(Sáng kiến kinh nghiệm) chuyên đề hình bài toán chứng minh thảng hàng đồng quy; nhiều điểm thuộc 1 đường tròn

BÀI TOÁN CHỨNG MINH THẢNG HÀNG ĐỒNG QUY; NHIỀU ĐIỂM THUỘC 1 ĐƯỜNG TRÒN Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng Dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng là một dạng toán thường có trong các

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN LÀO CAI

TỔ TOÁN – TIN

CHUYÊN ĐỀ HÌNH : BÀI TOÁN CHỨNG MINH THẢNG HÀNG ĐỒNG QUY; NHIỀU ĐIỂM THUỘC 1 ĐƯỜNG TRÒN

LÀO CAI THÁNG 2 / 2019

BÀI TOÁN CHỨNG MINH THẢNG HÀNG ĐỒNG QUY; NHIỀU ĐIỂM THUỘC 1 ĐƯỜNG TRÒN Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng

Dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng là một dạng toán thường có trong cácbài tập, không lạ mấy nhưng khó chứng minh đối với học sinh, học sinh thường lúngtúng khi giải vì chưa nắm cơ sở để chứng minh, không thấy mối liên hệ mật thiết giữa

lý thuyết hình học liên quan đến dạng toán này như: tiên đề Ơclit, tính chất ba đườngtrong tam giác,

Sử dụng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, đường phân giác của một góc

Sử dụng tính chất cộng đoạn thẳng

Nếu AM + MB = AB thì M nằm giữa A và B

Bài toán chứng minh ba đường thẳng đồng quy

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH:

1 Chứng minh các đường thẳng là những đường đặc biệt của tam giác:

2 Sử dụng tứ giác nội tiếp:

3 Chứng minh các đường thẳng chia một đoạn (trong hoặc ngoài) theo các tỉ

6 Chứng minh một điểm thuộc ba đường thẳng đó

7.Sử dụng tính chất đồng quy trong tam giác

Ba đường thẳng chứa các đường trung tuyến

Ba đường thẳng chứa các đường phân giác

Ba đường thẳng chứa các đường trung trực

Ba đường thẳng chứa các đường các đường cao

8 Sử dụng chứng minh phản chứng

9 Sử dụng tính thẳng hàng của các điểm

10 Chứng minh các đường thẳng đều đi qua một điểm

Một số phương pháp CM nhiều điểm thuộc một đường tròn

1 Các điểm cùng cách đều một điểm khác

2 Các tam giác vuông có cạnh huyền chung chung

3 Hai tam giác có đáy chung và các góc ở đỉnh ( đối diện với đáy) cùng phíabằng nhau

( nói cách khác từ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn đoạn còn lại dưới nhữnggóc bằng nhau)

4 Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ ( Tứ giác có góc trong bằng góc ngoài tại đỉnh đối)

5 Các đỉnh của hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông, đa giác đều

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỪ CÁC TỈNH THÀNH TRONG CẢ NƯỚC

Bài 1: [TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI ĐỀ THI ĐỀ XUẤT KỲ THI HSG VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ VII MÔN TOÁN: KHỐI 11 Năm học: 2013-2014]

Cho tam giác nhọn ABC không cân Gọi H, O lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; D, E lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B của tam

giác ABC Các đường thẳng OD và BE cắt nhau tại K, các đường thẳng OE và AD cắt nhau tại L Gọi M là trung điểm cạnh AB Chứng minh rằng ba điểm K, L, M thẳng

hàng khi và chỉ khi bốn điểm C, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn.

KB S

KH =S

(cùng cạnh đáy OD),

AOE HOE

ở đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và c=AB Tương tự

khi và chỉ khi OH // DE hoặc OH đi qua

trung điểm ED.

Bằng cách vẽ tiếp tuyến

C x của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại C, dễ dàng suy ra DE //

C x , suy ra CO vuông góc với DE.

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của DE, HC Dễ thấy tứ giác CEHD nội tiếp, suy ra

QP vuông góc với DE Suy ra CO//QP.

Nếu HO đi qua trung điểm DE suy ra P là trung điểm HO, suy ra EHDO là hình bình

hành, suy ra OD // EH và EO // HD Điều này trái với giả thiết OD cắt BE cà OE cắt AD.

Vậy (1) xảy ra khi và chỉ khi OH // DE khi và chỉ khi CO vuông góc với OH khi và chỉ khi E, H, O, D cùng nằm trên một đường tròn (vì ta luôn có tứ giác CEHD nội tiếp đường tròn đường kính CH).

Bài 2: (Đề thi đề xuất trường THPT chuyên tỉnh Hà Giang, trại hè Hùng Vương lần

thứ XII) Cho tam giác ABC cân tại A Một đường tròn ω tiếp xúc với các cạnh

,

AB AC

và cắt cạnh BC lần lượt tại K và L Đoạn AK cắt đường tròn ω tại M Gọi P

và Q lần lượt là điểm đối xứng của K qua B và C Gọi O là tâm đường tròn ngoạitiếp tam giác MPQ Chứng minh rằng các điểm M O, và tâm đường tròn ω thẳng hàng.LỜI GIẢI

Gọi I là tâm của

ω

; D, E theo thứ tự

đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ.

