MỤC LỤC3 Một số hệ thức véc-tơ trọng tâm, cần nhớ 2 5 Phân tích một véc-tơ theo ba véc-tơ không đồng phẳng 2 1 Tích vô hướng của hai véc-tơ trong không gian 19... Xác định góc giữa hai v
Trang 1MỤC LỤC
3 Một số hệ thức véc-tơ trọng tâm, cần nhớ 2
5 Phân tích một véc-tơ theo ba véc-tơ không đồng phẳng 2
1 Tích vô hướng của hai véc-tơ trong không gian 19
Trang 2Dạng 1 Xác định góc giữa hai véc-tơ 20
4 Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng 44
5 Phép chiếu vuông góc và định lý ba đường vuông góc 45
Dạng 3 Xác định thiết diện của một khối đa diện cắt bởi mặt phẳng đi qua một điểm
2 Cách xác định góc của hai mặt phẳng cắt nhau 85
5 Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương 86
Trang 3B CÁC DẠNG TOÁN 86
1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 125
2 Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng 125
3 Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng song song 125
4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 125
5 Đường thẳng vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 126
Trang 4CHƯƠNG 3 QUAN HỆ VUÔNG GÓC
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 CÁC ĐỊNH NGHĨA
1 Véc-tơ là một đoạn thẳng có hướng (có phân biệt điểm đầu và điểm cuối)
2 Véc-tơ - không là véc-tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau Ký hiệu #»0
AB|, độ dài của #»a ký hiệu là | #»a |
5 Giá của véc-tơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của véc-tơ đó
6 Hai véc-tơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau
7 Hai véc-tơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng
8 Hai véc-tơ bằng nhau là hai véc-tơ cùng hướng và có cùng độ dài
Tức là #»a = #»
b ⇔(#»a , #»b cùng hướng
| #»a | = |#»
b |
9 Hai véc-tơ đối nhau là hai véc-tơ ngược hướng nhưng vẫn có cùng độ dài
10 Các phép toán cộng, trừ, nhân véc-tơ với một số được định nghĩa tương tự trong mặt phẳng
2 CÁC QUY TẮC TÍNH TOÁN VỚI VÉC-TƠ
1 Quy tắc ba điểm (với phép cộng): # »
AB +# »
BC = # »AC
2 Quy tắc ba điểm (với phép trừ): # »
OB −# »
OA = # »AB
Trang 52 G là trọng tâm của tam giác ABC ⇔ # »
AM (với O là một điểm bất kỳ, M là trung điểm cạnh BC)
3 G là trọng tâm của tứ diện ABCD ⇔ # »
4 ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VÉC-TƠ
Định nghĩa 1 Trong không gian, ba véc-tơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng songsong với một mặt phẳng nào đó
Hệ quả 1 Nếu có một mặt phẳng chứa véc-tơ này đồng thời song song với giá của hai véc-tơ kia thì
ba véc-tơ đó đồng phẳng
Định lí 1 (Điều kiện để ba véc-tơ đồng phẳng) Trong không gian cho hai véc-tơ #»a và #»
b khôngcùng phương và véc-tơ #»c Khi đó #»a ,#»
b và #»c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số (m; n) sao cho
#»c = m #»a + n#»b (cặp số (m; n) nêu trên là duy nhất).
4! Bốn điểm phân biệt A, B, C, D đồng phẳng ⇔ # »
3 Bình phương vô hướng của một véc-tơ: #»a2= | #»a |2
4! Một số ứng dụng của tích vô hướng
Trang 62 Công thức tính cô-sin của góc hợp bởi hai véc-tơ khác #»
3 Công thức tính độ dài của một đoạn thẳng: AB =
# »AB =p# »
AB2
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1 Xác định véc-tơ và các khái niệm có liên quan
Phương pháp giải:
Dựa vào định nghĩa của các khái niệm liên quan đến véc-tơ (xem mục 1)
Dựa vào tính chất hình học của các hình hình học cụ thể
Ví dụ 1 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 Hãy xác định các véc-tơ (khác #»0 ) có điểm đầu, điểm cuối
A0B0;# »
B0A0;# »
C0D0;# »
D0C0b) Các véc-tơ có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình hộp cùng phương với # »
Ví dụ 2 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 Gọi O, O0 lần lượt là các giao điểm của hai đườngchéo của hai đáy Hãy xác định các véc-tơ (khác #»0 ) có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình lậpphương ABCD.A0B0C0D0 sao cho
Để chứng minh đẳng thức véc-tơ ta thường sử dụng:
Qui tắc cộng, qui tắc trừ ba điểm, qui tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp
Tính chất trung điểm, trọng tâm tam giác, tích một số với một véc-tơ Để biến đổi vế nàythành vế kia
Trang 7Ví dụ 1 Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì trong không gian Chứng minh rằng:
# »
AB +# »
CD = # »
AD +# »CB
Ví dụ 2 Cho tứ diện A, B, C, D Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD
a) Chứng minh rằng: # »
IJ = 12
Ä# »
AD +# »
BCäb) Cho G là trung điểm của I, J Chứng minh rằng: 4# »
M G = # »
M A +# »
M B +# »
M C +# »
M D, với mọi điểm
M trong không gian
-Lời giải
a) Chứng minh rằng: # »
IJ = 12
Dạng 3 Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức véc-tơ
Phương pháp giải:
Dựa vào các yếu tố cố định như điểm và véc-tơ
Các bước thực hành giải toán:
1 Biến đổi đẳng thức véc-tơ cho trước về dạng: # »
OM = #»v Trong đó: Điểm O và véc-tơ #»v đã biết
2 Nếu muốn dựng điểm M , ta lấy O làm gốc dựng một véc-tơ bằng véc-tơ #»v , khi đó điểmngọn của véc-tơ này chính là M
Ứng dụng tính chất tâm tỉ cự của hệ điểm
Với các điểm A1, A2, · · · , An và các số α1, α2, · · · , αn thỏa mãn điều kiện
nX
i=1
ai 6= 0
Tồn tại duy nhất điểm M sao cho:
nX
i=1
αi# »
M Ai = #»
0 Điểm M như vậy gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm {A1, A2, · · · , An} với các hệ số tương ứng là{α1, α2, · · · , αn}
Trong trường hợp αi= αj ∀i, j điểm M gọi là trọng tâm của hệ điểm {A1, A2, · · · , An}
Một số kết quả thường sử dụng
Với A, B, C là các điểm cố định, #»v là véc-tơ đã biết
Trang 8M A = # »
M B
... DẠNG TOÁN
Dạng Xác định véc-tơ khái niệm có liên quan
Phương pháp giải:
Dựa vào định nghĩa khái niệm liên quan đến véc-tơ (xem mục 1)
Dựa vào tính chất hình học...
M Ai = #»
0 Điểm M gọi tâm tỉ cự hệ điểm {A1, A2, · · · , An} với hệ số tương ứng là{α1, α2, · · · , αn}... ta lấy O làm gốc dựng véc-tơ véc-tơ #»v , điểmngọn véc-tơ M
Ứng dụng tính chất tâm tỉ cự hệ điểm
Với điểm A1, A2, · · · , An số α1,