sử dụng phép tương tự vào dạy học quan hệ vuông góc trong hình học không gian lớp 11

NGUYỄN PHÚC HẬU SỬ DỤNG PHÉP TƯƠNG TỰ VÀO DẠY HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGUYỄN PHÚC HẬU

SỬ DỤNG PHÉP TƯƠNG TỰ VÀO DẠY HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC

TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Cần Thơ, 2012

NGUYỄN PHÚC HẬU

SỬ DỤNG PHÉP TƯƠNG TỰ VÀO DẠY HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC

TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN

Lời cam đoan

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác Các số liệu trích dẫn trong quá trình nghiên cứu đều đƣợc ghi rõ nguồn gốc

Tác giả luận văn

NGUYỄN PHÚC HẬU

Đặc biệt, tôi xin được gởi lời cảm ơn sâu sắc tới Phó giáo sư - Tiến sĩ Nguyễn Phú Lộc đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành tốt luận văn này

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các anh, chị, bạn bè đã tạo điều kiện và khích lệ tôi hoàn thành luận văn của mình

Tác giả luận văn

NGUYỄN PHÚC HẬU

Mục lục

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Mục lục iv

Danh mục các ký hiệu, chữ viết tắt viii

Danh mục bảng ix

Danh mục hình xi

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Giả thuyết nghiên cứu 3

5 Đối tượng nghiên cứu 4

6 Phương pháp nghiên cứu 4

7 Đóng góp chính của luận văn 4

8 Cấu trúc của luận văn 4

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN 5

1.1 Tương tự và các hoạt động trí tuệ có liên quan với tương tự 5

1.1.1 Tương tự 5

1.1.1.1 Định nghĩa tương tự 5

1.1.1.2 Cấu trúc của suy luận tương tự 7

1.1.1.3 Tính chất của suy luận tương tự 7

1.1.1.4 Một số biện pháp nâng cao độ tin cậy của suy luận tương tự 8

1.1.1.5 Vai trò của suy luận tương tự 8

1.1.2 Các hoạt động trí tuệ có liên quan đến tương tự 9

1.1.2.1 Phân tích và tổng hợp 9

1.1.2.2 Khái quát hóa và đặc biệt hóa 11

1.1.2.3 Dự đoán, so sánh 12

1.1.2.4 Trừu tượng hóa, cụ thể hóa 13

1.1.3 Mối quan hệ giữa tương tự và các hoạt động trí tuệ khác 15

1.2 Các mô hình dạy học có sử dụng phép tương tự 17

1.2.2 Mô hình TWA 18

1.2.3 Mô hình FAR 18

1.3 Dạy học khám phá với phép tương tự 18

1.3.1 Dùng tương tự để xây dựng giả thuyết khoa học 18

1.3.2 Dùng tương tự khám phá nội dung học tập 20

1.4 Các công dụng khác của phép tương tự 20

1.4.1 Dùng tương tự trong xây dựng ý nghĩa của tri thức 20

1.4.2 Dùng tương tự để dự đoán và ngăn ngừa sai lầm của học sinh 21

1.5 Hệ thống kiến thức, kĩ năng về Quan hệ vuông góc trong hình học không gian lớp 11 21

1.5.1 Mục tiêu của chương 21

1.5.2 Nội dung của chương 22

1.5.3 Yêu cầu của chương 22

1.6 Một số khó khăn, sai lầm khi dạy học hình học không gian 26

1.7 Thuận lợi để sử dụng phép tương tự dạy hình học không gian 27

ết luận chương 1 30

Chương 2 S DỤNG PH P TƯƠNG T VÀO DẠY H C QU N H VU NG G C TRONG H NH H C H NG GI N LỚP 11 31

2.1 Sử dụng phép tương tự vào dạy học các tình huống điển hình 31

2.1.1 Sử dụng phép tương tự vào dạy học khái niệm 31

2.1.1.1 Định nghĩa “Ba vectơ đồng phẳng” 32

2.1.1.2 Định nghĩa “Mặt phẳng trung trực” 33

2.1.1.3 Định nghĩa “Góc giữa hai mặt phẳng” 34

2.1.1.4 Định nghĩa “Hai mặt phẳng vuông góc” 36

2.1.1.5 Định nghĩa “ hoảng cách” 37

2.1.2 Sử dụng phép tương tự vào dạy học định lí 40

2.1.2.1 Định lí về sự biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng 40

2.1.2.2 Các tính chất có liên quan đến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 43

2.1.2.3 Định lí về mối liên hệ giữa diện tích đa giác và diện tích hình chiếu của nó 52

2.1.3 Sử dụng phép tương tự vào dạy học giải bài tập 54

2.2 Sử dụng phép tương tự vào đề xuất bài toán mới 70

2.3 Sử dụng tương tự vào việc dự đoán và ngăn ngừa sai lầm của học sinh 75

2.3.1 Sai lầm 1 76

2.3.2 Sai lầm 2 78

2.3.3 Sai lầm 3 79

2.3.4 Sai lầm 4 80

ết luận chương 2 84

Chương 3 TH C NGHI M SƯ PHẠM 85

3.1 Mục đích thực nghiệm 85

3.2 Nội dung thực nghiệm 85

3.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 86

3.3.1 Đối với giả thuyết H1 86

3.3.1.1 Đối tượng thực nghiệm 86

3.3.1.2 Triển khai thực nghiệm sư phạm 86

3.3.2 Đối với giả thuyết H2 90

3.3.2.1 Đối tượng thực nghiệm 90

3.3.2.2 Triển khai thực nghiệm sư phạm 90

3.4 ết quả thực nghiệm 93

3.4.1 Phân tích định tính chung cho giả thuyết H1 và H2 93

3.4.2 Phân tích định lượng 93

3.4.2.1 Đối với giả thuyết H1 93

3.4.2.2 Đối với giả thuyết H2 95

ết luận chương 3 96

ẾT LUẬN 97

TÀI LI U TH M HẢO 98

PHỤ LỤC 100

Danh mục các ký hiệu, chữ viết tắt

Danh mục bảng

Bảng 1.1 Dạy học Quy tắc hình hộp và tính chất trọng tâm của tứ diện 20

Bảng 1.2 Chuẩn kiến thức, kĩ năng của chương [14] 23

Bảng 1.3 Các yếu tố tương tự của tam giác và tứ diện 27

Bảng 2.1 Sự tương tự trong định nghĩa “Cùng phương” và “Đồng phẳng” 33

Bảng 2.2 Sự tương tự trong định nghĩa “Đường trung trực” và “Mặt phẳng trung trực” 34

Bảng 2.3 Sự tương tự trong định nghĩa “Góc giữa hai mặt phẳng” 35

Bảng 2.4 Sự tương tự trong định nghĩa “Hai mặt phẳng vuông góc” 36

Bảng 2.5 Sự tương tự trong định nghĩa “ hoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng” 38

Bảng 2.6 Sự tương tự trong định nghĩa “ hoảng cách giữa hai mặt phẳng song song” 39

Bảng 2.7 Sự tương tự trong cách biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng 42

Bảng 2.8 Sự tương tự về Số mặt phẳng đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một đường thẳng a cho trước 44

Bảng 2.9 Sự tương tự về Số đường thẳng đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với mặt phẳng cho trước 46

Bảng 2.10 Sự tương tự trong Mối liên hệ giữa một mặt phẳng và hai đường thẳng song song 48

Bảng 2.11 Sự tương tự trong Mối liên hệ giữa một đường thẳng và hai mặt phẳng song song 50

