Bài tập hình học trường Đông 2018

Chứng minh rằng M N, BP, CQ đồng quy tại một điểm thuộc một đường tròn cố định khi B, C thay đổi.. Bài 5.[r]

Bài tập hình học trường Đông của thầy Sỹ Đức

Quang và thầy Lê Bá Khánh Trình

Sưu tầm và giới thiệu: Nguyễn Đăng Khoa Thành phố Vinh, tháng 11 năm 2018 Thầy Sỹ Đức Quang

Bài 1 Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn (O) Lấy P là một điểm nằm

trong (O) và khác O Các tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau tại D, xác định tương tự với E, F Lấy X là điểm Lemoine của 4BP C Xác định tương tự với Y, Z Chứng minh rằng DX, EY, F Z đồng quy

Bài 2 Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn (O) Lấy D, E, F lần lượt là chân

các đường cao của tam giác ABC Đường tròn (AOD), (BOE), (COF ) cắt lại (DEF ) tại

X, Y, Z

a) Chứng minh AX, BY, CZ đồng quy

b) Gọi H là trực tâm tam giác ABC, L1, L2 lần lượt là điểm Lemoine của 4ABC và 4XY Z Chứng minh rằng HL1 k OL2

Bài 3 Cho tam giác ABC nhọn không cân có tâm nội tiếp (I) Gọi X, Y, Z lần lượt là chân các

đường đối trung tại đỉnh I của 4BIC, 4CIA, 4AIB Chứng minh rằng AX, BY, CZ đồng quy

Bài 4 Cho tam giác ABC không cân có trọng tâm G Lấy D, E, F lần lượt là trung điểm

BC, CA, AB Dựng đường tròn qua E, F và tiếp xúc với cung nhỏ BC của (O) tại X Tia XG cắt (DEF ) tại A1 Xác định tương tự với Y, Z và B1, C1 Chứng minh rằng a) AA1, BB1, CC1 đồng quy

b) AG, BZ, CY đồng quy

Bài 5 Cho tam giác ABC nhọn không cân có trực tâm H nội tiếp (O) và trọng tâm G Chân

đường cao ứng với đỉnh A, B, C lần lượt là D, E, F Đoạn GA, GB, GC cắt (DEF ) lần lượt tại Ga, Gb, Gc Các tia HGa, HGb, HGc cắt (O) tại X, Y, Z Các đường tròn (AOD), (BOE), (COF ) cắt lại (O) tại X0, Y0, Z0 Chứng minh rằng XX0, Y Y0, ZZ0 đồng quy trên OH

Bài 6 Cho tam giác ABC không cân, điểm P bất kì trong tam giác Lấy D, E, F lần lượt là

trung điểm các cạnh BC, CA, AB Tia AP, BP, CP lần lượt cắt (O) tại X, Y, Z Lấy điểm

A1, B1, C1 thỏa mãn −−→

AA1 = 2−−→

BB1 = 2−→

EY ,−−→

F Z Chứng minh đường tròn (A1B1C1) đi qua điểm cố định khi P thay đổi

Bài 7 Cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ A, B, C lần lượt là D, E, F Lấy A1, B1, C1

thuộc đường tròn (ABC) sao cho AA1, BB1, CC1 đồng quy tại X Lấy A2, B2, C2 đối xứng của A1, B1, C1 qua D, E, F Chứng minh rằng (A2B2C2) đi qua trực tâm của tam giác ABC

Bài 8 Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I) Đường thẳng qua A vuông góc với AI cắt đường trung

bình của 4ABC ứng với đỉnh A tại X Định nghĩa tương tự với Y, Z

a) Chứng minh rằng đường tròn (AXI), (BY I), (CZI) có một điểm chung khác I nằm trên IG (G là điểm Gergone của tam giác ABC)

b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB Lấy X0, Y0, Z0 đối xứng với X, Y, Z qua trung điểm N P, P M, M N Chứng minh X0, Y0, Z0 thẳng hàng và vuông góc với OI Bài 9 Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I) Tiếp điểm của (I) trên BC, CA, AB là D, E, F Lấy

K là giao điểm của EF và BC Đường tròn đường kính DK cắt (I) tại P khác D Đường tròn (AEF ) cắt (ABC) tại T khác A Tiếp tuyến tại P của (I) cắt AT tại S D0 là chân đường phân giác ứng với đỉnh A của 4ABC Chứng minh rằng SD0 tiếp xúc với (I) Bài 10 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), AC cắt BD tại K Lấy G, H là trung điểm AB, CD

(I) là đường tròn (GHK) (I) giao (O) tại M, N sao cho tứ giác M GHN lồi M G cắt

HN tại P , M N cắt GH tại Q Chứng minh P K ⊥ IQ

Bài 11 Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I) tiếp điểm trên BC, CA, AB là D0, E0, F0 Lấy Q thuộc

tam giác ABC, AQ, BQ, CQ cắt BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P Tiếp tuyến của (I) tại M, N, P cắt nhau tại thành tam giác DEF Chứng minh rằng DD0, EE0, F F0 đồng quy

