skkn tính tổng

A: lý do chọn đề tài I Cơ sở lý luận: Môn toán là một môn khoa học ,những tri thức ,kỹ năng toán học cùng với phơng pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học tập những môn

A: lý do chọn đề tài

I Cơ sở lý luận:

Môn toán là một môn khoa học ,những tri thức ,kỹ năng toán học cùng với phơng pháp làm việc trong toán học trở thành công

cụ để học tập những môn khoa học khác , môn toán là công cụ của nhiều ngành khoa học

Môn toán giúp cho học sinh hình thành và phát triển những phơng pháp, phơng thức t duy và hoạt động nh toán học hoá tình huống thực tế, thực hiện và xây dựng thuật toán ,phát hiện và giải quyết vấn đề Những kỹ năng này rất cần cho ngời lao động trong thời đại mới

Môn toán góp phần phát triển nhân cách con ngời , ngoài việc cung cấp những kiến thức , kỹ năng toán học, môn toán góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung nh phân tích, tổng hợp , trừu tợng hoá , khái quát hoá

Ta thấy đợc môn toán có vai trò rất quan trọng trong đời sống

và trong kỹ thuật Vì vậy ngời thầy phải có phơng pháp dạy học

để phát huy đợc tính tích cực học tập của học sinh ,nhất là học sinh giỏi

Theo nh yêu cầu của bộ môn toán nói chung , môn toán 6 nói riêng ,mỗi tiết học phải hạn chế lý thuyết kinh viện mà chủ yếu khai thác sâu bài tập và thực hành Trong mỗi bài tập , ngời thầy phải giúp hoc sinh phân tích từng khía cạnh của bài toán , rồi khai thác phát triển bài toán đó , thậm trí phải lật ngợc lại vấn đề Nếu làm đợc việc đó thì học sinh càng hiểu sâu sắc bài toán , dạng toán Từ đó sẽ kích thích đợc tính tò mò , khơi dậy cho học sinh tính sáng tạo, khai thác đợc tiềm năng về môn toán của học sinh

Trong kho tàng toán học có vô vàn những bài toán hay trong

đó có hai bài toán tính tổng :

A= 99.1100

3

.

2

1

2

.

1

1

+ + +

A=1.2+2.3+ +99.100

Đợc áp dụng rộng rãi , nếu khai thác đợc bài toán này ta thấy đợc nhiều điều thú vị

Với lý do đó tôi chọn viết sáng kiến kinh nghiệm “Khai thác và phát triển các bài toán từ một bài toán đơn giản”

II Cơ sở thực tiễn :

a Đối với học sinh :

Đa số học sinh kể cả là học sinh giỏi khi giải xong bài toán

là đã bằng lòng với kết quả đó Chính vì lý do đó nếu thay đổi một vài dữ kiện thì học sinh lúng túng Cụ thể bài toán tính tổng :

100 99

1

3

.

2

1

2

.

1

1 + + + Nếu ta thay đổi

1.2=2;2.3=6; ;99.100=9900

Bài toán trở thành tính tổng A= .

9900

1

6

1 2

1 + + +

Thì học sinh lúng túng mặc dù đã biết cách giải bài toán trớc đó Trong thực tế nếu biết khai thác và phát triển bài toán này thì ta thấy bái toán rất hay

b Đối với bản thân :

Khi giảng dạy tại trờng T.H.C.S.Hng Đạo,một trờng có bề dầy thành tích dạy tốt , học tốt Thể hiện tại các đợt hội giảng ,đợt thi học sinh giỏi các cấp Để đạt đợc những thành tích đó ,bản thân tôi cũng nh các bạn đồng nghiệp phải thờng xuyên học hỏi lẫn nhau ,đồng thời đọc các tài liệu tham khảo Từ đó tìm tòi hệ thống các phơng pháp giảng dạy cho phù hợp

Xuất phát từ việc giảng dạy hai bài toán tính tổng:

100 99

1

3

.

2

1

2

.

