SKKN Chứng minh Bất đẳng thức.doc

Cũng từ đây trở lên , lợng bài tập về bất đẳng thức và các dạng bài tập ứng dụng bất đẳng thức cũng nhiều và khoa học hơn nh các dạng bài tập chứng minh biểu thức luôn luôn dơng , luôn l

A mở đầu

1) Lý do chọn đề tài

Chúng ta đều biết rằng toán học là cơ sở của mọi ngành khoa học Vì thế môn toán đóng một vai trò quan trọng trong nhà trờng Thông qua môn toán , học sinh nắm vững kiến thức toán học , từ đó dễ dàng học tập các môn học khác

để ứng dụng những kiến thức đã học vào các ngành khoa học kỹ thuật , ứng dụng trong lao động , trong quản lý kinh tế , trong việc tự học , tự nghiên cứu khoa học Để giúp học sinh học tốt môn toán đòi hỏi ngời thầy giáo phải có sự lao động nghệ thuật , sáng tạo , nghiêm túc

Một vấn đề lớn trong chơng trình toán phổ thông đó là vấn đề bất đẳng thức, vấn đề này đợc đa vào một cách xuyên suốt từ lớp 1 trở lên Nhng ở các lớp dới, bất đẳng thức cha đợc trình bày một cách cụ thể mà thờng đợc thể hiện dới dạng ẩn ( cha có định nghĩa chính thức cụ thể ) ở lớp 1 , lớp 2, lớp 3 ,…thểthể hiện dới dạng bài tập

Ví dụ : Điền dấu thích hợp vào ô trống

9 10 11 x 6 + 11 11 x 7

10 4 99 : 11 x 8 5 + 2 x 35

4 + 5 1 + 7 56 : 4 18 80 : 16

- ở lớp 4 , lớp 5 ngoài các dạng bài tập trên còn có thêm dạng

+Tìm số tự nhiên x biết rằng : 32 < x <36

- ở lớp 6 bất đẳng thể hiện dới dạng :

+ So sánh hai số tự nhiên , so sánh phân số , so sánh luỹ thừa

+ Chứng minh rằng :

b

a

>

d

c

 ad > bc ;

b

a

<

d

c

 ad < bc

- ở lớp 7 bất đẳng thức thể hiện dới dạng :

+ So sánh hai số nguyên , so sánh hai số hữu tỷ

+ Chứng minh rằng nếu :

b

a

<

d

c

( b>0 , d > 0) thì

b

a

<

b b

c a





<

d

c

+ Trong hình học thì có bất đẳng thức tam giác

Đến lớp 8 sách giáo khoa mới chính thức dành riêng một mục trình bày

định nghĩa và một số tính chất của bất đẳng thức song cũng chỉ trình bày một cách đơn giản Cũng từ đây trở lên , lợng bài tập về bất đẳng thức và các dạng bài tập ứng dụng bất đẳng thức cũng nhiều và khoa học hơn nh các dạng bài tập chứng minh biểu thức luôn luôn dơng , luôn luôn âm , tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức , …thểDo không nắm chắc các tính chất của bất đẳng thức nên khi giải bài tập học sinh thờng mắc sai lầm nh nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng biểu thức khi cha xác định biểu thức đó là âm hay dơng ,

Phần lớn các bài tập trong sách giáo khoa ch

phơng pháp chứng minh bất đẳng thức nên học sinh cha nắm đợc các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức

Đặc biệt là trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp thì bất đẳng thức là một trong những nội dung hay đề cập đến và thờng là những bài tập khó , khả năng phân tích , tổng hợp của học sinh còn hạn chế nên thờng lúng túng khi giải bài tập về bất đẳng thức Vì thế mà học sinh thờng sợ bất đẳng thức , cho bất đẳng thức là bí hiểm , từ đó ảnh hởng đến kết quả học tập

>

<

=

Để góp phần giải quyết những khó khăn về ngời học , đồng thời để công tác bồi dỡng học sinh giỏi đạt kết quả tốt góp phần vào mục tiêu : “ Đào tạo và bồi d-ỡng nhân tài ” Tôi mạnh dạn chọn viết sáng kiến : “ Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức “

2) Mục đích nghiên cứu

Đề tài này giúp ngời học hiểu một cách sâu sắc khái niệm về bất đẳng thức , nắm vững một số tính chất cơ bản về bất đẳng thức và một số bất đẳng thức quan trọng đợc sử dụng trong chơng trình toán THCS Qua đó học sinh biết vận dụng các kiến thức để chứng minh bất đẳng thức Nắm vững các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và biết phối hợp các phơng pháp đó