Bảng 2.12 Sự tương tự trong mối liên hệ giữa diện tích đa giác và diện tích hình chiếu của nó 53

Bảng 2.13 Sự tương tự trong tính chất của trọng tâm của tứ diện 55

Bảng 2.14 Sự tương tự trong tính chất của trọng tâm của tứ diện 58

Bảng 2.15 Sự tương tự trong tứ diện vuông 60

Bảng 2.16 Sự tương tự trong tính chất của tứ diện vuông 63

Bảng 2.17 Sự tương tự trong Đường thẳng Ơle 66

Bảng 2.18 Sự tương tự trong tính chất của tứ diện 69

Bảng 2.19 Bảng tổng hợp các mệnh đề tương tự của Sai lầm 2 78

Bảng 2.20 Bảng tổng hợp các mệnh đề tương tự của Sai lầm 3 79

Bảng 2.21 Bảng tổng hợp các mệnh đề tương tự của Sai lầm 4 81

Bảng 3.1 Các tính chất tương tự của tam giác vuông và tứ diện vuông 87

Bảng 3.2 Đáp án và thang điểm câu 1 89

Bảng 3.3 Đáp án và thang điểm câu 2 89

Bảng 3.4 Đáp án câu 1 92

Bảng 3.5 Đáp án câu 2 92

Bảng 3.6 ết quả bài kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 93

Bảng 3.7 iểm định giả thuyết H 940 Bảng 3.8 Số học sinh mắc các sai lầm 95

Bảng 3.9 Tỉ lệ học sinh mắc các sai lầm 95

Danh mục hình

Hình 1.1 Mối liên hệ giữa hái quát hóa, Đặc biệt hóa và Tương tự [18] 16

Hình 1.2 Các thành phần cơ bản của quá trình dạy học tương tự [7] 17

Hình 1.3 Quá trình so sánh các đặc điểm khi dùng phép tương tự [7] 18

Hình 1.4 Mô hình F R (Treagust, Venville, Stocklmayer & Thiele, 1993) (dẫn theo [7]) 19

Hình 1.5 Mô hình xây dựng giả thuyết bằng tương tự theo thuộc tính [7] 19

Hình 1.6 Mô hình xây dựng giả thuyết bằng tương tự theo quan hệ [7] 19

Hình 1.7 28

Hình 1.8 28

Hình 2.1 32

Hình 2.2 42

Hình 2.3 43

Hình 2.4 46

Hình 2.5 48

Hình 2.6 49

Hình 2.7 51

Hình 2.8 51

Hình 2.9 52

Hình 2.10 52

Hình 2.11 53

Hình 2.12 55

Hình 2.13 56

Hình 2.14 59

Hình 2.15 61

Hình 2.16 63

Hình 2.17 64

Hình 2.18 65

Hình 2.19 67

Hình 2.20 76

Hình 2.21 77

Hình 2.22 77

Hình 3.1 87

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đ tài

Theo quan điểm của chủ nghĩa duy vật biện chứng thì “xã hội không ngừng vận động và phát triển” Đúng như vậy, ngày nay, với sự thay đổi nhanh chóng của

xã hội hiện đại cùng những biến động mạnh m và không ngừng nghỉ của mọi yếu

tố cấu thành đời sống, nhất là khoa học, k thuật và công nghệ, đang là thách thức lớn đối với mọi người, mọi xã hội Con người luôn phải đối mặt với nhiều vấn đề mới khó khăn hơn, phức tạp hơn hi đó, chúng ta cần có đầy đủ bản lĩnh, huy động tất cả kinh nghiệm s n có tương tự hay có liên quan với vấn đề mới để giải quyết chúng

Để đáp ứng yêu cầu của xã hội, Luật giáo dục quy định rõ về phương pháp giáo dục phổ thông như sau:

• “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên” (Luật giáo dục năm 2005, chương I, mục 2, điều 5)

• “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện k năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh”.(Luật giáo dục năm 2005,chương II, mục 2, điều 28)

Môn toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông, góp phần phát triển nhân cách của học sinh Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và rèn luyện kĩ năng toán học cần thiết, môn toán còn có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, rèn luyện những đức tính, phẩm chất của người lao động mới như tính cẩn thận, chính xác, tính kỉ luật, tính phê phán và óc thẩm mĩ

Ngược lại, trong quá trình dạy học môn toán ở trường phổ thông, việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ: khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá, so sánh, phân tích, tổng hợp cho học sinh vô cùng quan trọng Nó giúp cho học sinh nắm vững, đào sâu kiến thức, phát huy tính độc lập, sáng tạo trong học tập môn toán, học các môn học khác và

là cơ sở để hình thành những phẩm chất trí tuệ cho học sinh Trong các hoạt động trí tuệ đó, thao tác tương tự hoá là phổ biến, nó gắn liền với các hoạt động trí tuệ khác, khi gặp một vấn đề theo một l tự nhiên người ta thường nghĩ đến các vấn đề liên quan tương tự với vấn đề đó mà người ta đã gặp Phép tương tự hoá có thể coi là tiền thân của khái quát hoá vì để khái quát hoá người ta phải xét từ trường hợp này sang trường hợp khác, cho tới khi nào họ nhận thức cái tổng quát một cách đầy đủ

Ở bậc trung học cơ sở, các em được học các kiến thức về hình học phẳng còn hình học không gian mới chỉ được giới thiệu sơ lược ở lớp 8 và lớp 9 Do vậy, bước vào chương trình hình học không gian lớp 11, học sinh gặp rất nhiều khó khăn

• Một là, trong hình học phẳng học sinh chỉ biết được hai đối tượng cơ bản là

“điểm” và “đường thẳng” nên mối quan hệ chưa nhiều nhưng khi học hình học không gian lại xuất hiện thêm một đối tượng nữa là “mặt phẳng” nên mối quan hệ giữa chúng phức tạp hơn nhiều, các bài toán về hình học không gian cũng rất phong phú và đa dạng

• Hai là, các đối tượng hình học được mô tả bằng các hình ảnh hiện thực Ví

dụ “điểm, đường thẳng, mặt phẳng” là các khái niệm trừu tượng chỉ hiểu qua tiên

đề, trong khi đó chúng lại được mô tả qua các hình ảnh vật chất, điểm như là dấu chấm, mặt phẳng như là mặt bàn Do đó học sinh dễ ngộ nhận đồng nhất giữa cái trừu tượng, cái bản chất với cái dùng để mô tả chúng

• Ba là, khi chuyển từ nghiên cứu hình học phẳng sang hình học không gian,

do khả năng tư duy lôgic và trí tưởng tượng không gian còn hạn chế nên học sinh dễ ngộ nhận các mối quan hệ trong mặt phẳng của hình biểu diễn với mối quan hệ thực của các đối tượng trong không gian

• Bốn là, việc chứng minh các bài toán trong hình học không gian phải kết hợp giữa lập luận lôgic và hình v , nhiều khi phải v thêm hình nên học sinh còn

gặp nhiều khó khăn; Trong nhiều bài toán phức tạp, hình v chỉ là hình ảnh trực quan của một trường hợp để giải bài toán, còn các trường hợp khác do mối quan hệ giữa các yếu tố mà giả thiết đã cho, ta phải xét hết các trường hợp này thì bài toán mới được giải trọn vẹn Học sinh thường bỏ sót các trường hợp này

