtoán lý với dạng biểu diễn nghiệm rất gọn đẹp

Vào năm 1951, trong cuốn sách của mình, I.N Sneddon đưa ra một côngthức tích chập, trong đẳng thức nhân tử hoá của nó có hai phép biến đổi tíchphân Fourier sine và Fourier cosine Tích chập này xác định như sau (xem [14])

f (u)[g(|x − u|) − g(x + u)]du, x > 0, (0.1)

thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá và đẳng thức Parseval dưới đây

Fs[f ∗

scg])(y) = (Fsf )(y)(Fcg)(y), f, g ∈ L1(R+), (0.2)

(f ∗

scg)(x) = Fs[(Fsf )(y)(Fcg)(y)](x), f, g ∈ L2(R+) (0.3)Năm 1998, V A Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo đã đưa ra định nghĩatích chập suy rộng với ba phép biến đổi tích phân bất kì và chỉ ra điều kiện cần

để có tích chập suy rộng trong những điều kiện nào đó (xem [8]) Năm 2010,S.B Yakubovich và L E Britvina đã nghiên cứu tích chập suy rộng mà đẳngthức nhân tử hóa có chứa hai phép biến đổi tích phân (xem [22]) Tiếp tụchướng nghiên cứu này, được sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo,

em nghiên cứu đề tài: Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tíchphân Kontorovich-Lebedev và Fourier Luận văn gồm phần lời nói đầu,

ba chương, kết luận, công trình liên quan đến luận văn, tài liệu tham khảo,

trong đó nội dung chính là chương 2 và chương 3.

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị: trình bày lại một số kiến thức cơ bản

và phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev vàcác ví dụ

Chương 2: Một số tích chập suy rộng với hai phép biến đổi tích phân:giới thiệu bốn tích chập suy rộng được S.B.Yakubovich và L.E.Britvina trongbài báo Chương này tác giả đưa ra các tính chất của tích chập suy rộng vàchứng minh chi tiết các tính chất đó Điều thú vị ở chương này là các kĩ thuậtước lượng với chuẩn và kĩ thuật tính toán, biến đổi tích phân

Chương 3: Tích chập suy rộng mới với ba phép biến đổi tích phân K,

Fs và Fc: Đây là đóng góp chính của của tác giả trong luận văn Với tích chậpmới được đưa ra, tác giả đã có các ước lượng với chuẩn để từ đó chỉ ra tíchchập suy rộng mới này như là một hàm số xác định, liên tục trên R+ và thuộccác không gian Lp(R+; xαe−βxdx) Tác giả tìm được những mối liên hệ giữa cáctích chập suy rộng và ứng dụng các tính chất đã nghiên cứu để đưa ra côngthức nghiệm cho một lớp các phương trình, hệ phương trình tích phân Điểmmới của tác giả là đã xây dựng được tích chập suy rộng được xác định như sau:

Không giống như lớp không gian Lα,βp mà S.B Yakubovich thường dùng trongcác nghiên cứu của mình về phép biến đổi Kontorovich-Lebedev, không gian

Lp(R+; xαe−βxdx) mà tác giả nghiên cứu ở đây có hàm trọng của không giankhông phụ thuộc vào hàm đặc biệt

Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo,người đã quan tâm, tận tình hướng dẫn em thực hiện đề tài Em xin chân thànhcảm ơn các thầy, cô đã giảng dạy các chuyên đề cao học giúp em có kiến thức,phương pháp nghiên cứu để giải quyết yêu cầu của đề tài Đồng thời, em xinchân thành cảm ơn các thầy cô, các anh chị em trong nhóm Seminar Giải tích-ĐHKHTN, Seminar Đại số-Giải tích-ĐHKHTN và Seminar Giải tích -ĐHBK

Hà Nội về những đóng góp quý báu cho em trong quá trình hoàn thiện luận văn

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Định nghĩa 1.1.1 Cho p ∈ R, 1 ≤ p < ∞, Ω ⊂Rn

Lp(Ω) = {f : Ω → R (hoặc C); f đo được và |f |p khả tích }

L∞(Ω) = {f : Ω → R (hoặc C ); f đo được và ∃M : |f (x)| ≤ M -h.k.n } Cáckhông gian này có chuẩn tương ứng kf kp = R

