[r]
Trang 1Bµi 1: Cho a lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 Chøng minh r»ng a2 – 1 chia hÕt cho 24
Gi¶i:
V× a2 lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 nªn a lÎ a2 lµ sè chÝnh ph¬ng lÎ
a2 chia cho 8 d 1
a2 – 1 chia hÕt cho 8 (1)
MÆt kh¸c a lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 a kh«ng chia hÕt cho 3
a2 lµ sè chÝnh ph¬ng kh«ng chia hÕt cho 3 a2 chia cho 3 d 1
a2 – 1 chia hÕt cho 3 (2)
Mµ (3,8) = 1 (3)
Tõ (1), (2), (3) a2 – 1 chia hÕt cho 24
Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính
phương.
Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n N) Ta có
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1
= (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*)
Đặt n2 + 3n = t (t N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2
= (n2 + 3n + 1)2
Vì n N nên n2 + 3n + 1 N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.
Ví dụ 14 Phân tích đa thức x5 + x - 1 thành nhân tư
Lời giải
Cách 1.
x5 + x - 1 = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - 1
= x3(x2 - x + 1) - x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1)
= (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).
Ví dụ 16 Phân tích đa thức sau thành nhân tư :
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
Lời giải
Trang 2x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng :
(y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8)
= (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8)
VÝ d ụ 4.4 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
1
a3
+b3+abc+
1
b3
+c3
+abc+
1
c3
+a3
+abc≤
1 abc
Gi
ả i
Ta cã: a2
+b2≥ 2 ab⇒(a+b)(a
2 +b2)
2 ≥ ab(a+b)⇔a3+b3≥ ab(a+b)
⇒abc
a3
+b3
+abc≤
abc
ab(a+b)+abc=
c a+b+c
VÝ d ụ 4 7 Cho x, y, z > 0 Chứng minh: x3
yz +
y3
zx+
z3
xy≥ x + y +z
Gi
ả i
Áp dụng bất đ¼ng thức C« - Si ta cã:
x3
yz+y+ z ≥ 3 x
y3
zx+z+x ≥3 y
z3
xy+x + y ≥3 z
} }
⇒
(x3
yz+
y3
zx+
z3
xy )+2(x+ y+ z )≥ 3(x + y + z )⇒ x3
yz+
y3
zx +
z3
xy ≥ x + y +z
(®pcm)
VÝ d ụ 3.2
T×m cặp số (x, y) với y nhỏ nhất thỏa m·n ®iÒu kiÖn: x2 + 5y2 + 2y – 4xy –
3 = 0 (*)
Gi
ả i
Ta cã (*)
y +1¿2≤ 4 ⇒( y+3)( y −1)≤ 0 ⇒−3 ≤ y ≤1
y +1¿2=4⇒¿
x −2 y¿2+¿
⇔¿
.
Trang 3Vậy GTNN của y = –3 Đạt đợc khi x = – 6 Vậy cặp số (x, y) = (–6; – 3)
Ví d ụ 3.3 Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 7y2
+ 10 = 0 (**).
Hãy tìm GTLN, GTNN của biểu thức: S = x + y + 1.
Gi
ả i
Ta có (**) ⇔ 4 x2
+8 xy +28 x +28 y +4 y2
+40=0
2 x +2 y +7¿2+4 y2=9
⇔¿
2 x +2 y +7¿2≤9 ⇔(x + y +5)(x+ y+2)≤0
⇒¿
⇔ x+ y+5≥ 0 x+ y+2≤ 0
¿{
(vì x+ y+2≤ x+ y+5 )
⇔− 4 ≤ S −1
Vậy GTNN của S = –4 Đạt được khi x = –5, y = 0 GTLN của S = –1 Đạt đợc khi x = –2, y = 0.
2
b) Tìm GTLN của N = x2 – 5x + 1 với −3 ≤ x ≤ 8
Gi
ả i
b) N = (x+3)( x −8)+25 ≤ 25 Vậy GTLN của N = 25 Đạt đợc khi x = -3, x = 8
Bài 3 :
Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là một điểm di động trên AC Từ C vẽ đ ường thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại O Chứng minh rằng :
a) BOH ~ COA (g-g)
b)
OC OB (1)
OHA và OBC có O chung (2)
Từ (1) và (2) OHA ~ OBC (c.g.c)
OHA OBC (không đổi)
C K
B
O
A
H M
Trang 4c) Vẽ MK BC ; BKM ~ BHC (g.g)
BM.BH = BK.BC (3)
(4)
Cộng từng vế của (3) và (4) ta đợc BM.BH + CM.CA = BK.BC + BC.CK
= BC(BK + CK) = BC2 (không
đổi)