ĐỊNH THỨC ppt _ TOÁN CAO CẤP

Ma trận và các phép toán tuyến tính Định thứcPhương pháp tính định thức Nhân ma trận - Ma trận nghịch đảo Hạng của ma trận... Hoán vị của n số tự nhiên đầuĐL: Nếu trong một hoán vị ta đổ

BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

Ma trận và các phép toán tuyến tính Định thức

Phương pháp tính định thức Nhân ma trận - Ma trận nghịch đảo Hạng của ma trận

I Hoán vị của n số tự nhiên đầu

Một tập hợp với n phần tử sẽ có n! hoán vị khác nhau

Xét tập hợp n số tự nhiên đầu tiên {1, 2, …, n}

Ký hiệu một hoán vị của n số tự nhiên đầu tiên là

ĐN: Trong hoán vị nếu i < j nhưng thì ta

nói hai số và tạo thành một nghịch thế.i j

( α ,α ,…,α1 2 n)

I Hoán vị của n số tự nhiên đầu

ĐL: Nếu trong một hoán vị ta đổi chỗ hai số và giữ nguyên vị trí của

những số còn lại thì hoán vị thay đổi tính chẵn lẻ

HQ1: Nếu n ≥ 2 thì trong số n! hoán vị của n số tự nhiên đầu có một

nửa là hoán vị chẵn và một nửa là hoán vị lẻ

I Hoán vị của n số tự nhiên đầu

Bài toán: Có bao nhiêu cách xếp 8 con xe trên bàn cờ vua để

không con nào ăn được con nào?

=> Một cách xếp thỏa mãn là: Aα ;Bα ;Cα ;Dα ;Eα ;Fα ;Gα ;Hα1 2 3 4 5 6 7 8 Trong đó α1α2α3α4α5α6α7α8 là một hoán vị của 8 số tự nhiên đầu

Vậy có tất cả 8! cách xếp

A1;B2;C3;D4;E5;F6;G7;H8A2;B1;C3;D4;E5;F6;G7;H8

• • •

 h là số nghich thế của hoán vị ( α ,α , ,α1 2 n)

Với n! hoán vị , ta có n! tích khác nhau dạng (*) Xét D là tổng tất cả các tích này( α ,α , ,α1 2 n)

Mỗi tích có dạng (*) được gọi là một thành phần của định thức.

Các dòng lần lượt 1, 2, ,n; Các cột là 1 hoán vị của các dòng

II Định nghĩa định thức cấp n

VD: Hãy tìm các thành phần của định thức cấp 3 chứa phần tử a12

Theo định nghĩa, một thành phần của định thức cấp 3 phải có dạng:

1i 2j 3k

(-1) a a ah

Trong đó (i, j, k ) là một hoán vị của 3 số tự nhiên đầu { 1, 2, 3 }

h là số nghịch thế của hoán vị (i, j, k )

Hệ số của lũy thừa cao nhất của P(x) là:

Mỗi số hạng là tích của 3 phần tử (nằm trên các dòng và cột khác nhau) nên bậc cao nhất ≤ 3 Thành phần duy nhất chứa

x 3 là (-)a 12 a 21 a 33 = (-)(2x)(-x)(3x) = 6x 3

1Hoán vị Số nghịch thế T.P tương ứng

Định thức cấp 1 bằng phần tử duy nhất của nó

VD : det 2 = 2; det -2 = -2

Hoán vị Số nghịch thế T.P tương ứng

1

(2, 1)

0

(1, 2)

S

Số nghịch thế T.P tương ứngHoán vị

02 2 3 1 1 Cho A là một ma trận vuông cấp 3:

22

32

a a a

A: 43

C: 58

B: - 72

D: 97 50:50

B: 206

Giá trị của định thức

9 4 5 -1 3 6

3 6 -2

D: - 122

50:50

C: 715 A: - 389

-1 3 6

9 4 5

3 6 -2

= 389

B: - 8k+128

D: 8k - 128

50:50

C: - 8k - 128 A: 8k+128

IV Các tính chất cơ bản của định thức

= 13

2 1 4 -4 5 1

IV Các tính chất cơ bản của định thức

IV Các tính chất cơ bản của định thức

NX : Ta có thể đưa bội của một dòng ra ngoài dấu định thức.

IV Các tính chất cơ bản của định thức

+

tách dòng i



0

IV Các tính chất cơ bản của định thức

Tính chất 7:

Định thức bằng 0 nếu hệ vectơ dòng của nó phụ thuộc tuyến tính.

1 2

n-1 n

X X

X X

n-1

X X

=

X 0

=0

Do hệ vectơ dòng {X1, X2,…, Xn} phụ thuộc tuyến tính, nên có ít nhất 1 dòng bdtt qua các dòng còn lại Không mất tính tổng quát

có thể giả sử:

Chú ý: Tính chất 7 có thể phát biểu tương đương:

“Nếu định thức khác 0 thì hệ vtơ dòng của nó độc lập tuyến tính"

Bài 2 Định thức

Ngày nay, khi định nghĩa định thức bao giờ ta cũng nói: “định thức của một ma trận vuông nào đó” Vì thế, một cách tự nhiên,

ai cũng nghĩ rằng khái niệm định thức phải ra đời sau khái niệm

ma trận Nhưng thực tế, khái niệm định thức ra đời trước khái niệm ma trận 150 năm Người đầu tiên đưa ra khái niệm định

thức là Leibnitz, nhà Toán học Đức, (1646 – 1716) và nhà Toán học Seki Kova, người Nhật Bản Nó đã được xuất hiện trong

công trình của một nhà toán học Nhật Bản khác, là Takakazu

(1642 – 1708).