Các phơng pháp chứng minhbất đẳng thức A.. Kiến thức cơ bản.. Các ph ơng pháp chứng minh bất đẳng thức... Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc b
Trang 1Các phơng pháp chứng minh
bất đẳng thức
A Kiến thức cơ bản
* Một số bất đẳng thức cần nhớ:
1 a2 0; ; -
, dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi ab 0
2 Bất đẳng thức Cô - si : a, b 0
dấu " = " xảy ra và chỉ khi a = b
3 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki:
(a.c + b.d)2 (a2 + b2) (c2 + d2), dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi
B Các ph ơng pháp chứng minh bất đẳng thức
Ph
ơng pháp 1 : Dựa vào định nghĩa
A B <=> A - B 0
Chú ý các hằng đẳng thức:
* a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 0;
* a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ab + 2ca = (a + b + c)2 0
Bài 1.1: Chứng minh rằng với mọi x, y ta luôn có:
a
b x2 + y2 + 1 xy + x + y;
c x4 + y4 xy3 +x3y
Giải:
a Xét hiệu:
Vậy: Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 2x = y
b x2 + y2 + 1 - (xy + x + y) =
0 Vậy: x2 + y2 + 1 xy + x + y
c x4 + y4 - (xy3 + x3y) = x4 - xy3 + (y4 - x3y)
= x (x3 - y3) - y (x3 - y3) = (x3 - y3) (x - y) = (x - y)2 (x2 + xy + y2)
= (x - y)2 0
1
0
b
,
b a
d
b c
a
; 4
2
0 ) 2 ( 4
1 4
4 4 4
2 2
2 2
2 y xy x xyy x y
4
1 4
4 4 4
2 2
2 2
2
x
4
2
) 2 2 2 2 2 2 ( 2
y x xy y
2
1
4
3 ) 2 (
2
y x
Trang 2VËy: x4 + y4 xy3 + x3y
Bµi 1.2: Cho 0 < a b c Chøng minh r»ng:
a
b
Gi¶i:
a
=
=
VËy:
b
(V× a2c abc)
(V× o < a b c)
VËy:
Bµi 1.3: Cho a < b < c < d H·y xÕp thø tù t¨ng dÇn c¸c sè sau:
x = (a + b) (c + d); y = (a + c) (b + d); z = (a + d) (b + c)
Gi¶i:
XÐt hiÖu: y - x = (a + b) (b + d) - (a + b) (c + d)
= ab + ad + cb + cd - ac - ad - bc - bd
= b (a - d) - c (a - d) = (a - d) (b - c) > 0 (v× a < b < c < d) Suy ra: y > z
T¬ng tù, xÐt hiÖu: z - y = (a + d) (b + c) - (a + c) (b + d)
= (a - b) (c - d) > 0 Suy ra: z > y
VËy: x < y < z
Bµi 1.4: Cho abc = 1 vµ a3 > 36 Chøng minh r»ng:
c
a b
c a
b a
c
c
b
b
a
b
a a
b
c
b
a
c
) (
b a a c c b b c a b c a abc c
a b
c a
b a
c
c
b
b
a
a c b c b a a b c b c a
a b c a b ab b a c
) )(
(
c ab cb ca a b
2 )(
(
1
c ab ab ca a b
0 ) )(
)(
(
1
a c b c a b
abc c
a b
c a
b a
c c
b
b
a
1 (c2b b2a b2c a2c)
abc b
a a
b
c
b
a
c
) (
abc c b a b b
c
c b ba b c bc abc abc
a b c b b
c
0 ) )(
(
1
a a
b c
b
a
c
a2
Trang 3
Giải
(Vì abc = 1
và a3 > 36 nên a > 0)
Vậy:
Bài 1.5: Cho a > b > 0 So sánh hai số x, y với x =
Giải:
Ta có x,y > 0 và
(Vì a > b> 0 nên
Vậy: x < y
Ph
ơng pháp 2 : Sử dụng tính Bắc Cầu:
* A B
=> A C
B C
* 0 x 1 => x2 x (vì x - x2 = x (1 - x) 0)
Bài 2.1: Cho 0 x, y, x 1, Chứng minh rằng:
a 0 x + y + z - xy - yz - zx 1;
b x2 + y2 + z2 1 + x2y + y2z + z2x
Giải:
a Ta có: x + y + z - xy - yz - zx = x (1 - y ) + y (1 - z) + z (1 - x) 0 (1)
Mặt khác: (1 - x) (1 - y) (1 - z) = 1 - x- y - z + xy + yz + zx - xyz 0, Suy ra: x + y + z - xy - yz - zx 1 - xyz 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 0 x + y + z - xy - yz - zx 1
b Ta chứng minh: x2 + y2 + z2 - x2y - y2z - z2x 1
Ta có: x2 + y2 + z2 - x2y- y2z - z2x = x2 (1 - y) + y2 (1 - z) + z2 (1 - x)
x (1 - y) + y (1 - z) + z (1 - x) (vì x2 x, y2 y, z2 z)
x + y +z - xy - yz - zx 1 (câu a)
Bài 2.2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2.
Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + 2abc < 2
Giải:
Nếu a 1 thì từ b + c 1 suy ra a + b + c > 2, vô lý! Vậy 0 < a < 1
Tơng tự: 0 < b < 1, 0 < c < 1
Ta có: (1 - a) (1 - b) (1 - c) = 1 - a - b - c + ab + bc + ca - abc > 0, suy ra
3
ca bc ab c b a a ca bc ab c b
a
2 2 2
2 2
12 4 3
bc a bc ca ab c b a
3 12
2 4
2 2
2 2
0 ) 36 ( 12
1 2
3 2
a c
b a
ca bc ab c b
a
2 2
2
3
2
1 ,
1
1
b b
b y
a a
a
a a a
a a
a a
a a
1 1 1
1 1 1
1 1
1 1
2 2
2 2
y b b
1 1 1
1 1
2
) 1 1 1 1
2
Trang 4abc < ab + bc + ca - 1 (vì a +b + c = 2) (1)
Mà 4 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca), suy ra:
Từ (1) và (2) suy ra:
abc < 1 -
Bài 2.3: Cho 0 < a, b, c, d < 1 Chứng minh rằng:
(1 - a) (1 - b) (1 - c) (1 - d) > 1 - a - b - c - d
Giải:
Ta có: (1 - a) (1 - b) = 1 - a - b + ab > 1 - a - b (1)
Vì 1 - c > 0 nên:
(1 - a) (1 - b) (1 - c) > (1 - a - b) (1 - c) (2)
(1 - a - b) (1 - c) = 1 - a - b - c + c (a + b) > 1 - a - b - c (3)
Từ (2) và (3) suy ra: (1 - a) (1 - b) (1 - c) > 1 - a - b - c
Vậy: (1 - a) (1 - b) (1 - c) (1 - d) > (1 - a - b - c) (1 - d) > 1 - a - b - c - d (Vì d (a + b + c) > 0)
Bài 2.4: Cho 0 a, b, c 2 thoả a + b + c = 3 Chứng minh rằng:
a2 + b2 + c2 5
Giải:
Cách 1: Vì a + b + c = 3 nên có ít nhất một trong ba số a, b, c không nhỏ
hơn 1, giả sử a 1
Vì 1 a 2 nên: (a - 1) (a - 2) = a2 - 3a + 2 0 => a (3 - a) 2
Suy ra: ab + bc + ca = a (b + c) + bc = a (3 - a) + bc 2 (1)
Vậy: a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2 (ab + bc + ca)
= 9 - 2 (ab + bc + ca) 5 (theo (1))
Cách 2: Vì a, b, c 2 nên:
(2 - a) (2 - b) (2 - c) = 8 - 4 (a + b + c) + 2 (ab + bc + ca) - abc 0
Suy ra: - 4 + 2 (ab + bc + ca) - abc 0 => ab + bc + ca 2+
Vậy: a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2 (ab + bc + ca) 9 - 4 = 5
Bài 2.5: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 1
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + 4abc <
Giải:
áp dụng công thức Hê - rông, diện tích tam giác:
S = với p = (a + b + c) =
Do đó: S2 =
16S2 = (1 - 2a) (1 - 2b) (1 - 2c)
= 1 - 2a - 2b - 2c + 4ab + 4bc + 4ca - 8abc
= - 1 + 4 (ab + bc + ca) - 8abc > 0
) (
2
c b
a 2 2 )
( 2
a
2
2
abc
2 1
, ) )(
)(
2
1
2 1
2
1 2
1 2
1 2 1
1
Trang 5Suy ra: 4abc + < 2ab + 2bc + 2ca.
Mà: 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) = 1 - (a2 + b2 + c2)
Nên: 4abc + < 1 - a2 - b2 - c2 => a2 + b2 + c2 + 4abc <
Ph
ơng pháp 3 : Phơng pháp biến đổi tơng đơng.