Ω1

R

Ω2

|F (x, y)|dy < +∞ Khi đó F khả tích trên Ω1 × Ω2

Định lí 1.1.2 (Fubini, [5]) Cho F khả tích trên Ω1× Ω2 Khi đó, với hầu hết

x ∈ Ω1, ta có F (x, ) : y 7→ F (x, y) khả tích trên Ω2 và x 7→ R

Ω2

F (x, y)dy khảtích trên Ω1 Kết luận tương tự khi thay đổi vai trò của x cho y, Ω1 cho Ω2.Hơn nữa, ta có:

Định lí 1.1.3 (Bất đẳng thức Holder,[5] ) Cho f ∈ Lp và g ∈ Lp với

e−t cosh ucos xudu, t > 0, (1.5)

ở đây x ∈ R,ix là chỉ số thuần ảo Hơn nữa, tích phân này có thể mở rộng trênmột dải σ ∈ [0,π

và có ước lượng chuẩn:

Định nghĩa 1.1.3 Kí hiệu Lp(R+; xαe−βxdx), p > 1, α ∈ R; β > 0 là khônggian các hàm f (x) xác định trên R+ thỏa mãn

1.2 Các phép biến đổi tích phân

Trong luận văn này ta tập trung nghiên cứu một số phép biến đổi tích phânđược xét trong [13, 19, 21] Phép biến đổi tích phân Fourier:

(F f )(x) =

r

12π

có chứa nhân là hàm Macdonald Kν(z) với chỉ số thuần ảo ν = ix

Các phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine xác định trongkhông gian L1(R+; dt) Hơn nữa, nếu g(x) = (Fcf )(x) hoặc g(x) = (Fsf )(x)

thuộc L1(R+); dt), ta có công thức ngược tương ứng f (x) = (Fcg)(x); f (x) =(Fsg)(x)

Trong không gian L2(R+; dt), các phép biến đổi Fourier cosine và Fouriersine hiểu theo nghĩa giá trị chính (xem [15])

(Fsf )(x) = lim

N →∞

r

2π

N

Z

1 N

N

Z

1 N

N

Z

1 N

Giới hạn ở trên là theo giá trị chính tương ứng với chuẩn của không gian

L2(R+; x sinh πxdx) Hơn nữa, đẳng thức Parseval

Z ∞ 0

đúng và toán tử ngược xác định bởi:

Giả sử K là một toán tử tuyến tính từ không gian tuyến tính U (X) vào đại

số V (Y ) K : U (X) → V (Y ) Tích chập với hàm trọng γ đối với phép biến đổi

K là một toán tử

∗ : U (X) × U (X) −→ V (Y )(f, g) 7→ f ∗ g,γ

sao cho đẳng thức nhân tử hóa sau đây thỏa mãn:

Khi đó U (X) cùng với phép nhân chập như trên xác định một đại số

Lý thuyết tích chập của các phép biến đổi tích phân được nghiên cứu từkhoảng đầu thế kỷ 20 Đầu tiên là tích chập của phép biến đổi Fourier (xem[13])

Các tích chập tương ứng cũng được xây dựng với các phép biến đổi Laplace, biếnđổi Mellin, biến đổi Hilbert, biến đổi Hankel, biến đổi Kontorovich-Lebedev,biến đổi Stieltjes,

Ví dụ 1.3.1 Tích chập của phép biến đổi Fourier cosine được xác định nhưsau (xem [14]):

Ví dụ 1.3.2 Xét phép biến đổi kiểu Mellin

mg)(y) = (K1f )(y)(K2g)(y), y > 0 (1.32)

Ví dụ 1.3.3 Đối với phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ta có tích chập nhưsau:

thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

Giả sử l, m, n là một hoán vị bất kì của tập hợp {1, 2, 3}, γl là một hàm

số thuộc V (X) Tích chập suy rộng với hàm trọng γl đối với các phép biến đổitích phân Kl, Km, Kn là một toán tử song tuyến tính được định nghĩa như sau:

∗ : Um(Xm) × Un(Xn) −→ V (X)