1

1

+ +

A=1.2+2.3+ +99.100

Là những bài toán đợc áp dụng rộng rãi trong toàn cấp học Mặt khác hai bài toán này còn có sự tơng đồng về cách khai thác và phát triển

Nếu càng khai thác ta càng thấy nhiều bài toán có nhiều cách giải

độc đáo ,các cách giải này lại có mối quan hệ dàng buộc lẫn nhau

b biện pháp thực hiện Để đạt đợc hiệu quả cao trong dạy và học cụ thể là đối với các bài toán này , một trong các biện pháp thực hiện tốt nhất là phải xây dựng hệ thống các bài tập hợp lô gíc Ta phải khai thác bài toán theo từng mảng ,mỗi mảng ta lại chia thành từng phần ,sao cho mỗi phần có sự liên kết chặt chẽ với nhau về cấu trúc của bài toán cũng nh về phơng thức giải toán

Đối với mỗi bài toán sau khi giải đều có phần nhận xét về thể loại và hớng phát triển Để thấy đợc sự tơng tự trong các bài toán hoặc thêm một vài dữ kiện , hoặc lật ngợc vấn đề để có đợc bài toán mới có nội dung phong phú và phù hợp hơn

Biện pháp cụ thể:

a:bài toán I:

Tính tổng :

100 99

1

3

.

2

1

2

.

1

1

+ + +

Trong phần này có 9 bài toán đựơc khai thác từ bài toánI

b:bài toán ii :

Tính tổng :

A=1.2+2.3+ +99.100

Trong phần này cũng có 9bài toán đợc khai thác từ bài toánII Hai bài toán IvàII đều thuộc dạng dẫy các phép toán viết theo quy luật Ta cũng có thể coi bài toán II là bài toán khai thác từ

bài toán I vì ta chỉ cần nghịch đảo mỗi số hạng của tổng A trong bài toán I là ta đợc bài toán II Hai bài toán này khi giải ta đều phải tách mỗi số hạng trong tổng thành hai số hạng có dấu khác nhau

Hai bài toán này ta thấy nhiều sự tơng đồng về cấu trúc ,cũng nh

về cách khai thác

bài toán I Tính tổng

A= 99.1100

3

2

1 2

.

1

Híng dÉn:

Ta cã:

11.2 =11−21

21.3 =21−13

99.1100 =991 −1001

VËy

A=1- 991 1001

3

1 2

1 2

1

− + +

− +

A=1-1001

A=10099

Tæng qu¸t :

B= ( 1 1) 1

3 2

1 2

.

1

1

+

= + + + +

n

n n

n

NÕu sè h¹ng ®Éu tiªn cña B kh«ng ph¶i lµ11.2 mµ b¾t ®Çu tõ

)

1

(

1

+

k

Th×

C= ( 1 1)

) 1 (

1

+ + +

k

C=n k(−n k++1)1

víik ≤n

*NhËn xÐt :

Ta thÊy:

1.2=2

2.3=6

3.4=12

99.100=9900

VËy ta cã bµi to¸n :

Bµi to¸n 1:

H·y tÝnh tæng :

D= 99001

12

1 6

1

2

Híng dÉn :

4 3

1 3 2

1 2

.

1

1

+99.1100 D=10099

* NhËn xÐt :

NÕu ta coi bµi to¸n I lµ bµi to¸n xu«i th× ta còng suy ra bµi to¸n ngäc

Bµi to¸n :2

T×m sè tù nhiªn a biÕt

99 ) 1 (

1

4 3

1 3

2

1

2

1

1

= + + + +

+

a a

Híng dÉn :

+ +

3

2

1

2

.

1

1

+ ( 1 1) = +1

a a

a

Nªn 1=10099

+

a

a

VËy a=99

*NhËn xÐt:

Ta thÊy :

4950 2

100

.

99

6

2

4

.

3

3

2

3

.

2

1

22

.

1

=

=

=

=

Vµ tÊt nhiªn cã bµi to¸n :

Bµi to¸n 2:

TÝnh tæng :

F= 4950

1

3

1

1

1

+ +

+

Hớng dẫn

F= 99.2100

3 2

2 2

.

1

2

+ + +

50

99

100

99

.

2

) 100 99

1

3 2

1 2 1

1 (

2

=

=

+ + +

=

F

F

F

* Nhận xét :

Ta thấy 10099 không là số nguyên từ đó có đợc bài toán Bài toán 4

Chứng minh rằng :

A= 99.1100

3 2

1 2

.