Chính những khó khăn nêu trên, học sinh rất ngại học hình học không gian

Để khắc phục tình trạng này, tôi thiết nghĩ cần làm cho học sinh thấy được mối liên

hệ giữa những kiến thức đã biết và kiến thức mới, biết “quy lạ về quen”, vận dụng tương tự hoá và các hoạt động trí tuệ khác trong giảng dạy lý thuyết cũng như trong giải bài tập để học sinh dễ tiếp thu kiến thức, từ đó củng cố, mở rộng đào sâu kiến thức Với suy nghĩ và trong thực tiễn làm công tác giảng dạy, chúng tôi chọn đề tài

Sử dụng phép tương tự vào dạy học quan hệ vuông góc trong hình học không gian lớp 11

Đã có công trình nghiên cứu “ hai thác và vận dụng tương tự hóa trong dạy học hình học không gian lớp 11 Trung học phổ thông” do PGS TS Bùi Văn Nghị hướng dẫn Tuy nhiên, ở luận văn của mình, tôi muốn tiếp cận phép tương tự bằng phương pháp dạy học khám phá theo mô hình TW vào dạy học quan hệ vuông góc Hy vọng luận văn s góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy hình học không gian nói chung và kiến thức về quan hệ vuông góc trong hình học không gian lớp 11

• Thực nghiệm sư phạm kiểm nghiệm giả thuyết nghiên cứu của đề tài

4 Giả thuyết nghiên c u

Nếu giáo viên sử dụng tương tự hóa một cách hợp lí s giúp học sinh tự phát hiện ra kiến thức mới, đồng thời giáo viên có thể dự đoán và ngăn ngừa sai lầm của học sinh

5 Đối tư ng nghiên c u

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là những cơ hội có thể sử dụng phép tương

tự để dạy học quan hệ vuông góc trong hình học không gian lớp 11

6 Phương pháp nghiên c u

• Nghiên cứu lí luận: phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa các tài liệu về tương

tự hóa từ các nguồn như sách, giáo trình, tạp chí, luận văn, các quan điểm về đổi mới phương pháp giảng dạy

• Phân tích nội dung kiến thức quan hệ vuông góc trong sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao nhằm tìm kiếm cơ hội vận dụng phép tương tự

▫ Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN

▫ Chương 2: S DỤNG PH P TƯƠNG T VÀO DẠY H C QU N H

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN

• Tương tự và các hoạt động trí tuệ có liên quan với tương tự

• Các mô hình dạy học có sử dụng phép tương tự

• Dạy học khám phá với phép tương tự

• Các công dụng khác của phép tương tự

• Hệ thống kiến thức, kĩ năng về quan hệ vuông góc trong hình học không gian lớp 11

• Một số khó khăn, sai lầm khi dạy học hình học không gian

• Thuận lợi để sử dụng phép tương tự dạy hình học không gian

1.1 Tương tự và các hoạt động tr tuệ c liên quan với tương tự

1.1.1 Tương tự

1.1.1.1 Định nghĩa tương tự

Theo [1], tương tự có nghĩa là “hơi giống nhau”

Danh từ tương tự bắt nguồn ở một từ Hi Lạp “a-na-lô-gi-a” Từ này có một nghĩa là “tỉ lệ” Thực vậy, hệ hai số 6 và 9 tương tự với hệ hai số 10 và 15, vì tỉ số giữa những số tương ứng thỏa mãn hệ thức: 6 : 9 10 :15

Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong các mối quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tương ứng [18]

Ví dụ 1.1 Tam giác trên mặt phẳng tương tự với tứ diện trong không gian Trên mặt

phẳng, hai đường thẳng không thể tạo nên một hình có giới hạn, còn 3 đường thẳng thì có thể tạo nên một tam giác Trong không gian, ba mặt phẳng không thể tạo nên một vật thể có giới hạn, còn bốn mặt phẳng thì có thể tạo nên một tứ diện Quan hệ của tam giác đối với mặt phẳng cũng y như quan hệ của tứ diện đối với không gian

vì cả tam giác và tứ diện đều được giới hạn bởi số tối thiểu những yếu tố cơ bản Sự tương tự là ở chỗ đó [18]

Ví dụ 1.2 Có thể xem tam giác và hình chóp như là những hình tương tự Một mặt

hãy lấy một đoạn thẳng, và mặt khác hãy lấy một đa giác Nối mọi điểm của đoạn

thẳng với một điểm ở ngoài đường thẳng chứa đoạn thẳng, s được một tam giác Nối tất cả các điểm của đa giác với một điểm ở ngoài mặt phẳng của đa giác, s được một hình chóp

Ví dụ 1.3 Có thể xem hình bình hành và hình lăng trụ là tương tự nhau Thật vậy,

hãy di chuyển đoạn thẳng hay đa giác song song với chính nó theo một phương không song song với đoạn thẳng hay mặt phẳng của đa giác, s được một hình bình hành và một hình lăng trụ

G Polya cho rằng: “Tương tự là một loại giống nhau Những vật giống nhau phù hợp với nhau theo một quan hệ nào đó trong khi các vật tương tự phù hợp nhau theo những quan hệ giữa các phần tử tương ứng” [19]

Ví dụ 1.4 Hình chữ nhật tương tự với hình hộp chữ nhật Thật vậy, những quan hệ

giữa các cạnh của hình chữ nhật giống như những quan hệ giữa các mặt của hình hộp chữ nhật: mỗi cạnh của hình hộp chữ nhật chỉ song song và bằng cạnh đối diện, vuông góc với các cạnh còn lại Ta quy ước gọi các cạnh của hình chữ nhật và các mặt của hình hộp chữ nhật là các phần tử biên thì khi đó ta có thể kết hợp hai điều xác nhận trên làm một, áp dụng cho cả hai hình: mỗi một phần tử biên chỉ song song với một phần tử biên khác và bằng phần tử đó, và vuông góc với các phần tử biên còn lại [19]

Trong logic, suy luận tương tự, hay còn gọi là loại suy, là một dạng suy luận được sử dụng rất phổ biến cả trong khoa học và trong đời sống Đây là dạng suy

luận trong đó kết luận được rút ra nhờ sự giống nhau của các đối tượng [9]

Danh từ tương tự có nguồn gốc từ một từ toán học của Hy Lạp Từ này có nghĩa là sự bằng nhau của hai tỉ số Ví dụ hệ hai số 3 và 4 tương tự với hệ hai số 9

và 12 Trong logic, tương tự là suy luận trong đó kết luận về sự giống nhau của các dấu hiệu khác của các đối tượng Có hai loại tương tự: tương tự theo thuộc tính và tương tự theo quan hệ Gọi là tương tự theo thuộc tính khi dấu hiệu được rút ra trong kết luận biểu thị thuộc tính, gọi là tương tự theo quan hệ khi dấu hiệu được rút

ra trong kết luận biểu thị quan hệ [7]

1.1.1.2 Cấu trúc của suy luận tương tự

Suy luận tương tự có cấu trúc sau:

lý thuyết, khái niệm, chúng cũng có thể là các mối quan hệ, [9]