Thông qua việc giải các bài tập , học sinh đợc rèn luyện kỹ năng giải thành thạo một số bài toán chứng minh bất đẳng thức Bồi dỡng cho học sinh năng lực phát hiện tìm tòi lời giải các bài toán , phát huy khả năng suy luận , óc phán đoán của học sinh khi hớng dẫn học sinh phân tích bài toán để vận dụng những tính chất và lựa chọn phơng pháp chứng minh cho phù hợp , phát triển t duy và khả năng vận dụng sáng tạo trong quá trình giải các bài toán phức tạp hơn

3) Phạm vi đề tài

Phát triển năng lực , t duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức đối với học sinh lớp 8 và lớp 9

4) Đối tợng nghiên cứu và phơng pháp tiến hành

- Đề tài áp dụng đối với học sinh lớp 8 , lớp 9 vào trong các giờ luyện tập , ôn tập cuối kỳ , cuối năm , kỳ thi học sinh giỏi và thi tuyển vào THPT

- Phơng pháp tiến hành :

Học sinh có kiến thức cơ bản , đa ra phơng pháp giải , bài tập áp dụng , sai lầm hay gặp, bài tập tự giải ( học sinh về nhà làm bài tập )

B Nội dung

Chơng I: Những kiến thức cơ bản

1, Định nghĩa

Cho 2 số a và b ta nói :

a > b  a – b > 0

a < b  a – b < 0

2.1 a > b  b < a

2.2 Nếu a >b, b > c thì a > c

2.3 Nếu a > b , c > d => a + c > b + d

2, Các tính chất của bất đẳng thức

2.4 a > b => a + c > b + c , với mọi c

2.5 a > b , c < d => a – c > b – d

2.6 a > b , c > 0 => ac > bc

a > b , c < 0 => ac < bc

2.7 a > b ≥ 0 , c > d ≥ 0 => ac > bd

2.8 a > b > 0 => an > bn

a > b  an > bn với n lẻ , n nguyên dơng

a > b  an > bn với n chẵn

2.9 Nếu m > n > 0 thì :

a > 1 => am > an

a = 1 => an = an , n nguyên dơng

0 < a <1 => am < an

2.10 a > b , ab > 0 => 

a

1

b

1

2.11 a2 ≥ 0 , - a2 ≤ 0 với mọi a , dấu “ = “ xảy ra  a = 0

2.12 a ≥ 0 dấu “ = “ xảy ra  a = 0

2.13 - a ≤ a ≤ a dáu “ = “ xảy ra  a = 0

2.14 a  b ≤ a + b dấu “ = “ xảy ra  ab ≥ 0

a  b ≥ a - b dấu “ = “ xảy ra  ab ≥ 0 và a ≤ b

2.15 a2 + b2 ≥ 2ab

2.16 Bất đẳng thức Cô si :

2

b

a 

≥ ab với a > 0 , b > 0

2.17

a

1

+

b

1 ≥

b

a 

4 , với ab > 0

2.18

b

a

+

a

b

≥ 2 , với ab > 0

2.19

ab

4

1

≥

) (

1

b

a  , dấu “ = “ xảy ra  a = b

2.20 ( a2 + b2) ≥ ( a + b )2 , với mọi a, b

2.21

b a

b a





≥

2

b

a 

, ( a ≠ - b )

2.22

ab

2

1

≥

b

a 

1

2

1

a

1

+ 1)

b ≥

b a

b a





2.23 a3 + b3 ≥ a2b + b2a

2.24 Bất đẳng thức Bunhiacỗpki.

(a1b1 + a2b2 )2 ≤ ( a1 + a2 ).( b1 + b2 )

Chơng II: Một số phơng pháp

chứng minh bất đẳng thức

1,Dùng định nghĩa

+, Để chứng minh A > B ta xét hiệu A – B và chứng minh A – B > 0

Ví dụ : Chứng minh rằng với mọi x, y ta đều có : x4 + y4 ≥ xy3 + x3y

Xét hiệu : x4 + y4 – ( xy3 + x3y ) = ( x4 – xy3 ) + ( y4 – x3y ) =

= x( x3 – y3 ) + y( y3 – x3 ) = ( x – y )( x3 – y3 ) =

= ( x – y )2( x2 + xy + y2 ) = ( x – y )2 

























2

4

3 2

1

y y

x

≥ 0 Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng Dấu “ = “ xảy ra khi x = y

2, Dùng các phép biến đổi tơng đơng

+, Quá trình chuyển từ một bất đẳng thức sang một bất đẳng thức tơng đơng gọi là một phép biến đổi tơng đơng