1

1

+ +

Hớng dẫn :

Ta tính A= 10099

Tổng quát :

B= ( 1 1)

3 2

1 2

.

1

1

+

+ +

+

n n

cũng không là số nguyên

* Nhận xét :

Ta thấy

1.2=2!

2.3=3!

3.4<4!

4.5<5!

99.100<100!

và đơng nhiên ta có bài toán

Bài toán 5:

Chøng minh r»ng :

! 100

1

! 4

1

! 3

1

!

2

1

<

+ + + +

Híng dÉn :

Ta cã :

G< 99.1100

4 3

1 3 2

1 2

.

1

1

+ + + +

VËy G<1

Tæng qu¸t :

!

1

!

3

1

!

2

1 + + + <

n

Còng t¬ng tù ta cã bµi to¸n : Bµi to¸n 6:

Chøng minh r»ng :

100

1

3

1 2

1

2 2

2 + + + <

=

I

Híng dÉn :

I< + +

3 2

1 2

.

1

1

+99.1100 =10099

VËy I<1

Tæng qu¸t :

1 1

3

1

2

1

2 2

2 + + + <

n

* NhËn xÐt :

Khai th¸c bµi to¸n nµy ta cã :

10000

9999 100

1

1

9

8 3

1

1

4

3 2

1

1

2

2

2

=

−

=

−

=

−

100

1

3

1 2

1

2 2

2 + + + <

nªn ta cã bµi to¸n :

Bµi to¸n 7:

Chøng minh r»ng :

10000

9999

9

8

4

3

>

+ +

+

Hớng dẫn :

Ta có :

98 1 99 ) 100

1

3

1 2

1 (

99

100

1 1

3

1 1 2

1 1 1000

9999

9

8

4

3

2 2

2

2 2

2

=

−

>

+ + +

−

=

− + +

− +

−

= +

+

+

* Nhận xét :

100

1

3

1 2

1

2 2

2 + + + <

=

I

ta đợc bài toán :

Bài toán 8:

Chứng minh rằng :

2 2 100 2

1

3

1 2

1

+ + +

=

I

không phải là số nguyên

Tổng quát :

2 2 2

1

3

1

2

1

n

+ +

+

không phải là số nguyên

* Nhận xét :

Ta thấy với 100 số tự nhiên lớn hơn 1 khác nhau

100

2

1 ,a , ,a

a

100

2

2

2

1

3

1 2

1 1

1

1

+ + +

<

+ + +

a a

a

giúp ta tìm ra bài toán

Bài toán 9:

Tìm các số tự nhiên lớn hơn1 khác nhau a1 ,a2 , ,a100sao cho :

1 1 12 1

100

2

2

2

1

= + + +

a a

a

Hớng dẫn :

Ta có :

1

3

1 2

1 1

1 1

100 2

2 2

1

<

+ + +

≤ + + +

<

a a

a

vậy không có số tự nhiên nào thoả mãn điều kiện của đầu bài

*Nhận xét :

Nếu ta nghịch đảo mỗi số hạng của bài toán I tađợc bài toán mới

bài toán II Tính tổng :

A=1.2+2.3+3.4+ +99.100

Hớng dẫn :

3A=1.2.3+2.3.3+3.4.3+ +99.100.3

3A=1.2.3+2.3(4-1)+3.4(5-2)+ +99.100(101-98)

3A=1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-

98.99.100

3A=99.100.101

A=99.100.101:3

A=333300

Tổng quát :

1.2+2.3+3.4+ +n(n+1)=n(n+1)(n+2):3

Nếu tổng B có số hạng đầu tiên không phải là 1.2mà là k (k+1) ta có :

C=k(k+1)+(k+1)(k+2)+ +n(n+1)(n+2) =[n(n+1)(n+2)- k(k+1)(k+2)]:3

với n≥k

*Nhận xét :

Ta thấy :

1.2= 2

2.3=6

3.4=12

99.100=9900

Vậy ta có đợc bài toán khó hơn

Bài toán 1:

Tính tổng :

D=2+6+12+ +9900

Hớng dẫn :

D=1.2+2.3+3.4+ +99.100

D=333300

Nhận xét :

Ta coi bài toán II là bài toán thuận thì ta cũng suy ra bài toán

đảo

Bài toán 2:

Tìm số nguyên abiết :

1.2+2.3+ +a(a+1)=333300

Hớng dẫn :

Ta có : 1.2+2.3+ +a(a+1) = a(a+1)(a+2):3

nên a(a+1)(a+2):3=333300

⇒a(a a+(a1)(+a1)(+a2)+=2)999900=333300=99.3.100.101.