1.1.1.3 Tính chất của suy luận tương tự

a) ết luận chứa thông tin mới so với các tiền đề

hác với suy luận diễn dịch, kết luận của suy luận tương tự có thể chưa thông tin vốn không có s n trong các tiền đề của nó Trong cấu trúc trên đây chúng

ta thấy rõ rằng các tiền đề không chứa thông tin về tính chất q của đối tượng b, thế nhưng kết luận lại chứa thông tin đó

b) ết luận không đảm bảo chắc chắn đúng khi các tiền đề đều đúng

Vì kết luận của suy luận tương tự chứa thông tin mới hơn so với các tiền đề, nên nó không đảm bảo chắc chắn đúng ngay cả khi các tiền đề đều đúng, cho dù suy luận được thực hiện theo đúng cấu trúc

c) Tính thuyết phục cao

Mặc dù kết luận của nó không phải lúc nào cũng đúng, nhưng suy luận tương

tự có tính thuyết phục rất cao hi sử dụng diễn dịch để rút ra một kết luận nào đó thì nói chung chúng ta vẫn nằm trong khuôn khổ lý luận, vốn có tính trừu tượng cao, và vì thế khó nắm bắt, khó hiểu với nhiều người, hệ quả là tính thuyết phục bị hạn chế Trong khi đó, suy luận tương tự dựa vào sự giống nhau giữa đối tượng đang được khảo sát với đối tượng khác, thường là đối tượng đã được biết rõ, biết rất

cụ thể, nên dễ hiểu, dễ nắm bắt đối với nhiều người, và vì thế dễ thuyết phục họ Tính thuyết phục cao cũng chính là một trong những lý do làm nên sự phổ biến của suy luận tương tự

d) Tính gợi ý cao

Suy luận tương tự có tính chất rất đáng quý đó là tính gợi ý, gợi mở rất cao

Sự giống nhau giữa các đối tượng gợi cho người ta liên tưởng và đi đến những khám phá mới

1.1.1.4 Một số biện pháp nâng cao độ tin cậy của suy luận tương tự

a) Tăng thêm số lượng các tính chất giống nhau dùng làm cơ sở của kết luận Trong cấu trúc của suy luận tương tự trên đây, số n càng lớn thì suy luận càng đáng tin cậy

b) Đảm bảo mối liên hệ giữa những sự giống nhau dùng làm cơ sở của suy luận với tính chất được nói đến trong kết luận

1.1.1.5 Vai trò của suy luận tương tự

Ta không nên coi thường mọi hình thức tương tự nào, mỗi một sự tương tự

đều có thể đóng một vai trò nhất định trong việc tìm ra lời giải các bài toán [19]

Mặc dù không đảm bảo kết luận chắc chắn đúng ngay cả khi các tiền đề đều đúng và suy luận tuân thủ đúng quy tắc logic, nhưng suy luận tương tự vẫn có một vai trò rất to lớn trong đời sống hàng ngày và trong khoa học Loại suy luận này có rất nhiều ứng dụng

Trong đời sống và trong giảng dạy người ta thường dựa trên suy luận này để giải thích, giảng giải, thuyết phục người khác

Đối với khoa học, ứng dụng lớn nhất của suy luận tương tự là phương pháp

mô hình hóa Trong phương pháp này người ta không nghiên cứu trực tiếp đối tượng, mà nghiên cứu mô hình của nó Mô hình của đối tượng có thể thuộc hai loại khác nhau là mô hình vật lí (thực thể) và mô hình tư tưởng (lý thuyết) Mô hình vật

lý của đối tượng là một vật thể vật lý giống với đối tượng về phương diện mà nhà nghiên cứu quan tâm Mô hình lý thuyết của đối tượng thông thường là những cấu trúc lý thuyết mô tả đối tượng Vì mô hình giống với đối tượng mà nhà nghiên cứu quan tâm, nên việc nghiên cứu trên mô hình giúp rút ra kết luận- dựa trên suy luận

tương tự - cho đối tượng trên thực tế [9]

Suy luận tương tự có ứng dụng rộng rãi trong đời sống cũng như trong khoa học Suy luận tương tự là bước đầu hình thành các giả thuyết khoa học Nhưng cũng

giống như giả thuyết, kết luận của suy luận tương tự không có tính tất yếu, nó có thể đúng, cũng có thể sai Chính vì vậy, suy luận tương tự không chứng minh được điều

gì cả, nó chỉ giúp ta mở rộng sự hiểu biết, để xây dựng các giả thuyết; các kết luận của nó phải nhờ đến thực tiễn mới khẳng định được đúng hay sai [21]

1.1.2 Các hoạt động trí tuệ có liên quan đến tương tự

1.1.2.1 Phân tích và tổng hợp

Theo quan điểm tâm lí học, phân tích là sự phân chia bằng trí óc đối tượng nhận thức thành các bộ phận, các thành phần, thuộc tính, quan hệ khác nhau để nhận thức nó sâu sắc hơn Tổng hợp là sự hợp nhất bằng trí óc các bộ phận, thành phần, thuộc tính , quan hệ của đối tượng nhận thức thành một chỉnh thể Phân tích

và tổng hợp thống nhất với nhau: Sự phân tích được tiến hành theo phương hướng của sự tổng hợp Còn tổng hợp được thực hiện trên kết quả của sự phân tích - hẳng định - Chính xác hóa - Phủ định - Giải quyết - Vấn đề - Hành động - Tư duy mới

Phân tích, tổng hợp là hai thao tác quan trọng của quá trình tư duy nói riêng, quá trình nhận thức nói chung Trong các cách phân loại, phân tích, tổng hợp vừa được hiểu là mức độ, cấp bậc của tư duy, vừa là kiểu loại của tư duy Trong thực tế người ta thường nhắc tới hai kiểu loại tư duy: tư duy phân tích (hay còn gọi là tư duy phân kì), tư duy tổng hợp (hay còn được gọi là tư duy hội tụ)

Theo Bloom, phân tích là chia nhỏ thông tin và khái niệm thành những phần nhỏ hơn để hiểu đầy đủ hơn nderson và đồng nghiệp phát biểu lại như sau: Phân tích là chia khái niệm thành những phần nhỏ và chỉ ra mối liên hệ của chúng với tổng thể Còn với Marzano, phân tích là mức độ phức tạp hơn “Hiểu” đơn thuần, bao gồm năm quá trình nhận thức, đó là kết nối, phân loại, phân tích lỗi sai, khái quát hóa và cụ thể hóa Bằng việc thực hiện những quá trình này, người học có thể sử dụng những điều

mà họ đã được học để tạo ra những hiểu biết mới và tìm ra những cách

áp dụng kiến thức đã học vào những tình huống mới [22]

Tựu chung, phân tích là chia thông tin, khái niệm thành những phần nhỏ và

chỉ ra mối liên hệ của chúng với tổng thể Nói một cách hoa mĩ, phân tích là đào sâu suy nghĩ để hiểu biết Đặc trưng của phân tích là thao tác chia nhỏ các thông tin, khái niệm để hiểu kĩ hơn

“Phân tích là chia một chỉnh thể ra thành nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận” [16] và “Tổng hợp là nhìn bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, cố mô tả được bức tranh toàn cảnh của cả chỉnh thể, các mối quan hệ

giữa các bộ phận của chỉnh thể và của chỉnh thể với môi trường xung quanh” [16]

Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất Chúng là hai hoạt động trí tuệ cơ bản của quá trình tư duy Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảng phân tích và tổng hợp [5]

Như vậy phân tích và tổng hợp là cơ sở, nền tảng của các hoạt động trí tuệ Nếu gặp khó khăn khi tiến hành một hoạt động trí tuệ nào đó ta cần quay lại cơ sở của hoạt động là phân tích và tổng hợp Phân tích và tổng hợp liên quan chặt ch với nhau trong quá trình tư duy và hình thành tri thức

Nguyễn Cảnh Toàn đã có những nhận định như sau [16]:

Phân tích tạo điều kiện cho tổng hợp vì nếu không đi sâu vào nghiên cứu tất cả các bộ phận của chỉnh thể thì khó lòng mà mô tả được chính xác bức tranh toàn cảnh của chỉnh thể Tổng hợp lại chỉ ra phương hướng cho sự phân tích tiếp theo, giống như người đi rừng, nếu chỉ mải mê với từng cây trong rừng mà không thỉnh thoảng xác định lại phương hướng thì s lạc vào trong rừng mà không có lối ra hay dù có ra được thì việc tìm hiểu sâu về cây cối trong rừng s khó toàn diện, không bao quát hết được cả khu rừng

Như vậy hoạt động trí tuệ phân tích và tổng hợp là hoạt động trí tuệ quan trọng nhất trong các hoạt động trí tuệ, nó là nền tảng, là cơ sở cho mọi hoạt động trí tuệ khác Chính vì vậy giáo viên cần coi trọng rèn luyện các hoạt động trí tuệ này Trong khi giảng dạy giáo viên cần đặt các câu hỏi gợi mở, tạo ra các tình huống có dụng ý sư phạm, chú ý ra hệ thống bài tập để học sinh có

nhiều cơ hội được rèn luyện các hoạt động trí tuệ, phát huy tính độc lập sáng

tạo cho các em

1.1.2.2 Khái quát hóa và đặc biệt hóa

a) Khái quát hoá

Trên phương diện tâm lí, khái quát hoá là sự hợp nhất bằng trí óc nhiều đối tượng khác nhau nhưng có chung những thuộc tính, liên hệ quan hệ nhất định thành một nhóm, một loại hái quát hoá bao giờ cũng mang lại một cái chung gì

Hay chúng ta khái quát hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu hệ thức lượng trong tứ diện vuông sang việc nghiên cứu những hệ thức lượng trong tứ diện thường.Chúng ta khái quát hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu hình chóp tam giác sang nghiên cứu hình chóp n giác

Có hai con đường khái quát hoá: con đường thứ nhất trên cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ; con đường thứ hai không dựa trên sự so sánh mà dựa

trên sự phân tích chỉ một hiện tượng trong hàng loạt hiện tượng giống nhau

Tóm lại, khái quát hoá là thao tác tư duy nhằm phát hiện những qui luật phổ biến của một lớp các đối tượng hoặc hiện tượng từ một hoặc một số các trường hợp riêng lẻ Với ý nghĩa đó khái quát hoá thuộc về các phép suy luận có lý nên các kết luận rút ra từ khái quát hoá thường mang tính giả thuyết dự đoán Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp kết luận từ khái quát hoá có thể thu được nhờ qui nạp hoàn toàn

b) Đặc biệt hoá

Polya cho rằng: “Đặc biệt hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tuượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã

cho” [18]

Ví dụ như chúng ta đặc biệt hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu đa giác sang nghiên cứu những đa giác đều, và tiếp tục đặc biệt hóa khi chuyển từ đa giác đều n cạnh sang tam giác đều

Hay chẳng hạn chúng ta đặc biệt hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu tứ diện bất kỳ sang tứ diện vuông, tứ diện đều hoặc chuyển từ việc nghiên cứu hình đa diện bất kỳ sang tứ diện

Như vậy việc đặc biệt hoá nói trên theo hai hướng, hướng thứ nhất chuyển từ

tứ diện sang tứ diện với yêu cầu tứ diện có ba góc phẳng ở một đỉnh vuông, tất cả các cạnh đều bằng nhau Hướng thứ hai vẫn là hình đa diện nhưng từ đa diện bất kỳ sang đa diện đơn giản nhất đó là tứ diện

Đặc biệt hoá có thể hiểu là quá trình minh hoạ hoặc giải thích những khái niệm, định lý tổng quát bằng những trường hợp riêng lẻ cụ thể Đặc biệt hoá thường được sử dụng trong việc trình bày các khái niệm, chứng minh các định lý, bài tập Trong các bài toán qu tích, cực trị hình học thường được sử dụng trong mò mẫm

dự đoán trên cơ sở đó hình thành phương pháp chứng minh cho toàn bộ bài toán

Từ bài toán tổng quát ta đặc biệt hoá (cho thêm dữ kiện) s xây dựng được

vô số các bài toán dựa trên cơ sở là bài toán tổng quát ban đầu, từ đó giúp học sinh hiểu sâu sắc kiến thức hơn, biết nhìn nhận một vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau, qua đó rèn luyện khả năng áp dụng linh hoạt các qui luật, lý thuyết tổng quát vào từng trường hợp cụ thể trong đời sống sinh hoạt hàng ngày

Như vậy khái quát hoá và đặc biệt hoá là các hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại bổ sung cho nhau, từ một hoặc một số trường hợp riêng lẻ sau khi học sinh khái quát hoá để đi đến một trường hợp tổng quát, có thể yêu cầu họ đặc biệt hoá trường hợp tổng quát sao cho lại nhận được các trường hợp riêng lẻ, cứ như vậy kiến thức của học sinh được mở rộng, đào sâu và học sinh lĩnh hội kiến thức ở

một tầm cao hơn, có hệ thống và sâu sắc hơn

1.1.2.3 Dự đoán, so sánh

Trên phương diện tâm lí học, so sánh là sự xác định bằng trí óc sự giống hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau

giữa các sự vật, hiện tượng [24]

Muốn so sánh hai sự vật (hay hai hiện tượng), ta phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu, các thuộc tính đó với nhau, rồi tổng hợp lại xem hai sự vật đó có gì giống nhau hay khác nhau [8]

Trong khi giải các bài tập hình học không gian, việc so sánh, dự đoán giúp chúng ta khai thác triệt để giả thiết của bài toán, từ đó đề xuất phương hướng giải

bài toán

Các hoạt động dự đoán, so sánh không những giúp chúng ta định hướng cách giải bài toán mà nó còn kết hợp với tương tự hoá và các hoạt động trí tuệ khác đề

xuất các bài toán tương tự, bài toán khái quát và đường lối giải các bài toán đó

1.1.2.4 Trừu tượng hóa, cụ thể hóa

Trừu tượng hóa là sự trừu xuất (lãng quên) những dấu hiệu không bản chất

và tách riêng những đặc điểm cơ bản của một nhóm đối tượng và hiện tượng

Sức mạnh của trí tuệ được đánh giá ở năng lực trừu tượng hóa Trừu tượng hóa cho phép ta đi sâu vào bản chất của đối tượng, hiện tượng cần nhận thức Vì vậy, trong dạy học toán, phải luôn chú ý phát triển năng lực trừu tượng hóa cho học

sinh [8]

Trừu tượng hoá là quá trình con người dùng trí óc gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những mối liên hệ và quan hệ chủ yếu không cần thiết mà chỉ giữ lại những yếu tố nào cần thiết, cơ bản để tư duy

Trong lĩnh vực “hình” thì trừu tượng đã vượt qua các cấp như sau [16]: a) Từ những hình ảnh cụ thể như “hạt bụi”, “sợi dây mảnh căng thẳng”,

