DẠNG TOÀN PHƯƠNG xác ĐỊNH ppt _ TOÁN CAO CẤP

Khái niệm dạng toàn phương xác địnhCho dạng toàn phương Định nghĩa: Dạng toàn phương 1 được gọi là dạng toàn phương xác định dương âm nếu nó luôn nhận giá trị dương âm với mọi bộ số thự

Bài 4 DẠNG TOÀN PHƯƠNG XÁC ĐỊNH

Bài giảng pptx các môn ngành Y dược hay nhất có tại “tài liệu ngành dược hay nhất” ;

https://123doc.net/users/home/user_home.php? use_id=7046916

Dạng toàn phương xác định

I Khái niệm dạng toàn phương xác định

II Các dấu hiệu nhận diện dạng toàn phương xác định

2 Dấu hiệu dựa vào dạng chính tắc của dạng toàn phương

1 Dấu hiệu dựa vào các định thức con chính

3 Dấu hiệu dựa vào các giá trị riêng

II Khái niệm véc tơ riêng và giá trị riêng của ma trận

I Khái niệm dạng toàn phương xác định

Cho dạng toàn phương

Định nghĩa:

Dạng toàn phương (1) được gọi là dạng toàn phương xác định dương (âm) nếu nó luôn nhận giá trị dương (âm) với mọi bộ

số thực (x1, x2, …, xn) không đồng thời bằng không

Dạng toàn phương (1) được gọi là dạng toàn phương không xác định nếu nó vừa nhận giá trị dương vừa nhận giá trị

âm với những bộ giá trị khác nhau của các biến số

 

n n

ij i j i=1 j=1

f = a x x = X'AX (1)

II Giá trị riêng của ma trận:

Cho A là một ma trận vuông cấp n:

Lập ma trận:

Đa thức gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A

A =

-a-a -a a -a-a -aa -a-a -aa

λ-a-a -a -a-a -aa λ-a-a -a -a-a -a a -a-a -aa

-a-a -aa -a-a -aa λ-a-a -a -a-a -a a

E -a-a -a A = λ-a-a -a

f( λ-a-a -a ) = λ-a-a -a E -a-a -a A

II Giá trị riêng của ma trận:

Nhận xét:

 Đa thức f(λ) là đa thức bậc n của λ; Hệ số của λn là 1

 Hệ số của λn-1 là

Định nghĩa: Giá trị riêng của ma trận A là nghiệm của đa thức đặc

trưng của ma trận đó

-a-a -a a -a-a -aa -a-a -aa

λ-a-a -a -a-a -aa λ-a-a -a -a-a -a a -a-a -aa

-a-a -aa -a-a -aa λ-a-a -a -a-a -a a

=

f( λ-a-a -a ) = λ-a-a -a E -a-a -a A



n ii i=1

-a-a -a a

Ví dụ 1: Tìm các giá trị riêng của mt:

Giải: Ma trận A có đa thức đặc trưng là:

Vậy ma trận A có 3 giá trị riêng là:

1 0 2

A = 0 1 -a-a -a1

2 -a-a -a1 2

2

-a-a -a1 0 -a-a -a2

λ-a-a -a P( ) = λ-a-a -a λ-a-a -a E -a-a -a A = 0 λ-a-a -a -a-a -a1 1 = ( -a-a -a1)( λ-a-a -a λ-a-a -a -a-a -a 3 -a-a -a 3) λ-a-a -a

-a-a -a2 1 λ-a-a -a -a-a -a 2









2

= 1

λ-a-a -a P( ) = ( λ-a-a -a λ-a-a -a -a-a -a 1)( λ-a-a -a -a-a -a 3 λ-a-a -a -a-a -a 3) = 0 Û 3 21

=

λ-a-a -a

2

 1

2,3

= 1 λ-a-a -a

=

λ-a-a -a

2

II Giá trị riêng của ma trận:

Định lý 1: Số λ là giá trị riêng của ma trận A vuông cấp n khi và

chỉ khi tồn tại vectơ viết dưới dạng ma trận cột sao cho:

ĐN: Vectơ X thỏa mãn định lý trên được gọi là một vectơ riêng

ứng với giá trị riêng λ của ma trận A

NX: Tập hợp các vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ của ma trận A

