Báo cáo khoa học: "Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine và ứng dụng giải hệ ph-ơng trình tích phân" ppt

Tích chập suy rộng với hμm trọng đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine vμ ứng dụng giải hệ phương trình tích phân ThS.. Nguyễn minh khoa Bộ môn Toán giải tích Khoa

Tích chập suy rộng với hμm trọng đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine

vμ ứng dụng giải hệ phương trình tích phân

ThS Nguyễn minh khoa

Bộ môn Toán giải tích Khoa Khoa học cơ bản Trường Đại học GTVT

Tóm tắt: Xây dựng vμ nghiên cứu tích chập tổng quát với hμm trọng đối với phép biến đổi

tích phân Fourier vμ Fourier sine Chúng tôi chứng minh một số tính chất của nó vμ áp dụng để giải hệ phương trình tích phân

Summary: Formulating and researching generalized convoluntion with the weight -

function to the Fourier and Fourier sine integral transforms We will prove some of its properties and apply this notion to solving system of integral equation

CBA

i mở đầu

Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân mà cụ thể là đối với hai phép biến

đổi tích phân Fourier sine và Fourier cosine lần đầu tiên được Churchill R V công bố năm 1941 [2]:

(f1* g) (x = 1

2π f( )y[g(x y) g(x y) ]dy

∫ , x > 0 (1) Chúng ta đã có đẳng thức nhân tử hoá:

Fs(f1*g) (y) = (Fsf)(y) (Fcg) (y), ∀ y > 0 (2) Mãi sau này vào những năm 90 của thế kỷ trước, Yakubovich S B có công bố một số công trình về tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân theo chỉ số (xem [9], [10], [11]) Tiếp theo, năm 1998 Kakichev V.A và Nguyễn Xuân Thảo đã đưa ra phương pháp kiến thiết tích chập suy rộng với hàm trọng đối với ba phép biến đổi tích phân ( xem [3])

Trong những năm gần đây một số tích chập suy rộng mới được công bố, chẳng hạn như: Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Stieltjes và Fourier cosine - sine [5] Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi H (xem [4]); Tích chập suy rộng đối với các phứp biến đổi I (xem [12]); Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi Fourier, Fourier cosine (xem [7]):

(fγ* g) (x) = 1

2 2π ∫+∞ ( ) ( [ + + )+ ( + ư ) (+ ư + ) (+ ư ư ) ] >

0 f t gx 1 t g x 1 t g x 1 t g x 1 t dt,x 0

Tích chập này có đẳng thức nhân tử hoá:

F(fγ* g) (y) = cosy (Fcf) (⎪y⎪) (Fcg) (⎪y⎪), ∀y ∈ R Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Fourier cosine và sine được xác định bởi (xem

[6]):

CBA

(f2*g) (x) = 1

2π ∫+∞ ( ) [ ( ư ) ( ư )+ ( + ) ]

0 f y signy xg y x gy x dy, x > 0 (3) Tích chập này thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá:

Fc(f2*g)(y) = (Fsf) (y) (Fsg) (y), ∀ y > 0 (4) Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi Fourier cosine và sine (xem

[8]):

(fγ1* g) (x) = 1

2 2π ∫+∞ ( ) [ ( + ư ) (+ ư + )ư ( + + )ư ( ư ư ) ] ∀ >

0 f y g x y 1 g x y 1 gx y 1 g x y 1 dy, x 0

Tích chập này có đẳng thức nhân tử hoá:

F(fγ1* g) (y) = siny (Fsf) (y) (Fcg) (y), ∀y > 0 Trong bài báo này chúng tôi xây dựng tích chập suy rộng với hàm trọng của các hàm f và g

đối với các phép biến đổi tích phân Fourier và Fourier sine Chúng tôi chứng minh một số tính

chất của nó và ứng dụng giải hệ phương trình tích phân

ii tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân fourier vμ

fourier sine

Định nghĩa, Tích chập suy rộng với hàm trọng γ (y) = sin y đối với hai phép biến đổi Fourier

và Fourier sine là biểu thức sau:

[

(fγ*g) (x) = i

2 2π ∫+∞ ( ư + ) ( ư + ) ]