(fm, fn) 7→ fm ∗ fγ n

sao cho đẳng thức nhân tử hóa sau được thỏa mãn:

Kl(fm γ∗ fl n)(x) = γl(x)(Kmfm)(x)(Knfn)(x) (1.36)Sau đây, ta sẽ đưa ra một số điều kiện cần để tồn tại tích chập suy rộng Giả

sử các phép biến đổi Kj có biến đổi ngược Kj−1

thì tích chập suy rộng loại hai của hai hàm fm và fn với hàm trọng γl đối vớiphép biến đổi tích phân Kl, Km và Kn được xác định như sau:

Nhận xét 1.3.3 Trong các trường hợp riêng, ta có:

1) Nếu Ki = K, j = 1, 3 thì ta được tích chập (1.35), vậy với ba phép biến đổitích phân Kj, nói chung có ba tích chập khác nhau

2) Nếu hai trong ba phép biến đổi tích phân trùng nhau, chẳng hạn K1 = K2 6=

Chương 2 TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI HAI PHÉP BIẾN

f (u)g(v)[e−v cosh(u−x)− e−v cosh(u+x)]dudv, x > 0 (2.4)

Cả bốn tích chập suy rộng nêu trên đều là tích chập suy rộng loại hai, trong đótích chập suy rộng (2.1), (2.2) có tính chất giao hoán, tích chập suy rộng (2.3),(2.4) không có tính chất giao hoán Để thuận tiện trong trình bày các kết quả,

f (u)g(v)[e−v cosh(u−x)± e−v cosh(u+x)]dudv, x > 0 (2.6)

Nghiên cứu tính chất ánh xạ của các tích chập (2.5) và (2.6) trong không gian

Lα,βp ta thu được đẳng thức nhân tử hóa sau đây:

Định lí 2.2.1 [22] Phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev K : Lα,βp →

C0(R+), 1 < p < +∞, α < p − 1, 0 < β ≤ 1 là một toán tử tuyến tính liên tụcvới ước lượng chuẩn: ||K|| ≤ Cα,β,p với

Cα,β,p = 2β

1−p

p β2

α p

cùng, khi β = 1, ta có đẳng thức ||K|| = π

2

p−1p.Chứng minh Vì f ∈ Lα,βp nên

α,β,p||f ||Lα,β

p Với α = 0, ta có:

||K|| ≤ (2β)1−pp (β

2)

0 p

Định lí 2.2.2 [22] Giả sử f (x), g(x) ∈ L1(R+; dx) Khi đó, tích chập (2.5) làmột hàm số xác định và liên tục với mọi x > 0 Hơn nữa, với α > p − 1; 0 <

=π2p1−1

(2p)1−α+1p



Γ2(α − p + 1)Γ(α − p + 3

Chứng minh Dễ thấy cosh x = e

với giả thiết

Re(c + p) > 0; Re(α) > |Reν|,





α − ν, α + ν

α + 12

πl

α+1−p 0

1 p

Cα = Aα,1,1 = π−122−α Γ

2(α)Γ(α + 1)

Γ2α

2)

Sử dụng biểu diễn tích phân (1.5) và công thức (2.16.48.19) trong [10]:

r

2π

∞

Z

0

g(v)(cos vwsin vw)dv

Vậy (2.12) được chứng minh

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh (2.7) đúng Trước hết, ta chỉ ra:

π2x sinh πx F(

1sinh πx2|(F(c

Z

0

f (t)(cos xtsin xt)dt|

1sinh πx2|(F(c

2α−12 π34Γ12(α − 12), α > 1 Ngoài ra, đẳng thức dạng Parseval

tổng quát (2.12) và đẳng thức nhân tử hóa (2.7) là đúng

Chứng minh Ta có e−x cosh(u−v) > 0; e−x cosh(u+v) > 0 Do đó

12

πx ||f ||L2(R+;dx)||g||L1(R+;dx). (2.18)Vậy tích chập (2.5) là hàm số liên tục với mọi x > 0 Lại có

1 2

Đẳng thức dạng Parseval (2.12) được chứng minh tương tự Định lí 2.2.2.Đẳng thức nhân tử hóa (2.7) được chứng minh tương tự Định lí 2.2.2 với chú ý

π2x sinh πx F(

1sinh πx2|(F(c

Chứng minh Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Schwartz và ước lượng (2.17), tacó

Sử dụng công thức 2.16.33.2 trong [10], ta có ước lượng (2.20) Đẳng thức

Tiếp theo, ta sẽ nghiên cứu các tích chập không giao hoán (2.6) về ước lượngchuẩn, đẳng thức dạng Parseval và đẳng thức nhân tử hóa.

