Chương trình tự động thiết kế mạch lọc số (digital filter design program)

Với mạch lọc IIR là phương pháp thiết kế mạch lọc tương tự sau đó ánh xạ bộ lọc này thánh bộ lọc số tương đương, và một phương pháp khác là thiết kế bộ lọc IIR theo các giải thuật tức là

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CHƯƠNG TRÌNH TỰ ĐỘNG THIẾT KẾ MẠCH LỌC SỐ

DIGITAL FILTER DESIGN PROGRAM

VÕ DUY LINH

CHUYÊN NGÀNH

MÃ SỐ NGÀNH

: KỸ THUẬT VÔ TUYẾN ĐIỆN TỬ : 2.07.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH tháng 5-2003

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học:

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Cán bộ chấm nhận xét 2:

LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Ngày tháng năm 2003 Có thể tìm hiểu luận án tại Thư viện cao học Trường Đại Học Bách Khoa, Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh

YDZ YDZ

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: Võ Duy Linh

Ngày tháng năm sinh: 01 – 03 – 1974

Chuyên ngành : KỸ THUẬT VÔ TUYẾN ĐIỆN TỬ

Khóa (Năm trúng tuyển) : 11 (2000)

Phái : Nam Nơi sinh: Bến Tre

Mã số :

I – TÊN ĐỀ TÀI

CHƯƠNG TRÌNH TỰ ĐỘNG THIẾT KẾ MẠCH LỌC SỐ

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

ƒ Nghiên cứu các phương pháp thiết kế mạch lọc số FIR và IIR

ƒ Thực hiện chương trình mô phỏng, tính toán mạch lọc trên máy tính

ƒ Sử dụng ngôn ngữ mô tả phần cứng VHDL để mô phỏng, kiểm tra trên máy tính tạo sơ đồnhằm thiết kế phần cứng

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ (Ngày bảo vệ đề cương) : 1 – 12 – 2002

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ (Ngày bảo vệ luận án tốt nghiệp): – – 2003

V HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : ThS TỐNG VĂN ON

VI HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ CHẤM NHẬN XÉT 1 :

VII HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ CHẤM NHẬN XÉT 2:

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

ThS Tống Văn On

CÁN BỘ NHẬN XÉT 1 CÁN BỘ NHẬN XÉT 2

Nội dung và đề cương luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua

TPHCM ngày tháng năm 2003 TRƯỞNG PHÒNG QLKH – SĐH

PHÓ TRƯỞNG PHÒNG

CHỦ NHIỆM NGÀNH

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện từ tháng 12-2002 đến tháng 5-2003 dưới

sự hướng dẫn trực tiếp, tận tình của Thầy Tống Văn On

Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến

y Thầy Tống Văn On đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành đề tài này

y Quý thầy cô Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM đã truyền đạt kiến thức,

chỉ dẫn giúp cho tôi có thể hoàn thành luận văn

y Các bạn học viên cao học Điện tử – Viễn thông khóa 11 đã giúp đỡ, trao

đổi kiến thức và kinh nghiệm trong quá trình học lập

y Xin cảm ơn gia đình và tất cả bạn bè đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt

thời gian qua

TP Hồ Chí Minh tháng 5 năm 2003

Võ Duy Linh

TÓM TẮT

CHƯƠNG TRÌNH TỰ ĐỘNG THIẾT KẾ MẠCH LỌC SỐ

Xử lý số cho các loại tín hiệu ngày nay được sử dụng rất nhiều trong nhiều lĩnh vực mà trước đây tín hiệu tương tự được dùng là chính và những lĩnh vực khác mà tín hiệu tương tự không áp dụng được Xử lý số tín hiệu có tầm quan trọng rất lớn trong đời sống xã hội của chúng ta hiện nay Nó thường được ứng dụng trong nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác nhau như: Điện tử, Tin học, Viễn thông, Đo lường, Điều khiển, ….Ngoài ra, việc sử dụng máy tính số làm phương tiện xử lý số tín hiệu cho phép ta nghiên cứu một cách chi tiết quá trình cũng như các hệ thống xử lý tín hiệu tương tự bằng phương pháp mô phỏng trước khi thi công hệ thống này Bằng cách này ta sẽ biết trước được các tính chất của hệ thống xử lý tín hiệu cũng như tối ưu hóa các thông số của chúng

Bản luận văn này được thực hiện nhằm khảo sát các phương pháp thiết kế Mạch lọc số hiện đại, khảo sát các loại mạch lọc FIR và IIR, Mô phỏng và tính toán kết quả bằng Matlab Không chỉ dừng lại ở đó, với kết quả thu được ta lại tiếp tục mô phỏng và kiểm tra các kết quả này bằng ngôn ngữ mô tả phần cứng (VHDL) với công cụ hỗ trợ là phần mềm Maxplus-II để có được sơ đồ phần cứng nhằm mục đích thiết kế phần cứng Với những mục tiêu như trên luận văn được chia thành ba phần chính:

Phần I là phần lý thuyết tổng quát về hai loại mạch lọc số FIR và IIR,

các phương pháp thiết kế hiện nay, ưu điểm và khuyết điểm của hai loại mạch lọc này Với mạch lọc FIR là phương pháp cửa sổ, phương pháp lấy mẫu tần số và phương pháp xấp xỉ tối ưu Với mạch lọc IIR là phương pháp thiết kế mạch lọc tương tự sau đó ánh xạ bộ lọc này thánh bộ lọc số tương đương, và một phương pháp khác là thiết kế bộ lọc IIR theo các giải thuật tức là giải một tập phương trình tuyến tính hoặc không tuyến tính

Phần II là chương trình mô phỏng và tính toán mạch lọc soÁ cho hai loại

mạch lọc FIR và IIR bằng Matlab Sau đó kết quả này được mô phỏng bằng ngôn ngữ mô tả phần cứng (VHDL) để chế tạo phần cứng Cuối cùng là các kết quả của mạch lọc cho hai loại ngôn ngữ Matlab và VHDL

