Phân tích tĩnh, động cầu cong dầm bản rỗng

Vận dụng phương pháp thích hợp để xác định mức độ ảnh hưởng của các yếu tố cấu tạo L, R, L/R, của hiện tượng từ biến, co ngót theo thời gian và lún lệch gối tựa đến nội lực, chuyển vị tr

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-oOo -

NGUYỄN TIẾN HÙNG

PHÂN TÍCH TĨNH, ĐỘNG CẦU CONG

DẦM BẢN RỖNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học :TS VŨ XUÂN HOÀ

- -oOo -

Tp HCM, ngày tháng năm

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: Nguyễn Tiến Hùng Phái: Nam

Ngày, tháng, năm sinh: 10-10-1983 Nơi sinh: Quảng Ngãi

Chuyên ngành: Xây dựng Cầu hầm

MSHV: 03807476

1- TÊN ĐỀ TÀI: PHÂN TÍCH TĨNH, ĐỘNG CẦU CONG DẦM BẢN RỖNG

2- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN: Trên cơ sở đề cương đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua, luận văn phải đề cập đến tổng quan về cầu cong, các phương pháp tính toán cầu cong Vận dụng phương pháp thích hợp để xác định mức độ ảnh hưởng của các yếu tố cấu tạo (L, R, L/R), của hiện tượng từ biến, co ngót theo thời gian và lún lệch gối tựa đến nội lực, chuyển vị trong cầu cong dầm bản rỗng kết cấu nhịp giản đơn và liên tục 3 nhịp Xác định tỷ lệ biến thiên về nội lực, chuyển vị khi dầm có bán kính cong thay đổi, dự báo nội lực, chuyển vị phát sinh theo thời gian

do hiện tượng từ biến, co ngót và hiện tượng lún lệch gối tựa Nghiên cứu ứng xử động của cầu cong dầm bản rỗng thông qua việc xác định các tần số dao động riêng, biên độ dao động khi phương tiện chạy qua cầu với các vận tốc khác nhau Qua đó, đánh giá sự nhạy cảm của công trình với tải trọng động và tỷ lệ biến thiên biên độ dao động theo vận tốc của phương tiện

3- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ :

4- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ :

5- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN (Ghi đầy đủ học hàm, học vị ):TS VŨ XUÂN HÒA.

Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua

(Họ tên và chữ ký) QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH (Họ tên và chữ ký)

(Họ tên và chữ ký)

Để có được kết quả như ngày hôm nay, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô trong khoa xây dựng và trong bộ môn Cầu Đường – Trường Đại Học Bách Khoa TP.HCM đã tận tình giảng dạy và cung cấp những kiến thức chuyên sâu thật sự bổ ích, cần thiết không chỉ giúp tôi có đủ kiến thức hoàn thành luận văn này mà còn giúp ích rất nhiều trong công việc hiện tại và tương lai

Xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy TS.Vũ Xuân Hoà đã tận tình hướng dẫn tôi trong thời gian thực hiện luận án này

Xin chân thành cảm ơn Bố, Mẹ và những người thân đã động viên, giúp đỡ tôi rất nhiều trong thời gian qua

Xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp thuộc Công ty Cổ Phần Tư Vấn Xây Dựng Bách Khoa đã quan tâm giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này

Mặc dù rất cố gắng hoàn thành luận văn, nhưng thời gian và kiến thức có hạn nên chắc chắn luận văn vẫn còn những thiếu sót nhất định Kính mong quý Thầy Cô, quý anh chị và các bạn đóng góp ý kiến giúp tôi khắc phục và nâng cao kiến thức hơn nữa Xin trân trọng cảm ơn

Thành phố Hồ Chí Minh Ngày tháng năm 2009 Tác giả

Nguyễn Tiến Hùng

Sự làm việc của cầu cong dầm bản rỗng rất phức tạp, hiện nay vẫn chưa có một tài liệu hướng dẫn cụ thể Do đó, việc nghiên cứu về dạng cầu này là thực sự cần thiết Trước yêu cầu đó, tác giả đã nghiên cứu ứng xử của cầu cong dầm bản rỗng dưới tác dụng của tải trọng tĩnh và tải trọng động, nhằm làm tài liệu tham khảo giúp người kỹ sư

có những định hướng ban đầu khi thiết kế loại cầu này Luận văn gồm 05 chương Trong 02 chương đầu, tác giả giới thiệu tổng quan về cầu cong, lý thuyết tính toán cầu cong bao gồm một số phương pháp như: Tính toán dầm cong chịu uốn và xoắn tự do, tính toán dầm cong dạng thanh thành mỏng chịu xoắn uốn, phương pháp ma trận chuyển tiếp và phương pháp phần tử hữu hạn Đối với phương pháp thanh thành mỏng, tiến hành phân tích sự làm việc, cách xác định nội lực, chuyển vị và ứng suất trong dầm Với phương pháp ma trận chuyển tiếp, bằng cách giải trực tiếp các phương trình

