Phương pháp tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức Trong chuyên đề này chúng ta sẽ sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức.Nội dung của chuyên đề
Trang 1Phương pháp tam thức bậc hai trong chứng minh bất
đẳng thức
Trong chuyên đề này chúng ta sẽ sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức.Nội dung của chuyên đề này hết sức đơn giản đó là :
Đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng
Khi đó ta có thể xem vế trái của (*) là một tam thức bậc hai của một biến nào đó rồi sử dụng định lí thuận hoặc định lí đảo của tam thức bậc hai để chứng minh (*)
Dạng 1 : Sử dụng định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai
Bài 1)Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác còn x,y,z là ba số thỏa mãn điều kiện
(1)
(2) Nếu y=0 thì (2) >(2) đúng >(1) đúng
Nếu ,khi đó:
Quan niệm vế trái của (3) là tam thức bậc hai của có hệ số của là a>0 và
của (3) luôn >0 >(3) đúng >(1) được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=0
Bài 2)Cho và abc=1.Chứng minh rằng:
Trang 2Từ abc=1 và do nên chắc chắn a>0.Ta có:
(1) Xét tam thức bậc hai
Ta có hệ số của là 1>0 và
Theo định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai thì f(x)>0 với mọi x
đúng >dpcm Dạng 2)Sử dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai
Bài 1)Cho (a+c)(a+b+c)<0.Chứng minh:
Nếu a=0 thì từ giả thiết ta có c(b+c)<0 (1)
Bất đẳng thức phải chứng minh có dạng (2)
Từ (1) suy ra vậy (2) đúng >dpcm
Nếu xét tam thức bậc hai sau:
Từ f(0)=a+b+c ; f(-1)=2(a+c) >từ gải thiết ta có f(0)f(-1)<0.Theo định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai suy ra phương trình f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt hay
Một số bài tập vận dụng:
1)Cho các số a,b,c,d,m,n thảo mãn :
.Chứng minh rằng:
Trang 32)Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta đều có:
Trên đây là một trong những phương pháp chứng minh bất đẳng thức điển hình , rất mong sau khi đọc xong bài viết này các bạn có thể vận dụng vào những bài bất đẳng thức thành thạo hơn