Chuyên đề quan hệ vuông góc luyện thi THPT quốc gia

Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a′ và b′ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a vàb..  Nếu hai mặt phẳng đó

CH Ủ ĐỀ 8: VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC

VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN

nếu k < 0 +) k a  = k a 

+) a2 =a a   = a2

b) Nếu ba véc tơ a b c   , ,

không đồng phẳng thì mọi véc tơ x

đều được biểu diễn dưới dạng:

x=ma+nb+kc

với m n k, , xác định duy nhất

B CÁC D ẠNG TOÁN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN

Ví dụ 1 Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh AB và G là trộng tâm cảu tam giác BCD

G

Ví dụ 2 Cho tứ diện đều ABCD , M và N theo thứ tự là trung điểm của cạnh AB và CD Mệnh đề nào

sau đây sai?

N

Gọi N là trung điểm của CD Tam giác đều BCD nên BN ⊥CD Tam giác ACDcân tại A nên

− C.

2

c a b

−

(Với S là điểm tùy ý)

C.Nếu tồn tại điểm S mà SA SC SB SD   + = +

C Đúng – Chứng minh tương tự như ý B

Ví dụ 6 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi M là trung điểm của AA', O là tâm của hình bình hành

ABCD Cặp ba vecto nào sau đây đồng phẳng?

Cách 1: Ta có MO//(CDA B' ' ;) AB/ / ' 'A B ⇒AB//(CDA B' ' , ' ') B C n ằm trong mặt phẳng

(CDA B' ') nên các vecto MO AB BC  , ,

d ồng phẳng vì có giá song song hay nằm trên mặt phẳng (CDA B' ')

Qua M v ẽ mặt phẳng ( )α song song v ới AD và BC

( )α cắt AC tại P, BD tại Q và CD tại N Ta có MP PN AD// //

Tính

MN NP

N

Ví dụ 10 Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CB, AD và G là

trọng tâm tam giác BCD, α là góc giữa 2 vectơ MG

2 2

cosα

C Bài t ập rèn luyện kỹ năng

Câu 1: Cho ABCD A B C D 1 1 1 1là hình hộp, với K là trung điểm CC1 Tìm khẳng định đúng trong các

Câu 3: Cho hình hộp ABCD A B C D 1 1 1 1 Khi đó: tổng 3 góc (D A 1 1, CC1)+(C B 1 , DD )1 +(DC 1, A1B)

2 2 2 2

Câu 6: Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A.Ba vectơ đồng phẳng là 3 vec tơ cùng nằm trong một mặt phẳng

7.42 cm

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD

⇒ G là trung điểm của MN ⇒GM  +GN =0

Ch ọn C

Câu 8: Cho ba vectơ a b c  , ,

không đồng phẳng xét các vectơx =2a  −b y; = −4a+2 ;b z  = − −3a 2cChọn mênh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A.Hai vec tơ y z,

N M

G

Câu 11: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?

A.Nếu giá của ba vectơ cắt nhau từng đôi một thì 3 vectơ đồng phẳng

C.Nếu giá của ba vectơ a b c  , ,

cùng song song với một mật phẳng thì ba vec tơ đó đồng phẳng

D.Nếu trong ba vectơ a b c  , ,

có ha vec tơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng

Câu 13: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A.Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu     AB+BC+CD+DA=0

Câu 15: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BD lần lượt lấy M, Nsao cho AM=3MD; BN=3NC.

Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AD, BC.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

3

/ / , / /1

⇒ NEMF là hình bình hành và 3 vec tơ BA DC MN  , ,

có giá song song hoặc nằm trên mặt

Q

P

N

FM

E

Câu 18: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa GA   +GB+GC=0

( G là trọng tâm của tứ diện) Gọi O là giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Hướng dẫn giải

Gọi M, N là trung điểm của BC, AD

⇒ G là trung điểm MN Gọi H là hình chiếu của N lên MD ⇒ NH là đường trung bình của

Câu 21: Trong không gian cho hai tia Ax, By chéo nhau sao cho AB vuông góc với cả hai tia đó Các

điểm M, N lần lượt thay đổi trên Ax, By sao cho độ dài đoạn MN luôn bằng giá trị c không đổi (c≥ AB) Gọi ϕ là góc giữa Ax, By Giá trị lơn nhất của AM, BN

Góc gi ữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng vuông góc

1 Định nghĩa:

Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b là góc nhỏ nhất trong bốn

góc mà a và b cắt nhau tạo nên

Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b trong không gian là góc

giữa hai đường thẳng a′ và b′ cùng đi qua một điểm và lần lượt song

song (hoặc trùng) với a vàb

Chú ý: góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn ( hoặc vuông )

Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hướng: nếu u và v

lần lượt là hai vecto chỉ phương ( hoặc vecto pháp tuyến ) của hai đường thẳng a và b thì góc ϕ của hai đường thẳng này được xác

Ví d ụ 1: Cho hình lập phươngABCD A B C D ′ ′ ′ ′ Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm các cạnhAB, BC ,

C D ′ ′ Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và AP

Ta có AC là đường chéo của hình vuông ABCD nên AC = a 2

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACP ta có:

( )

23

3

14

Gọi I là trung điểm của AC Ta có IM =IN =a

Áp dụng định lý cosin cho ∆IMN ta có:

Ví d ụ 3 : Cho lăng trụ ABCA B C ′ ′ ′ có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A ,

AB= , a AC=a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A′ trên mặt phẳng (ABC là trung )

điểm của cạnh BC Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA′, B C′ ′

Ví dụ 11 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD∆ Gọi M là trung

điểm CD Tính cosin góc của AC và BM

Cách 1 Gọi N là trung điểm AD ta có: MN AC // ⇒( AC BM; )=(MN BM; ) Ta tính góc

.2

Nếu đường thẳng a không vuông góc với ( )P thì góc gi ữa đường thẳng a và ( )P là góc giữa

a và hình chi ếu a′ của a trên ( )P

2 Phương pháp tính

Ví d ụ 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA⊥(ABCD) và SA=a 6

Gọi α là góc giữa SC và (SAB , ) β là góc giữa AC và (SBC Giá tr) ị tanα+sinβ bằng?

Để xác định góc giữa SC và (SAB ) ta xác định hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAB Ta )

có: S là hình chi ếu của S trên (SAB , ) B là hình chiếu của C trên (SAB vì ) BC AB

Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S ABCD , đáy có cạnh bằng a và có tâm O Gọi ,M Nlần lượt là trung

điểm của SA,BC Biết góc giữa MNvà (ABCD)bằng 60° Tính góc giữa MNvà (SAO )

Gọi P là trung điểm của AO⇒ MPlà đường trung bình của ∆SAO⇒MP/ /SO

M

N O

S

H P

⇒ MP⊥(ABCD) ⇒ Góc giữa MNvà (ABCD b) ằng góc  60MNP= °

Áp dụng định lý cosin cho ∆PNC ta có:

2 2

MN

= = Nên nếu gọi ϕlà góc giữa MNvà (SAO thì: )

1sin

 ≤ ≤ 

Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác đều S ABC có a là độ dài cạnh đáy và CBS =α Gọi ϕlà góc giữa

cạnh bên với đáy Tính sinϕ theo α

Gọi H là trung điểm BC, Olà chân đường cao hạ từ S

H

B S

O

Ví dụ 12 Cho hình chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng avà CBS =α Gọi ϕ là góc giữa cạnh bên và

đáy Tính sinϕ theo α

Gọi H là trung điểm BC , O là chân đường cao hạ từ S

SA

αϕ

Ví dụ 13 Cho hình chóp đều S ABCD Thiết diện qua đỉnh A và vuông góc với cạnh bên SC có diện

tích thiết diện đó bằng nửa diện tích đáy Gọi α là góc giữa cạnh bên và đáy Tính α

Đặt cạnh đáy hình vuông ABCD là a⇒ AC=a 2

Giả sử thiết diện qua A là cắt SC , SB , SD lần lượt tại K, N , M

Theo giả thiết SC⊥(ANKM)⇒MN ⊥SC

Mặt khác: BD SC⊥ (vì BD⊥(SAC)) ⇒MN BD// ⇒MN ⊥(SAC)⇒MN ⊥AK

1.2

Ví dụ 14 Cho hình chóp S ABCD đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA AB a= =

Tính diện tích tam giác SBD theo a

23

23

26

2 a

Lời giải Chọn C

Gọi H là hình chiếu của C lên SO (O=AC∩BD) (vì góc SOC tù nên H nằm ngoài SO )

 Nếu hai mặt phẳng đó song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0

2 phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau

 Phương pháp 1: Dựng hai đường thẳng a, b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng ( )α và ( )β Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng ( )α và ( )β là ( ( ) ( )α , β )=( )a b, Tính góc ( )a b,