Phần III là phần phụ lục hướng dẫn cách kiểm tra và chạy các chương

trình mô phỏng, tính toán mạch lọc soÁ

ABSTRACT

DIGITAL FILTER DESIGN PROGRAM

There is no general method for dealing with all types of filter because each of them have the computational results different from the others Exact solutions can be found only for certain simple filters but for all types of filter, only computational solution are possible Because there

is no general approach, we may take a lot of time to do the research or the design of fiter This is the reason why we are going to look forward and find out the general approach for all types of filter

Another reason for this problems that modern computers have led to new method for designing and testing digital filter Computer simulation techniques by use digital computers are powerful for analyzing and designing digital filters When the complex of a systems precludes the use of any analytical approach, computer simulations will be the only way to obtain necessary information for design purposes Especially, not only we can simullate digital filters by using computer but also we can design the hardware by VHDL (Very High Speed Intergrated Circuit Hardware Description Language) for these digital filters

According to this problems, there are three main parts in this paper:

• Part 1 (Theory) includes an overall introduction of the method for designing and testing digital filter We will compare two types of filter FIR and IIR Then we will give the algorithms for all digital filters

• Part 2 (Practical) includes the the main software for designing and testing digital filter with some subroutines, functions to design FIR and IIR filters

• Part 3 (Results) diplay the calculation about the filter, plotting the frequency respond and architecture hardware based on FPGA Technology

MỤC LỤC

Phần I Lý thuyết

II Thiết kế bộ lọc FIR có pha tuyến tính sử dụng các cửa sổ 9

Chương 3 THIẾT KẾ BỘ LỌC IIR

27

V Thiết kế bộ lọc dựa trên phương pháp các bình phương

nhỏ nhất

41

2 Phương pháp Prony 43

2 Khai báo entity (Entity Declaration) 62

Chương 5: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ PHẦN MỀM

MAX + PLUS

70

IX Verilog HDL 76

Phần II Chương trình mô phỏng và tính toán mạch lọc soÁ 85

CHƯƠNG 6: CÁC KẾT QUẢ MÔ PHỎNG VÀ TÍNH

TOÁN CỦA MẠCH LỌC SỐ

86

Phần III Phụ lục và tham khảo

Phụ lục: Nội dung CDROM

Tài liệu tham khảo

Lý lịch trích ngang

CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN VỀ LỌC SỐ

I PHẦN MỞ ĐẦU

Mạch lọc là một lớp đặc biệt quan trọng trong các hệ thóng tuyến tính thời gian bất biến Đúng theo công dụng ta gọi là mạch lọc chọn tần, ý nói đến một hệ thống cho qua vài thành phần tần số nào đó và loại bỏ toàn bộ các tần số khác, vậy xét rộng hơn một hệ thống có khả năng hiệu chỉnh thành phần tần số nào đó so với dải tần còn lại cũng gọi là mạch lọc

Ơû đây ta đặt trọng tâm cho việc thiết kế mạch lọc chọn tần và giới hạn trong phạm vi mạch lọc nhân quả (Causal Filters) Đó là vì mạch lọc không nhân quả (Noncausal Filters) cũng có thể được thiết kế và cài đặt bằng cách hiệu chỉnh từ mạch lọc nhân quả

Một cách tổng quát việc thiết kế một mạch lọc bao gồm các bước sau:

Bước 1: Định rõ các thông số mong muốn của hệ thống

Bước 2: Xấp xỉ hoá các chỉ tiêu nhờ sử dụng hệ thống thời gian rời rạc nhân quả

Bước 3: Hiện thực hệ thống

Dù 3 bước này không hẳn hoàn toàn độc lập nhau, ta chú trọng ở bước thứ 2

vì bước thứ nhất phụ thuộc vào các ứng dụng cụ thể, còn bước thứ 3 tuỳ thuộc vào công nghệ dùng để cài đặt mạch lọc Đồng thời trên thực tế mạch lọc số thiết kế thường được cài đặt bằng các phép tính số và dùng để lọc tín hiệu lấy từ tín hiệu thời gian liên tục sau khi đã đi qua mạch lấy mẫu và bộ biến đổi A/D Vì lý do này ta quen gọi mạch lọc thời gian rời rạc là mạch lọc số

Khi mạch lọc thời gian rời rạc được dùng để xử lý các tín hiệu thời gian liên tục theo sơ đồ:

Mạch Lọc Số

Điều này thể hiện rõ đối với các mạch lọc chọn tần như mạch lọc thông thấp và thông cao Từ hệ thống đã có, với tín hiệu vào có dải tần hữu hạn và

tần số lấy mẫu đủ lớn để không bị chồng phổ (aliasing), còn hệ sẽ làm việc

như một hệ thống tuyến tính thời gian bất biến và liên tục có đáp ứng tần số được thể hiện qua biểu thức:

|

| 0

/T

|

| )()

(

π

π

T j

eff

e H

j

H

Trong trường hợp này ta có thể biến đổi trực tiếp từ mạch lọc thời gian liên tục sang mạch lọc thời gian rời rạc với cùng các chỉ tiêu thiết kế thông qua quan hệ ω = ΩT Từ đó ta có đáp ứng tần số của một mạch lọc số được biểu diễn trong một chu kỳ theo phương trình:

H(ejω) = Heff(j

T

II CÁC ĐẶC TÍNH CỦA BỘ LỌC

Trước khi một bộ lọc được thiết kế, tập các đặc tính của bộ lọc phải được xác định Thí dụ, giả sử rằng ta muốn thiết kế một bộ lọc thông thấp có tần số cắt (cutoff frequency) là ωc Đáp ứng tần số của bộ lọc thông thấp lý tưởng có pha tuyến tính và có tần số cắt là ωc là

d

e e

)n(

)nsin(

)n(

d Π −α

ωα

−

=

Do bộ lọc này không thể thực hiện được (do không nhân quả và không ổn định), ta cần phải nới lỏng (giảm bớt) các ràng buộc lý tưởng về đáp ứng tần số và cho phép một số độ lệch (deviation) so với đáp ứng lý tưởng Các đặc tính cho bộ lọc thông thấp điển hình sẽ có dạng