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức
đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh đúng
Bài 3.1: a Với a,b, c > 0 Chứng minh:
b Cho a c > 0, b c Chứng minh:
Giải:
a
<=> a2 +b2 + c2 2 (bc + ac - ba) (Vì abc > 0)
<=> a2 + b2 + c2 - 2bc - 2ac + 2ab 0
<=> (a + b - c)2 0 (hiển nhiên đúng)
Vậy:
b
<=> c (a - c) + c (b - c) + 2c
<=> c2 - 2c
<=> (c - ( hiển nhiên đúng)
Vậy:
Bài 3.2: Cho biểu thức:
Chứng minh rằng 0 < P < với mọi x 1
Giải:
Ta có: x4 - x3 + x - 1 = x3 (x - 1) + (x -1) = (x - 1) (x3 +1)
= (x - 1) (x + 1) (x2 - x + 1)
x4 + x3 - x - 1 = x3 (x+ 1) - (x + 1) = (x + 1) (x3 - 1)
= (x + 1)( x - 1)(x2 + x + 1)
x5 - x4 + x3 - x2 + x - 1 = (x - 1)(x4 + x2 + 1)
= ( x -1) (x2 +1)2 - x2) = (x -1)(x2 + x + 1)(x2 - x + 1)
5
2
1
2 1
c b a ab
c ca
b bc
2
ab c
b c c a
c( ) ( )
c b a ab
c ca
b bc
2
c b a ab
c ca
b bc
2
ab c
b c c a c ab
c b c c a
ab c b c
a )( ) (
0 ) )(
( ) )(
(a c b c a c b c
0 ) )(
c b c a
ab c
b c c a
c( ) ( )
1
4 1
1 1
3
2 3 4 5 3 4 3
4
x x x x x x x x x x x P
9 32
) 1 )(
1 )(
1 (
4 )
1 )(
1 )(
1 (
1 )
1 )(
1 )(
1 (
3
2 2
2
x x x x x x
x x x x
x x x P
1
2 )
1 )(
1 (
) 1 ( 2 )
1 )(
1 (
) 1 ( 4 ) 1 (
) 1 (
3
2 4 2
4 2
2 2
4 2
2 2
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
Trang 6Rõ ràng P > 0
<=> 16x4 + 16x2 + 7 > 0 (luôn luôn đúng)
Vậy: 0 <
Bài 3.3: Cho x > y và xy = 1 Chứng minh rằng:
Giải:
Ta có: x2 + y2 = (x - y)2 + 2xy = (x - y)2 + 2, suy ra:
(x2 + y2)2 = (x - y)4 + 4 (x -y)2 + 4
Do đó:
<=> (x - y)4 - 4 (x - y)2 + 4 0 <=> (x - y- 2)2 0 (luôn đúng) Vậy:
Ph
ơng pháp 4 : Sử dụng các bất đẳng thức phụ.
* x2 + y2 2 /xy/ * xxy/xy/ * x * x2 + y2 2xy
* ( x + y)2 4xy * x + , với x > 0
* *
Bài 4.1: Cho a, b, c 0 và a + b + c = 1 Chứng minh rằng:
a + 2b + c 4 (1 - a) (1 - b) (1 - c)
Giải:
áp dụng bất đẳng thức: 4xy (x + y)2, ta có:
4 (1 - a) (1 - b) (1 - c) = 4(b + c) (1 - c) (1 - b) (1 + b)2 (1 - b)
(1 + b) (1 - b2)
(1 + b = a + 2b + c Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = , b = 0, c =
Bài 4.2: Cho x, y > 0 và x + y - z = 1 Chứng minh rằng: x + y 16xyz.
