Đề thi HSG tỉnh Bình Phước năm học 2011-2012

Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB.. và BC.[r]

Lê Văn Vinh Trường THPT Thị xã Phước Long – Bình Phước

SỞ GD & ĐT BÌNH PHƯỚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9

Năm học : 2011 - 2012

Môn : Toán

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi : 28 /3 /2012

(Đề thi gồm 1 trang)

Câu 1 ( 5 điểm)

1 Cho biểu thức ( 1 1 ) : ( 1 2)

V

a) Tìm điều kiện để V cĩ nghĩa Rút gọn V

b) Tìm a để V ≥ -1

2 Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a +b +c +d = 1

Chứng minh rằng:

1 2

a b b c cd da 

Câu 2 : (5 điểm)

1 Cho parabol (P): 2

yx và đường thẳng :y2(m1)x2m4(m là tham số

a) Khi m = 2, xác định tọa độ giao điểm của (P) và ()

b) Chứng minh rằng:  cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B Xác định m để

2 2

A B

x x đạt giá trị nhỏ nhất( với xA, xB lần lượt là hồnh độ A, B)

2 Giải hệ phương trình:

2 3 2

2 3 2







Câu 3 :(5 điểm) Từ điểm M nằm ngồi đường trịn (O), vẽ cát tuyến MCD khơng đi qua tâm

O và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường trịn (O) (A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa C, D)

1 Chứng minh rằng MA2 MC MD

2 Gọi I là trung điểm của CD Chứng minh rằng: M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường

trịn

3 Gọi H là giao điểm của AB và MO Chứng minh: AB là tia phân giác của gĩc CHD

Câu 4 :(2 điểm)

Cho hình vuơng ABCD cĩ diện tích là S1 Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB

và BC Hai đường thẳng AK và CI cắt nhau tại E Gọi S2 là diện tích của tứ giác EADC Tính tỉ

số 2

1

S

S

Câu 5 : (3 điểm)

1 Tìm các cặp sơ nguyên (x, y) thỏa mãn: 3x -5y = 11 -2xy

2 Chứng minh mọi số nguyên n thì n2 n 2 khơng chia hết cho 3

HẾT

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Lê Văn Vinh Trường THPT Thị xã Phước Long – Bình Phước

Câu 1:

1)

a) Điều kiện: x > 0, x ≠ 1 và x≠ 4

a



4 3

2) Áp dụng BĐ thức Cosi cho hai số ta có:

2 4

a

a b



 2 4

c

b c



 2 4

c



 2 4

d



 Cộng vế theo vế và a +b +c +d =1 ta có điều chứng minh

Dấu bằng xảy ra

2

2

2

2

4

4

1

4 1

a b

b c















 



















   





 Câu 2:

1) b) Hoành độ giao điểm của  và (P) là nghiệm phương trình:

2 2( 1) 2 4 0

 = (m- 2)2 +1 > 0 với mọi m

2 2 ( ) 2 2 (2 3) 2 3 3

2)

2 3 2

2 3 2

3 2 (1)







Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta có: 2 2

(xy x)( y xy2x2y2)0

( 1) ( 1) 0

(3)

(4)





 

    



Lê Văn Vinh Trường THPT Thị xã Phước Long – Bình Phước

Phương trình (1)  y2 x x( 23x2) nên nếu x < 0 thì -3x > 0  x2 - 3x + 2 > 0  x(x2 -3x +2 ) < 0

 y2 x x( 2 3x2) không thỏa Vậy x ≤ 0 Tương tự y ≤ 0 nên x.y ≥ 0  (4) vô nghiệm

Với x = y thế vào (1) ta có: x (x2 - 4 x +2 ) = 0  x =0, x= 2 2 > 0

Vậy hệ có 3 nghiệm: (0; 0), ( (2  2; 2  2),(2  2; 2  2)

Câu 3:

O

M

B

A

H C

D I

c) Ta có: MA2 MC MD và MA2 MH MO  MC.MD = MH.MO MC MO

Vậy tam giác MCH đồng dạng tam giác MOD CHM CDO   0

180

CDO CHO

 tứ giác CHOD nội tiếp OHD OCD(cùng chắn cung OD)

OCDODC(tam giác cân tại O)

Vậy AB là tia phân giác góc CHD

Câu 4: 2

1

2

3

S

Câu 5:

a) (3+2y)(2x-5)=7

b) Xét n = 3k, n = 3k+1, n =3k+2 ( k  N)