ωω

s

p

0

p j

Và

( )s

s = −20log δα

Khoảng [ ωp, ωs ] được gọi là dải chuyển tiếp (transition band)

Một khi các đặc tính của bộ lọc đã được xác định, bước kế tiếp là thiết kế bộ lọc sao cho thoả các đặc tính đã được xác định này

Π

Dảichuyễn tiếp

Dải chận Dải thông

HÌNH 1.1: Các đặc tính của bộ lọc thông thấp

Ngoài các chỉ tiêu đã xét, tuỳ loại mạch lọc được thiết kế ta còn có những ràng buộc khác về độ ổn định, tính nhân quả, tuyến tính pha…

Chẳng hạn với mạch lọc số đáp ứng xung vô hạn ( IIR Filter) được thiết kế muốn ổn định và nhân quả phải có các cực nằm trong vòng tròn đơn vị của mặt phẳng Z; Trong khi đó lúc thiết kế mạch lọc số đáp ứng xung hữu hạn ( FIR Filter) ta đã có sẵn ưu thế khi cần phải đặt nặng chỉ tiêu về tuyến tính pha

Từ các chỉ tiêu đã nêu trên, ta phải xác định hàm truyền của hệ thống thời gian rời rạc sau cho đáp ứng tần số của nó thoả mãn các sai số cho phép về độ nhấp nhô của dải thông, độ suy giảm của dải chặn cũng như độ rộng của vùng chuyển tiếp

Sau đây ta sẽ khảo sát các phương pháp thiết kế khác nhau dành cho cả 2 mạch lọc số IIR và FIR, phân tích rõ ưu nhược điểm của từng phương pháp thiết kế thích hợp cho từng loại mạch lọc

j ) h ( n ) e e

( H

Và việc thiết kế bộ lọc FIR bao gồm việc tìm các hệ số h(n), những hệ số này đưa đến kết quả đáp ứng tần số thoả tập các đặc tính cho trước của bộ lọc Các bộ lọc FIR có hai ưu điểm quan trọng so với các bộ lọc IIR Thứ nhất, các bộ lọc FIR chắc chắn ổn định, thậm chí sau khi các hệ số của bộ lọc đã được lượng tử hoá Thứ hai, các bô lọc FIR dễ dàng được ràng buộc để có pha tuyến tính (được tổng quát hoá hay suy rộng) Một cách tổng quát,

do các bộ lọc FIR được thiết kế để có pha tuyến tính, trong phần sau đây ta khảo sát việc thiết kế các bộ lọc FIR có pha tuyến tính

II THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR CÓ PHA TUYẾN TÍNH SỬ DỤNG CÁC CỬA SỔ

Gọi hd(n) là đáp ứng xung đơn vị của bộ lọc chọn lọc tần số lý tưởng có pha tuyến tính,

) (

j j

j

d( e ) A ( e ) e

H ω = ω − αω−β

Một cách tổng quát, do hd(n) sẽ có chiều dài vô hạn, ta cần phải tìm một

(window), bộ lọc được thiết kế bằng cách lập cửa sổ cho đáp ứng xung đơn

vị,

) ( jω

d e H

H(n) = hd(n)w(n)

Trong đó w(n) là cửa sổ có chiều dài hữu hạn, cửa sổ này bằng 0 ở ngoài khoảng 0≤n≤N và đối xứng xung quanh điểm giữa (trung điểm):

W(n) = w(N-n) Ảnh hưởng của cửa sổ lên đáp ứng tần số có thể được xem xét từ định lý chập phức,

∫

Π Π

−

θ ω θ

ω ω

Π

=

∗ Π

2

1 ) e ( W ) e ( H 2

1 )

e

(

d j

j d

Có nhiều loại cửa sổ khác nhau được sử dụng trong phương pháp thiết kế sử dụng cửa sổ, một vài cửa sổ được liệt kê trong bảng 1

Đáp ứng tần số của bộ lọc được thiết kế bằng phương pháp thiết kế sử dụng

bởi hai thừa số (xem hình 2.2):

) ( jω

d e H

N n n

w

0

01)(

N n N

n n

w

0

0

2cos5.05.0)(

N n N

n n

w

0

0

2cos46.054.0)(

N n N

n N

n n

w

0

0

4cos08.0

2cos5.042.0)(

1 đĐộ rộng của thuỳ chính (main lobe) của ( jω)

e W

2 Biên độ của thuỳ bên cạnh (side_lobe) của ( jω)

e W

)( jω

e W

Đỉnh của thuỳ biên

HÌNH 2.2: DTFT của một cửa sổ điển hình, cửa sổ được đặc trưng bởi độ

rộng của thuỳ chính, , và biên độ của các thuỳ bên cạnh, A, lên quan đến biên độ của tại

Δ)( jω

1 Khi chiều dài N của cửa sổ tăng, độ rộng của thuỳ chính giảm, điều này dẫn tới sự suy giảm trong độ rộng chuyển tiếp giữa các dải thông và dải chận Quan hệ này được cho một cách xấp xỉ bởi

c f

Bảng 2.2 liệt kê các biên độ của thuỳ bên của vài cửa sổ cùng với độ rộng

chuyển tiếp xấp xỉ và suy giảm (attenuation) dải chận đạt được khi cửa sổ đã cho được sử dụng để thiết kế bộ lọc thông thấp bậc N

Độ rộng thùy chính

Δ

Π

Cửa sổ Biên độ của

Bảng 2.2: biên độ đỉnh của thuỳ bên của một số cửa sổ thường sử dụng và độ

rộng chuyển tiếp xấp xỉ và suy giảm dải chận của bộ lọc thông thấp bậc N được thiết kế bằng cách sử dụng các cửa sổ cho trước

