Chuyên đề hình học: Bài toán chứng minh thẳng hàng đồng quy, nhiều điểm thuộc 1 đường tròn

BÀI TOÁN CHỨNG MINH THẢNG HÀNG ĐỒNG QUY; NHIỀU ĐIỂM THUỘC 1 ĐƯỜNG TRÒN Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng Dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng là một dạng toán thường có trong các

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN LÀO CAI

TỔ TOÁN – TIN

CHUYÊN ĐỀ HÌNH : BÀI TOÁN CHỨNG MINH THẢNG HÀNG ĐỒNG QUY; NHIỀU ĐIỂM THUỘC 1 ĐƯỜNG TRÒN

LÀO CAI THÁNG 2 / 2019

BÀI TOÁN CHỨNG MINH THẢNG HÀNG ĐỒNG QUY; NHIỀU ĐIỂM THUỘC 1 ĐƯỜNG TRÒN Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng

Dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng là một dạng toán thường có trong cácbài tập, không lạ mấy nhưng khó chứng minh đối với học sinh, học sinh thường lúngtúng khi giải vì chưa nắm cơ sở để chứng minh, không thấy mối liên hệ mật thiết giữa

lý thuyết hình học liên quan đến dạng toán này như: tiên đề Ơclit, tính chất ba đườngtrong tam giác,

Sử dụng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, đường phân giác của một góc

Sử dụng tính chất cộng đoạn thẳng

Nếu AM + MB = AB thì M nằm giữa A và B

Bài toán chứng minh ba đường thẳng đồng quy

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH:

1 Chứng minh các đường thẳng là những đường đặc biệt của tam giác:

2 Sử dụng tứ giác nội tiếp:

3 Chứng minh các đường thẳng chia một đoạn (trong hoặc ngoài) theo các tỉ

6 Chứng minh một điểm thuộc ba đường thẳng đó

7.Sử dụng tính chất đồng quy trong tam giác

Ba đường thẳng chứa các đường trung tuyến

Ba đường thẳng chứa các đường phân giác

Ba đường thẳng chứa các đường trung trực

Ba đường thẳng chứa các đường các đường cao

8 Sử dụng chứng minh phản chứng

9 Sử dụng tính thẳng hàng của các điểm

10 Chứng minh các đường thẳng đều đi qua một điểm

Một số phương pháp CM nhiều điểm thuộc một đường tròn

1 Các điểm cùng cách đều một điểm khác

2 Các tam giác vuông có cạnh huyền chung chung

3 Hai tam giác có đáy chung và các góc ở đỉnh ( đối diện với đáy) cùng phíabằng nhau

( nói cách khác từ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn đoạn còn lại dưới nhữnggóc bằng nhau)

4 Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ ( Tứ giác có góc trong bằng góc ngoài tại đỉnh đối)

5 Các đỉnh của hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông, đa giác đều

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỪ CÁC TỈNH THÀNH TRONG CẢ NƯỚC

Bài 1: [TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI ĐỀ THI ĐỀ XUẤT KỲ THI HSG VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ VII MÔN TOÁN: KHỐI 11 Năm học: 2013-2014]

Cho tam giác nhọn ABC không cân Gọi H, O lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; D, E lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B của tam

giác ABC Các đường thẳng OD và BE cắt nhau tại K, các đường thẳng OE và AD cắt nhau tại L Gọi M là trung điểm cạnh AB Chứng minh rằng ba điểm K, L, M thẳng

hàng khi và chỉ khi bốn điểm C, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn.

KB S

KH =S

(cùng cạnh đáy OD),

AOE HOE

ở đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và c=AB Tương tự

Từ các kết quả trên ta có (1)�S HOD =S HOE khi và chỉ khi OH // DE hoặc OH đi qua

trung điểm ED.

Bằng cách vẽ tiếp tuyến C x của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại C, dễ dàng suy ra DE // C x , suy ra CO vuông góc với DE.

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của DE, HC Dễ thấy tứ giác CEHD nội tiếp, suy ra

QP vuông góc với DE Suy ra CO//QP.

Nếu HO đi qua trung điểm DE suy ra P là trung điểm HO, suy ra EHDO là hình bình

hành, suy ra OD // EH và EO // HD Điều này trái với giả thiết OD cắt BE cà OE cắt

AD.

Vậy (1) xảy ra khi và chỉ khi OH // DE khi và chỉ khi CO vuông góc với OH khi và chỉ khi E, H, O, D cùng nằm trên một đường tròn (vì ta luôn có tứ giác CEHD nội tiếp đường tròn đường kính CH).