“mặt nước đứng yên” tiến lên các khái niệm “điểm”, “đường thẳng”,

“mặt phẳng” rồi đến các khái niệm dẫn xuất từ đó mà ra với những quan

hệ như “đi qua”, “nằm trên”, “ở giữa”, “bằng nhau”

b) Từ chỗ các khái niệm nói ở phần a) được v ra trên giấy hay dựng lên bằng một vật liệu nào đó trong không gian với những lập luận logic còn dựa không ít vào trực giác để nghiên cứu, tiến lên đưa tọa độ vào để dùng đại số và giải tích mà nghiên cứu, nhờ vậy mà đã tinh vi đi sâu vào

các hình đến mức vượt qua mọi sự nhận thức trực giác như khái niệm

“mật tiếp”, “thái tiếp” giữa hai đường cong và mở rộng trong không gian vật lí ba chiều lên thành những không gian nhiều chiều

c) Từ chỗ “điểm”, “đường thẳng”, “mặt phẳng” với các quan hệ giữa chúng còn cụ thể hay ít ra cũng gắn với các tọa độ, phương trình của chúng, tiến lên chỗ các khái niệm đó và các quan hệ giữa chúng muốn

hiểu là gì cũng được, miễn sao một số tiên đề được thỏa mãn

Như vậy trừu tượng hoá là hoạt động trí tuệ mà nhờ nó con người lĩnh hội

kiến thức ở mức cao hơn, phổ quát hơn không những trong toán học mà trong các lĩnh vực khác

Một vấn đề đặt ra là trong dạy học toán làm thế nào để học sinh hiểu được các khái niệm, các vấn đề trừu tượng, từ đó rèn khả năng trừu tượng hoá cho các em

Bản thân các tri thức khoa học nói chung và tri thức toán học nói riêng là một sự thống nhất giữa cái cụ thể và cái trừu tượng Muốn cho việc dạy học đạt hiệu quả tốt thì cần khuyến khích và tạo điều kiện cho học sinh thường xuyên tiến hành hai quá trình thuận nghịch nhưng liên hệ mật thiết với nhau, đó là trừu tượng hoá

và cụ thể hoá [5]

Khi học sinh gặp khó khăn trong việc lĩnh hội cái trừu tượng, giáo viên phải

cụ thể hoá, sử dụng các phương tiện trực quan để các em dễ ràng hình dung và tiếp thu kiến thức Tuy vậy

hi cụ thể hoá cần hướng về cái trừu tượng, có như vậy mới gạt bỏ được những dấu hiệu không bản chất để nắm cái bản chất, mới gạt bỏ được những cái cá biệt để nắm qui luật Trực quan là chỗ dựa để dự đoán, khám phá chứ không phải là phương tiện để chứng minh những mệnh đề toán học [5]

Ví dụ 1.5 hái niệm “mặt phẳng” được mô tả như mặt bàn, tấm gương phẳng

Nhưng phải cho học sinh thấy bản chất của mặt phẳng là tập hợp điểm và trải rộng

vô tận

Trừu tượng hoá là tách những đặc điểm bản chất ra khỏi những đặc điểm không bản chất Trừu tượng hoá là điều kiện cần của khái quát hoá Như vậy, để rèn luyện tương tự hoá với trừu tượng hoá ta có thể yêu cầu trên cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ, thực hiện tương tự hoá, nhưng trong những trường hợp tương

tự đó có những đặc điểm không bản chất, học sinh phải tách được những đặc điểm bản chất ra khỏi những đặc điểm không bản chất, nghĩa là đã thực hiện trừu tượng hoá

Như vậy để rèn luyện hoạt động trừu tượng hoá ta tìm cách cố ý bố trí những trường hợp riêng lẻ mang một số đặc điểm chung nổi bật nhưng không cần thiết cho việc dự đoán qui luật tổng quát từ đó học sinh phải tách được đặc điểm bản chất ra khỏi các đặc diểm chung đó Hoạt động này cần được rèn luyện thường xuyên trong quá trình học tập, tuy vậy, tuỳ theo trình độ của học sinh mà giáo viên yêu cầu trừu

tượng hoá ở mức nào và phải kết hợp với sự minh hoạ của cụ thể hoá

1.1.3 Mối quan hệ giữa tương tự và các hoạt động trí tuệ khác

hái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự thường tác động với nhau trong việc giải quyết những vấn đề toán học Có thể lấy định lý Pytago, một định lý nổi tiếng của toán học sơ cấp làm thí dụ

Ví dụ 1.6 Xét tam giác vuông có cạnh a, b, c; a là cạnh huyền Chúng ta muốn

chứng minh rằng 2 2 2

Mục đích ấy gợi ý cho ta dựng những hình vuông trên ba cạnh của tam giác

Và như vậy chúng ta tiến tới làm quen với hình I của Hình 1.1

Các phát minh, ngay cả những phát minh rất đơn giản; cũng đòi hỏi phải nhận thức được một cái gì đó, hiểu rõ được một mối liên hệ nào đó Chúng ta có thể tìm ra cách chứng minh nếu chúng ta nhận thấy sự tương tự giữa hình I đã quen thuộc của hình v và hình II chưa chắc đã kém quen thuộc hơn: hình II cũng chính

là tam giác vuông trong hình I được tách thành hai bởi đường cao ứng với cạnh huyền

Hình 1.1 Mối liên hệ giữa hái quát hóa, Đặc biệt hóa và Tương tự [18]

Có thể làm sáng tỏ sự tương tự giữa hình I và II bằng cách khái quát hóa đồng thời các hình I và II, thể hiện ở hình III Ở đấy ta vẫn có tam giác vuông đã cho và trên ba cạnh của nó ta dựng ba đa giác tùy ý đồng dạng với nhau

Diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền ở hình I bằng 2

Cần chú ý rằng trường hợp tổng quát này tương đương với trường hợp riêng xuất phát Thật vậy, từ phương trình ( ) có thể suy ra (B) và ngược lại, bằng cách nhân hay chia với  ( khác không vì là tỉ số hai diện tích)

Định lý tổng quát, thể hiện ở (B) không những chỉ tương đương với trường

II

hợp riêng ( ) mà tương đương với mọi trường hợp riêng khác Do đó nếu một trường hợp riêng nào đó đã được chứng minh, thì trường hợp tổng quát cũng được chứng minh

Vậy chỉ cần tìm một trường hợp riêng nào đó thuận lợi nhất cho việc chứng minh Có thể chọn trường hợp của hình II Thật vậy, tam giác vuông dựng trên cạnh huyền của nó rõ ràng đồng dạng với hai tam giác vuông kia, dựng trên hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đã cho Tất nhiên là diện tích của cả tam giác bằng tổng các diện tích của hai phần của nó Như vậy là định lý Pytago đã được chứng minh

Ví dụ 1.6 chỉ rõ rằng từ một trường hợp riêng (trường hợp của hình I), bằng khái quát hóa có thể tiến lên một tình huống tổng quát hơn (hình III) và từ đó, bằng đặc biệt hóa, ta lại trở về một trường hợp tương tự (như hình II) Thí dụ đó còn chứng tỏ rằng một trường hợp tổng quát có thể tương tự về mặt lôgic với một trường hợp đặc biệt Ví dụ 1.6 cũng chứng tỏ một cách đơn giản nhưng rõ ràng rằng các phép khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự kết hợp một cách tự nhiên trong khi cố gắng tìm kiếm lời giải của bài toán [18]

1.2 Các mô hình dạy học có sử dụng phép tương tự

hi dạy học có sử dụng tương tự, cần chú ý đến ba thành phần [7]:

• iến thức đích (target): kiến thức mà học sinh cần truyền thụ

• iến thức nguồn (analog): kiến thức được dùng làm tương tự

• Các dấu hiệu tương ứng giữa kiến thức nguồn và đích

Mục tiêu của việc sử dụng tương tự ở đây là chuyển những tư tưởng từ những kiến thức nguồn (cái quen thuộc) thành kiến thức đích (cái không quen thuộc) Nếu chúng có chung một số đặc điểm (hay tính chất), thì một điều tương tự có thể được rút ra Như vậy tư tưởng chính của phép tương tự có thể được tóm tắt như Hình 1.2