Định lí 2.2.5 [22] Giả sử f ∈ L1(R+; dx) và g ∈ L0,β1 , 0 < β ≤ 1 Khi đó,tích chập (2.6) tồn tại với mọi x > 0, là hàm số thuộc L1(R+; dx) và

dt

!

cos wxsin wx



dt

!

cos wxsin wx



dt

!

cos wxsin wx



dw

= (F(c

s )f )(x)Kix[g]

Với điều kiện 0 < β < 1, ta có:

p0−1 = 1, 0 < β ≤ 1 Tích chập (2.6) tồn tại với mọi x > 0, là hàm số bị chặn,

liên tục Hơn nữa, với 16 p < ∞, α > −1, 0 < γ 6 1 ta có (f ∗

(3)

g)(x) ∈ Lα,γr

và ước lượng chuẩn

α,γ||f ||Lp(R+;dx)||g||L00,β

với Cα,γ = (2γ)−1(γ2)Γ2(α+12 ) Nếu giả thiết thêmf ∈ L1(R+; dx)∩Lp(R+; dx), 1 <

p < ∞ thì tích chập (2.6) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (2.8) Ngoài ra,với β ∈ (0; 1) thì (f ∗

(34)

g)(x) ∈ C0(R+) và với x > 0 đẳng thức dạng Parseval(2.23) là đúng

≤ 12

(f ∗

(34)

g)(x) ∈ C0(R+) và với x > 0 đẳng thức dạng Parseval (2.23) là đúng 2

Chương 3 TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI BA PHÉP BIẾN

Trong chương hai, ta đã nghiên cứu các tích chập suy rộng của S B.Yakubovich (2.5), (2.6) đưa ra năm 2010, và với những điều kiện đưa ra, thỏamãn đẳng thức nhân tử hóa (2.7), (2.8) có chứa hai phép biến đổi tích phân làcặp {K, Fc} và {K, Fs}, xem [22] Xuất phát từ kết quả của V A Kakichev

và Nguyễn Xuân Thảo năm 1998 khi đưa ra định nghĩa tích chập suy rộng với

ba phép biến đổi tích phân bất kì, sơ đồ kiến thiết tổng quát nhất với của tíchchập suy rộng với ba phép biến đổi tích phân bất kì đã có một số tích chập suyrộng được nghiên cứu mà trong đẳng thức nhân tử hóa có chứa ba phép biếnđổi tích phân khác nhau Có thể thấy các tích chập suy rộng mà đẳng thứcnhân tử hóa có chứa ba phép biến đổi tích phân rất hiếm gặp Năm 2005, cáctác giả N X Thao, T Tuan trong bài báo [16] đã đưa ra tích chập suy rộngvới hàm trọng γ(x) = 1

sinh(πx) đối với ba phép biến đổi tích phân Fc, Fs và

Kontorovich-Lebedev ngược được xác định như sau:

thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

(f ∗

2π√2π

H(u, v, x) = [sinh(u + v)e−x cosh(u+v)+ sinh(u − v)e−x cosh(u−v)]

Nghiên cứu tích chập (3.3) trong không gian mới Lp(R+; xαe−βxdx) ta nhậnđược đẳng thức dạng Parseval

ta có (f ∗ g) ∈ Lp(R+; xαe−βxdx) và có ước lượng chuẩn

||(f ∗ g)||Lp(R+;xα e −βx dx) ≤ Cα||f ||L1(R+;dx)||g||L1(R+;dx),

trong đó,

Cα = 2

√2

= (−x)e−x cosh y[sinh2y − 1

Z

0

(√2)pxαe−(β+p)xdx

12

Định lí 3.2.2 Giả sử f (x), g(x) ∈ L2(R+; dx) Khi đó, tích chập (3.3) là mộthàm số xác định và liên tục với mọi x > 0 Hơn nữa, với p > 1, α ≥ −1, β > 0

ta có (f ∗ g) ∈ Lp(R+; xαe−βxdx) và có ước lượng chuẩn

||(f ∗ g)||Lp(R+;xα e −βx dx) ≤ Cα||f ||L2(R+;dx)||g||L2(R+;dx),

trong đó,

Cα = 2

√2

được chứng minh tương tự định lí 3.2.1 Từ giả thiết suy ra, (Fsf )(w)(Fcg)(w)

