Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

CÁC PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ngô Văn Vinh Bất đẳng thức là một bài toán hay và đa dạng có nhiều phương pháp giải.Các dạng toán này thường xuất hiện tr[r]

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Ngô Văn Vinh Bất đẳng thức là một bài toán hay và đa dạng có nhiều phương pháp giải.Các dạng toán này thường xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi các cấp.Trong chương trình toán chuyên khối 10 , các em chỉ mới tiếp cận các bất đẳng thức : Cauchy;BCS;Cauchy-Schwarz; Holder,….Nhằm trang bị cho các em kĩ năng vận dụng các bất đẳng thức trên để giải toán nên tôi viết chuyên đề này Chuyên đề này chỉ trình bày hai phương pháp giải : Phương pháp hệ số bất định và Phương pháp lượng giác hóa dành cho giảng dạy học sinh giỏi khối 10

1 Một số kiến thức cơ bản

a Bất đẳng thức Cauchy

Cho a a1, , ,2 a n 0 Khi đó ta luôn có 1 2

1 2

n

a a a n

Dấu bằng xảy ra khi a1 a2 a n

b Bất đẳng thức BCS

Dấu bằng xảy ra khi 1 2

n n

c Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Cho b b1, , ,2 b n 0 Khi đó ta luôn có

2

n n

Dấu bằng xảy ra khi 1 2

n n

d Các đẳng thức và bất đẳng thức lượng giác

Trong tam giác ABC ta luôn có

2

A B C x y z

x y z

2 Phương pháp hệ số bất định

Ví dụ 1 Cho , ,x y z 0 và thỏa x y z 13 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x2 8y2 2z2

Giải

Cách 1

1

Cauchy Schwarz

P x y z

Giá trị nhỏ nhất của P bằng 104 , khi x 8,y 1,z 4

Cách 2 Giả sử P đạt giá trị nhỏ nhất khi x a y, b z, c a b c, , , 0

Theo Bất đẳng thức côsi ta có

P x y z ax by cz a b c

Tìm a,b,c sao cho

a b c

a b c

Giải hệ trên ta được a 8,b 1,c 4

Do đó, theo bất đẳng thức côsi ta có

2 82 16 , 2 12 2 , 2 42 8

P x y z x y z

Ví dụ 2 Cho , ,a b c 0thỏa a b c 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Giải

Do vai trò a,b như nhau nên ta có thể giả sử P đạt giá trị nhỏ nhất tại

Theo bất đẳng thức cosi ta có

P a b c a b x cy x y

Tìm x,y sao cho 2x y 3,2x 3y2

Giải hệ trên ta được

,

Do đó 541 37 37

108

P

Giá trị nhỏ nhất của P bằng 541 37 37

108 khi

,

Ví dụ 3 Cho , ,a b c 0 thỏa 2 3 325

9

a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S a b c

Giải

Tìm các số thực dương x,y,z sao cho s đạt giá trị nhỏ nhất tại a x b, y c, z

Theo bất đẳng thức cosi ta có

2

x y z x y z x y z

Do đó 2807

27

S

6

a c c a b S

a b b c c a

Giải

Tìm các số thực dương m,n,p sao cho

a b b c c a

a b b c c a

Tìm m,n sao cho 1 3

2

m n

n m

với m n 2

a b b c c a

Tìm p sao cho 4

6

p

Q a b c

a b b c c a

_

C S

S Q S Dấu bằng xảy ra khi a b c

Ví dụ 5 Cho 3

, ,

4

a b c thỏa a b c 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

Giải Ta tìm m,n sao cho

2

1

(1)

a

m a n

a

2

1

(2)

b

b

2

1

(3)

c

c

Cộng các vế tương ứng (1),(2) và (3) ta được

a b c

m a b c n

Ta chọn n sao cho 9 3

3

10

n ta có

2

a

m a

a

2

a m a a

Ta tìm m sao cho 2 3 9

3

a ta có 18

25

m

Ta cách giải như sau Ta chứng minh bổ đề 3

, ) 4

2

x

x

2

x x , đúng

Áp dụng bổ đề trên cho ba biến a,b,c ta được

2

(5)

a

a a

2

(6)

b

b b

2

(7)

c

c

c

Cộng các vế tương ứng (5),(6) và (7) ta được 2 2 2 9

giá trị lớn nhất của P bằng 9

10 khi

1 3

a b c

Ví dụ 6 Cho a b c, , 0thỏaa2 b2 c2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

a b c

Giải

Tương tự ta chứng minh bổ đề x 0, 3 ta có

x đúng x 0, 3

Áp dụng bổ đề trên cho ba biến a,b,c ta được

Ví dụ 7 Cho , ,x y z thỏaxy yz zx 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 5 2