Vậy a=99

*Nhân xét :

Ta thấy:

4950 2

100

.

99

6

2

4

.

3

3

2

3

.

2

1

2

2

.

1

=

=

=

=

Vậy ta đợc bài toán :

Bài toán 3:

Tính tổng :

E=1+3+6+ +4950

Hớng dẫn :

166650

333300 2

1

) 100 99

4 3 3 2 2 1

(

2

1

2

100 99

2

4 3 2

3 2 2

2

.

1

=

×

=

+ + + +

=

+ + + +

=

E

E

E

E

*NhËn xÐt :

Ta thÊy :

2

100 99 100

3

2

1

2

4 3 3

2

1

2

3 2

2

1

2

2

.

1

1

= + + +

+

= +

+

=

+

=

VËy ta ph¸t triÓn tõ bµi to¸n trªn thµnh bµi to¸n Bµi to¸n 4:

TÝnh tæng :

100 99

4 3 3 2 2 1

) 100

3 2 1 (

) 3 2 1 ( )

2

1

(

1

+ + + +

+ + + + + + + + + +

+

=

F

Híng dÉn :

2

1

100 99

3 2 2

.

1

2

100 99

2

3 2 2

2

.

1

=

+ + +

+ + +

=

F

F

*NhËn xÐt :

Do:

1+(1+2)+(1+2+3)+ +(1+2+3+ +100)

=1.100+2.99+3.98+ +99.2+100.1

Ta l¹i ph¸t triÓn bµi to¸n thµnh bµi to¸n kh¸c Bµi to¸n 5:

Chøng minh r»ng:

G =1.1001.+22+.299.3++3 .97+99+ .100+100.1

cã gi¸ trÞ b»ng 1

Cách giải tơng tự

* Nhân xét :

Hơn nữa :

2.99=2(100-1)=2.100-1.2

3.98=3(100-2)=3.100-2.3

100.1=100(100-99) Vậy ta hình thành nên bài toán Bài toán 6: Tính tổng : I=1.100+2.99+3.98+ +100.1 Hớng dẫn: I=1.100+2.99+3.98+ +100.1 =1.100+2.100-1.2+3.100-2.3+ +100.100-99.100 =100(1+2+3+ +100)-(1.2+2.3+3.4+ +99.100)

171700 333300 505000 333300 2 100 101 100 = − = − = * Nhận xét :

99 100 99 ) 1 100 ( 99 99 99 99

2 2 1 ) 1 3 ( 2 2 2 2 1 2 1 ) 1 2 ( 1 1 1 1 2 2 2 − = − = = − = − = = − = − = = Vâỵ ta lập đơc bài toán mới thông qua bài toán II Bài toán 7: Tính tổng: H =1 2 + 2 2 + 3 2 + + 99 2 Hớng dẫn: H =1.(2-1)+2.(3-1)+ +99(100-1) =1.2-1+2.3-2+ +99.100-99 = 1.2+2.3+ +99.100- (1+2+3+ +99)

=333300 - 99.2100

= 333300-4950

=328350

*Nhận xét :

Ta đã thấy :

H = 1 2 + 2 2 + + 99 2 = 328350

Vậy K = 2 2 + 4 2 + 6 2 + + 198 2bằng bao nhiêu ?

Bài toán 8:

Tính tổng :

K = 2 2 + 4 2 + + 189 2

Hớng dẫn :

K = 2 2 ( 1 2 + 2 2 + + 99 2 )

K=4.328350

K=1313400

* Nhận xét :

Ta chia H cho 4 đợc

2 2

2

2 2

2

2

2 2

2 2

2

) 5 , 45 (

1 ) 5 ,

0

(

) 2

99 (

) 2

2 ( ) 2

1

(

2

99

2

2 2

1

+ + +

=

+ + +

=

+ + +

=

M

M

M

Bài toán 9:

Hãy tính :

