Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.B. CÂU HỎI LÝ THUYẾT.[r]
Trang 1VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN
I – ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Cho đoạn thẳng AB trong không gian Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối
là B ta có một vectơ, được kí hiệu là ABuuur
Định nghĩa
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng Kí hiệu ABuuur chỉ vectơ
có điểm đầu là A, điểm cuối B Vectơ còn được kí hiệu là a b x y, , ,
r r ur ur
,…Các khái niệm có liên quan đến vectơ như giá của vectơ, độ dài của vectơ, sựcùng phương, cùng hướng của hai vectơ, vectơ – không, sự bằng nhau của haivectơ, … được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng
II – ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ
1 Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian
Trong không gian cho ba vectơ a
· Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt
phẳng, khi đó ta nói rằng vectơ a
· Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng
thi ta nói ba vectơ a
Chú ý Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ nói
trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O
Từ đó ta có định nghĩa sau đây:
Trang 2Từ định nghĩa ba vectơ đồng phẳng và từ định lí về sự phân tích (hay biểu thị)một vectơ theo hai vectơ hai vectơ không cùng phương trong hình học phẳngchúng ta có thể chứng minh được định lí sau đây:
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1 BIỂU DIỄN VECTƠCâu 1 Cho hình lăng trụ ABC A B C. ¢ ¢ ¢. Đặt a=AA b¢, =AB c, =AC.
uuur r uuur uuur
Gọi G¢ làtrọng tâm của tam giác A B C¢ ¢ ¢. Vectơ AG¢
Câu 2 Cho hình lăng trụ ABC A B C. ¢ ¢ ¢. Đặt a=AA b¢, =AB c, =AC.
uuur r uuur uuur
Hãy biểudiễn vectơ B C¢
AM = + -a c b
uuuur r r r
B
1.2
AM = + -b c a
uuuur r r r
C
1.2
AM= -b a+ c
uuuur r r r
D
1.2
Trang 3Câu 5 Cho hình hộp ABCD A B C D. ¢ ¢ ¢ ¢ có AB a AC= , =b AA, ¢=c.
uuuruuur r uuur r r
Gọi I là trungđiểm của B C¢ ¢, K là giao điểm của A I¢ và B D¢ ¢. Mệnh đều nào sau đâyđúng ?
4
OGuuur= OA OB OC ODuur uur uuur uuur+ + +
D GA GB GC GD+ + + =0.
uuur uuur uuur uuur r
Câu 7 Cho tứ diện ABCD. Đặt AB=a AC, =b AD, =c.
uuur r uuur r uuur r
Gọi G là trọng tâm củatam giác BCD. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sau đây đúng ?
.2
AG= a b c+ +
uuur r r r
.4
AG= a b c+ +uuur r r r
Câu 8 Cho tứ diện ABCD. Đặt AB a AC= , =b AD, =c.
uuur r uuur r uuur r
Gọi M là trung điểmcủa đoạn thẳng BC. Đẳng thức nào dưới đây là đúng ?
2 2
uuur r uuur r uuur r
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
.2
MP= c d b+ +
.2
MP= d b c+
.2
MP= c b d+
.2
Trang 4A 1( )
.3
AO= AB AD AA¢+ +uuur
uuur uuur uuur
.2
AO= AB AD AA¢+ +uuuruuur uuur uuur
.4
Câu 12 Cho hình hộp ABCD A B C D. ¢ ¢ ¢ ¢ tâm O. Khẳng định nào dưới đây là sai ?
Câu 13 Cho hình hộp ABCD A BC D 1 1 1 1. Khẳng định nào dưới đây là sai ?
A BC BAuuur uuur+ =B Cuuuur uuuur1 1+B A1 1 B AD D Cuuur uuuur uuuur+ 1 1+D A1 1=DCuuur
C BC BA BBuuur uuur uuur+ + 1=BDuuur1 D BA DDuuur uuuur uuur+ 1+BD1=BCuuur
Câu 14 Cho hình hộp ABCD A B C D 1 1 1 1. Gọi M là trung điểm của AD. Khẳng
định nào dưới đây là đúng ?