Giải:
áp dụng bất đẳng thức: 4xy (x + y)2, ta có:
16xyz 4z (x + y)2 (1)
Ta chứng minh: 4z (x + y)2 x + y <=> 4z ( x + y) 1 <=> 4z (1 + z) 1
) 1 (
16 9 9
32 1
2 9
2
x x P
9
32
) (
) (
2
2 2 2
y x
y x
2 2
4 2
2 2 2
) ( 8 4 ) ( 4 ) ( 8 ) (
)
y x
y x
8 ) (
) (
2
2 2 2
y x
y x
2
1
x
) 0 , ( 4 1
1
y x y
) (
4 1
y x xy
2
1
2 1
Trang 7<=> 4z2 + 4z + 1 0 <=> (2z + 1)2 0
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Bài 4.3: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
Giải:
(3)
Cộng (1), (2), (3) ta đợc điều phải chứng minh
Bài 4.4: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng
Giải:
Cách 1
Ta có: (a + b + c)
(Vì
Suy ra:
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Cô - si:
a + b + c 3
Suy ra: ( a + b + c)
Bài 4.5: Hai số dơng a, b thoả mãn ab > a + b Chứng minh rằng a + b > 4
Giải:
Từ ab > a + b => a > 1 + và b > 1 + suy ra
a + b > 2 + (vì
B
ài 4.6 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi 2p
Chứng minh rằng:
áp dụng bất đẳng thức: Ta có:
7
2 1 1
1 1 1
1 1 1
a c c b b a
) ( 4
1 1 1
1 )
( 4
1
b a b a
b a b a
ab
) ( 4
1 1 1
1
c b c
b
) ( 4
1 1 1
1
a c a c
c b a c b
a
9 1
1 1
1 1
1 1 1 1
b
c a
c c
b a
b c
a b
a c
b a
9
b
c c
b a
c c
a a
b b a
; 2
a
b b
a
; 2
a
c c
a
; 2
b
c c
b c b a c b
a
9 1
1 1
3 abc
c b a
1 1
3
abc
c b a c b a c
b
a
9 1 1 1
b a
a
b b
a
) 2
a
b b a
a p b p c a b c p
1 1 1 2 1 1
1
);
0 , ( 4 1 1
y x y x
a b
Trang 8Do đó:
Suy ra:
Bài 4.7: Cho 4 số dơng a, b, c, d Chứng minh rằng:
Giải:
áp dụng bất đẳng thức: , ta có:
(1) (2) Lấy (1) cộng (2) vế theo vế ta đợc:
Ta chứng minh:
(3) Thật vậy:
(3) <=> 4 (a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) 2 (a + b + c + d)2
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 + 2d2 - 4ac - 4bd 0
<=> (a - c)2 + (b - d)2 0 (đpcm)
Bài 4.8 Cho hai số dơng a, b và a + b = 1 Chứng minh rằng:
Giải:
áp dụng bất đẳng thức: 4ab (a + b)2, ta có:
áp dụng bất đẳng thức:
với x, y > 0, ta có:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b =
Bài 4.9 Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng:
8
;
4 2
4 1
1
c b a p b p a
; 4 1 1
a c p b
p
4 1 1
b a p c
p
p
1 1 1 4 1 1
1 2
1 1 1 2 1 1
1
p
2
d d a
c d c
b c b a
) 0 , ( ) (
4 1
y x xy
2
2 2
) (
4 ) )(
(
) ( ) (
d c b a
bc ad c a a
d c b
c b c a d a a
d
c
c
b
a
2
2 2
) (
4 ) )(
(
) ( ) (
d c b a
cd ab d b b
a d c
d c d b a b b
a
d
d
c
b
2
2 2 2 2
) (
4
d c b a
cd ab bc ad d c b a b a
d a d
c d
c
b
c
b
a
2 )
(
) (
4
2
2 2 2
2
d c b a
cd ab bc ad d c b
a
6 1 1
2
b a ab
4
1 4
1
ab ab
y x y
x
4 1 1
2
1
b d a c d b b
b b d c a d b a c c a b d d b
a
) 0 , ( ) (
4 1
y x xy
2
d d a
c d c
b c b a
Trang 9Ta có:
=
áp dụng bất đẳng thức: , ta có:
(đpcm)
Ph
ơng pháp 5 : Phơng pháp phản chứng.