0 f(t)g x t 1.signx t 1

+g(1ưx+t)sign(1ưx+t)ưg(1+x+t)sign(1+x+t)

- g (⏐1-x-t⏐)sign (1-x-t)]dt, ∀x ∈ R (5)

Ta ký hiệu L (R) = (các hàm h xác định trên R ∫ư+∞∞h( )t dt<+∞)

Nhận xét: Tích chập (1) là hàm lẻ: F (fγ*g) (y) = -i Fs(fγ* g) (y)

Định lý 1: Cho f, g là các hàm liên tục thuộc L (Rt) thì tích chập suy rộng (5) thuộc L (R) và

thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá:

F (fγ* g) (y) = sin y (Fsf) (y) (Fsg) (y), y > 0 (6)

Chứng minh

( ) ∫ ( ) ( )

0

0 (f* g)x dx 2 f* g x dx

CBA

= 1

2π f( )t g(x t 1)sign(x t 1) g(1 x t)

∫ ∫+∞ +∞

sign (1-x+t) - g((1+x+t)sign(1+x+t)−g(1−x−t)

sign (1-x-t)dt,dx,∀x∈R

≤ 1

2π ∫0+∞ ( )t ⎢⎡∫0+∞g(x+1+t)dx+∫0+∞g(x+1−t)dx

+ g(x 1 t)dx g(x 1 t)dx]dt

0

≤ 1

2π ∫+∞ ( ) ∫+∞ ( ) <+∞

0

0 t dt.4 gu du

=> (fγ*g) (x) ∈ L (R) Bây giờ ta chứng minh đẳng thức nhân tử hoá (6)

Từ: sin y (Fsf) (y) (Fsg) (y) = 2π ∫ ∫0+∞ +∞0 siny.sin(yu).sin(yv) f(u) g(v)dudv

và siny sinyu sinyv = 14 [siny (u – v + 1) + siny(u – v - 1) - siny(u + v + 1) - siny(1 – u - v)]

Ta nhận đ−ợc:

[

siny (Fsf) (y) (Fsg) (y) = 1

2π ∫ ∫+∞ +∞ − + ( − + )+

0 0 sinyu v 1.signu v 1

+ siny ⎪u-v-1⎪ - siny (u+v+1) - siny ⎪1-u-v⎪sign(1-u-v)]f(u)g(v)dudv

(7) Bằng các phép biến đổi sơ cấp từ (7) ta có:

siny (Fsf) (y) (Fsg) (y) = 1

⎩

⎨

∫

∫0+∞sinyt 0+∞fu gu t 1signu t 1

+g(u−t−1)sign(u−t−1) (−gu+t+1)−g(u+t−1sign(u+t−1) ) ]du}dt

(8) Vì (fγ* g) (x) = - i Fs (fγ* g) (x), x ∈ R (9)

Từ (8) và (9) ta có:

siny (Fsf) (y) (Fsg) (y) = F(fy*g) (y)

Định lý 2: Tích chập suy rộng (5) có tính chất giao hoán

Chứng minh: Từ đẳng thức nhân tử hoá (6) ta có

F (fγ* g) (y) = siny (Fsf) (y) (Fsg) (y) = sin y (Fsg) (y) (Fsf) (y)

= F (g* f) (y), ∀ y > 0 suy ra (fγ* g) (x) = gγ* f) (x)

Ta có điều phải chứng minh

Định lý 3: Tích chập suy rộng (5) không kết hợp và có đẳng thức sau: fγ*(g*1h) = gγ*(f1*h)

Từ đẳng thức nhân tử hoá (6) ta có:

F[fγ*(g1*h)(y) = siny (Fsf) (y) Fs (g1* h) (y) = Siny (Fsf) (y) (Fsg) (y) (Fch) (y) = siny (Fsg) (y) Fs(f1*h) (y) = F [gγ* (f1*h) ] (y), ∀ y > 0 => fγ* (g1* h) = gγ* (f1* h)

Định lý được chứng minh

Đặt L (ex, R +) = ( )

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

∫+∞e f x dx

:

0 x

Định lý 4: (Định lý kiểu tichmarch)