A B Muuuur1 =B B B Auuur uuuur uuuur1 + 1 1+B C1 1 B 1 1 1 1 1 1
1.2
C Muuuur=C C C Duuur uuuur+ + C Buuuur
C Muuuur=C Cuuur+ C Duuuur+ C Buuuur
D BBuuur uuuur uuuur1+B A1 1+BC1 1=2B Duuuur1
Câu 15 Cho hình lập phương ABCD A B C D. ¢ ¢ ¢ ¢ có cạnh bằng a. Gọi G là trọngtâm của tam giác AB C¢. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
A ACuuuur¢=3uuurAG. B ACuuuur¢=4AGuuur C BDuuuur¢=4BGuuur D BDuuuur¢=3BGuuur
Câu 16 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành Đặt
uur uuur uuur uuur uuur r
Khẳng định nào dưới đây là đúng
Câu 18 Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn GA GB GC GD+ + + =0
uuur uuur uuur uuur r
(G làtrọng tâm của tứ diện) Gọi G0 là giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD)
Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
A GAuuur=- 2G Guuuur0 B GAuuur=4G Guuuur0 C GAuuur=3G Guuuur0 D GAuuur=2G Guuuur0
Câu 19 Cho tứ diện ABCD Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB CD, và G
là trung điểm của MN. Khẳng định nào dưới đây là sai ?
Trang 5Câu 21 Cho hình hộp ABCD A B C D. ¢ ¢ ¢ ¢. Tìm giá trị thực của k thỏa mãn đẳngthức vectơ uuur uuurAC BA+ '+k DB C D(uuur uuuur+ ' )=0.r
Câu 22 Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện
ABCD Gọi I là trung điểm của đoạn MN Tìm giá trị thực của k thỏa mãn
đẳng thức vectơ IAuur+(2k- 1)IB kIC IDuur+ uur uur+ =0.r
Câu 23 Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện
ABCD Gọi I là trung điểm của đoạn MN và P là một điểm bất kỳ trong
không gian Tìm giá trị thực của k thỏa mãn đẳng thức vectơ
k =
C
1.4
Trang 6Câu 28 Cho hình hộp ABCD A BC D 1 1 1 1 Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
A BD BD BCuuur uuur uuur, 1, 1 đồng phẳng. B CD AD A Buuur uuur uuuur1, , 1 1 đồng phẳng
C CD AD A Cuuur uuur uuur1, , 1 đồng phẳng. D AB AD C Auuur uuur uuur, , 1 đồng phẳng
Câu 29 Cho hình hộp ABCD EFGH. . Gọi I là tâm của hình bình hành ABEF và
K là tâm của hình bình hành BCGF. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
uuuur uuur uuur
; DNuuur=DB xDCuuur+ uuur 2( ) Tìm x để các đường thẳng
x =
C
1.4
x =
D
1.2
x =
Trang 7Câu 35 Cho hình chĩp S ABC. . Lấy các điểm A B C¢ ¢ ¢, , lần lượt thuộc các tia
Câu 36 Cho tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm tam giác BCD Điểm M xácđịnh bởi đẳng thức vectơ AM =AB AC AD+ + .
uuuur uuur uuur uuur
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A M trùng G. B M thuộc tia AG và AM =3AG.
C G là trung điểm AM. D M là trung điểm AG.
Câu 37 Cho tứ diện ABCD Điểm N xác định bởi AN=AB AC AD+ - .
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur r
Khẳng định nào sau đây sai?
A G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AB và CD.
B G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD.
C G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC.
D Cả A, B, C đều đúng.
Câu 39 Cho hình hộp ABCD A B C D. ¢ ¢ ¢ ¢. Điểm M được xác định bởi đẳng thứcvectơ MA MB MC MD MA+ + + + '+MB'+MC'+MD' 0.=
uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur r
Mệnh đề nào sau đâyđúng?