Bài 2: (Đề thi đề xuất trường THPT chuyên tỉnh Hà Giang, trại hè Hùng Vương lần

thứ XII) Cho tam giác ABC cân tại A Một đường tròn  tiếp xúc với các cạnh

,

AB AC và cắt cạnh BC lần lượt tại K và L Đoạn AK cắt đường tròn  tại M Gọi P

và Q lần lượt là điểm đối xứng của K qua B và C Gọi O là tâm đường tròn ngoạitiếp tam giác MPQ Chứng minh rằng các điểm M O, và tâm đường tròn  thẳng hàng.LỜI GIẢI

Gọi I là tâm của

đường tròn ngoại tiếp tam giác

Dễ thấy DE // PK, mà BP BK nên D PKBE  1

Vậy D MKBE D PKBE  Từ đó DM �DP hay M, D, P thẳng hàng.

Bài 3: (Đề thi đề xuất trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Lai Châu, trại hè Hùng

Vương lần thứ XII) Cho ABC nhọn, các đường cao AD BE CF, , cắt nhau tại H Cho K

là một điểm tùy ý trên cạnh BC (K khác B C, ) Kẻ đường kính KM của đường tròn

ngoại tiếp tam giác BFK và đường kính KN của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEK.Chứng minh rằng M H N, , thẳng hàng.

LỜI GIẢI

Gọi L là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (BKF) và (CKE).

Ta có tứ giác BFEC nội tiếp Do đó AF.AB AE AC . �A thuộc trục đẳng phương của

hai đường tròn (BFK) và (CEK) Suy ra A, L, K thẳng hàng.

Vì tứ giác BFHD nội tiếp nên AH AD. AF.AB AL AK . Do đó tứ giác DHLK nội tiếp.

Suy ra HL AK .

Mà ML AK nên M, H, L thẳng hàng.

Tương tự N, H, L thẳng hàng Từ đó suy ra M, H, N thẳng hàng.

Bài 4 : Cho đường tròn O r�; 1 và đường tròn O r�; 2 tiếp xúc ngoài tại C Đường tròn

 O r; tiếp xúc ngoài với hai đường tròn O r�; 1

và O r�; 2

Tiếp tuyến chung tại C của

đường tròn O r�; 1 vàO r�; 2 là d Đường kính AB của đường tròn  O r; vuông góc với

d Chứng minh rằngAO, BO, d đồng quy ( Bắc Ninh 2018)

LỜI GIẢI

Giả sử d cắt BO’ và AO’’ lần lượt tại D và E.

2

r CE

Bài 5: Tam giác ABC có H là trực tâm, M là trung điểm của BC, P là điểm bất kì trên

đoạn HM Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của P trên AH, AB, AC Đường thẳng

HM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại K, G (M nằm giữa H và K) Tiếp tuyến

tại E, F của đường tròn ngoại tiếp tam giác EAF cắt nhau tại T Chứng minh rằng ba điểm G, D, T thẳng hàng. (Hưng Yên 2018)

Gọi AK’ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi đó K’,

H, M thẳng hàng Vậy K’ trùng K.

Ta có� AGM 90 0 Suy ra G�( AEFP )

Gọi R, S là chân đường cao theo thứ tự hạ từ B, C của tam giác ABC.

Xét các đường tròn (AGBC), (AGSHR), (BSRC) có các trục đẳng phương là

Bài 6:

Cho tam giácABC AB ( AC) nội tiếp đường tròn ( )O và ngoại tiếp đường tròn

( )I Gọi tiếp điểm của ( )I với BC CA AB, , lần lượt là D E F, , Gọi S T, lần lượt

là các điểm chính giữa các cung BC � chứa A và cung BC � không chứa A của ( )O .

SI cắt ( )O tại điểm thứ hai là K Gọi Mlà điểm đối xứng của A qua O MI cắt ( )O

tại điểm thứ hai là N INgiao EF tại G

a) Chứng minh rằng các đường thẳng AN TK CB, , đồng quy và DGsong song với AI

b) Chứng minh rằng đường nối trực tâm tam giác AEFvà trực tâm tam giác

ABC đi qua G

G: Gọi P là giao của AN BC, Ta có thể thấy các điểm A N F I E, , , , thuộc đường tròn đường kính AI

Xét tam giácTBI có �TBI  �TBC �CBI  �BAI  �ABI  �TIB do đó



TB TI Tương tự ta có TI TC Do đó T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC Do T I, và trung điểm của AI thẳng hàng nên đường tròn đường kính AI và đường tròn ngoại tiếp tam giác TBC tiếp xúc nhau tại I Các trục đẳng phương của

ba đường tròn:( )O , đường tròn đường kính AI và đường tròn ngoại tiếp tam giác

TBCđồng quy tại tâm

S

V

Z J

Cho tam giác ABC cân tại A có A� 90 0

, đường cao CD Gọi E là trungđiểm của BD, M là trung điểm của CE, phân giác của góc BDC�

cắt CE tại P.Đường tròn tâm E đường kính BD cắt đoạn BC tại F, đường tròn tâm C bán kính CDcắt AC tại Q Gọi KPQ�AM

a Chứng minh rằng P, Q, F thẳng hàng

b Chứng minh rằng tam giác CKD vuông

(Lương Văn Tụy 2018)

Gọi T là giao điểm của DP và đường tròn tâm C bán kính CD,

90 45

DAC DCQ

Vậy CT CD QT, BC.