Số chiều của không gian con này là n – r(λE – A)

AX = λ-a-a -a X

II Giá trị riêng của ma trận:

III Dấu hiệu dạng toàn phương xác định:

1 Sử dụng các định thức con chính

Cho dạng toàn phương:

có ma trận là:

Ta gọi

là định thức con chính cấp k của A

 

ij i j i=1 j=1

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

A =

11 12 1k

21 22 2k k

k1 k2 kk

12 k

k 12 k

Định lý 2:

dương khi và chỉ khi ma trận của nó có tất cả các định thức con chính dương D1 > 0, D2 > 0, …,Dn>0

âm khi và chỉ khi ma trận của nó có tất cả các định thức con chính cấp chẵn dương và tất cả các định thức con chính cấp lẻ âm D1 < 0, D2 > 0, …,(-1)nDn > 0

Chú ý: Nếu các định thức con chính của dạng toàn phương nằm

ngoài hai trường hợp của định lý thì ta vẫn chưa đủ điều kiện để kết luận dạng toàn phương không xác định dấu

III Dấu hiệu dạng toàn phương xác định:

1 Sử dụng các định thức con chính

2 Sử dụng dấu của các hệ số trong dạng chính tắc

Định lý 3:

Dạng toàn phương f là dạng toàn phương xác định dương khi và chỉ khi tất cả n hệ số trong dạng chính tắc của nó đều dương

Dạng toàn phương f là dạng toàn phương xác định âm khi và chỉ khi tất cả n hệ số trong dạng chính tắc của nó đều âm

Dạng toàn phương f là dạng toàn phương không xác định khi và chỉ trong các hệ số ở dạng chính tắc của nó có cả hệ số dương

và hệ số âm

Luật quán tính: Số hệ số dương và số hệ số âm trong dạng

chính tắc của một dạng toàn phương không phụ thuộc vào phép biến đổi tuyến tính không suy biến đưa dạng toàn phương đó về dạng chính tắc

III Dấu hiệu dạng toàn phương xác định:

3 Sử dụng dấu của các giá trị riêng của ma trận:

Định lý 4:

Dạng toàn phương f là dạng toàn phương xác định dương khi và chỉ khi ma trận của nó có tất cả các giá trị riêng dương

Dạng toàn phương f là dạng toàn phương xác định âm khi và chỉ khi ma trận của nó có tất cả các giá trị riêng âm

Dạng toàn phương f là dạng toàn phương không xác định khi và chỉ khi ma trận của nó vừa có giá trị riêng dương vừa có giá trị riêng âm

III Dấu hiệu dạng toàn phương xác định:

Ví dụ 2: Dạng toàn phương sau là dạng toàn phương xác định

dương, xác định âm hay không xác định:

Cách 1: Sử dụng định thức con chính:

Dạng toàn phương có ma trận là:

Ma trận A có các định thức con chính :

phương xác định dương

1 + 2x + 6x + 2x x -a-a -a 4x x -a-a -a 2x x2 3 1 2 1 3 2 3

f = x

1 1 -a-a -a2

A = 1 2 -a-a -a1

-a-a -a2 -a-a -a1 6

1 1 -a-a -a2

1 1

D = 1; D = = 1; D = 1 2 -a-a -a1 = 1

1 2

-a-a -a2 -a-a -a1 6

III Dấu hiệu dạng toàn phương xác định:

Cách 2 Sử dụng dạng chính tắc của dạng toàn phương

Đặt

Phép bđtt đưa dạng tp về dạng (1) là:

Ta có định thức:

Vậy (*) là một phép bđt không suy biến

Suy ra (1) là dạng chính tắc của dạng toàn phương f có đủ 3 hệ

số trong dạng chính tắc là số dương nên f là dạng toàn phương xác định dương

1 2 3 1 2 1 3 2 3

+ 2x + 6x + 2x x -a-a -a 4x x -a-a -a 2x x = (x + x -a-a -a 2x ) + (x + x ) + x

f = x













y = x + x -a-a -a 2x

y = x + x f = y + y + y (1)

y = x











3 3

x = y -a-a -a y + 3x

x = y -a-a -a y (*)

x = y



1 -a-a -a1 3

0 1 -a-a -a1 = 1 0