Thí dụ 1: giả sử ta muốn thiết kế một bộ lọc thông thấp FIR có pha tuyến tính tương ứng với các đặc tính sau:

Với suy giảm dải chận là 20log(0.01) = -40dB, ta có thể sử dụng cửa sổ Hanning Mặc dù ta cũng có thể sử dụng các cửa sổ Hamming va Blackman, các cửa sổ này sẽ vượt quá các yêu cầu thiết kế bộ lọc và tạo ra suy giảm dải chận lớn hơn, giá phải trả là độ rộng chuyển tiếp tăng Do đặc tính yêu cầu độ rộng chuyển tiếp là Δω =ωs −ωp =0.2Π, hay Δf = 0.01, với

NΔf = 3.1 Đối với cửa sổ Hanning ( xem bảng 2), một ước lượng cho bộ lọc là

3101

3 =Δ

=

f N

bước sau cùng là tìm đáp ứng xung đơn vị của bộ lọc thông thấp lý tưởng cần được lập cửa sổ với tần số cắt là ωc =(ωs +ωp)/2=0.2Π và trì hoãn làα = N/2=155,

đáp ứng xung đơn vị là

Π

−

−Π

=

)155(

)]

155(

2.0sin[

n I

n

)(

)]/)[1([)(

0

2 / 1 2 0

β

ααβ

với α =N/2, và I0(.) là hàm Bessel bậc 0 được sửa đổi từ loại đầu tiên, hàm này có thể dễ dàng được tạo ra bằng cách sử dụng khai triển chuỗi luỹ thừa (power series expantion)

2 1

0

!

)2/(1

I

Thông số β xác định dạng của cửa sổ và như vậy điều khiển sự dung hoà

giữa độ rộng thuỳ chính và biên độ thuỳ bên Cửa sổ Kaiser gần thư tối ưu

theo nghĩa có hầu hết năng lượng trong thuỳ chính đối với biên độ cho trước

của thuỳ bên

Bảng 3 minh hoạ ảnh hưởng của việc thay đổi thông số β

Có hai quan hệ được suy ra dựa vào kinh nghiệm đối với cửa sổ Kaiser, tạo

dễ dàng cho việc sử dụng các cửa sổ này để thiết kế các bộ lọc FIR Quan

hệ đầu tiên liên hệ độ gợn của dải chận của bộ lọc thông thấp,

)log(

.0

5021

)21(

0786.0)21(

5842.0

50)

7.8(1102.0

4 0

s

s s

s

s s

α

αω

α

αα

Bảng 2.3: Các đặc tính của cửa sổ Kaiser như là hàm theoβ

và suy giảm dải chận Quan hệ thứ hai liên hệ N với độ rộng chuyển tiếp Δf

s

α

2136

.14

95.7

≥Δ

−

f

lưu ý nếu < 21 dB, cửa sổ chữ nhật có thể được sử dụng (αs β = 0) và N = 0.9/Δf

Thí dụ 2: Giả sử ta muốn thiết kế một bộ lọc thông thấp có tần số cắt ωc = /4, độ rộng chuyển tiếp Δω =0.02Π và độ gợn dải chận δs =0.01

Π

= -20log(0.01) = -40, thông số cửa sổ Kaiser là

Do αs

4.3)2140(07886.0)2140(5842

=

βvới Δf =Δω/2Π=0.01, ta có

224)01.0(36.14

95.7

]4/)112sin[(

)(

n

n n

h d

là đáp ứng xung đơn vị của bộ lọc thông thấp lý tưởng

Mặc dù việc sử dụng phương pháp thiết kế dùng cửa sổ sẽ đơn giản hoá việc thiết kế bộ lọc, có một số giới hạn cho phương pháp này Trước tiên, cần phải tìm dạng sóng cho hd(n) (hoặc hd(n) phải được tính xấp xỉ bằng cách sử dụng DFT rất dài) Giới hạn thứ hai, đối với bộ lọc chọn lọc tần số, các độ rộng chuyển tiếp giữa các dải tần số, và các độ gợn trong các dải này, một cách gần đúng sẽ bằng nhau Kết quả là phương pháp thiết kế sử dụng cửa sổ đòi hỏi bộ lọc cần được thiết kế với các dung sai khít khao nhất trong mọi dải bằng cách lựa chọn độ rộng chuyển tiếp nhỏ nhất và độ gợn nhỏ nhất Một giới hạn nữa, các bộ lọc thiết kế theo phương pháp sử dụng cửa sổ, một cách tổng quát, không tối ưu theo nghĩa các bộ lọc này không có độ gợn nhỏ nhất có thể có đối với bậc cho trước của bộ lọc và tập các tần số cắt cho trước

III THIẾT KẾ BỘ LỌC LẤY MẪU TẦN SỐ

Một phương pháp khác để thiết kế bộ lọc FIR là phương pháp lấy mẫu tần

số

HÌNH2 3: Mẫu chuyển tiếp có biên độ A ở phương pháp lấy mẫu tần số

Trước hết ta tìm A d(ejω) theo hàm A (ejω), ta biết rằng trong trường hợp này:

2

2 sin

2

sin

πω

)(

N

k

k Hd

e

N j

2 1

Bây giờ ta sẽ xác định từng loại bộ lọc cụ thể

Trường hợp N lẻ, h(n) đối xứng:(FIR loại 1)

a

Trong trường hợp này A d(ejω) là đối xứng trong khoảng tần số 0≤ω≤2π,

ta có thể viết:

k N

Nhưng trong định nghĩa của biến đổi Fourier rời rạc thì chiều dài của Hd(k) hoặc Ad(k) là 0≤ k ≤N – 1 và ta có thể nói Ad(k) là đối xứng trong khoảng 1