Cho các hàm f và g ∈ L (ex, R+), khi đó nếu (fγ* g) (x) ≡ 0 ∀ x ∈ R thì hoặc f(x) = 0 hoặc

g (x) = 0, ∀ x > 0

Chứng minh: Từ giả thiết (f * g) (x) = 0 ∀x ∈ R ta suy ra F(fγ* g) (y) = 0, ∀y > 0

CBA

Theo định lý 1 ta có: siny (Fsf) (y) (Fsg) (y) = 0, ∀ y > 0 (10)

Vì (Fsf) (y), (Fsg) (y) là giải tích ∀ y > 0 nên từ (10) ta có (Fsf) (y) = 0, ∀ y > 0 hoặc (Fsg) (y) = 0, ∀ y > 0

Điều đó dẫn tới f(x) = 0, ∀ x > 0 hoặc g(x) = 0, ∀ x > 0

Định lý được chứng minh

iii ứng dụng giải hệ phương trình tích phân

Xét hệ f(⏐x⏐)signx + r1 g( ) ( )t x tdt h( )x signx,x R

r2 ∫+∞( ) ( )θ + ( ) ( )= >

0 t 2 y tdt gy ky,y 0

ởđây r1, r2; là các hằng số phức, còn h, k là các hàm đã biết thuộc L(R +), f và g là các

hàm chưa biết và:

θ1(x,t) = i

2 2π [ϕ(⏐x-t+1⏐) sign (x-t+1) + + ϕ(⏐1-x+t⏐) sign (1-x+t) - ϕ(⏐1+x+t ⏐)sign (1+x-t)

- ϕ (⏐1-x-t⏐)sign (1-x-t)]

θ2(y, t) = i

2π [Ψ(⏐y - t⏐) - Ψ (y+t)]), trong đó ϕ, Ψ là các hàm đã biết thuộc L (R+)

Định lý 5: Với điều kiện: 1 - r1r2 Fs(ϕγ*Ψ) (y) ≠ 0 tồn tại duy nhất nghiệm thuộc L (R+) của

hệ (11) xác định bởi:

f(y) = h(y) - r1 (ϕγ* k) (y) - Fs [(Fsh) (y) (Fsl) (y)] (y) + + r1 Fs [Fs (ϕγ*k) (y) (Fsl) (y)] (y)

g(y) = k (y) - r2 (h1* Ψ) (y) - Fs [(Fsk) (y) (Fc l) (y)] (y) + r2 Fs [Fs(h1*Ψ) (y) (Fs l) (y)] (y)

ở đây, l ∈ L (R+) và được xác định bởi:

(Fsl) (y) = - r1r2Fs(ϕ

γ

* Ψ) (y) 1-r1r2Fs(ϕγ*Ψ) (y) Chứng minh hệ (11) có thể viết lại dưới dạng:

f(⎪x⎪)signx + r1 (gγ* ϕ) (x) = h(⎪x⎪)signx, x ∈ R

r2 (f1* Ψ) (y) + g(y) = k (y) , y > 0

Sử dụng các đẳng thức nhân tử hoá của tích chập suy rộng (5) và (f1* g) (x), ta có:

- i (Fsf) (y) + r1 siny (Fsg) (y) (Fs ϕ) (y) = - i (Fsh) (y)

r2 (Fsf) (y) (FcΨ) (y) + (Fs g) (y) = (Fsk) (y)

CBA

ư

1

y F y sin r y F r

c 2

= - i[1 - i r1 r2 siny(Fs ϕ) (y) (FsΨ) (y)]

= - i[1 - i r1 r2 F(ϕγ*Ψ) (y)] = -i [1 - r1 r2 Fs(ϕγ*Ψ)] ≠ 0

Δ1 = ( )( )

ư

y h F i 1

y F y sin r y k F

y h F i

s s

1 s

s

- r1siny (Fsϕ) (y) (Fs k) = -i (Fsh) (y) - r1 F (ϕγ* k) (y) = = - i (Fsh) (y) + i r1 Fs (ϕγ* k) (y)