Hình 1.2 Các thành phần cơ bản của quá trình dạy học tương tự [7]

Để biểu thị quá trình so sánh các đặc điểm trong khi dùng phép tương tự, ta iến thức nguồn Các dấu hiệu tương ứng iến thức đích

1 Giới thiệu kiến thức cần dạy (kiến thức đích)

2 hơi dậy ký ức của học sinh về tình huống tương tự

3 Nhận biết các đặc điểm quan trọng kiến thức dùng làm tương tự (kiến thức nguồn)

4 Thiết lập sự tương ứng giữa kiến thức nguồn và kiến thức đích

5 Chỉ ra những kết luận không đúng

6 Rút ra kết luận về kiến thức đích

1.2.3 Mô hình FAR

Trước và sau khi dạy học một tương tự, giáo viên cần phân tích tương tự đó

để cho việc dạy học hiệu quả hơn Mô hình FAR (the Focus- Action- Reflection) hướng dẫn giáo viên thực hiện việc phân tích khi dạy học một tương tự, xem Hình 1.4

1.3 Dạy học khám phá với phép tương tự

1.3.1 ng tương tự đ y dựng gi thuyết khoa học

Trong dạy học môn toán, ta có thể sử dụng phép tương tự theo thuộc tính hay theo quan hệ giữa các đối tượng mà đưa ra giả thuyết, sau đó tiến hành chứng minh

TƯƠNG TỰ

So sánh

Đặc điểm 1,2,3, Đặc điểm 1,2,3,

hay bác bỏ (xem Hình 1.5 và Hình 1.6)

Tâm điểm (Focus):

hái niệm: hái niệm cần học có khó, không quen thuộc hay trừu tượng

Học sinh: Những ý tưởng nào mà học sinh đã biết về khái niệm

Nguồn: Có điều gì mà học sinh quen thuộc

ết luận: Nguồn có rõ ràng và hữu ích, hay gây nhầm lẫn

Cải tiến: Xét lại tâm điểm trên cơ sở những kết luận

Hình 1.4 Mô hình FAR

(Treagust, Venville, Stocklmayer & Thiele, 1993) (dẫn theo [7])

Hình 1.5 Mô hình xây dựng giả thuyết bằng tương tự theo thuộc tính [7]

Hình 1.6 Mô hình xây dựng giả thuyết bằng tương tự theo quan hệ [7]

Ví dụ 1.7 Sử dụng tương tự dạy Quy tắc hình hộp và tính chất trọng tâm của

Nếu G là trọng tâm của tam giác

1.3.2 ng tương tự khám phá nội dung học t p

Trong môn toán ở nhà trường phổ thông có nhiều chủ đề có bố cục nội dung nghiên cứu giống nhau Vì vậy, khi dạy học chủ đề sau có thể tổ chức cho học sinh

tự đề ra các vấn đề nghiên cứu nhờ sử dụng tương tự

Ví dụ 1.8 Trước khi học bài Mặt cầu, học sinh đã học xong bài Đường tròn ở lớp 10

Như thế, giáo viên có thể dùng tương tự để học sinh tự đặt ra vấn đề nghiên cứu

Giáo viên: Các em đã biết gì về đường tròn?

Học sinh: Định nghĩa, phương trình đường tròn, tiếp tuyến với đường tròn, điều kiện tiếp xúc

Giáo viên: Tương tự với đường tròn, các em hãy đưa ra những vấn đề mà chúng ta s nghiên cứu trong bài Mặt cầu

Học sinh: Định nghĩa, phương trình mặt cầu, mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu, điều kiện tiếp xúc

1.4 Các c ng dụng khác của phép tương tự

1.4.1 ng tương tự trong y dựng ngh a c a tri th c

Trong quá trình dạy học, để giúp học sinh hiểu được những khái niệm khoa học, giáo viên thường sử dụng tương tự Chẳng hạn, con mắt giống như một máy quay phim, trái tim giống như một máy bơm, dòng điện giống như một dòng nước Trong toán học, một vô cùng lớn trừ cho một

số hữu hạn là một vô cùng lớn giống như ta lấy một số hữu hạn thùng nước biển ra khỏi biển không làm thay đổi mực nước biển; một dãy số có giới hạn là a thì các số hạng có khuynh hướng tập trung quanh số a giống như trên một đoạn đường quy định xe ô tô chỉ được chạy với vận tốc giới hạn là 35 km/h thì tốc độ của các xe ô tô đến đoạn đường này hầu hết giữ tốc độ 35 km/h; đồ thị của hàm số gián đoạn tại một điểm bị đứt khoảng tại điểm đó giống như trên một tuyến đường lưu thông có một cây cầu bị gãy [7]

1.4.2 ng tương tự đ dự đoán và ng n ng a sai l m c a học sinh

Trong học toán, học sinh thường mắc sai lầm khi sử dụng tương tự vì hai đối tượng dù tương tự nhưng vẫn có những dấu hiệu không giống nhau Chẳng hạn, trong mặt phẳng hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau nhưng trong hình học không gian, mệnh đề trên không còn đúng nữa Vì vậy, trong quá trình dạy học toán, giáo viên cần đặc biệt lưu ý ngăn ngừa những sai lầm của

học sinh khi dạy học những chủ đề tương tự nhau trong chương trình [7]

1.5 Hệ thống kiến th c, k n ng v Quan hệ vu ng g c trong hình học kh ng gian lớp 11

Sách giáo viên Hình học 11 nêu rõ mục tiêu, nội dung và yêu cầu của

chương trình như sau:

1.5.1 Mục tiêu c a chương

• Cho học sinh hiểu được khái niệm về vectơ trong không gian và các phép toán cộng vectơ, nhân vectơ với một số, sự đồng phẳng của ba vectơ, tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

• Nắm được định nghĩa vuông góc của đường thẳng với đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng, mặt phẳng với mặt phẳng và sử dụng điều kiện vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng vào việc giải toán

• Nắm được khái niệm về cách tính góc, khoảng cách giữa một số đối tượng trong hình học không gian

1.5.2 Nội dung c a chương

• Các khái niệm có liên quan đến vectơ trong không gian và các phép toán về vectơ trong không gian, góc của hai vectơ trong không gian và góc của hai đường thẳng trong không gian

• Các định nghĩa có liên quan đến quan hệ vuông góc trong không gian như:

• Các định lí và tính chất trong chương này gồm:

▫ Về điều kiện đồng phẳng của ba vectơ trong không gian;

▫ Về điều kiện cần và đủ để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng;

▫ Về sự xác định mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước;

▫ Về ba đường vuông góc;

▫ Về điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau;

▫ Về sự xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

1.5.3 Yêu c u c a chương

• Nắm được định nghĩa vectơ trong không gian, khái niệm cùng phương và cùng hướng của hai vectơ, độ dài của vectơ, khái niệm bằng nhau của hai vectơ và định nghĩa vectơ - không, thông qua các hình cụ thể như hình chóp, hình hộp chữ nhật

• Biết thực hiện phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân vectơ với một số thông qua các bài toán cụ thể, biết chứng minh các đẳng thức về vectơ

• Hiểu khái niệm ba vectơ đồng phẳng, điều kiện đồng phẳng của ba vectơ, biết phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng, biết chứng minh ba vectơ cho trước nào đó đồng phẳng

