Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số, trong đó có hai chữ số lẻ khác nhau và ba.. chữ số chẵn khác nhau, mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần..[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2018-2019
Môn thi: TOÁN- Lớp 11 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 21 tháng 3 năm 2019
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM
(Gồm có 06 trang)
I
4,0
điể
m
1 Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị ( )P của hàm số y x 2 2mx , biết rằng3
Ta được hàm số
2 4 3
y x x
Bảng biến thiên như sau :
0,75
Đồ thị: Có đỉnh I2; 1
và trục đối xứng là đường thẳngx và có hình dạng như sau:2
0,75
Điều kiện xác định của bất phương trình là x 1;7
(*)
Phương trình (1) x 1 2 7 x 2 x 1 7 x x 1 0,5 x1 7 x x 1 2 7 x x1 0
x1 x1 7 x 2 7 x x1 0
x1 7 x x1 2 0
0,5
4 5
x x
0,5
Trang 2Đối chiếu điều kiện (*) tập nghiệm của phương trình là S 4;5
II
4,0
điể
m
1 Giải phương trình
2sin 2 cos 2 7sin 4 3
1
x
Điều kiện:
5 2 6
x k
(*)
Phương trình tương đương 2sin 2x cos 2x 7sinx 4 3 2cos x 3
0,5 2sin 2x cos 2x 7sinx 2cosx 4 0
2sin 2x 2cosx 1 2sin2x 7sinx 4 0
0,5
2sin 1 sin 2cos 3 0 2sin 1 0
sin 2cos 3 0
x
Giải (1) :
2
sin
5 2
2 6
x
Giải (2): sinx2cosx vô nghiệm vì 3 1222 32
0,5
Đối chiếu điều kiện (*) phương trình có họ nghiệm 2
6
2 Giải hệ phương trình
2
2,0
Điều kiện:
2 (*) 3
Phương trình (1) y y 22 x1y 22 y x1
y x 1y 22 x 1 0
3
0,5
Thế y x vào phương trình (2) ta có:1
2
2
2 x 3x 3 6x 7 x1 x1 x 3x 2
2 2
x x
0,5
2
2
x
x x
2
2
2
x x
x x
x x
0,25
Trang 3 Giải (3) ta được x1;x2
Giải (4): phương trình 2
2
x x
x x
2
x x
x x
2 2
0
x
x x
vô nghiệm vì vế trái luôn dương với
2
3
x
Đối chiếu điều kiện (*) suy ra tập nghiệm hệ là S 1; 2 , 2; 3
0,5
III
4,0
điể
m
2
2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P
x y z xy yz xz
2,0
Ta có
2
x y z x y z x y x y
Đặt 2
z
t
ta có 2 2 2 1 2
2
x y t x y t
xy yt tx x y t x y t x y t
0,5
P
x y z xy yz xz x y t xy yt tx
3
16
P
x y t x y t x y t
x y t
Đặt:
4
4
a b c
ab bc ca
x y t x y t x y t
0,5
Không giảm tính tổng quát giả sử min , , 3 0;4
3
a a b c a b c a a
4 4
a b c
ab bc ca bc a a
0,5
Áp dụng côsi ta được
3
2
a a
Suy ra
, đẳng thức xảy ra khi
2 3
a
Vậy giá trị lớn nhất là
11
9 đạt được khi 8
z
x y
hoặc 4 2
x
0,5
1
* 1
2
4 3.4 ,n
u
2,0
Trang 4u và tính
2
n
u
Ta có 1 4 3.4n 4 1 3.4n 1
4 3.4n 4 4 3.4n 3.4n
4 2.3.4n 4 4 3.4n 2.3.4n 4 3.3.4n
4 n1u1 n 1 3.4 n1 4 2n1 n 1 3.4 n1 3n 1 4 n1
0,75
1
2
1
n
n
0,5
Vì
2
lim
3
n n n
2 0
n
2
suy ra
4
4n
n
Vậy 1
n
;
2
n
u
0,5
IV
4,0
điể
m
1 Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số, trong đó có hai chữ số lẻ khác nhau và ba
Trường hợp 1: Xét các số có 8 chữ số, trong đó có hai chữ số lẻ khác nhau và ba chữ số
chẵn khác nhau mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần, coi chữ số 0 có thể đứng đầu.