 Phương pháp 2:

 Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng ( )α và ( )β

 Dựng hai đường thẳng a, blần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến

c tại một điểm trên c Khi đó: ( ( ) ( )α , β )=( )a b,

Hay ta xác định mặt phẳng phụ ( )γ vuông góc với giao tuyến c mà ( ) ( )α ∩ γ = , a

( ) ( )β ∩ γ = Suy ra b ( ( ) ( )α , β )=( )a b,

 Phương pháp 3: (trường hợp đặc biệt)

 Nếu có một đoạn thẳng nối hai điểm A, B (A∈( )α ,B∈( )β ) mà AB⊥( )β thì qua Ahoặc B

ta dựng đường thẳng vuông góc với giao tuyến c của hai mặt phẳng tại H Khi đó

( ) ( )

( α , β )=AHB

Ví dụ 1 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD cạnh đáy ABCD bằng a và SA=SB=SC=SD= a

Tính cosin góc giauwx hai mặt phẳng (SAB và ) (SAD )

−

Lời giải Chọn B

Gọi I là trung điểm SA Do tam giác SAD và SAB đều nên

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính

10arccos

10 D.

10arccos

3

Nhận xét: Theo định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng ta đi xác định hai đường thẳng lần lượt

vuông góc với hai mặt phẳng (SBC và ) (SCD )

Lời giải Chọn A

Vì ABCD là nửa lục giác đều nên AD DC CB a= = =

Dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với (SCD )

Trong mặt phẳng (ABCD ) dựng AH CD⊥ tại H ⇒CD⊥(SAH)

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SBC và ) (SCD ) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng ấy là AP và AQ

Tam giác SAC vuông cân tại A 6

SC a AQ

AQ

arccos

5

Ví dụ 3 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA BC a= = , SA⊥(ABC),

SA= Gọi a E F, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB AC, Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SEF và ) (SBC )

Nhận xét: Giao tuyến của hai mặt phẳng (SEF và ) (SBC ) là đường thẳng St đi qua S và

song song với EF và BC nên ta xác định hai đường thẳng qua S và lần lượt nằm trong hai

mặt phẳng (SEF và ) (SBC ) và cùng vuông góc với St (ta đi chứng minh hai đường thẳng đó

Vậy SB và SE cùng đi qua S và cùng vuông góc với St nên góc giữa hai mặt phẳng (SEF )

và (SBC ) bằng góc giữa hai đường thẳng SB và SE

Ví dụ 4 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA= và a SA⊥(ABC),

AB=BC= Tính góc giữa hai mặt phẳng a (SAC và ) (SBC )

Nhận xét: Ta áp dụng phương pháp 3 - trường hợp đặc biệt

Lời giải

a a a a

D E

C

Vì vậy theo trường hợp đặc biệt ta chỉ cần dựngDE SI với E SI

Khi đó, SIBED SAD SSBC ,  EB ED , BED, (VìBED vuông tạiD)

 vuông tại D tanBED BD 7

DE

Ví d ụ 6: Cho tam giácABC vuông cân tại A có AB a , trên đường thẳng d vuông góc với ABC tại điểm Ata lấy một điểm D Tính góc giữa hai mặt phẳngABC vàDBC, trong trường hợp DBC là tam giác đều

A.arccos1

3 arccos

3 arccos

3 arccos

6

Đáp Án: B

L ời giải:

Gọi là góc giữa hai mặt phẳngABC vàDBC

Theo công thức diện tích hình chiếu của đa giác, ta có:SABCSDBC.cos

Mà:

2 0

S S



Ví Dụ 7: Cho lăng trụ đứng OAB O A B ' ' ' có các đáy là các tam giác vuông cânOA OB a AA  , ' a 2

Gọi M P, lần lượt là trung điểm các cạnhOA AA, ' Tính diện tích thiết diện khi cắt lăng trụ bởi B MP' ?