Do đó: (Fsf) (y) = Δ1

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

ψ ϕ

ư

ψ ϕ

ư

y

* F r r 1

y

* F r 1

s 2 1

s 2 1

Theo định lý Win ner - Levy [1] tồn tại một hàm l ∈ L (R+)

Sao cho: (Fsl) (y) = -r1r2 Fs (ϕ

γ* Ψ)(y) 1-r1r2Fs(ϕγ* Ψ)(y)

Điều đó dẫn tới:

(Fsf) (y) = Δ1

-i -

Δ1 -i (Fsl) (y) = (Fsh) (y) - r1 Fs (ϕγ* k)(y)

- (Fsh) (y) (Fsl) (y) + r1 Fs (ϕγ* k) (Fsh) (y)

và f(y) = h (y) - r1(ϕγ* k)(y) - Fs[(Fsh) (y) (Fsl) (y)] (y) + r1Fs[Fs(ϕγ* k) (y) (Fs l) (y) ] (y) ∈L (R+)

Tương tự

Δ2 = ( )( ) ( )( )F( )( )k y

y h F i y F r

i

s s c

2

ư ψ

ư

= -i (Fs k) (y) + i r2(Fsh) (y) (FcΨ) (y) = - i (Fsk) (y) + i r2 Fs (h1* Ψ) (y)

Điểu đó dẫn tới: (Fsg) (y) = Δ2

Δ =

Δ2 -i -

Δ2 -i (Fsl) (y)

= (Fsk) (y) - r2 Fs(h1* Ψ) (y) - (Fsk) (y) (Fsl) (y) + r2 Fs (h1* Ψ) (y) (Fsl) (y)

Do đó: g(y) = k (y) - r2 (h1* Ψ) (y) - Fs[(Fsk) (y) (Fc l) (y)] (y) + r2 Fs [ Fs (h1* Ψ) (y) (Fsl) (y)] (y) ∈ L (R+)

Tài liệu tham khảo

[1] N I Achiezer Lectures on Approximation Theory, Science Publishing House, Moscow, 1965, PP 157 - 162

[2] R.V Churchill Fourier Series and Boundary Value Problems, New York, 1941

CBA

[3] V A Kakichev and Nguyen Xuan Thao On the design method for the generalized integral convolution,

Izv Vuzv Math.1 (1998) 31 - 40 (in Russian)

[4] V.A Kakichev and Nguyen Xuan Thao On the genneralized convolution for H - Transforms, Izv

Vuzov Math n.8 (2001) 21 - 28 (in Russian)

[5] Nguyen Xuan Thao On the generalized convolution for the Stieltjes, Hilbert, Fourier cosine and sine

transforms, U K R math J (2001) 53, 560 - 567 (in Russion)

[6] Nguyen Xuan Thao, V A Kakichev and Vu Kim Tuan On the genaralized convolution for Fourier

cosine and sine transform, East - West J Math (1998) 1, 85 - 90

[7] Nguyen Xuan Thao and Nguyen Minh Khoa On the generalized convolution with a weight - function

for the Fourier and cosine - Fourier integral transforms, the 2 nd seminar on environmental Science and

technology issues related to the urban and coastal zones developtment Organized by Vietnam National

University and Osaka University September 28 - 29, 2004, Ha Long - Viet Nam 133 - 139

[8] Nguyen Xuan Thao, Vu Kim Tuan and Nguyen Minh Khoa A generalized comvolution with a weight

function for the Fourier cosine and sine transforms; FCAA Jornal - Bulgaria - No 4 of vol 7 (2004)

[9] M Saigo and S.B YaKubovic On the theory of convolution integrals for G - transforms, Fohuoka,

Univ Sci Report (1991) 21, 181 - 193

[10] S.B YaKubovic On the contruction method for contruction of integral convolution DAN BSSR 34

(1990) 588 - 591 (in Russian)

[11] S.B YaKubovic and A I Mosinshi Integral equation and convolutions for transforms of Kontorovich -

Lebedev type, Dif, Uravnenia 29 (1993) 1272 - 1284 (in Russian)

[12] Nguyen Xuan Thao and Trinh Tuan On the generalized convolution for I - transform.Acta

Mathematica (2003) 28, 159 - 174♦