+, Khi có hai bất đẳng thức tơng đơng , nếu một bất đẳng thức đúng thì bất

đẳng thức kia cũng đúng

Ta có sơ đồ : A > B  A1 > B1  A2 > B2  …thể  An > Bn

Ví dụ : Cho các số dơng a , b thoả mãn điều kiện a + b = 1

Chứng minh rằng : ( 1 + a

1

1

) ≥ 9 (1)

CM :

Ta có ( a + a

1

1

) ≥ 9  ab + a + b + 1 ≥ 9 ab ( vì a,b >

0 )

 a + b + 1 ≥ 8 ab  2 ≥ 8 ab ( vì a + b = 1 )

 ( a + b )2 ≥ 4 ab  ( a – b )2 ≥ 0 (2)

Bất đẳng thức (2) đúng các phép biến đổi là tơng đơng vậy bất đẳng thức (1)

đợc chứng minh Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b

3, Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức

+Tính chất cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều

+Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số ,cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều , tính chất của luỹ thừa bậc chẵn , tính chất bắc cầu ,…thể

Ví dụ : Cho a + b > 1 Chứng minh rằng : a4 + b4 > 8

1

Lời giải :

Ta có a + b > 1 > 0 bình phơng hai vế ta đợc

(a+ b )2 > 1 => a2 + 2 ab + b2 > 1 (1)

Mặt khác có ( a - b )2 ≥ 0 => a2 – 2 ab + b2 ≥ 0 (2)

Cộng từng vế của (1) và (2) ta đợc : 2( a2 + b2 ) > 1 => a2 + b2 > 2

1

(3)

Bình phơng hai vế của (3) ta đợc : a4 + 2a2b2 + b4 > 4

1

(4) Mặt khác : ( a2 – b2 )2 ≥ 0 => a4 – 2 a2b2 + b4 ≥ 0 (5)

Cộng từng vế của (4) và (5) ta đợc : 2 ( a4 + b4 ) > 4

1

=> a4 + b4 > 8

1

4, Sử dụng một số bất đẳng thức quan trọng

Ví dụ :

Cho a , b là 2 số dơng Chứng minh rằng : a + b ≥ 4 ab

ab

 1

Lời giải :

Sử dụng bất đẳng thức Cô si ta đợc : a + b ≥ 2

1 + ab ≥ 2

Nhân các vế tơng ứng của các bất đẳng thức ta đợc :

( a + b )( 1 + ab ) ≥ 4

Do 1 + ab > 0 nên a + b ≥

Dấu “ = “ xảy ra khi a = b = 1

5, Phơng pháp phản chứng

Để chứng minh A > B ta giả sử điều ngợc lại A < B sau đó chỉ ra điều vô lý với điều kiện bài toán

Ví dụ : Cho a3 + b3 = 2 Chứng minh rằng : a + b ≤ 2

Lời giải

Giả sử a + b > 2 => a3 + b3 + 3 ab( a + b ) > 8

=> 2 + 3 ab( a + b ) >8 ( vì a3 + b3 = 2 )

=> ab ( a + b ) > 2 => ab ( a + b ) > a3 + b3 ( vì a3 +b3 = 2 )

Chia 2 vế cho số dơng a + b ta đợc : ab > a2 – ab + b2 => 0 > ( a – b )2 Vô

lý

Vậy a + b ≤ 2

6, Phơng pháp qui nạp

Để chứng minh A ≥ B ta cần phải làm nh sau :

Cho bất đẳng thức đúng với n = 1

Thừa nhận bất đẳng thức đúng với n = k > 1

Chứng minh rằng bất đẳng thức đúng với n = k + 1

Ví dụ :

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n > 1 ta đều có :

1



1



n + …thể + 2n

1

≥

24 13

Lời giải : Ký hiệu vế trái của bất đẳng thức là Sn

Với n = 2 ta đợc

Sn = 2 1

1

1

7

13

Giả sử bất đẳng thức đúng với 2 ≤ n ≤ k

ta chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1 Thật vậy ta có :

Sn = ( 1 ) 1

1





1





k + …thể + 2 ( 1 )

1



1



3

1



k + …thể+

1 2

1



1



k

Từ đó Sk+1 – Sk = 2 1

1



1



1



) 2 2

)(

1

(

2

1



Do vậy Sk+1 > Sk > 24

13

Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh với mọi n > 1

Chơng III: Những bài toán cụ thể

hớng dẫn học sinh thực hiện giải

Nh chúng ta đã biết khi gặp các bài toán về bất phơng trình , học sinh rất “ sợ” Để làm đợc việc này giúp học sinh đỡ ngại , giáo viên phải thật sự làm rõ các cách chứng minh bất đẳng thức dựa vào các cách đó các em có thể vận dụng linh hoạt vào làm bài tập Để bài tập có thể làm một vài cách dễ dàng, trớc hết giaó viên phải có phơng pháp hớng dẫn học sinh phân tích nhận dạng thích hợp để làm bài