vi phân để xác định nội lực, chuyển vị của dầm cong theo phương pháp thông số ban đầu Phương pháp phần tử hữu hạn nêu lý thuyết tính toán dầm với mô hình 6 và 7 bậc

tự do tại mỗi nút Trong các chương tiếp theo, áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn, với sự hổ trợ của phần mềm chuyên dụng, tác giả tính toán mức độ ảnh hưởng của các yếu tố cấu tạo (L, R, L/R), của hiện tượng từ biến, co ngót theo thời gian và lún lệch gối tựa đến nội lực, chuyển vị trong cầu cong dầm bản rỗng với kết cấu nhịp giản đơn

và liên tục 3 nhịp Dựa vào kết quả đó đưa ra tỷ lệ biến thiên về nội lực, chuyển vị khi dầm có bán kính cong thay đổi, dự báo được nội lực, chuyển vị phát sinh theo thời gian

do hiện tượng từ biến, co ngót và lún lệch gối tựa Bên cạnh đó, tác giả còn nghiên cứu ứng xử động của cầu cong dầm bản rỗng thông qua việc xác định các tần số dao động riêng, biên độ dao động của cầu khi phương tiện chạy qua với các vận tốc khác nhau Qua đó, đánh giá sự nhạy cảm của công trình với tải trọng động và tỷ lệ biến thiên biên

độ dao động theo vận tốc khác nhau của phương tiện

M ỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ CẦU CONG 3

1.1 Tổng quan về sự phát triển cầu cong .3

1.2 Các dạng cầu cong thông dụng 5

1.2.1.Cầu cong dầm bản rỗng 5

1.2.2.Cầu cong dầm hộp bê tông cốt thép 6

1.2.3.Cầu cong dầm hộp thép liên hợp bản bê tông cốt thép 7

1.2.4.Cầu cong dầm thép hình chữ I, T liên hợp bản bê tông cốt thép 8

1.3 Lựa chọn tham số cấu tạo cầu cong 9

1.3.1.Chiều dài nhịp 9

1.3.2.Bán kính cong 9

1.3.3.Chiều rộng cầu và phần mở rộng phần đường mở rộng trên cầu 10

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN CẦU CONG 11

2.1 Lý thuyết tính toán dầm cong chịu uốn và xoắn tự do 11

2.2 Lý thuyết tính toán dầm cong dạng thanh thành mỏng chịu xoắn uốn 14

2.2.1.Định nghĩa các thông số 14

2.2.2.Xác định nội lực và chuyển vị 16

2.3 Tính toán theo phương pháp phần tử hữu hạn 18

2.3.1.Phân tích 18

2.3.2.Xây dựng ma trận độ cứng phần tử cong 22

2.4 Phương pháp ma trận chuyển tiếp .29

CHƯƠNG 3: CÁC YẾU TỐ ẢNH HƯỞNG ĐẾN NỘI LỰC, CHUYỂN VỊ TRONG CẦU CONG DẦM BẢN RỖNG 32

3.1 Ảnh hưởng của các yếu tố cấu tạo đến nội lực trong cầu cong dầm bản rỗng 32

3.1.1.Dữ liệu ban đầu 32

3.1.2.Ví dụ tính toán 35

3.2 Ảnh hưởng của hiện tượng từ biến, co ngót đến nội lực và chuyển vị trong cầu cong dầm bản rỗng 53