P x y z

Giải

Tìm m 0 sao cho P x2 2y2 5z2 2 (m xy yz zx)

(1)

m m m m

Ta có

2

C S

x y z

x y z xy yz zx

ví dụ 8 Cho x y z, , thỏaxy yz 3zx 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức P x2 y2 z2

Giải Tìm m 0 sao cho

2 2

2

2

(1)

y

(1) đúng 6 1 1 3 17

3m 1 m 3 m m 4

Ví dụ 9 Cho a b c, , 0thỏaa2 b2 c2 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức P a b c 2 3 4

Giải

Ta tìm các số , ,x y z 0 sao cho P đạt giá trị lớn nhất tại a x b, y c, z

Ta có

2 3 4 cos

9

2 3 4

9

i

a a b b b c c c c a b c

x x y y y z z z z x y z

2 3 4 cos

9

2 3 4

9

i

a b c a b c

x y z x y z

Mặt 2 3 4 2 2 2 42 92 162

ax by cz x y z

Hơn nũa, x2 y2 z2 1 nên ta có 2 1 2

x y z Cách giải

2 3 4 cos

9

3 3

a b c a b c

a b c

2 3 4 32 3

6561

P a b c

Bài tập tương tự

1/ Cho , ,x y z 0thỏax y z 31 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P x y z

2/ Cho x y z, , 0thỏa3x 2y 3z 66 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3/ Cho , ,x y z 0thỏax2 2y2 3z2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P x y z

4/ Cho , ,a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

a b b c c a

P

a c b a c b

3 Phương pháp lượng giác hóa

Vị dụ 1 :Cho a,b,c là các số thực khác 0, c>b Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức

bc a b a c c a b P

a b a c

Giải

Ta có

2

P

a b a c a b a c

Trong mp(Oxy), ta chọn A(0;a);B(b;0),C(c;0) ,b c Từ đó ta có A,B,C là

3 đỉnh của một tam giác

Ta lại có:

2

AB b a AC c a BC c b

bc a

A AB AC

a b a c b

B BA BC

a b c

C CA CB

a c

Do đó

2 2

A B A B

C

Ví dụ 2: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a b c abc

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

Giải : Giả sử tồn tại một tam giác nhọn ABC sao cho

a A b B c C

Khi đó:

2

2

2

16

2

2017

A a

B b

C c

2 2 2

P

Dấu bằng xảy ra khi

Ví dụ 3: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a b c 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a b abc

P

a bc b ca c ab

Giải

Ta viết lại biểu thức P như sau

P

a bc b ca c ab

ab c

bc ca ab

Mặt khác, ab ca ab bc bc ca

a b c

c b c a a b

Suy ra tồn tại một tam giác sao cho

1

1

2

bc A ca B ab C

Ta có:

3

4 cos

3

i

A B A B

1

4

P

Dấu bằng xảy ra khi

2

;

A B C

Ví dụ 4: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a b c abc

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4bc 1 4ca 1 1

P

bc ca ab

Giải

Từ giả thiết ta có

4bc 4ca 4ab 8abc

Do đó tồn tại một tam giác nhọn sao cho

Suy ra tồn tại một tam giác sao cho

2 2 2

2

Vậy P 5

Dấu bằng xảy ra khi

5

;

3

3

A B C

a b c

Bài tập tương tự:

Bài 1:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa 1 1 1

6

Tìm giá trị lớn nhất của

p

a bc b ca c ab

Bài 2:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa 1 1 1

6

a b c

Tìm giá trị lớn nhất của

P

a bc b ca c ab

Bài 3:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a b c 2 abc

Tìm giá trị lớn nhất của P 2 ab bc ca abc

Bài 4:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa ab bc ca 1

Tìm giá trị lớn nhất của 2 2

2

3

P

Bài 5:Cho a,b,c các số thực dương thỏa abc a b c c; 1

Tìm giá trị lớn nhất của 1 2 1 2 2

4

c P

Bài 6:Cho x,y,z các số thực dương thỏa xyz x z y

Tìm giá trị lớn nhất của 2 2

P

Bài 7:Cho a,b,c các số thực dương thỏa ab bc ca 1

Tìm giá trị lớn nhất của

2

1

1

P

a

Bài 8:Cho a,b,c các số thực dương thỏa a b c 1

Tìm giá trị lớn nhất của a b c

P

a bc b bc c ab

Bài 9:Cho x,y,z các số thực dương thỏa 6x 3y 2z xyz

Tìm giá trị lớn nhất của

2 1 (4 2 4)( 2 9)

x yz P

x y z

Bài 10:Cho a,b,c các số thực dương thỏa 2017ac ab bc 2017

Tìm giá trị lớn nhất của 22 2 2 2 23

b P

a b c