Các ví dụ cụ thể

Bài tập 1: Cho a, b , c > 0 Chứng minh rằng :

( a + b + c )( a

1

1

1

) = 9 Trớc hết cho học sinh đọc kỹ đề bài

Với bài tập này ta sử dụng phơng pháp nào là thích hợp ?

Ta có thể sử dụng phơng pháp định nghĩa A – B > 0 Ngoài ra còn sử dụng

định lý Cô si áp dụng với 3 số không âm

Lời giải : Xét hiệu :

1

1

1

a

b

- 2 ) + (

c

a

c

- 2 ) + ( c

b

c

- 2 ) = ab

b

+

bc

c

c

do a , b , c > 0 nên A ≥ 0 Theo định nghĩa bất đẳng thức suy ra ( a + b + c )( a

1

1

+

c

1

) = 9

Dấu “ = “ xảy ra  a – b = b – c = a – c  a = b = c

Bài tập 2 Chứng minh rằng :

Với hai số a , b tuỳ ý ta luôn có a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b

Hớng dẫn học sinh phơng pháp dùng định nghĩa A – B > 0 để biến đổi mỗi

đẳng thức về bình phơng của tổng và hiệu

Lời giải :

Xét hiệu : a2 + b2 + 1- ab – a – b = 2

1

( 2a2 + 2b2 + 2 – 2ab -2a – 2b ) =

1

( ( a2 – 2ab + b2) + ( a2 – 2a + 1) + ( b2 – 2b + 1 ) ) = 2

1

( ( a – b )2 + ( a – 1 )2 + ( b – 1 )2 ) ≥ 0

Bất đẳng thức đợc chứng minh dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 Qua các bài toán trên ta nhận thấy muốn giải bài toán bất phơng trình bằng phơng pháp ding định nghĩa A ≥ B  A – B ≥ 0 ta có thể xét hiệu và chứng minh hiệu đó lớn hơn hoặc bằng 0 bằng cách đa biểu thức về vế trái rồi biến đổi thành bình phơng của một hiệu

Bài tập 3

Cho các số dơng a và b thoả mãn : a + b = 1

Chứng minh rằng : ( 1 + a

1

1

) ≥ 9 (1)

H ớng dẫn học sinh giải : Xác định dạng nào

- Nên áp dụng điều kiện của bài toán

- Gợi ý học sinh làm bằng phơng pháp biến đổi tơng đơng

CM :

Ta có ( a + a

1

1

) ≥ 9  ab + a + b + 1 ≥ 9 ab ( vì a,b >

0 )

 a + b + 1 ≥ 8 ab  2 ≥ 8 ab ( vì a + b = 1 )

 ( a + b )2 ≥ 4 ab  ( a – b )2 ≥ 0 (2)

Bất đẳng thức (2) đúng các phép biến đổi là tơng đơng vậy bất đẳng thức (1)

đợc chứng minh Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b

Bài tập 4 Chứng minh rằng với a , b > 0 thì

( a5 + b5 )( a + b ) ≥ ( a4 + b4 )( a2 + b2 ) (1)

Hớng hớng dẫn giải :

Nhận xét hai vế của bất đẳng thức ( số mũ của a và b ) xác định dạng Dùng phơng pháp biến đổi tơng đơng , luôn lu ý đến điều kiện của bàI toán đặt ra

Lờigiải

(1)  a6 +a5b + ab5 + b6 ≥ a6 + a4b2 + a2b4 + b6

 a5b – a4b2 – a2b4 + ab5 ≥ 0

 a4b ( a – b ) - ab4( a – b ) ≥ 0

 ( a – b )( a4b - ab4 ) ≥ 0

 ab( a – b )( a3 - b3 ) ≥ 0

 ab( a – b )2( a2 + ab + b2 ) ≥ 0 (2)

Ta có : ( a – b )2 ≥ 0 , ab ≥ 0

( a2 + ab + b2 = ( a + 2

b

)2 + 4

3

b2 ≥ 0 Bất đẳng thức (2) đúng các phép biến đổi tơng đơng => bất đẳng thức (1)