2

2 sin

2

sin

πω

)(

N

k

k Hd

Do Hd(ejω) = e j N

2 1

(k) j

) 2

k N

e

πω

π θ

= e j N

2 1

−

−

−

− +

e e

k A k

N

e e

k A

N k N j d N

N k

N

k

k N j N k N j d d

πωπ

ωω

π π

π π

2sin

)(2

sin

)(2

sin

)0

1 2 1

1 2 1 2

1 1

2 1 2

)(2

sin

)1)(

(2

sin

)0

1 ) ( 2 2

1 1 2

1

1

l N N

e e

l A k

N

k A

N l N N j d N

l N

k

k d

d

πωπ

ωω

π π

2 1

sin(

12

sin

12

sin)1)(

(2

d

k N

k N

N k

−

= 2 1

2 sin(

1 2

sin

1 2

sin ) 1 )(

( 2

d

k N

k N

N k

N

N

N A

1

) 2

sin(

1 2

sin

1 2

sin ) 1 )(

( 2

sin

2

sin ) 0

l k

k d

d

k N

k N

N k

N

N

N A

2sin(

2sin

2sin

2

sin)(2

sin

2

sin)0

k d d

k N

k N N

k N

k N N

N

k N

N

N A

A

πω

πωπ

ω

πωω

ω

Ad(ejω)=

Biểu thức trên chỉ đúng với các dải có chiều dài hữu hạn N Còn đối với bộ lọc số lý tường thì chiều dài của đáp ứng xung là vô hạn và đây chính là biều thức đối với đáp ứng tần số của bộ lọc lý tưởng H(ejw), nhưng tại các điểm ω

N

π

2

k = k thì sai số giữa H(ejω) và Hd(ejω) bằng không

Vậy từ biểu thức trên ta có thể viết:

2sin

2

sin)

(

1 N k

k N j

k N

N e

k H

2 1

1

2sin(

2sin

2sin

2

sin)(2

k N

k N N

k N

k N N

N

k N

πωπ

ω

πωω

ω

Độ lệch giữa H(ejω) và Hd(ejω) được đánh giá bằng sai số E(ejω)

Do đó: E(ejω) = H(e ) - Hjω d(ejω)

Trong thực tế người ta thường đánh giá bằng trị tuyệt đối

|E(ejω)| = |H(ejω) - Hd(ejω)|= |A(e ) - Ajω d(ejω)|

Chú ý là:

- Đối với bộ lọc lý tưởng bề rộng của dải chuyển tiếp bằng không Như vậy muốn tìm tối ưu khi thiết kế bằng phương pháp này chúng ta phải tối thiểu hoá giá trị cực đại của |E(ejω)| và chúng ta đánh giá hiệu quả của việc thiết kế theo |A(ejω)| hay Ad(ejω) xem có thể thoả mãn chỉ tiêu của bộ lọc số hay không, khi thỏa mã rồi chúng ta dừng lại để tính hd(n) của bộ lọc thực tế Nếu chưa thỏa mãn thì ta phải tăng N để giảm sai số |E(ejω)| và có thể điều chỉnh A(k) ở quanh trục bất liên tục của A(ejω) A(k) ở quanh trục bất liên tục của A(ejω) có htể thay đổi từ 0 đến 1

Bây giờ ta sẽ tìm công thức tính cho hd(n)

hd(n)=IDFT{Hd(k)} = IDFT{H(k)}= IDFT{Ad(k)ejθ(k)}

Đối với bộ lọc FIR pha tuyến tính ta có:

)2

1(

kn

N N

k

d k N

k

d k A N

π

) 2

1 ( 2 1

0

)(

k

k A N

π

) 2

1 ( 2 1

0

)(

1 1

2 ) ( 1 )

e

k A N N

0

2 ) 2

1 ( 2

)(

1 N k

kn N j N k N j

e e

k A N

π π

1 2

1

2 ) 2

1 ( 2 ) (

1 N

N

k

kn N j N k N j

e e

k A N

π π

Đổi biến số thành phần thứ ba:

) 1 2 ( )

1 2 (

)1)(

(1)0

(

N

k

n k N j n

k N j k

e e

k A N N

1 1

) 1 2 ( )

1 2 ( )

1 )(

( 1 ) 0 (

N

k

n k N j n

k N j k

e e

k A N N

b Trường hợp N chẵn, h(n) đối xứng

Trong trường hợp nàyAd(ejω) là phản đối xứng trong khoảng tần số 0 ≤ ω ≤ 2π

Vậy đối với ωk ta có thể viết:

k N

(k) j

) 2

k N

e

πω

π θ

e

N j

2 1

) 2 1 - N k(

N

2 j 1

2 0

) 2 1 - N k(

N

2 j

)2

sin(

Ad(k))

2sin(

N k

k N j N

k

k N j

k N

k N

e e

πωπ

ω

π π

π π

e

N j

2 1

) 2 1 - N k(

N

2 j 1

2 0

) 2 1 - N k(

N

2 j

)2

sin(

Ad(k))

2sin(

N k

k N j N

k

k N j

k N

k N

e e

πωπ

ω

π π

π π

1

2 sin(

2 sin 2

sin

2

sin ) ( 2

sin 2 sin ) 0

k d d

k N

k N N

k N

k N N

N

k N

N A

A

πω

πωπ

ω

πωω

ω

Ad(ejω)=

Biểu thức trên chỉ đúng với dãy có chiều dài vô hạn vì vậy ta có thể làm gần đúng H(ejω) bằng Hd(ejω), kết quả thu được là do nội suy từ các điểm H(k) hoặc A(k) lấy mẫu trên H(ejω) tại các tần số ωk

1

2 sin(

2 sin 2

sin

2

sin ) ( 2

k N

k N N

k N

k N N

N

k N

N

A

A

πω

πωπ

ω

πωω

ω

Cũng giống như trường hợp trên A(k) bằng 1 ở dải thông và bằng 0 trong dải chắn, để có kết quả tối ưu ta sẽ điều chỉnh giá trị của A(k) ở trong dải quá độ

N

W k Hd N

2

1 ( 2

kN N j N k N j

e e

k Hd N

π π

n còn lại

2

N

Trong trường hợp này A( )=0 và A(k)=-A(N-k) chúng chia tổng trên thành

3 thành phần như sau

)(

1)