A M là tâm của mặt đáy ABCD.
B M là tâm của mặt đáy A B C D' ' ' '.
C M là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt đáy
D Tập hợp điểm M là đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt đáy
Câu 40 Cho hình hộp ABCD A B C D. ¢ ¢ ¢ ¢ cĩ tâm O. Đặt AB a=
uuur r
, BC=b
uuur r
Điểm Mxác định bởi đẳng thức vectơ 1( )
2
OMuuur= a br r
- Khẳng định nào sau đây đúng?
A M là trung điểm BB¢. B M là tâm hình bình hành BCC B¢ ¢.
C M là trung điểm CC¢. D M là tâm hình bình hành ABB A¢ ¢.
Bài 02
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
I – TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
Trang 81 Góc giữa hai vectơ trong không gian
Định nghĩa
Trong không gian, cho ur và vr là hai vectơ khác 0r Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho AB uuuur=r, ACuuur=vr Khi đó ta gọi góc ·BAC (0°£ BAC· £180°)
là góc giữa hai vectơ ur và
( )
uv r r = u v r r u v r r
Trong trường hợp ur=0r hoặc rv=0r, ta quy ước uvr r =0.
II – VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
1 Định nghĩa
Vectơ ar khác r0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng
d nếu giá của vectơ ra song song hoặc trùng với đường thẳng
d.
2 Nhận xét
a) Nếu ar là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ kar
với k¹ 0 cũng là vectơ chỉ phương của d.
b) Một đường thẳng trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương ar của nó c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương.
C
d
Trang 9III – GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1 Định nghĩa
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a¢ và ¢ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.
2 Nhận xét
a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.
b) Nếu ur là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và rv là vectơ chỉ phương của đường thẳng b và ( )u vr r, =a
thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng a nếu 0°£ £a 90° và bằng 180°- a nếu
c) Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và
c khi b song song với c (hoặc b trùng vớic).
b'
a' O
b a
Trang 10B Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và
c thì b song song với c.
C Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.
D Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai véctơ chỉ phương của hai
đường thẳng đó
Câu 2 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song
với nhau
B Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc
với nhau thì song song với đường thẳng còn lại
C Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc
với nhau
D Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song
thì vuông góc với đường thẳng kia
Câu 3 Cho hai đường thẳng phân biệt a b, và mặt phẳng ( )P , trong đó
Câu 7 Cho hình hộp AB C D .A B' ' ' 'C D Giả sử tam giác AB C' và A DC' ' đều có
ba góc nhọn Góc giữa hai đường thẳng AC và A D' là góc nào sau đây?
Trang 11Câu 12 Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD và BAC· =BAD· =60° Hãy xácđịnh góc giữa cặp vectơ ABuuur và CD
a
D a2 2.
Câu 23 Cho hình lập phương ABCD A BC D 1 1 1 1 có cạnh a Gọi M là trung điểm
AD Giá trị B M BDuuuur uuur1 1 là:
Trang 12MN =
B
10.2
a
MN =
C
2 3.3
a
MN =
D
3 2.2
a
MN =
Câu 25 Cho tứ diện ABCD cĩ AB vuơng gĩc với CD Mặt phẳng ( )P song
song với AB và CD lần lượt cắt BC DB AD AC, , , tại M N P Q, , , Tứ giác
MNPQ là hình gì?
Câu 26 Trong khơng gian cho hai tam giác đều ABC và ABC¢ cĩ chung cạnh
AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau Gọi M N P Q, , , lần lượt là trung
điểm của các cạnh AC CB BC¢, , và C A¢ Tứ giác MNPQ là hình gì?
