Ôn thi ĐHTX cơ lượng tử

2 ⇒CHLT mang tính xác suất thống kê.. Các toán tử tuyến tính,tự liên hợphecmitic 2.1/... ⇒ Nguyên lí: Trong CHLT ko có k.n quỹ đạo.. Pt c.động của toán tửđạo hàm toán tử theo tvà thời gi

* Tiên đề 1: Trạng thái của hạt vi mô ở thời điểm t,vị trí rr được mô tả bằng 1 hàm phức gọi là hàm sóng.

* Ý nghĩa vật lý của ψ: đại lượng ψ 2 ≡ψ ψ* (∈R) tỉ lệ với xác suất tìm thấy hạt thại vị trí rr vào thời điểm t

2

⇒CHLT mang tính xác suất thống kê

* Mật độ xác suất: ρ( , )r tr ≡ψ( , )r tr 2 →mật độ tìm thấy hạt tại 1 đ.vị V

* Chuẩn hóa hàm sóng: P=∫ρdV =∫ψ 2dV : xác suất tìm thấy hạt trong V

2/ Các toán tử tuyến tính,tự liên hợp(hecmitic)

2.1/ Toán tử tuyến tính,tự liên hợp:

* Toán tử: phép toán khi t.d lên 1 hàm → hàm khác Α =^ u v.

* Toán tử tuyến tính: L tuyến tính nếu ^ ^( n n( )) n(^ n( ))

* Các t/c của toán tử Hecmitic:

Cho L là toán tử Hecmitic & pt trị riêng: ^ L u^ n = Ln.un

2.2/ Ứng dụng toán tử trong cơ học lượng tử:

* Tiên đề 2: Trong cơ học lượng tử mỗi đại lượng vật lý A được mô tả bằng 1 toán tử tuyến tính Hecmitic A sao ^cho các giá trị đo được của A≡ các trị riêng An của A ^

* Dạng của một số toán tử cơ bản:

+ Ng.lí tương ứng: Các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lý trong CHLT cùng thõa mãn những hệ thức có dạng giống như những hệ thức giữa các đại lượng vật lý

3.2/Các giá trị trung bình:

+ Vì đo đại lượng vật lý A → {A1,A2,…,An }(tính bất định) → tính trung bình

+ Định nghĩa: A=∫ψ ψ*A dV^ → giá trị trung bình của A trong trạng thái ψ đã chuẩn hóa

* Giá trị trung bình của bình phương độ lệch

Xét đại lượng vật lý A → g.t trung bình A ⇒ độ lệch: ∆ ≡ − → ∆ = −A A A A A A^ ^

⇒ (∆A)2 gọi là bình phương độ lệch ⇒ toán tử tương ứng (∆A^)2

4 /Xác suất của phép đo & việc đo đồng thời các đại lượng vật lý:

4.1/Xác suất của phép đo:

* Từ biểu thức A ⇒ tính xác suất p = c 2 để A = A trong trạng thái ψ bất kỳ

4.2/Việc đo đồng thời các đại lượng vật lý:

* Cơ học lượng tử: 1 số đại lượng vật lý ko thể đồng thời xác định (không ∃ ∆( A)2 =0;(∆B)2 = ⇒0 Xét 2 đại lượng vật lý A & B →(∆A) (2 ∆B)2 ≠0

Tìm đk để A; B đồng thời xác định (đk: [ µ µA B ] = 0 ) thì ψ; = uA = uB⇔ µ µA B có chung hàm riêng.;

* Đ.lý: đk cần và đủ để µ µA B có chung hàm riêng là: [ µ µ; A B ] = 0 hay µ µ; AB=B Aµ µ

Ngược lại nếu ¶ µ[ ; ]A B ¹ 0Þ A,B không đồng thời xác định

µ µ ¶ ¶

2

, à [ , ]( ) ( )

* Nguyên lí bất định: khi (∆x)2 giảm (tọa độ càng xác định) 2

( p x)

→ ∆ tăng (xung lượng càng bất định), và ngược lại ⇔ ko thể x.đ đồng thời tọa độ và xung lượng,⇔ ko thể x.đ quỹ đạo của hạt

⇒ Nguyên lí: Trong CHLT ko có k.n quỹ đạo

5/ Giếng thế vuông góc,1 chiều sâu vô hạn:

n

a

πψ

2sin ( ) ;

1cos( ) 1,3,5,7,

2( )

1sin( ) 2, 4,6,

28

ma

πψ

ππ

Đặt: ρ ψ ψ≡ * : mật độ xác suất

8/ Pt c.động của toán tử(đạo hàm toán tử theo t)và thời gian chuyển động?

* Biểu thức trong tọa độ cầu: (r,θ,Φ)

x = rsinθcosΦ ; y = rsinθsinΦ ; z = rcosθ ; với: 0≤ r<∞ ; 0≤ θ ≤π ; 0 ≤ Φ ≤ 2π

Þ

¶

¶

µ

sin cot cos

cos cot sin

10/ Chuyển động trong trường xuyên tâm:

* Đ/n: Trường xuyên tâm là trường thế có thế năng chỉ phụ thuộc khoảng cách từ tâm lực đến điểm khảo sát : V

⇒ Trạng thái của hạt trong rường xuyên tâm được mô tả bằng hàm sóng ψ được x.đ bởi En,Lur2,Lz hay bởi n,l,m.

⇒ψ≡ψnlm(r,θ,φ) = Rnl(r)ϒ( , )lmθ φ ; trong đó Rnl: hàm xuyên tâm; Ylm: hàm cầu

* Các số lượng tử: có 3 số lượng tử:

+ Số n = 1,2,3,4,…→ E = En: x.đ năng lượng gián đoạn.(n: số lượng tử chính)

+ Số l: số lượng tử quỹ đạo: l = 0,1,2,3,… →urL2 =l l( +1)h 2

* Toán tử Spin: S S S Sur$(¶ ¶ µx, ,y z)

được xác định bởi: ¶ ¶éS S x, yù=i S S Sµ ¶ µz;éy, zù=i S S S¶x;é¶ ¶z, xù=i S¶y&S¶ 2=S¶x2+ S¶2y+ S¶z2

11.2/Spin của điện từ:

Biến số spin: σ = =s z m sh: gián đoạn

* Gần đúng trong đa số trường hợp:

+ Có đặc trưng m,e,s,…, giống nhau.

+ Có biểu hiện như nhau trong cùng đk

Vd: hệ e-,hệ γ,hệ n,p

* Ng.lí ko phân biệt: ko thể phân biệt được các hạt đồng nhất trong CHLT

* Trạng thái đ/x và phản đ/x: từ ng.lí ko phân biệt đó → hàm sóng của hệ hạt đồng nhất hoặc hàm chẵn(đ/x) hoặc hàm lẽ(phản đ/x)

Hàm đ/x khi ψ(i0,…,i,j,…) = ψ(1,2,…,j,i,…); phản đ/x khi ψ(i0,…,i,j,…) = - ψ(1,2,…,j,i,…) ↔ hàm sóng của hệ hạt phải có tính chẵn lẽ xác định

* Tính đ/x của hàm sóng của hệ hạt đồng nhất ≈ loại hạt

a a

dx A

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

h

( )2

2

2

2

2 2

am x x

hNghiệm lại:

Bài 3:

2 2 2

2 2 1

1

::

ik x i

ik x r

Ce

⇒ = ≡ : hàm sóng của hạt qua rào

j mat do dong toi

j mat do dong truyen qua

j j

Gọi miền I: x → -∞ => V = 0: có hạt tới và hạt phản xạ

Gọi miền II: x → +∞ => V = V0: hạt truyền qua

:

ik x i

Be ham song hat phan xa

Ta có:

2 1

2 1

2 2

2 2

k j

m k

; :2

4

2 1

2

m x

m x

322 210

21

a

a a