2 1

2 ) 2

1 ( 2 1

2 1

kn N j N k N j N

k

kn N j N k N j N

k

e e

k A N e

e k A N

A

N

π π

π π

0≤ n≤N-1

=

n còn lạiTiếp tục biến đổi ta thu được:

0

)12(cos)()1(

2)0(

1

n k N k

A N

IV THIẾT KẾ BỘ LỌC THEO PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TỐI ƯU

Việc thiết kế bộ lọc thông thấp FIR bằng cách sử dụng kĩ thuật thiết kế dùng cửa sổ sẽ đơn giản và một cách tổng quát, dẫn đến kết quả là một bộ lọc có phẩm chất tương đối tốt Tuy nhiên, các bộ lọc này không tối ưu:

1 Thứ nhất, các độ lệch dải thông và dải chận, δ p và δ s, xấp xỉ bằng nhau Mặc dù thường ta cần δ s nhỏ hơn nhiều so với δ p, các thông số này không thể được điều khiển một cách độc lập trong phương pháp thiết kế sử dụng cửa sổ Do vậy với phương pháp thiết kế sử dụng cửa sổ, ta cần phải thiết kế lố dải thông của bộ lọc để thoả các yêu cầu nghiêm ngặt hơn trong dải chận

2 Thứ hai, với đa số các cửa sổ, độ gợn sẽ không đều hoặc trong dải thông hoặc trong dải chận và một cách tổng quát giảm khi di chuyển từ dải chuyển tiếp Việc cho phép độ gợn được phân bố đều trên toàn dải sẽ tạo ra độ gợn đỉnh nhỏ hơn

Bộ lọc có pha tuyến tính đồng độ gợn, mặt khác, sẽ tối ưu theo nghĩa biên độ của độ gợn được tối thiểu hoá trên tất cả các dải đối với bậc cho trước N của bộ lọc

Trong đề cập sau đây, ta khảo sát việc thiết kế bộ lọc có pha tuyến tính loại

1 Kết quả thiết kế này có thể dễ dàng được sửa đổi để thiết kế các loại bộ lọc có pha tuyến tính loại khác

Đáp ứng tần số của bộ lọc FIR có pha tuyến tính có thể viết như sau:

ω ω

j

e e A e

N k

N k h k

phương trình (2.4) có thể được viết thành

( )( )k L

k

j

k e

funtion) dương, đặt

)( jω

e W

( ) ( ) ( ) ( )ω ω [ jω jω ]

d j j

e A e

A e W e

là sai số xấp xỉ có trọng số Như vậy vấn đề thiết kế bộ lọc đồng độ gợn bao gồm việc tìm các hệ số a(k), các hệ số này giảm tối thiểu giá trị tuyệt đối cực đại của ( )jω

e

E trên tập các tần số , F,

( )

( )k a

Thí dụ, để thiết kế bộ lọc thông thấp, tập F sẽ là các tần số trong dải thông,[0, ωp], và dải chận, [ωs, Π], như được minh hoạ ở hình 2.4 dải chuyển tiếp, (ωp, ωs), là một miền tuỳ định (không quan tâm), và không được khảo sát trong việc tối thiểu hoá sai số có trọng số Lời giải cho vấn dề tối ưu hoá này được cho trong định lý thay đổi (alternation theorem), định lý này phát biểu như sau:

Định lý thay đổi: Gọi F là hợp của các tập hợp con đóng trên khoảng [0, ] Với hàm trọng số dương ( jω), điều kiện cần và đủ để

e W

Π

( )ω ( ) ( )ω

k k a e

là hàm làm giảm tối thiểu giá trị cực đại của sai số có trọng số trên tập F là ( )jω

trên tập F sao cho

K

ω ω

HÌNH 2.4: Tập F trong bài toán thiết kế bộ lọc đồng bộ gợn, bao gồm dải

thông [0,ωp ],dải chận [ωp ,ωs ] Dải chuyển tiếp (ωp ,ωs ) là vùng không quan tâm

Như vậy định lý thay đổi phát biểu rằng bộ lọc tối ưu là bộ lọc đồng độ gợn Mặc dù định lý thay đổi xác định số tối thiểu các tần số cực trị (hay các độ gợn) mà bộ lọc tối ưu phải có, bộ lọc này có thể có nhiều hơn Thí dụ, một bộ lọc thông thấp có thể có (L+2) hoặc (L+3) tần số cực trị của một bộ lọc thông thấp có (L+3) tần số cực trị được gọi là bộ lọc độ gợn bổ sung (extraripple filter)

Từ định lý thay đổi ta có được

( ) ( ) ( )e [A e −A e ]=( )− 1 ∈ k = 0 , 1 , , L+ 1

W jωk d jωk jωk k K

với

( )ω ω

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥

+ +

1 0

1

1 0

1

10

/1

/1cos

coscos

cos

1

1

/1cos

cos

1

/1cos

cos

1

1 1

1

1 0

0 0

L L L

L

j d

j d

j d

j d

j L

j L

L

L L

L

j j

e A

e A

e A

e A

L a

L a a a

e W

e W L

L

e W L

e W L

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω

ω ω

ω

ω ω

ω ω

MM

MM

MM

M

KK

Với các tần số cực trị cho trước, các phương trình này có thể được giải để tìm a(0), … , a(L) và ∈ Và để tìm các tần số cực trị, ta có thủ tục lặp có hiệu quả thường được gọi là giải thuật Parks-Mc Clellran, giải thuật này bao gồm các bước như sau:

1 Giả định một tập hợp ban đầu các tần số cực trị

2 Tìm ∈ bằng cách giải phương trình (2.5) giá trị của∈ tìm được là

/ 1

L

k

j k

L

k

j

k k

e W k b

e D k b

ω ω

k b

5 Nếu các tần số cực trị thay đổi, lặp lại vòng lặp từ bước 2

Công thức có thể được sử dụng để ước lượng bậc của bộ lọc đồng độ gợn đối với bộ lọc tần số thấp có độ rộng chuyển tiếp Δf , độ gợn dải thông δpvà độ gợn dải chận là δs

