Sử dụng Định lí vầ dấu của Tam thức bậc hai để giải bài toán Bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. Hướng dẫn cách tạo ra một bài toán tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất...
Trang 1CHUYÊN ĐỀ: GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI ĐỊNH HƯỚNG
Bài toán BĐT là một trong những bài toán hay, thường có trong các kỳ thi HSG Quốc gia cũng như Quốc tế Có rất nhiều dạng BĐT cũng như Phương pháp giải BĐT, sau đây tôi xin trình bày phương pháp giải BĐT bằng tam thức bậc hai định hướng Do trình độ còn nhiều hạn chế nên không tránh khỏi những sai sót, mong thầy cô cho ý kiến để bài viết được hoàn thiện hơn
Thông thường, khi ra đề một bài toán BĐT ta xuất phát từ một bất đẳng thức đúng, chẳng hạn
2 2 2
2 2 2
( ) ( 2 ) ( 2 ) 0 , ,
2 2 8 2 2 2( ) (*)
a b b c a c a b c R
a b c ab bc ca
a b c bc ca ab bc ca
Trong (*) nếu ta cho ab bc ca + + = 1 thì ta được bài toán “ Cho a b c R , , ∈
và ab bc ca + + = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của M = 2 a2 + 2 b2 + 8 c2 − 2 bc − 2 ca”.
Để giải lớp bài toán này ta có thể dùng Phương pháp tam thức bậc hai định hướng, phương pháp này sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai
Ví dụ 1: Cho a b c R , , ∈
và ab bc ca + + = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của
M = a + b + c − bc − ca.
Lời giải
Nếu c = 0 thì ab = 1 và M = 2 a2 + 2 b2 ≥ 4 a b2 2 = 4, Do đó M nhỏ nhất
bằng 4
Trang 2Nếu c ≠ 0thì ta đặt a c = α , b c = β
hay a = α c b , = β c
, khi đó vì
2 2 8 2 2 6 ( ) ( ) 0
M = a + b + c − bc − ca a b = + + c + − b c + − c a >
nên ta chỉ
cần xét 0 < < M 4, ta có c2( αβ α β + + = ) 1
, hay
c
αβ α β
= + +
và
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
M c
Từ đó ta suy ra
2 2
2
2
, 0<M<4 1
M c
αβ α β
αβ α β
=
(1) ⇔ 2 α − ( M β + + M 2) α + 2 β − 2 β + − 8 M β = 0
( 16) (2 12 16) 4 60 0
( 16) 2( 6 8) 4 60 0
Vì tam thức dương và có
2 16 0 0 M<4
M − < ∀ < nên
2
M
Trang 3Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 2 khi
2 2
2 16
M
β − = + + =
2 2 4
α = + + =
,
c = ± = ±
,
2 2
a b = = ±
Tương tự ta cũng có thể ra đề, và giải các bài toán sau:
Bài toán 1: Cho a b c , ,
sao cho ab bc ca + + = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của
M a = + b + c
Bài toán 2: Choxy yz zx + + = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của
M x = + + y z − − xz yz