Bài 5.1: Cho 3 số dơng a, b, c nhỏ hơn 2 Chứng minh rằng có ít nhất một
trong các bất đẳng thức sau là sai:
a(2 - a) > 1 ; b(2 - b) > 1 ; c( 2 - c) > 1
Giải:
Giả sử các bất đẳng thức đều đúng, nhân ba bất đẳng thức lại ta đợc:
a (2 - a) b (2 - b) c (2 - c) > 1 (1)
Mà 0 < a (2 - a) = 2a - a2 = 1 - (a - 1)2 1 Tơng tự: 0< b(2 - b) 1
0 < c(2 - c) 1, suy ra:
abc (2 - a) (2 - b) (2 - c) 1 Mâu thuẫn với (1) Vậy có ít nhất một trong các bất đẳng thức đã cho là sai:
Bài 5.2: Cho 6 số tự nhiên khác 0 nhỏ hơn 108 Chứng minh rằng có thể
chọn đợc ba trong 6 số đó chẳng hạn a, b, c sao cho a < bc, b < ca, c < ab
Giải:
Giả sử 6 số tự nhiên khác 0 là 1 a1 < a2< < a6 < 108 Rõ ràng a2 2,
a3 3 Với 3 số x, y, z thoả mãn 1 x < y < z ta luôn có x < yz và y < zx Nếu trong các số a1, a2, , a6 không có 3 số a, b, c nào thoả mãn a < b < c
và c < ab thì ta có: a4 a2a3 = 6, a5 a4a3 6.3 = 18, a6 a5a4 18.6 =
108,
trái với giả thiết a6 < 108 Vậy phải có 3 số a, b, c thoả a < bc, b < ca, c < ab
Bài 5.3: Cho x, y,z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng nếu x + y + z >
thì có một và chỉ một trong ba số x, y, z lớn hơn 1
Giải:
Ta có (x - 1) (y - 1) (z -1) = xyz - xy - yz - zx + x + y + z - 1
= x + y + z - (vì xyz = 1) Suy ra: (x - 1) (y - 1) (z - 1) > 0
Trong ba số x - 1, y - 1, z - 1 có một và chỉ một số dơng Thật vậy, nếu cả
3 số đều dơng thì x, y, z > 1 Khi đó xyz > 1, vô lý! Vậy chỉ có một và chỉ
9
6 ) (
4 2
1 2
1 2
1 1
1
2 2
2 2
b a b
a ab ab b
a ab
) )(
(
) (
) ( ) )(
(
) )(
(
a d c b
d c b a d b d
c b a
d c b a c a
2 ) (
4 1
y x
xy
) )(
(
) (
) ( ) )(
(
) )(
(
a d c b
d c b a d b d
c b a
d c b a c a
4 )
(
) ).(
( 4 )
(
) )(
( 4
2
d c b a
d c b a d b d
c b a
d c b a c a
z y x
1 1 1
z y x
1 1 1
2
1
4
a d
b d d c
a c c b
d b b a
c a
a d
b d c b
d b d c
a c b a
c a a d
b d d c
a c c b
d b b a
c a
z y x
1 1 1
Trang 10một trong ba số x, y, z lớn hơn 1.
Bài 5.4: Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng không thể đồng thời xảy ra
các bất đẳng thức sau:
a + b < c + d ; (a + b) (c + d) < ab + cd ; (a + b) cd < (c + d) ab
Giải:
Giả sử xảy ra đồng thời các bất đẳng thức trên Từ hai bất đẳng thức đầu ta có: (a + b)2 < (a + b) (c + d) < ab +cd => cd > (a + b)2 - ab 3ab
=> cd > 3ab (1) Mặt khác, ta có:
(a + b) cd < (c + d) ab => (a + b)2 cd < (c + d) ab (a + b) < ab (ab + cd)
=> 4abcd (a + b)2 cd < ab (ab + cd) = a2b2 +abcd => a2b2 > 3abcd => ab > 3cd (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ab >3cd > 9ab, vô lý! Vậy ta có điều phải chứng minh
Ph
ơng pháp 6 : Phơng pháp làm trội.
a, b > 0 và thì
Bài 6.1: Cho 3 số dơng a,b, c Chứng minh rằng: 1 <
Giải:
Vì nên
Tơng tự:
Cộng các bất đẳng thức trên lại ta đợc điều phải chứng minh
Bài 6.2: Cho a, b, c, d là các số dơng Chứng minh rằng:
Vì nên
Tơng tự:
Cộng lại ta đợc 2 < A < 3, suy ra A không thể là số nguyên
Bài 6.3: Với n nguyên dơng lớn hơn 1 Chứng minh rằng:
10
1
b
a
c b
c a b
a
2
c c b
b b a a
1
b a
a
c b a
c a b a
a c b a
a
;
c b a
a b c b
b c b a
b
c b a
b c a c
c c b a
c
b a d
a d a d c
d c d c b
c b c b a
b a
1
c b a
b a
.
d c b a
d b a c b a
b a d c b a
b a
;
d c b a
a c b d c b
c b d c b a
c b
;
d c b a
b d c a d c
d c d c b a
d c
.
d c b a
c a d b a d
a d d c b a
a d
1 1
1 1
; 3
5 1
2
1 1
1
2 2
n
1 1 1
1 1 1