13 log

10 δ δ

Thí dụ 2.3.3: Giả sử ta muốn thiết kế một bộ lọc thông thấp đồng độ gợn có tần số cắt dải thông ωp = 0.3 , độ gợn dải thông Π δp = 0.01 và độ gợn dải chận = 0.001 δs

Sử dụng phương trình (2.6) để ước lượng bậc của bộ lọc, ta có

( )

102 6

14

13 log

10

= Δ

3.00

1

j

e W

Bằng cách sử dụng giải thuật Parks-McClallan để thiết kế bộ lọc, ta nhận được bộ lọc có biên độ đáp ứng tần số được trình bày dưới đây

( )jω

e H

log 20

0 -20 -40 -60 -80

4

Do vậy, điều quan trọng là khảo sát các phương pháp tối ưu để ánh xạ các bộ lọc này vào trong miền thời gian rời rạc Hơn nữa, do các thủ tục thiết kế mạnh tạo dễ dàng cho việc thiết kế các bộ lọc tương tự, phương pháp này làm cho việc thiết kế bộ lọc IIR tương đối đơn giản

Phương pháp thứ hai dùng để thiết kế các bộ lọc số IIR là sử dụng một thủ tục thiết kế theo giải thuật, một cách tổng quát thủ tục này yêu cầu sử dụng một máy tính để giải tập phương trình tuyến tính hoặc không tuyến tính Các phương pháp này có thể được sử dụng để thiết kế các bộ lọc số có các đặc tính của đáp ứng tần số tuỳ ý mà với các đặc tính này không có mẫu bộ lọc tương tự nào hiện hữu hoặc được sử dụng để thiết kế các bộ lọc khi có các loại ràng buộc khác khi bị bắt buộc trong thiết kế

Trong mục này ta khảo sát phương pháp ánh xạ các bộ lọc tương tự thành các bộ lọc số Khởi đầu ta tập trung vào việc thiết kế các bộ lọc số thông thấp từ các bộ lọc tương tự thông thấp, kế đến ta sẽ thảo luận đến các kĩ thuật dùng để biến đổi các thiết kế cho bộ lọc thông thấp thành các thiết kế cho các bộ lọc chọn lọc tần số tổng quát hơn

II CẤU MẪU BỘ LỌC TƯƠNG TỰ THÔNG THẤP

Để thiết kế bộ lọc thông thấp IIR từ bộ lọc tương tự thông thấp, trước tiên ta phải biết cách thiết kế bộ lọc tương tự thông thấp Đa số các phương pháp xấp xỉ bộ lọc tương tự đã được phát triển cho việc thiết kế các hệ thống thụ động có độ lợi nhỏ hơn hoặc bằng 1

1 + ∈

A

/1

(a) Các đặc tính theo và δp δs b) Các đặc tính theo ∈ và A

Hình 3.1: Hai qui ước khác nhau để chỉ ra các độ lệch dải thông và

dải chận đối với bộ lọc tương tự thông thấp

Do đó, một tập điển hình các đặc tính cho các bộ lọc này được trình bày trong hình 3.1(a), với các đặc tính dải thông có dạng

( ) 1

1−δp ≤ H a jΩ ≤

Một quy ước khác thường được sử dụng để mô tả các ràng buộc của dải

3.1(b) Hai thông số phụ đáng chú ý là hệ số phân biệt (discrimination factor),

11

11

2

2 / 1 2

1 BỘ LỌC BUTTERWORTH

Bộ lọc thông thấp Butterworth là bộ lọc chỉ có cực với bình phương biên độ của đáp ứng tần số được cho bởi

/1

1ΩΩ+

=Ω

Thông số N là bậc của bộ lọc (số các cực trong hàm hệ thống) và Ωc là tần số cắt -3dB Bình phương biên độ của đáp ứng tần số còn được viết như sau:

p

a

j j j

2 2

/1

1ΩΩ

∈+

=Ω

Ω

∈=

Đáp ứng tần số của bộ lọc Butterworth giảm đơn diệu khi Ω tăng, và khi bậc của bộ lọc tăng, dải chuyển tiếp trở nên hẹp hơn Các tính chất này được minh hoạ trong hình 6, hình này trình bày cho các bộ lọc Butterworth có bậc N = 2, 4, 8 và 12 Do

a a

j s s

H s H s

/1

1Ω+

= Ω

−

N

k N

j j

Và được định vị đối xứng xung quanh trục jΩ Hình 3.3 trình bày các vị trí của các cực với N = 6 và N = 7 Kế đến, hàm hệ thống Ha(s) được tạo thành từ N nghiệm của Ha(s)Ha(s), các nghiệm này nằm trên nửa trái của mặt phẳng s

Ω

Tăng dần N1

2 1

c

Ω

( )2 Ω

( ) ( )

N N

N N

N a

a s a s

a s s A s H

+ +

+ +

1

1 1

d ≤

loglog

3 Thiết lập tần số cắt -3dB, Ω c, đến một giá trị bất kì trong tầm

s s c N p

p

2 / 1 2 2

/ 1 2

11

a a

j s s

H s H s G

2

/1

1Ω+

s s

s s

H

Với

1 , , 1 , 0 2

2 1

N

k N

Hình 3.3: Các cực của H a(s)Ha(-s) cho bộ lọc Butterworth bậc N = 6 và N =

1.000 2.6131 5.2361 9.1416 14.591821.8462

1.000 3.2361 7.4641 14.591825.6884

1.000 3.8637 10.097821.8462

1.000 4.4940 13.1372

1.000

Bảng 3.1: Liệt kê các hệ số của AN(s) với 1≤ N ≤ 8

6.0

=

=Ω

Ω

=

s p

s

p

f

f k

Do bởi

92.5loglog =

≥

k

d N

Bậc tối thiểu của bộ lọc là N = 6 Với

p b

và

[ −2 −1]−1/2N =6819

s s

f δ, có thể là giá trị bất kì trong tầm tần số trung tâm, fc

1

2 3

4 5

=

s s

s s

s s

s

H a

và kế đến thay thế s bằng s/Ωc sao cho tần số cắt là Ωc thay vì là đơn vị

2 BỘ LỌC CHEBYSHEV

Các bộ lọc Chebyshev được định nghĩa theo các đa thức Chebyshev:

Các đa thức này có thề được tạo ra theo cách đệ quy như sau,

Chebyshev suy ra từ phương trình (3.9):

( )x ≤ 1

T N

động giữa ±1 Với {x}>1, các đa thức tăng đơn diệu theo x

4 Mọi nghiệm của TN(x) nằm trong tầm − 1 ≤ x≤ 1

Có hai loại bộ lọc Chebyshev:

Bộ lọc Chebyshev loại 1: chỉ có cực, bộ lọc này có dải thông đồng độ gợn

còn dải chận giảm đơn điệu Biên độ của đáp ứng tần số là

Với N là bậc của bộ lọc, Ωp là tần số cắt của dải thông và ∈ là thông số dk biên độ của độ gợn dải thông Do T N2(Ω / Ωp) biến thiên giữa 0 và 1 với

( 2)

1/

các dao động (các độ gợn) trong dải thông tăng, và độ rộng chuyển tiếp giữa dải thông và dải chận trở nên hẹp hơn Các thí dụ được cho trong hình 3.4 cho N = 5, 6

Ω

( )2 Ω

j

H a

1

Ω

Hình 3.4: đáp ứng tần số của bộ lọc Chebyshev loại 1 có bậc N=5 và N=6

Hàm hệ thống của bộ lọc Chebyshev có dạng

( ) ( 2)1 / 2

1

0 = −∈ −

a

số cắt của dải thông và dải chận, Ω p và Ω s và các độ gợn dải thông, dải chận , và δp δs, (hoặc các thông số ∈ và A), các bước thiết kế bộ lọc Chebyshev được mô tả như sau:

1 Tìm các giá trị của hệ số chọn lọc k và hệ số phân biệt d

2 Xác định bậc của bộ lọc bằng cách sử dụng công thức

( ) ( )k

d N

/1cosh

/1cosh

j s T s

H s H s G

Ω

∈+

=

−

=

/1

1

2 2

1

1 − −

∈= −

p

N cực của Ga(s), các cực này nằm trên nửa trái của mặt phẳng s

Thí dụ 3.2 : Nếu ta cần thiết kế bộ lọc thông thấp Chebyshev loại 1 thoả mãn các đặc tính cho trong thí dụ 3.4.1 ở đó ta tìm được d = 0.0487 và k = 0.6, bậc yêu cầu của bộ lọc là

( ) ( )1/ 3.38cosh

/1cosh

Hoặc N = 4 do đó với

/7527.31

1

−ΩΩΩΩ+

=Ω

p p

a j H

với Ωp = 2 (6000) Π

Bộ lọc Chebyshev loại 2:

Không giống với loại 1, có dải thông đơn điệu và dải chận đồng độ gợn, và hàm hệ thống có cả các cực và các zero Biên độ của đáp ứng tần số là,

2

//

/1

1

ΩΩΩ

Ω

∈+

=Ω

s N p s N

a

T T

j H

Với N là bậc của bộ lọc, Ω p là tần số cắt dải thông, Ω s là tần số cắt dải chận và∈ là thông số điều khiển biên độ của độ gợn dải chận Một lần nữa, khi bậc N tăng, số độ gợn tăng và độ rộng chuyển tiếp trở nên hẹp hơn Các thí dụ được cho trong hình 3.5 với N =5 và N = 6

Ω

( )2 Ω

Ω

Hình 3.5: Đáp ứng tần số của bộ lọc Chebyshev loại 2 có bậc N= 5 và N =6

Hàm hệ thống của bộ lọc Chebyshev loại 2 có dạng

( )

k k N

k a

a s

b s b

a s

Các cực được đặt tại

s k

s a

( 2 )1 / 2

1−

− −

∈= δs

3 BỘ LỌC ELLIPTIC

Hàm hệ thống của bộ lọc Elliptic có các zero và các cực Biên độ của đáp ứng tần số là

∈+

=Ω

/1

1

2 2 2

Với UN( /Ω Ωp) là hàm Elliptic jcb là hàm hữu tỉ bậc N có các tính chất sau:

Việc thiết kế các bộ lọc Elliptic sẽ khó khăn hơn nhiều so với việc thiết kế các bộ lọc Chebyshev và Butterworth do việc thiết kế bộ lọc Elliptic dựa vào việc sử dụng các bảng hoặc dựa vào các khai triển chuỗi

Tuy nhiên, bậc của bộ lọc cần phải thoả tập các đặc tính cho trước có thể

( )q

d N

/ 1 log

/ 16 log 2

≥

Hình 3.6: Biên độ đáp ứng tần số của bộ lọc Elliptic bậc 6

Trong đó d là hệ số phân biệt và

13 0 9

0 5 0

0 2q 15q 10q q

11

112

−

−

•

=

Trong đó k là hệ số chọn lọc

III THIẾT KẾ CÁC BỘ LỌC IIR TỪ CÁC BỘ LỌC TƯƠNG TỰ

Việc thiết kế bộ lọc số từ mẫu bộ lọc tương tự đòi hỏi ta phải biến đổi ha(t) thành h(n) hoặc Ha(s) thành H(z) phép ánh xạ từ mặt phẳng s tới mặt phẳng z được viết như sau

z m s s H z

2 Các điểm trên nửa trái của mặt phẳng s cần ánh xạ đến các điểm bên trong vòng tròn đơn vị để bảo toàn tính ổn định của bộ lọc tương tự