Câu 27 Cho tứ diện ABCD trong đĩ AB=6, CD=3, gĩc giữa AB và CD là
60° và điểm M trên BC sao cho BM =2MC Mặt phẳng ( )P qua M song
song với AB và CD cắt BD AD AC, , lần lượt tại M N Q, , Diện tích MNPQbằng:
3.2
Câu 28 Cho tứ diện ABCD cĩ AB vuơng gĩc với CD, AB=4, CD=6 M làđiểm thuộc cạnh BC sao cho MC=2BM Mặt phẳng ( )P đi qua M song song
với AB và CD Diện tích thiết diện của ( )P với tứ diện là:
17
16.3
Câu 29 Cho tứ diện ABCD cĩ AB vuơng gĩc với CD, AB CD= =6 M là điểmthuộc cạnh BC sao cho MC=x BC 0( < <x 1) Mặt phẳng( )P song song với
AB và CD lần lượt cắt BC DB AD AC, , , tại M N P Q, , , Diện tích lớn nhất của tứ
giác bằng bao nhiêu?
Câu 30 Trong khơng gian cho tam giác ABC Tìm M sao cho giá trị của biểuthứcP=MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất
A M là trọng tâm tam giác ABC
B M là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
C M là trực tâm tam giác ABC
D M là tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC
Bài 03
Trang 13ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
1 Định nghĩa
Đường thẳng d được gọi là vuơng gĩc với mặt
phẳng ( )a nếu d vuơng gĩc với mọi đường
Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng
Người ta gọi mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuơnggĩc với AB là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Trang 14Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau
Cho đường thẳng a và mặt phẳng ( )a song song với nhau Đường thẳng
nào vuông góc với ( )a thì cũng vuông góc với a.
Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau
5 Định lí ba đường vuông góc
Định nghĩa
Phép chiếu song song lên mặt phẳng ( )P theo phương vuông góc tới mặt
phẳng ( )P gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng ( )P
Định lí (Định lí 3 đường vuông góc)
Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt
phẳng ( )P và đường thẳng b nằm trong mặt
phẳng ( )P Khi đó điều kiện cần và đủ để b vuông
góc với a là b vuông góc với hình chiếu a¢ của a
trên ( )P
Trang 156 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Định nghĩa
Nếu đường thẳng a^( )P thì ta nói góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng
( )P bằng 90 0
Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt
phẳng ( )P thì góc giữa a và hình chiếu a¢ của
nó trên ( )P gọi là góc giữa đường thẳng a và
mặt phẳng ( )P
Chú ý: Nếu j là góc giữa đường thẳng d và
mặt phẳng ( )a thì ta luôn có 00£ £j 90 0
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1 CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1 Khẳng định nào sau đây sai ?
A Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong( )a thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong ( )a
B Nếu đường thẳng d^( )a thì d vuông góc với hai đường thẳng trong
A vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mp ( )P
B vuông góc với đường thẳng a mà a song song với mp ( )P
C vuông góc với đường thẳng a nằm trong mp ( )P
D vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mp ( )P
Câu 3 Mệnh đề nào sau đây sai ?
A Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song
song
B Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba
thì song song
C Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho)
cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau
D Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song
Trang 16D Nếu a b^ , b c^ và a cắt c thì b vuông góc với mặt phẳng (a c, )
Câu 7 Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau Khi đó có một và
chỉ một mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia
B Qua một điểm O cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc vớimột đường thẳng cho trước
C Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông gócvới một đường thẳng cho trước
D Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông gócvới một mặt phẳng cho trước
Câu 8 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc
với một đường thẳng cho trước
B Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và
vuông góc với một mặt phẳng cho trước
C Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc
với một đường thẳng cho trước
D Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc
với một mặt phẳng cho trước
Câu 9 Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
A Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt
phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia
B Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì
song song với nhau
C Với mỗi điểm AÎ ( )a và mỗi điểm BÎ ( )b thì ta có đường thẳng AB
vuông góc với giao tuyến d của ( )a và ( )b
D Nếu hai mặt phẳng ( )a và ( )b đều vuông góc với mặt phẳng ( )g thì
giao tuyến d của ( )a và ( )b nếu có sẽ vuông góc với ( )g
Câu 10 Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và
hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho
B Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và
đường thẳng b với b vuông góc với ( )P