+ Chọn 2 chữ số lẻ khác nhau và 3 chữ số chẵn khác nhau có C C (cách).52 53 0,5
+ Với mỗi cách chọn trên ta có: số có 8 chữ số, trong đó có hai chữ số lẻ khác nhau và ba
chữ số chẵn khác nhau mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần là:
8!
2!2!2! (số).
Trường hợp này có:
8!
2!2!2!
(số)
0,5
Trường hợp 2: Xét các số có 8 chữ số, trong đó có hai chữ số lẻ khác nhau và ba chữ số
chẳn khác nhau mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần, mà chữ số 0 đứng đầu.
+ Chọn 2 chữ số lẻ khác nhau và 2 chữ số chẵn khác nhau có C C (cách).52 42 0,5
+ Với mỗi cách chọn trên ta có: số có 8 chữ số, trong đó có hai chữ số lẻ khác nhau và hai
chữ số chẵn khác nhau mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần là:
7!
2!2! (số).
Trường hợp này có:
7!
2!2!
(số) Vậy có: 504000 75600 428400 (số)
0,5
2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho tam giác ABCcó trọng tâm
8
;0 3
G
và nội tiếp đường tròn C tâm I Biết rằng các điểm M0;1 , N4;1 lần lượt đối
xứng với I qua các đường thẳng AB AC, và đường thẳng BC qua điểm
2; 1
K Viết phương trình đường tròn C .
2,0
Trang 5Gọi H E, lần lượt là trung điểm của MN BC, suy ra H2;1
Từ giả thiết ta có các tứ giác IAMB IANC, là hình thoi
Suy ra MNCB là hình bình hành
0,5
tứ giác AHEI là hình bình hành G là trọng tâm của tam giác HIE. 0,5
Gọi FHG IE nên F là trung điểm của IE.
Ta cóBC MN , mà đường thẳng BC qua K2; 1
nên phương trình đường thẳng BC
là: y 1 0
Mặt khác:
3;
HF HG F
0,5
Ta có EFBC suy ra phương trình của EF: x 3 0 E3; 1
Vì F là trung điểm của IE I3;0 IA HE 5
Vậy phương trình đường tròn C là: 2 2
0,5
V
4,0
điể
m
1 Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi là mặt
phẳng không đi qua S và cắt các cạnh SA SB SC SD, , , lần lượt tại M N P Q, , , thỏa
mãn SA2SM SC; 3SP
Tính tỉ số
SB
SN khi giá trị biểu thức
2 2
4
T
đạt giá trị nhỏ nhất.
2,0
Đặt SB xSN SD , ySQ
với x1;y1, khi đó:
2 2
0,5
Trang 6Ta có: SA SC SB SD 2SO SD SA SC SB
(*)
0,5
Vì 4 điểm M N P Q, , , đồng phẳng nên từ (*) ta có:
x
x y
0,5
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có:
2
x y x y x y T x y
dấu ‘=’ khi x4;y1
SB
x
0,5
2 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A B C D 1 1 1 1, mặt phẳng thay đổi và song
song với hai đáy của lăng trụ lần lượt cắt các đoạn thẳng AB BC CD DA1, 1, 1, 1 tại
, , ,
M N P Q Hãy xác định vị trí của mặt phẳng để tứ giác MNPQ có diện
tích nhỏ nhất.
2,0
Giả sử mặt phẳng cắt các cạnh AA BB CC DD lần lượt tại 1, 1, 1, 1 E F G H, , , .
Do mặt phẳng ABCD
AA BB CC DD .
0,5
1
, 0 1 ; ABCD
AE
AA với S là hằng số Ta có SEHGF S
EM AM AE
x
EF AB AA
Q
1
A A E EQ
x
EH A D A A
0,5
EMQ
EFH
Chứng minh tương tự ta có:
S x x S S x x S S x x S
Ta có SMNPQ S SEMQ SPGH SPGN SNFM
0,5
Ta có
2
S
Khi đó SMNPQ
đạt giá trị nhỏ nhất là 2
S
khi
1 2
x
0,5
Trang 7Vậy mặt phẳng đi qua trung điểm các cạnh AA BB CC DD1, 1, 1, 1.
- Hết
-Chú ý:
- Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tựphân chia trên cơ sở tham khảo điểm thành phần của đáp án.
- Các trường hợp khác tổ chấm thống nhất phương án chấm.