Kết hợp với BDCD DF, BC, suy ra CT DB QT DFP , P (1)

Vì DF BF ED, EB nên EFB EBF�  �  �ACB Do đó: QCPFE(2)

Từ (1) và (2) suy ra CE, TD, QF đồng quy Điều đó có nghĩa là P, Q, F thẳng hàng

Do đó AL là phân giác góc BAQ�

Kết hợp với AB=AC, suy ra LB=LC Vậy QBC�  KCF� (5)

Vì CQCD CDB,�  90 , 0 DFBC nên CQ2CD2 CF CB. �CBQ: CQF.Vậy QBC�  �FQC(6)

Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A có  �A 90 0

, đường cao CD Gọi E là trungđiểm của BD, M là trung điểm của CE, phân giác của góc BDC�

cắt CE tại P Đườngtròn tâm E đường kính BD cắt đoạn BC tại F, đường tròn tâm C bán kính CD cắt ACtại Q Gọi K PQ�AM

a Chứng minh rằng P, Q, F thẳng hàng

b Chứng minh rằng tam giác CKD vuông (Lương Văn Tụy 2018)

Gọi T là giao điểm của DP và đường tròn tâm C bán kính CD,

90 45

Vì DFBF ED, EB nên EFB EBF ACB� � � Do đó: QC FEP (2).

Từ (1) và (2) suy ra CE, TD, QF đồng quy Điều đó có nghĩa là P, Q, F thẳng hàng

Vì CQ CD CDB ,�  90 , 0 DF BC nên CQ2 CD2 CF CB � CBQ: CQF.Vậy QBC� �FQC(6)

�FAB �FBA �DAC  �DCA �EAD �EDA (1)

Gọi M là trung điểm của CF và X là đỉnh thứ tư của hình bình hành AMXE.Chứng minh rằng:BD,EM và FX đồng quy (Hải Dương 2018)

EDA MAD nên ED song song AM và E,D,X thẳng hang

M là trung điểm CF và BF BCnên MF=MB

Vậy BD,XF,EM đồng quy

Bài 10:

Cho tam giác ABC vuông tại A, AC AB. Gọi M là điểm thay đổi trên cạnh AB.

Đường thẳng CM cắt đường tròn đường kính BM tại điểm thứ hai là N và cắt đường tròn tâm A bán kính AC tại điểm thứ hai là D Đường thẳng AN cắt đường tròn đường kính BM lại điểm thứ hai là E.

Chứng minh rằng khi M thay đổi thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác

DEM nằm trên một đường thẳng cố định (Huế 2018)

BC k , d là đường thẳng qua A và vuông góc với MP Chứng minh rằng ba đường thẳng d, BN và ME

đồng quy tại một điểm

a) Ta có �ADM�ACMMBN� �AEM Suy ra tứ giác AMED nội tiếp

Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua A, khi đó �AC M ACM ADM' � � do đó

tứ giác AC’MD nội tiếp.Vậy 5 điểm A, M, E, D, C’ cùng nằm trên một

đường tròn (T) Tâm T của đường tròn này cũng là tâm của đường tròn

ngoại tiếp tam giác DEM

Vì C’ cố định nên AC’ cố định, từ đây suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEM nằm trên đường thẳng cố định, đó là đường trung trực của

AC’.

Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF nằm trên đường thẳng d là đường trung trực của AH Gọi O là trung điểm của BC Ta sẽ chứng minh MP song song với OT.

Gọi H là trung điểm AM, K là trung điểm AB và I là trung điểm HK, Khi đó tứ giác HTKO là hình bình hành Sử dụng giả thiết

Vì

2 2 3

BN là trục đẳng phương của đường tròn đường kính BM và đường tròn đường

kính BC, d là trục đẳng phương của (T) và đường tròn đường kính BC Suy ra ba

đường thẳng d, ME, BN đồng quy tại một điểm.