B D

H

Gọi R là giao điểm của MP và OO' , Q là giao điểm của B R' vớiOB

Thiết diện là tứ giácMPB Q' , ta có: 1

S S

AB AC a BAC cạnh bên BB a' = Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh rằng tam

giác AB I' vuông ở A Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (A B C) (v AB I à ' )

A 15

30

10

15.30

Đáp án B

Lời giải

Q M

R P

H

Áp dụng định lý cosin cho ∆ABC ta có: BC2 =a2 +a2 − 2 cos120a2 0 = 3 a2

Áp dụng định lý Py – ta – go cho tam giác:

a S

cos

BÀI T ẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

A Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó

B Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn

C Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song

với c (hoặc b trùng với c )

D Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì b song song

với c

A Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho

B Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( )P b ằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng

( )P khi a và b song song (ho ặc a trùng với b )

a a

a

B B'

A

A'

C C'

I

C Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( )P b ằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng

( )Q thì mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng ( )Q

D Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( )P b ằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng

( )P thì a và b song song

A Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn

Câu 4 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , đường thẳng SA vuông góc với mặt

phẳng đáy, SA a= Góc giữa mặt phẳng (SCD ) và mặt phẳng (ABCD là ) α Khi đó tanα nhận giá trị nào trong các giá trị sau:

2

α = B tanα = 1 C tanα = 2 D tanα = 3

Câu 5 Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ Xét mặt phẳng (A BD′ ), trong các mệnh đề sau, mệnh

D Cả ba mệnh đề trên đều sai

Xét bốn mặt phẳng chứa bốn mặt bên và mặt phẳng chứa mặt đáy Trong các mệnh đề sau,

Câu 7 Cho hình lập phương ABCD EFGH , hãy xác định góc giữa cặp vectơ  AB DH,

Câu 8 Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a b c, , Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Nếu a và b cùng vuông góc với c thì / / a b

B Nếu / /a b , c ⊥ thì c b a ⊥

C Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì / / a b

D Nếu a và b cùng nằm trong mặt phẳng ( )α và c/ /( )α thì góc giữa a và c bằng góc giữa

Câu 11 Cho hình hộp ABCD A B CD ′ ′ ′ Giả sử tam giác AB C A DC′ , ′ ′ là các tam giác nhọn Góc giữa

hai đường thẳng AC và A D′ là góc nào sau đây?

A Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai

B Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau

C Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau

D Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau

Câu 13 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J , K lần lượt là trung điểm của BC , CA và BD Khi đó góc

giữa AB và CD là:

Câu 14 Cho một hình thoi ABCD cạnh a và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa hình thoi sao cho

SA= và vuông góc với a (ABC) Tính góc giữa SD và BC

Câu 19 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a ; SA⊥(ABCD) và SA= Tính a

góc ϕ giữa hai mặt phẳng (ABCD và ) (SBC ? )

Câu 20 Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy bằng a ; SA⊥(ABCD) và SA= Tính góc ϕ giữa hai a

Câu 21 Cho ba tia Ox , Oy, Oz trong không gian sao cho  xOy=120, zOy=90, xOz=60 Trên ba

tia ấy lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA=OB=OC= Gọi a α, β lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC ) với mặt phẳng (OBC ) và mặt phẳng (OAC Tính ) tanα⋅tanβ ?

A 1

3

Câu 22 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a ; SA⊥(ABCD) và SA=a 3 Tính góc

giữa hai đường thẳng SD và BC

Câu 23 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a ; SA⊥(ABCD) và SA=a 3 Gọi I và

J lần lượt là trung điểm của SA và SC Tính góc giữa hai đường thẳng IJ và BD

Câu 25 Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ cạnh a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB,

BC Tính góc giữa hai đường thẳng MN và C D′ ′

Câu 26 Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ cạnh a Tính góc giữa hai đường thẳng BD và AD′

Câu 27 Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ cạnh a Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB,

BC , C D ′ ′ Tính góc giữa hai đường thẳng MN và AP

Câu 28 Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ cạnh a Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB,

BC , C D ′ ′ Tính góc giữa hai đường thẳng DN và A P′

Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ; SA⊥(ABCD) và SA=a 6

Tính cosin góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAB )

Câu 31 Cho lăng trụ đứng ABC A B C ’ ’ ’ có đáy ABC cân đỉnh A ABC, = , α BC' tạo đáy góc β Gọi

I là trung điểm củaAA ’ , biết  0

9

α =

1sin

5

α =

+) Đáp án A sai vì khi đường thẳng đó vg với mặt phẳng

+) Đáp án C, D: Vẽ hình thấy có vô số đường thẳng và mặt phẳng thỏa mãn

Câu 3 Đáp án B

+) Đáp án A sai vì vì có thể là vg

+) Đáp án C sai vì chẳng hạn ( )Q và ( )R c ắt nhau, ( )P là m ặt phẳng phân giác

Câu 4 Đáp án B