• Biết tính tích vô hướng của hai vectơ và biết sử dụng tích vô hướng để giải

các bài tập đơn giản như tính độ dài của một đoạn thẳng, tính góc giữa hai vectơ, tính góc giữa hai đường thẳng và góc giữa hai mặt phẳng

• hông đi sâu vào chứng minh định lí, chỉ cần biết vận dụng các định lí để giải các bài toán về:

▫ Hai đường thẳng vuông góc với nhau trong không gian;

▫ Giữa đường thẳng và mặt phẳng song song;

▫ Giữa hai mặt phẳng song song;

▫ Giữa hai đường thẳng chéo nhau và xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau đó [4]

Ngoài ra, trong chương trình giáo dục phổ thông còn đưa ra chuẩn kiến thức,

kĩ năng nhằm tạo ra sự thống nhất việc dạy, học, đánh giá, làm hạn chế tình trạng quá tải, đưa thêm nhiều nội dung nặng nề, quá cao Chuẩn kiến thức, kĩ năng được chi tiết, tường minh bằng các yêu cầu cụ thể, rõ ràng về kiến thức, kĩ năng Nó có tính tối thiểu, nhằm đảm bảo mọi học sinh cần phải và có thể đạt được những yêu cầu cụ thể này (xem Bảng 1.2)

Bảng 1.2 Chuẩn kiến thức, kĩ năng của chương [14]

Vectơ trong kh ng gian

Biết được:

- Quy tắc hình hộp để cộng vectơ trong

không gian

- hái niệm và điều kiện đồng phẳng

của ba vec tơ trong không gian

- Xác định được góc giữa hai vectơ trong không gian

- Vận dụng được: phép cộng, trừ; nhân vectơ với một số, tích vô hướng của hai vectơ; sự bằng nhau của hai vectơ trong không gian

- Biết cách xét sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ trong không gian

- hái niệm góc giữa hai đường thẳng

- hái niệm và điều kiện hai đường

thẳng vuông góc với nhau

- Xác định được vec tơ chỉ phương của đường thẳng; góc giữa hai đường thẳng

- Biết chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau

- hái niệm phép chiếu vuông góc

- hái niệm mặt phẳng trung trực của

một đoạn thẳng

- Biết cách chứng minh: một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng

- Xác định được vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng

- Xác định được hình chiếu vuông góc của một điểm, một đường thẳng, một tam giác

- Bước đầu vận dụng định lí ba đường vuông góc

- Xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

- Biết xét mối liên hệ giữa tính song song

và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

Hai mặt phẳng vu ng g c

Biết được:

- hái niệm góc giữa hai mặt phẳng

- hái niệm và điều kiện hai mặt phẳng

mặt phẳng song song, khoảng cách giữa

hai mặt phẳng song song

- hái niệm đường vuông góc chung

của hai đường thẳng chéo nhau

- hái niệm khoảng cách giữa hai

đường thẳng chéo nhau

Xác định được:

- hoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

- Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

- hoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Theo [13] đã đưa ra nhận định để rèn luyện các năng lực tư duy, phát triển trí tuệ cho học sinh:

Ngoài việc nhìn nhận các vấn đề theo nhiều góc độ khác nhau, để rèn luyện tư duy cho học sinh, giáo viên cần chú trọng quan tâm bồi dưỡng cho học sinh lập luận chứng minh có căn cứ, chú trọng các suy luận

lôgic, chứng minh bằng phương pháp phản chứng, quan tâm rèn luyện cho học sinh các trường hợp riêng hi lập luận chứng minh các định lí hay giải bài tập toán, chú trọng bồi dưỡng các thao tác tư duy phân tích,

tổng hợp, so sánh, tương tự

1.6 Một số kh kh n, sai lầm khi dạy học hình học kh ng gian

Theo [13], khi dạy học Hình học không gian bộc lộ những khó khăn, sai lầm chung thể hiện qua hai mâu thuẫn biện chứng thuộc phạm trù phương pháp luận nhận thức sau đây:

Mâu thuẫn giữa một bên là các đối tượng hình học trừu tượng được trừu xuất, lí tưởng hóa tách khỏi hiện thực khách quan (đối tượng nghiên cứu của toán học) và một bên là khi dạy học lại mô tả chúng bằng các hình ảnh hiện thực, hình biểu diễn

Các chứng minh trong hình học bằng con đường lập luận lôgic, chứng minh suy diễn theo công thức hằng đúng sau: A1A2  An B; trong đó A hoặc là các tiên đề, các định lí, các mệnh đề đã chứng minh iđúng đắn trước đó; B là mệnh đề cần chứng minh, trong khi đó chứng minh lại dựa vào các hình v trực quan

Ngoài hai khó khăn cơ bản nêu trên, học sinh còn bộc lộ khó khăn, sai lầm do sự ngắt quãng giữa hình học không gian và hình học phẳng, dẫn tới ngộ nhận nhiều chi tiết, quan hệ không gian sang các chi tiết, quan hệ trong mặt phẳng hó khăn trên gây nên do năng lực tưởng tượng không gian còn yếu

hó khăn trong việc định hướng tìm thuật giải, cách giải đối với các bài toán không gian

Do đó để phát huy các thuận lợi, khắc phục khó khăn giáo viên cần phải:

• Giúp học sinh bước đầu hiểu bản chất và mối quan hệ giữa các đối tượng của hình học không gian Dùng các mô hình trực quan để dần dần rèn luyện trí tưởng tượng trong không gian cho học sinh, từ đó học sinh hiểu được bản chất các mối quan hệ giữa các đối tượng của hình học không gian, hiểu và v được hình biểu

diễn của chúng

• hai thác, vận dụng tương tự hoá và các hoạt động trí tuệ khác trong giảng dạy lý thuyết cũng như trong giải bài tập để học sinh dễ tiếp thu kiến thức, từ đó củng cố, mở rộng đào sâu kiến thức

• Rèn luyện khả năng tư duy lôgic kết hợp với hình v để giải các bài toán hình học, rèn luyện khả năng v hình xét các trường hợp, tránh bỏ sót các trường hợp khi giải toán

• Xây dựng các qui trình, thuật toán từ đó rèn k năng giải các dạng toán

trong không gian

1.7 Thuận l i đ sử dụng phép tương tự dạy hình học kh ng gian

Đối với học sinh trung học phổ thông, kiến thức hình học phẳng ở trung học

cơ sở là rất quan trọng bởi đó là cơ sở, nền tảng để học hình học không gian Chính

vì vậy, giáo viên khi giảng dạy hình học không gian có rất nhiều thuận lợi để khai

thác và vận dụng tương tự hoá

• Ta có tính chất thừa nhận “Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng”[11] Chính vì vậy, rất nhiều các bài toán hình học không gian dựa trên cơ sở của các bài toán trong hình học phẳng hoặc là sự kết hợp giữa kiến thức của hình học phẳng và hình học không gian

• Giữa hình học phẳng và hình học không gian có rất nhiều yếu tố tương tự, nhiều hình trong hình học phẳng và hình học không gian là tương tự, ví dụ: tam giác

và tứ diện, đường tròn và mặt cầu, tam giác vuông và tứ diện vuông,

• Các tính chất tương tự của các yếu tố trong hai hình tương tự là đa dạng và phong phú, xem Bảng 1.3

Bảng 1.3 Các yếu tố tương tự của tam giác và tứ diện

Đường cao của tam giác Đường cao của tứ diện

Trung tuyến của tam giác Trọng tuyến của tứ diện

Diện tích tam giác Thể tích tứ diện

Góc của tam giác Góc giữa mặt bên và mặt đáy của tứ diện