đúng , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Tóm lại : Muốn giải bài toán bất phơng trình theo cách biến đổi tơng đơng cần

lu ý cách biến đổi tơng đơng có điều kiện , chẳng hạn :

a2 > b2  a > b với a , b > 0

am > an  m > n ; m , n nguyên dơng , a > 1 cần chỉ rõ các điều kiện đó khi biến đổi tơng đơng

Bài tập 5

Cho a ≥ 1 ; b ≥ 1 Chứng minh rằng :

a b 1 + b a 1 ≤ ab

Bài tập 6

Cho a , b , c là các số dơng và a + b + c = 1 Chứng minh rằng :

1

1

1

) ≥ 64 Hớng dẫn :

Trớc hết ta phải xem điều kiện của bài toán đó là các số dơng , từ đó có suy nghĩa là có thể áp dụng bất đẳng thức Cô si

Lời giải :

Bài tập 5 Theo bất đẳng thức Cô si ta có :

b 1 = 1 (b 1 )≤ 12b1 = b2

a 1 = 1 (a 1 ) ≤ 12a1 = 2a

Do đó = a b 1 + b a 1 ≤ ab2 + ab2 = ab

Đẳng thức đợc chứng minh , dấu “ = “ xảy ra  a = b = 2

Bài tập 6

áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 4 số không âm Ta có

a + 1 = a + b + c + a ≥ 44 a2bc vì 1 = a + b + c

b + 1 = a + b + c + b ≥ 44 ab2c vì 1 = a + b + c

c + 1 = a + b + c + c ≥ 44 abc2 vì 1 = a + b + c

Nhân vế với vế của các bất đẳng thức trên ta đợc :

( 1 + a )( 1 + b )( 1 + c ) ≥ 64 abc Do a , b , c > 0 nên a.b.c > 0 , chia cả 2 vế của bất đẳng thức trên cho a.b.c ta đợc :

a

a

 1

x

b

b

 1

x

c

c

 1

≥ 64 hay ( 1 + a

1

1

1

) ≥ 64 Ta có điều phải chứng minh

Dấu “ = “ xảy ra  a = b = c =

3 1

Chơng IV : thực nghiệm

Bài soạn : Sử dụng phơng pháp dùng bất đẳng thức Cô si

Bài soạn này dùng để giảng một tiết ngoại khoá

I) Yêu cầu trọng tâm :

– Học sinh nắm chắc bất đẳng thức Cô si áp dụng cho 2 số , cho 3 số , …thể _ Biết đợc đây là bất đẳng thức quan trọng trong chơng trình toán phổ thông

- Thấy đợc thêm một số cách sử dụng bất đẳng thức Cô si , qua đó thấy sự cần thiết phải linh hoạt tuỳ vào những tình huống cụ thể

II) Các hoạt động dạy trên lớp

1, Kiểm tra bàI cũ kết hợp củng cố kiến thức cũ

? Nêu bất đẳng thức Cô si cho 2 số

Cho a , b > 0 ta có : 2

b

a 

≥ ab , dấu “ = “ xảy ra  a = b

GV : Bất đẳng thức Cô si còn áp dụng cho n số không âm

Cho n số a1 , a2 , …thể, an ta có : n

a a

a1  2   n

≥ n

n

a a

a1 2

Dấu “ = “ xảy ra  a1 = a2 = …thể= an

2, Bài tập áp dụng :

* Bài số 1 Chứng minh x2 + y2 ≥ 2 xy

Lời giải :

Dễ dàng ta thấy đây là bất đẳng trhức Cô si áp dụng cho 2 số không âm x2 và

y2

Ta có : x2 + y2 ≥ xy  x2 + y2 ≥ 2 xy Dấu “ = “ xảy ra  x = y

* Bài số 2 Cho 3 số a , b , c > 0 chứng minh rằng

( a + b + c )( a

1

1

1

) = 9

Lời giải :

áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số không âm ta có :

a + b + c ≥ 3 3 abc

a1b1c1≥ 3 3 1

abc

Nhân từng vế 2 bất đẳng thức ta đợc :

( a + b + c )( a

1

1

1

) ≥ 9 Dấu “ = “ xảy ra  a = b = c

Nhận xét : ở bài tập này còn có thể làm bằng nhiều cách khác nhau nh dùng

định nghĩa

Bài số 3 Cho a , b , c ≥ 0 Chứng minh rằng :

a4 + b4 +c4 ≥ abc ( a + b + c )

Nhận xét :

- ở bài toán này nếu để ý ở vế phải khi thực hiện phép nhân sẽ có tổng các

số hạng sau a2bc , ab2c , abc2 không âm Từ đó ta nghĩ đến việc dùng bất

đẳng thức Cô si