Bài 12 Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp (O) và ngoại tiếp (I) có đường tròn bàng

tiếp (Ia), (Ib), (Ic) Đường thẳng qua Ia song song với IcC cắt IbB tại O1 Đường thẳng qua Ia song song với IbB cắt Ictại O2 Xác định tương tự O3, O4 ứng với Ib và O5, O6 ứng với Ic

a) Chứng minh đường thẳng qua Ia vuông góc với O1O2, đường thẳng qua Ib vuông góc với O3O4 và đường thẳng qua Ic vuông góc với O5O6 đồng quy

b) Giả sử (Ia) tiếp xúc với BC, CA, AB tại K, M, N Chứng minh rằng nếu trung điểm của M N nằm trên (O) thì K nằm trên OI

Bài 13 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) và ngoại tiếp (I) Đường tròn (I) tiếp xúc

với BC, CA, AB tại A1, B1, C1 Đường tròn bàng tiếp đối diện góc A là (Ia) tiếp xúc

BC, CA, AB tại A2, B2, C2

a) Lấy IIa cắt A1C1, A2B2 lần lượt tại M, N Chứng minh M, N, A1, A2 đồng viên b) Giả sử bán kính đường tròn (O) và (Ia) bằng nhau Chứng minh BB2 và CC2 cắt nhau trên (O)

Bài 14 Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I), tiếp điểm trên AC, AB là E, F Lấy M là trung điểm

AB AM cắt EF tại N Đường tròn đường kính BC cắt BI, CI lần lượt tại X và Y

AC

AB. Bài 15 Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm ngoại tiếp (O) Đường tròn nội tiếp (I) tiếp

xúc với BC tại K Chứng minh rằng IO k BC khi và chỉ khi AO k HK

Bài 16 Cho tam giác ABC nhọn không cân Lấy D thuộc BC Gọi I1, I2 lần lượt là tâm nội tiếp

của 4ADB và 4ADC Lấy O1, O2 là tâm ngoại tiếp của 4AI1D và 4AI2D Lấy P là giao điểm của I1O2 và I2O1 Chứng minh rằng DP ⊥ BC

Thầy Lê Bá Khánh Trình

Bài 1 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có B, C cố định và A thay đổi trên (O) Dựng ra phía

ngoài tam giác các hình vuông ABEG và ACF K AK cắt BE tại M và AG cắt CF tại

N Chứng minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn (EM K) và (F N G) đi qua điểm cố định khi A thay đổi

Bài 2 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Trên BC lấy Lb, Lc sao cho ALb ⊥ OB và ALc⊥

OC Các trung tuyến qua Lb, Lc của các tam giác LbAB và LcAC cắt nhau tại Ka Xác định tương tự với Kb, Kc Chứng minh rằng AKa, BKb, CKc đồng quy

Bài 3 Cho tam giác ABC không cân có D là trung điểm BC Dựng ra phía ngoài tam giác ABC

hai tam giác vuông tại B và C đồng dạng với nhau là 4ABE và 4ACF Lấy M, N lần lượt là hình chiếu của B trên AF và C trên AE Lấy T là giao điểm thứ hai của (M DN ) giao với BC Chứng minh rằng AT, BF, CE đồng quy

Bài 4 Cho tam giác ABC có trung tuyến AI nội tiếp (O) và A cố định, B, C thay đổi trên

(O) Lấy P, Q trên AI sao cho P A = P B và QA = QC Lấy hai điểm M, N sao cho

tại một điểm thuộc một đường tròn cố định khi B, C thay đổi

Bài 5 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và ngoại tiếp (I) Đường tròn (I) tiếp xúc với BC tại D,

kẻ đường kính DE của (I) Lấy điểm F trên OI sao cho tia AF đối xứng với tia AE qua

AI Chứng minh rằng DF đi qua giao điểm khác A của đường tròn (O) và đường tròn đường kính AI

Bài 6 Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD và đường phân giác AL Lấy K sao cho

lần lượt tại E, F Tia AL cắt EF tại G Chứng minh BC, EF cắt nhau trên (AGH) Bài 7 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Lấy D trêm cung nhỏ BC và E, F trên AB, AC

sao cho AEDF là hình bình hành K là giao của EF của BC và M, N lần lượt là trung điểm BC, EF Chứng minh D, K, M, N đồng viên

Bài 8 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có B, C cố định và A thay đổi trên (O) Kẻ đường kính

AD, từ D kẻ tiếp tuyến với (O) cắt BC tại K KO cắt AB, AC lần lượt tại E, F Gọi T

là tâm đường tròn (AEF ) Chứng minh AT đi qua điểm cố định khi A thay đổi

Bài 9 Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH Lấy D là trung điểm BC Đường tròn (ABH)

cắt AC, AD tại E, M Đường tròn (ACH) cắt AC, AD tại F, N Đường tròn (DM H) giao (ACH) và (DN H) giao (ABH) tại điểm thứ hai lần lượt là P, Q Chứng minh P Q đi qua trung điểm EF

Bài 10 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có BC cố định và A di chuyển trên (O) sao cho tam giác

luôn nhọn Gọi E, F là hình chiếu của B và C trên phân giác trong góc A Lấy M, N lần lượt là các điểm đối xứng của E, F qua AB, AC Gọi K là giao của BN và CM Chứng minh rằng AK đi qua một điểm cố định khi A di chuyển