Dễ thấy tứ giác MDKE điều hòa Do đó

Vậy qua phép vị tự tâm M đường tròn ωbiến thành đường tròn (O).

Do đó M, I, O thẳng hàng.

Bài 3: (Đề thi đề xuất trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Lai Châu, trại hè Hùng

Vương lần thứ XII) Cho ∆ABC nhọn, các đường cao AD BE CF, , cắt nhau tại H Cho K

là một điểm tùy ý trên cạnh BC (K khác B C, ) Kẻ đường kính KM của đường trònngoại tiếp tam giác BFK và đường kính KN của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEK.Chứng minh rằng M H N, , thẳng hàng

LỜI GIẢI

Gọi L là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (BKF) và (CKE).

Ta có tứ giác BFEC nội tiếp Do đó AF.AB AE AC= . ⇒

A thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn (BFK) và (CEK) Suy ra A, L, K thẳng hàng.

Vì tứ giác BFHD nội tiếp nên AH AD. =AF.AB AL AK= .

Do đó tứ giác DHLK nội tiếp.

Suy ra HL⊥AK

tam giác cân có

Bài 5: Tam giác ABC có H là trực tâm, M là trung điểm của BC, P là điểm bất kì trên

đoạn HM Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của P trên AH, AB, AC Đường thẳng

HM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại K, G (M nằm giữa H và K) Tiếp tuyến tại E, F của đường tròn ngoại tiếp tam giác EAF cắt nhau tại T Chứng minh rằng ba điểm G, D, T thẳng hàng. (Hưng Yên 2018)

Gọi AK’ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi đó K’,

H, M thẳng hàng Vậy K’ trùng K.

Ta có

· AGM =90 0

Suy ra G∈( AEFP )

Gọi R, S là chân đường cao theo thứ tự hạ từ B, C của tam giác ABC.

Xét các đường tròn (AGBC), (AGSHR), (BSRC) có các trục đẳng phương là

là các điểm chính giữa các cung »BC

G

P

O L

F1

đẳng phương Do đó tiếp tuyến chung của đường tròn đường kính AI và đường

tròn ngoại tiếp tam giác TBCtại I đi qua P Do đó AI ⊥IP

Giả sử TKI BC={ }P'

a Chứng minh rằng P, Q, F thẳng hàng.

b Chứng minh rằng tam giác CKD vuông

(Lương Văn Tụy 2018)

Gọi T là giao điểm của DP và đường tròn tâm C bán kính CD,

S QD BC L QB KC N FM AC

· = · (6)

, đường cao CD Gọi E là trung

điểm của BD, M là trung điểm của CE, phân giác của góc ·BDC

cắt CE tại P Đườngtròn tâm E đường kính BD cắt đoạn BC tại F, đường tròn tâm C bán kính CD cắt ACtại Q Gọi K =PQ∩AM

a Chứng minh rằng P, Q, F thẳng hàng

b Chứng minh rằng tam giác CKD vuông (Lương Văn Tụy 2018)

Gọi T là giao điểm của DP và đường tròn tâm C bán kính CD,

90 45

∠FAB= ∠FBA= ∠DAC = ∠DCA= ∠EAD= ∠EDA (1)

Gọi M là trung điểm của CF và X là đỉnh thứ tư của hình bình hành AMXE.Chứng minh rằng:BD,EM và FX đồng quy (Hải Dương 2018)

nên ED song song AM và E,D,X thẳng hang

M là trung điểm CF và BF ⊥BCnên MF=MB

Cho tam giác ABC vuông tại A, AC> AB.

Gọi M là điểm thay đổi trên cạnh AB Đường thẳng CM cắt đường tròn đường kính BM tại điểm thứ hai là N và cắt đường tròn tâm A bán kính AC tại điểm thứ hai là D Đường thẳng AN cắt đường tròn đường kính BM lại điểm thứ hai là E.

Chứng minh rằng khi M thay đổi thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác DEM nằm trên một đường thẳng cố định (Huế 2018)

Giả sử

=

AM k AB

Gọi P là điểm trên cạnh BC sao cho

−

=

−

2 2 3

BP k

BC k

, d là đường thẳng qua A và vuông góc với MP Chứng minh rằng ba đường thẳng d, BN và ME

đồng quy tại một điểm

a) Ta có

·ADM= ·ACM=MBN· = ·AEM

Suy ra tứ giác AMED nội

tiếp

Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua A, khi đó

ngoại tiếp tam giác DEM

Vì C’ cố định nên AC’ cố định, từ đây suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEM nằm trên đường thẳng cố định, đó là đường trung trực của AC’.

Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF nằm trên đường thẳng d là đường trung trực của AH Gọi O là trung điểm của BC Ta sẽ chứng minh MP song song với OT.

Gọi H là trung điểm AM, K là trung điểm AB và I là trung

điểm HK, Khi đó tứ giác HTKO là hình bình hành Sử dụng giả thiết

Vì

2 2 3

C