Bài 11 : Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O).Trên đường tròn (O) lấy 20

Giả sử ta có hình vẽ như trên (các trường hợp khác tương tự)

Suy ra: Tứ giácAPFN nội tiếp Lại có tứ giác KPAF nội tiếp Vậy các điểm A, F, K,

N, P cùng thuộc một đường tròn (I)

b) Gọi H là giao điểm thứ hai của EF với đường tròn (O)

HK là đường kính của đường tròn (I) Gọi là giao điểm

Suy ra hai tam giác PKS’ và HPK đồng dạng (c.g.c)

tiếp xúc với đường tròn (I)

Hoàn toàn tương tự cũng tiếp xúc với đường tròn (I), suy ra đpcm

Bài 12 :

Cho tam giác nhọn có nội tiếp đường tròn , đường phân giác tronggóc cắt tại khác Lấy điểm di chuyển trên đoạn thẳng , không trùngvới và Tia cắt tại và cắt đường tròn tại ; tia cắt tại

và cắt đường tròn tại Tiếp tuyến của đường tròn tại và đường thẳng qua , song song cắt nhau tại

a Chứng minh rằng 3 điểm thẳng hàng

b Các đường thẳng cắt nhau tại Chứng minh rằng đường thẳng luôn

đi qua một điểm cố định khi di chuyển trên (Quảng Ngãi 2018)

Áp dụng định lý Pascal cho bộ điểm , ta được 3 điểm thẳng hàng

Áp dụng mô hình tứ giác toàn phần, ta có

ứng Chứng minh AC, BD, IL, JK, MN và M’N’ đồng quy

(Bình Định 2018)

Gọi G là giao điểm của AC và BD.

Trước hết ta chứng minh H, E, F thẳng hàng Thật vậy, do các tứ giác ABCD,

AEHD, CFHD nội tiếp nên ta có

Từ (1), (2), (3) ta được và Suy ra GI, GL tương ứng là

phân giác trong các góc và Mà hai góc nay là hai góc đối đỉnh nên

G, I, L thẳng hàng.

Tiếp theo ta cần chứng minh KJ và MN, M’N’ cũng qua G Xét hai tam giác AIJ

và CKL ta có CK cắt AJ tại F, IJ cắt KL tại H, IA cắt LC tại E Mà H, F, E thẳng hàng nên theo định lý Desargues thì AC, JK, IL đồng quy tại G Lại xét hai tam giác FAC và HBD có FH, AB, CD đồng quy Mà FA cắt HB tại M, AC cắt BD tại G,

FC cắt HD tại N nên theo định lý Desargues thì M, N, G thẳng hàng Tương tự thì

Suy ra: Tứ giácAPFN nội tiếp Lại có tứ giác KPAF nội tiếp Vậy các điểm A, F, K,

N, P cùng thuộc một đường tròn (I)

b) Gọi H là giao điểm thứ hai của EF với đường tròn (O)

HK là đường kính của đường tròn (I) Gọi là giao điểm

Suy ra hai tam giác PKS’ và HPK đồng dạng (c.g.c)

tiếp xúc với đường tròn (I)

Hoàn toàn tương tự cũng tiếp xúc với đường tròn (I), suy ra đpcm

Bài 12 :

Cho tam giác nhọn có nội tiếp đường tròn , đường phân giác tronggóc cắt tại khác Lấy điểm di chuyển trên đoạn thẳng , không trùngvới và Tia cắt tại và cắt đường tròn tại ; tia cắt tại

và cắt đường tròn tại Tiếp tuyến của đường tròn tại và đường thẳng qua , song song cắt nhau tại

a Chứng minh rằng 3 điểm thẳng hàng

b Các đường thẳng cắt nhau tại Chứng minh rằng đường thẳng luôn

đi qua một điểm cố định khi di chuyển trên (Quảng Ngãi 2018)

Áp dụng định lý Pascal cho bộ điểm , ta được 3 điểm thẳng hàng

Áp dụng mô hình tứ giác toàn phần, ta có

ứng Chứng minh AC, BD, IL, JK, MN và M’N’ đồng quy

(Bình Định 2018)

Gọi G là giao điểm của AC và BD.

Trước hết ta chứng minh H, E, F thẳng hàng Thật vậy, do các tứ giác ABCD,

AEHD, CFHD nội tiếp nên ta có

Từ (1), (2), (3) ta được và Suy ra GI, GL tương ứng là

phân giác trong các góc và Mà hai góc nay là hai góc đối đỉnh nên

G, I, L thẳng hàng.

Tiếp theo ta cần chứng minh KJ và MN, M’N’ cũng qua G Xét hai tam giác AIJ

và CKL ta có CK cắt AJ tại F, IJ cắt KL tại H, IA cắt LC tại E Mà H, F, E thẳng hàng nên theo định lý Desargues thì AC, JK, IL đồng quy tại G Lại xét hai tam giác FAC và HBD có FH, AB, CD đồng quy Mà FA cắt HB tại M, AC cắt BD tại G,