Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC sao cho M, N, K lần lượt là trung điểm của AC, CB, BA.. 3) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi... Lời giải:.[r]
Trang 1
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO
TẠO CẨM THỦY
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN
DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH (LẦN 2)
Năm học 2018 - 2019 Môn: Toán - Lớp 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (4,0 điểm):
1 Hãy tính giá trị của biểu thức Q = (3x3 – x2 - 1)2020, biết:
3
26 15 3 2 3
x
2 Tính tổng:
Câu II (4,0 điểm):
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm M(1;3
2); N(3;0); K(4;5
2) Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC sao cho M, N, K lần lượt là trung điểm của AC, CB, BA
2 Giải phương trình: 2 4 2 4
13 x x 9 x x 16 Câu III (4,0 điểm):
1 Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 2 2 2 2 2
3x 18y 2z 3y z 18x 27
2 Cho x, y là các số nguyên, x ≠ -1; y ≠ -1 sao cho:
là số nguyên Chứng minh rằng: (x4y44 – 1) chia hết cho (y + 1)
Câu IV (6,0 điểm): Cho đường tròn (O; R) và dây cung AH < R Qua H vẽ đường thẳng d tiếp
xúc với đường tròn (O; R) Vẽ đường tròn (A; R) cắt đường thẳng d tại B và C sao cho H nằm
Trang 21) Chứng minh: OM.OB = ON.OC và MN luôn đi qua một điểm cố định
2) Chứng minh: OB.OC = 2R2
3) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi
Câu V (2,0 điểm): Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn điều kiện a b c 3.
Chứng minh rằng: 1 2 1 2 12 1.
a b b c c a
-Hết -
ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
(Đáp án gồm có 04 trang)
1
(4đ)
1 Hãy tính giá trị của biểu thức Q = (3x3 – x2 - 1)2020, biết:
3
26 15 3 2 3
x
Đặt
3
2
2
3
3 6 0
a
Mặt khác: 3
26 15 3 3 2 3 2
26 15 3 2 3 3 2 2 3 4 3 1
x
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Trang 3Vậy 1 1 2020 2020
27 9
0,5đ
2 Tính tổng:
4 1
1
2 2 1 2 1
n
Với n ≥ 1, nN Thay lần lượt n từ 1 đến 1009 ta được:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 1 2 2 3 5 2 2017 2019
S
1009 1 1009
2 2019 2019
0,5đ
0,5đ
0,5đ 0,5đ
2
(4đ)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm M(1;3
2); N(3;0);
K(4;5
2)
Xác định các đỉnh của
tam giác ABC sao cho M, N, K
lần lượt là trung điểm của AC, CB, BA
Lời giải:
Phương trình đường thẳng MN có dạng y=ax + b
Vì M(1; 3
2) thuộc đường thẳng MN nên: 3
2= a + b (1)
Vì M(3;0) thuộc đường thẳng MN nên: 0 = 3a + b (2)
Từ (1 ) và (2) suy ra: a = -3/4; b = 9/4
Suy ra phương trình đường thẳng MN là: 3 9
4 4
y x
Tương tự phương trình đường thẳng MK là: 1 7
3 6
y x
phương trình đường thẳng NK là: 5 15
2 2
y x
Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC suy ra MN // AB
3
0,5đ
0,5đ
0,5đ
K
N
M
B
C
A
-2 -1
-3 -2 -1
6 5
4 3
2
4
3
2 1 O y
x
Trang 4Mà K(4;5
2) AB suy ra 5 3.4
2 4 c
=> c= 11
2
Phương trình đường thẳng AB là: 3 11
4 2
y x
Tương tự : phương trình đường thẳng BC là: 1 1
3
y x
Phương trình đường thẳng AC là: 5 1
2
y x
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
3 11
2
1 2
x y
Suy ra A(2;4)
Tương tự: B(6;1) và C(0;-1)
0,5đ
1 Giải phương trình: 2 4 2 4
13 x x 9 x x 16
Lời giải:
Đk: -1 ≤ x ≤ 1