Sử dụng bất đẳng thức Schawart với hai hàm, ta có:

Định lí 3.2.4 Giả sửf (x) ∈ Lp(R+; dx), g(x) ∈ Lq(R+; dx), 0 < p, q < +∞; p−1+

q−1 = 1 Khi đó, tích chập (3.3) là một hàm số xác định và liên tục ∀x > 0.Hơn nữa, với β > 0; 1 6 r < α − 1 , ta có

f ∗ g ∈ Lr(R+; xαe−βxdx)

và ước lượng chuẩn

||(f ∗ g)||Lr(R+;xα e −βx dx) ≤ 2

π2(r + β)r−α−1Γ(α − r + 1)||f ||Lp(R+;dx)||g||Lq(R+;dx)

Ngoài ra, ta có đẳng thức dạng Parseval (3.4) là đúng Với điều kiện f, g ∈

L1(R+; dx) ta nhận được đẳng thức nhân tử hóa (3.14)

Sử dụng bất đẳng thức Holder với hai hàm, ta có:

Nhận xét 3.2.2 Dễ thấy tích chập suy rộng mới (3.3) là không giao hoán, do

đó thay đổi vai trò của u và v, ta có tích chập suy rộng

Chứng minh Thật vậy, với điều kiện trên, theo định lí 3.2.1 và các tính chất đãbiết của phép biến đổi Fs, sử dụng đẳng thức nhân tử hóa được (3.15), (3.16).2

Mệnh đề 3.2.2 Cho f, g ∈ L1(R+; dx) Khi đó,ta có:

(f ∗ g)(x) = 1

π

r

2π

Chứng minh Biểu diễn (3.17) nhận được nhờ biểu diễn (3.3), định lí 3.2.1 và

do sinh te−x cosh t ∈ L1(R+; dx) nên tích chập sinh te−x cosh t ∗

(Fc)g(t) tồn tại 2

lớp phương trình, hệ phương trình tích phân

Trong mục này, ta ứng dụng các tính chất của phép biến đổi Fourier vàKontorovich-Lebedev để giải một lớp các phương trình, hệ phương trình tíchphân có liên quan đến tích chập (3.3) và các tích chập suy rộng được nghiêncứu ở chương 2 Trước hết, ta xét một số phương trình tích phân loại một:

với g, h là các hàm số cho trước; f là hàm số cần tìm

Định lí 3.3.1 Giả sử g ∈ L2(R+; tdt), h ∈ L2(R+; dt) Điều kiện cần và đủ đểphương trình (3.18) có nghiệm trong không gian L2(R+; dt) là sinh πxKix[g]

N

Z

1 N

sinh πxKix[g]

Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử f ∈ L2(R+; dt), g ∈ L2(R+; tdt), h ∈

L2(R+; dt) thỏa mãn (3.18) Theo Định lí 3.2.2 ta có đẳng thức nhân tử hóa:

sinh πx(Fch)(x) = (Fsf )(x) ∈ L2(R+; dx)

Vậy

Kix[g] sinh πx(Fch)(x) ∈ L2(R+; dx)

Điều kiện đủ Nếu Kix[g] sinh πx

Từ công thức biến đổi Fourier sine ngược, f là duy nhất được xác định bởi

công thức f (t) = lim

N →∞

r

2π

N

R

1 N

N

Z

1 N

sinh πxKix[g]

Tương tự định lý với nhận xét Kix(h ∗ f ) = (Fsh)(x)(Fcf )

sinh πx . Sau đây, ta nghiên

cứu một số phương trình tích phân loại hai chứa các tích chập: