Tài Liệu Học Toán Lớp 12

Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị h[r]

TÀI LIỆU HỌC TOÁN LỚP 11

1 Định nghĩa: Cho hàm số y = ( )f x xác định trên K

 Hàm số y= f x( ) đồng biến trên K nếu "x x1, 2Î K x: 1< x2Þ f x( )1 < f x( 2)

 Hàm số y= f x( ) nghịch biến trên K nếu "x x1, 2Î K x: 1< x2Þ f x( )1 > f x( 2)

Chú ý: K là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng

2 Định lý: Cho hàm số y= f x( ) xác định trên K

a) Nếu f¢( )x > 0, " Îx K thì hàm số ( )f x đồng biến trên K

b) Nếu f¢( )x < 0, " Îx K thì hàm số ( )f x nghịch biến trên K

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên K

a) Nếu f¢( )x ³ 0, " Îx K và f¢( )x = 0 tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K

b) Nếu f¢( )x £ 0, " Îx K và f¢( )x = 0 tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K

c) Nếu f¢( )x = 0," Îx K thì f x không đổi trên K ( )

Dạng 1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

Dạng 1 : Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

Quy tắc tìm:

 Tìm tập xác định của hàm số

 Tính đạo hàm f¢ Tìm các điểm (( )x x i i = 1, 2, , )n mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

 Lập bảng biến thiên

 Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số

Bài tập :

1 Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số :

a 3 2

yx  x  x b 3 2

yx  x  x c 3 2

yx x  x

d 3 2

y  x x  e 1 3 2

4 3

y  x x  x f 3 2

y  x x  x

g 3 2

yx x  x h 1 3 2

5 3

y x x  x i 1 3 2

5 3 3

2 Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số :

a 4 2

yx  x  b 4 2

yx  x  c 4 2

y  x x 

d 1 4 2

4

y x  x  e 2 1 4

4

yx  x f 4 2

y  x x 

y  x  x  h   3 

1 5

y x x i   2 3

3 Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số :

a 2

1

x y x





 b

2 1 3

x y x





 c

3 1

2

y

x

 

 d

3 4 1

x y

x







e 2 1

8

x y x





 f

2

1

y

x



 g

2 5 1

y x

 



 h

2 2 1

y x

 





4 Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số :

a 2

2

y xx b 2

4 3

y x  x c

2

1 1

x y





  d

2

2 1

x y x





e y 5  x x 1 f 2

9

yx x  g 2 2

2 5

yx  x h 2

4

5 Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số :

a 2

2 3

y x  x b y x x( 2) c 2 2

6 Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số :

a y x sin , x x0; 2 b 2 cos , ;5

6 6

 

Dạng 2 Tìm các giá trị m để hàm số đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) trên khoảng cho trước

Phương pháp:

Xét hàm số y= f x( ) trên K

 Tìm tập xác định của hàm số (nếu cần) Tính f¢ ( )x

 Nêu điều kiện của bài toán:

+ Hàm số đồng biến trên K Û f¢( )x ³ 0," Îx K

+ Hàm số nghịch biến trên K Û f¢( )x £ 0," Îx K

 Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm m

f x ax bx c a

0

a

     

0 ( ) 0,

0

a

     



So sánh nghiệm của tam thức với số 0

0

0

S

 





   

 



0

0

S

 





   

 



x1  0 x2 P 0

Bài tập

y   x m x  m x luôn giảm trên

2 Tìm m để hàm số : 1 3 2

4 10 3

y x mx  x đồng biến trên

3 Cho hàm số

3

2

3

x

y  mx  mx Xác định m để :

a Hàm số đồng biến trên miền xác định

b Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 0

4 Cho hàm số

3 2

3

x

y   x mx Xác địn m để :

a Hàm số nghịch biến trên trên tập xác định của nó

b Hàm số nghịch biến với mọi x 1

2(2 ) 2(2 ) 5 3

m

nghịch biến trên

6 Tìm m để hàm số

3

2

3

x

y  m x  m x đồng biến trên (1; +)

7 Tìm m để hàm số y x 3 3(2m 1)x2 (12m 5)x 2 đồng biến trên (2;  )

8 Tìm m để hàm số 2

2

mx y x





 luôn đồng biến trên từng khoảng xác định

9 Tìm m để hàm số y x m

x m





 đồng biến trên (–1; +).

10 Tìm m đề :

a) y x 3 3x2mx m nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 1

y x  mx  mx m nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3

3

y  x  m x  m x đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 4

Dạng 3 : Chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp :

Trường hợp 1 : Bất đẳng thức chỉ có 1 biến

Giả sử muốn chứng minh f x( ) g x( ) trên  a b;

+ Đưa bất đẳng thức trên về dạng : h x( ) f x( )g x( )  0, x  a b;

+ Tính h x'( ) và xét dấu h x'( ) Suy ra h x( ) tăng hay giảm trên  a b;

+ Áp dụng định nghĩa về tính đơn điệu để kết luận

Trường hợp 2 : Bất đẳng thức có hai biến

+ Đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng : f( )  f( )  a    b + Xét tính đơn điệu của f x( ) trong  ; 

+ Áp dụng định nghĩa về tính đơn điệu để kết luận

Bài tập :

1 Chứng minh các bất đẳng thức sau :

2 x 3 , x 1

x

   b) sin tan 2 0

2

  c) sinx  x, x 0

d)

3 sin , 0 6

x

x  xx  x e)  sin   sin  0

2



 

    

e) tan 0

     

2 Cho hàm số f x( ) xsinx 2cosx

a) Tính đạo hàm của hàm số

b) Chứng minh rằng : , : 0

2



    Ta có : sin  sin  2(cos cos ).

LOẠI ② CỰC TRỊ HÀM SỐ

1 Định lí 1 Giả sử hàm số y= f x( ) liên tục trên khoảng K(x0h x; 0h) và có đạo hàm trên K

hoặc K \{ }x0 (h > 0)

a) f¢( )x > 0 trên (x0h x; 0) và f¢( )x < 0 trên ( ;x x0 0h) thì x là một điểm CĐ của ( )0 f x

b) f¢( )x < 0 trên (x0h x; 0) và f¢( )x > 0 trên ( ;x x0 0h) thì x là một điểm CT của ( )0 f x

Nhận xét: Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định

Qui tắc 1 tìm cực trị hàm số (dựa vào định lý 1)

 Tìm tập xác định

 Tính f¢ Tìm các điểm tại đó ( ) 0( )x f¢x = hoặc f¢ không xác định ( )x

 Lập bảng biến thiên

 Từ bảng biến thiên dựa vào định lý 1 suy ra các điểm cực trị

2 Định lí 2 Giả sử y= f x( ) có đạo hàm cấp 2 trong (x0h x; 0h) (h > 0)

a) Nếu f¢(x0)= 0, f¢¢(x0)> 0 thì x là điểm cực tiểu 0

b) Nếu f¢(x0)= 0, f¢¢(x0)< 0 thì x là điểm cực đại 0

Qui tắc 2 tìm cực trị hàm số (dựa vào định lý 2)

 Tìm tập xác định

 Tính f¢ Giải phương trình ( ) 0( )x f¢x = và kí hiệu x là nghiệm i

 Tìm f¢¢( )x và tính f¢¢( )x i

 Dựa vào dấu của f¢¢( )x i suy ra tính chất cực trị của x i

3 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1 Tìm cực trị của hàm số cho trước

Phương pháp: Dựa vào quy tắc 1

Bài tập

yx  x  x 2 3 2

y x  x  3 1 3 2

2 3

4 15 3

y  x  x  x 5

4 2 3 2

x

y x  6 4 2

yx  x 

yx  x  8

4

2 3

x

y  x  9 2 2 

4

10

2 1 2

y

x

 



 11

2

2 15 3

y

x



 12

2

2

1

y



 

y  x x  x 14

5 3

2

y   15   3 4

4

yx x 17 2

1

y x x  18 2

2 5

y x  x 20 2 2

yx  x x  x 21 2

4 3

Phương pháp: Dựa vào quy tắc 2

Bài tập

yx  x  2 5 3

y x  x  x 3 y sin 2x cos 2x

4 y  3 2cosx cos 2x 5 y 2sin 2x 3 6 2

sin 3 cos

Dạng 2 Điều kiện để hàm số đạt cực trị

Phương pháp:

 Tìm tập xác định D của hàm số

 Tính f¢ ( )x

 Hàm số đạt cực trị tại x0Î DÛ f¢( )x đổi dấu khi qua x 0

Một số chú ý:

 Hàm số y= ax3+ bx2+ cx= d a, ¹ 0 có cực trị (cực đại và cực tiểu)Û y¢= có hai nghiệm 0

phân biệt

 Xét hàm số trùng phương y= ax4+ bx+ c a, ¹ 0

2

0

2 0 (1)

x

é = ê

êë + Hàm số có ba cực trị Û (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 Û ab< 0

+ Hàm số có một cực trịÛ (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm x = 0

0

0

ab

b

é >

ê

Û

ê =

ë

Một số dạng khác

 Để hàm số y f x  có 2 cực trị

'

0 0

y

a



  

 Để hàm số y f x có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành y CĐ.y CT  0

 Để hàm số y f x có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung x CĐ.x CT  0

 Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trên trục hoành 0

CĐ CT

CĐ CT

y y



 Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành 0

CĐ CT

CĐ CT

y y



 Để hàm số y f x có cực trị tiếp xúc với trục hoành y CĐ.y CT  0

Bài tập :

1 Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu :

yx  x mx b 3 2 2

yx  m x  m  m x d   3 2

y x mx  f 4 2 4

yx  mx  m m g

2

2

1

y



 

h

2

3 1

y

x



 i

2

y

x m





2 Tìm m để hàm số sau có cực trị :

ymx  mx  m x b 3 2

y  x m x  d

2 ( 2) 1

y

x



 3.Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại và cực tiểu

yx  m x  x m  b

2

2

2 2

y x





4 Tìm m để hàm số sau có cực đại : 2

y   x m x  x

ymx  m x  m có cực đại mà không có cực tiểu

6 Tìm m để các hàm số sau không có cực trị :

y m x  mx  b

2

y

 





Dạng 3 : Xác định giá trị của tham số để hàm số đạt cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp

1 Tìm tập xác định D của hàm số

2 Tính f x'( )

3 Đặt điều kiện để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Từ điều kiện này sẽ xác

định được giá trị của tham số

Bài tập :

1 Tìm m để hàm số

2

1

y



 đạt cực tiểu tại x2

2 Tìm m để hàm số

2

y



 đạt cực đại tại x 1

3

y x  m  m x  m  xm đạt cực tiểu tại x  2

ymx  m  x  x đạt cực đại tại x 2

5 Cho hàm số 4 2

yx mx n Tìm m, n để hàm số đạt cực trị bằng 2 tại x 1

6 Cho hàm số

3

2

3

x

y  m x   m xm Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục Oy

yx  m x  m m  Tìm m để hàm số đạt cực trị tại hai điểm có hoành độ dương

8 Cho hàm số 3 2

yx  x  m m x Tìm m để hàm số có hai cực trị cùng dấu

m

y x  m x  m x Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị là x x1, 2:x12x2 1

yx  m x  m  m x m  Tìm m để hàm số có cực trị tại

1 2

1 1 1

; :

2

11 Cho hàm số 3 2

y x mx  x Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu và các điểm này cách đều trục tung

yx  mx  m  x m  m Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu với hoành độ x x1; 2 thỏa : 2 2

1 2 10

13 Tìm m để đồ thị hàm số 3 2

y x  m x  m m x có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng ( ) :d y x 4

Dạng 4: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Dạng : Hàm số 3 2

yax bx cxd

Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x) Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm

cực trị

Dạng : Hàm số

2

ax bx c y

dx e

 



 Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng  

 

2

'

 



Bài tập

1 Chứng minh rằng hàm số y = 2  2  4

x m

 luôn có có cực trị với mọi m Tìm m sao cho hai cực trị nằm trên đường thẳng y 2 x

2 Cho hàm số 1 3 2  

3

y x mx  m x Định m để:

a Hàm số luôn có cực trị

b Có cực trị trong khoảng 0; 

c Có hai cực trị trong khoảng 0; 

yx  mx  m  x b  ac đạt cực đại tại x = 2

4 Cho hàm số 3 2

a Khảo sát hàm số khi m = 0

b Định m để hàm số không có cực trị

c Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu

5 Cho hàm số 3 2

yx  mx  x m Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương

trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy

6 Cho hàm số 2  

y

x m



 Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với

mọi m Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành

yx   m x  m x m Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời

hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1

8 Cho hàm số

y

x m



 Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về hai phía đối với

trục tung

9 Cho hàm số 1 3 2    

y x mx  m x m C Định m để hàm số có hai điểm cực trị cùng

dương

2

y

x



a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1

b Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O

ĐS: m   4 2 6

y  x x  m  x m  (1), m là tham số (ĐH KhốiB năm 2007)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1

b Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách

đều gốc tọa độ

2

m 

12 Cho hàm số 4  2  2

ymx  m  x  (1) (m là tham số)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1

năm 2002) Đáp số

a

f(x)=x^4-8x^2+10

-20 -15 -10 -5

5 10

x y

m m

 



  



13 Gọi (C m) là đồ thị của hàm số 2  

1

y

x



a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1

b Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (C m) luôn có hai điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20

a

f(x)=x+1+1/(x+1)

f(x)=x+1

x(t)=-1 , y(t)=t

-10 -8 -6 -4 -2

2 4

x y

b CĐ(2;m3), CT(0;m+1) MN  20

1 Định nghĩa:

(d) là tiệm cận của (C)

 

0







C M

M MH

2 Cách xác định tiệm cận

a Tiệm cận đứng: lim    : 0

0

x x d x

f

x x









b Tiệm cận ngang: lim f x y0  d :y y0

x









c Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=x+ trong đó:   f x x

x

x f

x







Các trường hợp đặc biệt:

6

4

2

-2

-4

-6

y

x

( d)

( C)

h y   = 0

g x   = 0

f x   = 1.7 x

H M

*Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm nhất biến)

n mx

b ax y







+TXĐ: D= R\













m n

m

n x d y

m

n x















: lim

m

a y d m

a y

x









lim f(x)=x/(x-1)

f(x)=1

x(t)=1 , y(t)=t

T ?p h?p 1

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3

x

y

I

* Hàm số bậc hai trên bậc nhất (hàm hữu tỷ)

 

n mx

A x

n mx

c bx ax y















+TXĐ: D= R\













m n

m

n x d y

m

n x















: lim

+TCX: lim  0





A

f(x)=x^2/(2(x-1)) f(x)=x/2+1/2 x(t)=1 , y(t)=t

T ?p h?p 1

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3

x

y

I

Bài tập

1 3

y



 , với m là tham số thực

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =1

b Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 450 (ĐH Khối A2008)

2 Cho hàm số   2  2 

y f x

x

  Tìm m sao cho đồ thị của hàm số f có tiệm cận xiên

đi qua gốc tọa độ

2

x

 có đồ thị (C) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số này có tiệm cận xiên luôn đi qua một điểm cố định

4 Cho hàm số ( ) 2 2 3 2

1

y f x

x

 

 có đồ thị (C)

a Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên (C) đến hai đường đường tiệm

cận là một số không đổi

b Tìm tọa độ điểm N thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ N đến hại tiệm cận nhỏ nhất

5 Cho hàm số ( ) 2 2 2

1

x mx

y f x

x

 có đồ thị (C m ) Tìm m để đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm

số tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4

6 Tìm m để đồ thị hàm số 2 1

1

x y

x mx





  có hai tiệm cận đứng là x=x1 và x=x2 thỏa mãn

5

35

x x

 





 

7 Cho hàm số 1

1

x y x





 có đồ thị (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ nó đến hai đường tiệm cận nhỏ

nhất

8 Cho hàm số 2 1

2

x y

x





 có đồ thị (H)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số

b Viết phương trình tiếp tuyến  của (H) tại giao điểm với trục tung

c Tìm những điểm N (x N >1) thuộc (H) sao cho khoảng cách từ N đến tiếp tuyến  ngắn nhất

Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) và y=g(x) có đồ thị (C2) Khảo sát sự tương giao giữa hai

đồ thị (C1) và (C2) tương đương với khảo sát số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1) Số giao

điểm của (C1) và (C2) đúng bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (1)

(1) vô nghiệm  (C1) và (C2) không có điểm chung

(1) có n nghiệm  (C1) và (C2) có n điểm chung

(1) có nghiệm đơn x1  (C1) và (C2) cắt nhau tại N(x1;y1)

(1) có nghiệm kép x0  (C1) tiếp xúc (C2) tại M(x0;y0)

Bài tập

1 Cho hàm số  2

1 1

x y x





 có đồ thị là (C)

a Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

b Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2  

x  m x  m

2 Cho hàm số   2 2

y x x có đồ thị là (C)

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên

b Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình  2 2

x   m 

3 Cho hàm số 3 2

4

yx kx 

a Khảo sát hàm số trên khi k = 3