Ta có:
2
13 1 9 1 13 13 1 9 1 256
Áp dụng Bđt bunhicopxki cho 2 dãy số:
13; 3 3
2 2
13(1 x ); 3 1 x ta được:
13 13 1 x 3 3 3 1 x 13 27 13 13 x 3 3x 40 16 10 x
Áp dụng bđt Cosi ta có:
4.10x 16 10 x (10x 16 10 x ) 16 256
Dấu bằng xảy ra 10x2 = 16 - 10x2 2 2 5
5 5
x
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Trang 5III
(4đ)
1) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn:
3x 18y 2z 3y z 18x 27
Giả thiết 2 2 2 2 2
3 x 3 18y 2z 3y z 54
+) Lập luận để 2 2 2
3(x 3) 2z 3y z( 6) 54(2)
54 3(x 3) 2z 3y z( 6) 3(x 3) 2.9 3y .3
(x 3) 3y 12
vì y nguyên dương
Nếu 2
y y thì (1) có dạng:
5
x z z z z z (vì có(*))
Khi đó 2 2
3 x 3 27 x 3 9, x nguyên dương nên tìm được x = 6 Nếu 2
y y (vì y nguyên dương) thì (1) có dạng:
3 x 3 14z 126 14z 126 z 9 z 9 z 3 (vì z nguyên dương)
Suy ra 2
(x 3) 0 x 3(vì x nguyên dương)
Đáp số
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
2) Cho x, y là các số nguyên, x ≠ -1; y ≠ -1 sao cho:
là số nguyên Chứng minh rằng: (x4y44 – 1) chia hết cho (y + 1)
Lời giải:
Đặt 4 1 ; 4 1
với (a;b)=1; (m;n)=1 và b,n > 0 Theo bài ra ta có: a m an bm Z
0,5đ
0,5đ
Trang 6D M
B
H
A
O
Mặt khác:
Z
( vì x
4
- 1 x+1 và y4 - 1 y + 1)
Suy ra a.m n mà (m;n) =1 suy ra a n mà n = b nên a b suy ra x4 - 1 y + 1
Do đó: x4
y44 – 1= y44 (x4 - 1) + (y44 – 1) y + 1
Vì x4 - 1 y + 1 và y44 – 1 y + 1 (đpcm)
0,5đ
0,5đ
IV
1) Chứng minh: OM.OB = ON.OC và MN luôn đi qua một điểm cố định
a) Chứng minh: OM.OB = ON.OC
Vì tam giác OHB vuông tại H có HM là đường cao nên: OM.OB = OH2
Vì tam giác OHC vuông tại H có HN là đường cao nên: ON.OC = OH2
Suy ra: OM.OB = ON.OC (vì cùng bằng OH2)
0,5đ
0,5đ
Trang 7(6đ) b) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định
Vì OM.OB = OH2 OA2 = OM.OB OA OB
Xét O AM và OABcó: AOB chung
OA OB
OM OA (chứng minh trên)
O AM
OAB(c.g.c)
MAO OBA
mà AOBOBA (vì OA = AB = R)
O
M A
cân tại M MA = MO M thuộc đường trung trực của AO
Chứng minh tương tự ta có N cũng thuộc đường trung trực của AO
MN đi qua trung điểm D của OA cố định
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2) Chứng minh: OB.OC = 2R2
Ta có: OM.OB = ON.OC (chứng minh câu a)
OM OC
Chứng minh được OMN OCB (c.g.c)
1
2
Lại có: OM.OB = OH2 1 2
O
2 C OB R
Vậy OB.OC = 2R2
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
3) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi
Ta có: OMN OCB
2 2
2
OMN
OH BC OH
0,5đ
Trang 8
2
R(AB AC) R( )
R
R R
Dấu bằng xảy ra khi A, B, C thẳng hàng A H
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác OMN là:
2
4
OMN
R
S khi điểm A trùng với điểm H
0,5đ
0,5đ
0,5đ
V
(2đ)
Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn điều kiện a b c 3. Chứng minh
rằng: 1 2 1 2 12 1.
a b b c c a
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM,
ta có 2 3 2
1 1 a b 3 a b và 3 2
3 ab a b b a 2 b
a b
a b a b a b
2
1 1 1
( 2 )
2 a b 2 18 a ab
Tương tự, cũng có: 2
2
1 1 1
( 2 )
2 b c 2 18 b bc
(2)
2
2
1 1 1
( 2 )
2 c a 2 18 c ca
(3)
Cộng (1), (2), (3) vế đối vế, thu được
2
2
1.
2 a b 2 b c 2 c a 2 18 a b c
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa Bài hình không vẽ
hình hoặc vẽ hình sai không chấm điểm