M = ( 0 5 ) 2 + 1 2 + + ( 45 , 5 ) 2

Đáp số=328350:4=8285,5

c :kết quả

Sau khi đợc học xong bài toán này học sinh có kỹ năng làm các bài toán một cách hợp lý , các em nhìn nhận mỗi bài toán dới nhiều khía cạnh khác nhau Từ đó kích thích đợc sự tò mò ,sự sáng tạo ,ham học hỏi ,khám phá cái mới lạ trong học tập môn toán nói riêng và các môn khoa học khác nói chung Đặc biệt nhiều em học sinh đã vận dụng phơng pháp khai thác bài toán một cách hợp lý nên đã taọ ra đợc nhiều bài toán hay ,bài toán khó và có những lời giải độc đáo

d: bài học kinh nghiệm

Để đạt đợc hiệu quả cao trong dạy học môn toán Giáo viên phải có phơng pháp dạy học phù hợp với từng đối tợng học sinh Muốn có có đợc phơng pháp tốt đòi hỏi ngời thầy phải thờng xuyên học hỏi , tự bồi dỡng những kiến thức cho mình Đồng thời phải trang bị cho học sinh những ý tởng giải toán ,sau đó mới rèn luyện những kỹ năng trình bày lời giải

Nội dung các bài tập khi phát triển phải theo một trình tự lô gíc từ dễ đến khó

Học sinh phải có thời gian tự học ,trao đổi ,tự tìm tòi lời giải ,tự phân tích và phát triển mỗi bài toán theo nhiều hớng khác nhau

E :hạn chế Ngoài những kết quả đã đạt nh nêu ở trên thì trong quá trình thực hiện áp dụng kinh nghiệm này vào việc hớng dẫn giảng dạy cho học sinh tôi thấy những hạn chế sau :

Số lợng bài toán còn ít nên việc hình thành kỹ năng và vận dụng chuyên đề còn hạn chế

Do thời gian có hạn nên nội dung còn sơ sài

Các bài toán hơi khó nên chuyên đề chỉ áp dụng đối với học sinh khá ,giỏi

F :hớng đề xuất Để tăng thêm hiệu quả và khắc phục nhữngtồn tại khi áp dụng

đề tài , tôi tiếp tục đề ra cho mình hớng giải quyết tiếp theo :

Tiếp tục nghiên cứu đề tài “khai thác và phát triển các bài toán

từ một bài toán đơn giản “và áp dụng trên lớp,đồng thời theo dõi kết quả của học sinh để tìm ra biện pháp khắc phục nhợc điểm và hạn chế của đề tài

Đa ra hội thảo chuyên đề trong tổ chuyên môn thảo luận để tìm

ra biện pháp tối u nhất

G điều kiện áp dụng Để áp dụng chuyên đề này tôi thấy cần phải đảm bảo những

điều kiện sau:

+Đối với học sinh :

Phải nắm chắc kiến thức cơ bản và vận dụng linh hoạt vào các bài toán khác

Phải có lòng say mê học tập không ngại khó không ngại khổ

,đ-ợc đầu t thời gian , thờng xuyên đọc các tài liệu tham khảo

+Đối với giáo viên :

Cần có nhiều thời gian và các tài liệu tha khảođểnghiên cứu và

áp dụng vào các bài toán dạng toán cụ thể

Phải có trìng độ chuyên môn vững vàng để không những có nhữnh lời giải hay mà còn khai thác và phát triển các bài toán thành những bài toán hay hơn ,đa dạng hơn

kết luận Trên đây là toàn bộ kinh nghiệm của tôi đó là những ý kiến nhỏ đợc rút ra từ việc học hỏi và giảng dạy Với thời gian nghiên cứu có hạn nên mức độ nghiên cứu cha sâu nên bản kinh nghiệm này còn nhiều hạn chế Tôi rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để bản kinh nghiệm đợc hoàn thiện và áp dụng

có kết quả tốt

Tôi xin chân thành cảm ơn

Ngọc sơn ngày 15tháng 3 năm2004

Ngời viết :

Lu văn Hậu

mục lục Trang

A Lý do chọn đề tài 1

I Cơ sở lý luận 2

II Cơ sở thực tiễn 2

B Biện pháp thực hiện 3

Bài toán I 6

Bài toán II 12

C Kết quả 17

D Bài học kinh nghiệm 18