3.2.1.Đặt vấn đề 53

3.2.2.Các ví dụ tính toán 53

3.3 Ảnh hưởng của lún gối tựa đến nội lực trong cầu cong dầm bản rỗng 70

3.3.1.Lún tại gối trụ biên 70

3.3.2.Lún tại gối trụ giữa 75

CHƯƠNG 4: NGHIÊN CỨU ỨNG XỬ ĐỘNG TRONG CẦU CONG DẦM BẢN RỖNG 81

4.1 Nghiên cứu dao động riêng của cầu cong dầm bản rỗng 81

4.1.1.Thành lập phương trình vi phân dao động riêng của hệ 81

4.1.2.Xác định dao động riêng của hệ 82

4.2 Nghiên cứu ảnh hưởng của vận tốc phương tiện đến ứng xử của cầu cong dầm bản rỗng 94

4.2.1.Các ví dụ tính toán 94

CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN 113

PHỤ LỤC 113

TÀI LIỆU THAM KHẢO 113

TÓM TẮT LÝ LỊCH KHOA HỌC 113

PHẦN MỞ ĐẦU

Cùng với quá trình xây dựng và phát triển đất nước, do tốc độ đô thị hóa ngày càng nhanh, đặc biệt là ở các thành phố lớn như Hà Nội và Tp.Hồ Chí Minh dẫn đến tình trạng dân cư tập trung đông ở các thành phố này, làm tăng mật độ giao thông gây ra tình trạng ách tắc giao thông ngày càng nghiêm trọng Tình trạng này đã gây ảnh hưởng không nhỏ đến nhịp độ phát triển kinh tế của các Thành phố nói riêng và của cả nước nói chung

Để giải quyết triệt để tình trạng ùn tắc giao thông tại các nút, một trong những giải pháp có hiệu quả là xây dựng loại hình nút giao khác mức Đặc điểm của loại hình này là đảm bảo thông xe an toàn và liên tục qua nút, nhờ đó nâng cao khả năng thông hành tại nút Cầu cong là dạng kết cấu thường được lựa chọn trong xây dựng các nút giao cắt không cùng mức vì thoả mãn được các tiêu chí như: Giảm thiểu diện tích xây dựng, phù hợp với địa hình chật hẹp, phức tạp, với bán kính cong thích hợp sẽ tạo cảm giác êm thuận cho phương tiện lưu thông trên đường mỗi khi đổi hướng giao thông và tạo mỹ quan đô thị Trong các dạng cầu cong, cầu cong dầm bản rỗng ngày nay đang được quan tâm nhất vì đặc điểm kết cấu dầm bản rỗng là có chiều cao thấp mà vẫn đủ khả năng chịu lực nhờ gây tạo ứng suất trước trong bê tông Chính vì đặc điểm nổi bậc đó, nên khi sử dụng cầu cong dầm bản rỗng sẽ kinh

tế hơn vì đường dẫn vào cầu ngắn, đồng thời tạo được sự thanh mãnh làm tăng thêm

vẽ đẹp của công trình góp phần nâng cao mỹ quan đô thị Việc sử dụng cầu cong dầm bản rỗng vào trong thực tế ở nước ta là khá mới mẽ và hiện nay chỉ là giai đoạn khởi đầu Do đó, việc nghiên cứu về ứng xử của cầu cong dầm bản rỗng dưới tác dụng của tải trọng tĩnh và tải trọng động là hết sức cần thiết

Vì thời gian có hạn nên trong phạm vi đề tài này tác giả chỉ tập trung nghiên cứu các nội dung sau:

- Tổng quan về cầu cong;

- Lý thuyết tính toán cầu cong;

- Nghiên cứu ảnh hưởng của từ biến co ngót, chuyển vị cưỡng bức tại gối và các tham số cấu tạo đến nội lực, chuyển vị cầu cong dầm bản rỗng;

- Nghiên cứu ứng xử động trong cầu cong dầm bản rỗng

Theo tiêu chuẩn Đường ôtô – Yêu cầu thiết kế – TCVN 4054-2005 bán kính đường cong nằm tối thiểu được quy định như sau :

- Đường cấp V, tốc độ thiết kế 40km/h thì bán kính đường cong nằm tối thiểu giới hạn là R=60m;

- Đường cấp IV, tốc độ thiết kế 60km/h thì bán kính đường cong nằm tối thiểu giới hạn là R=125m;

- Đường cấp III, tốc độ thiết kế 80km/h thì bán kính đường cong nằm tối thiểu giới hạn là R=250m;

- Đường cấp II, tốc độ thiết kế 100km/h thì bán kính đường cong nằm tối thiểu giới hạn là R=400m

Chính vì vậy trong phạm vi nghiên cứu của đề tài chỉ xét cầu có bán kính cong thay đổi trong phạm vi từ 60m đến 500m, sơ đồ nhịp giản đơn có chiều dài nhịp L=20m, 25m, 30m, 35m và sơ đồ liên tục 3 nhịp (3x20m), (3x25m), (3x30m) và (3x35m) với mặt cắt ngang dạng dầm bản rỗng có chiều cao không đổi trên suốt chiều dài nhịp

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ CẦU CONG

Công trình cầu cong đã được xây dựng trên thế giới vào đầu thập niên 1960 Chính vì những ưu điểm vượt trội của cầu cong như nâng cao tính thẩm mỹ công trình, giảm thiểu mặt bằng xây dựng, phù hợp với các địa hình phức tạp, giải quyết tình trạng ùn tắc giao thông tại các nút… Vì thế mà hiện nay cầu cong đã có mặt nhiều nơi và ngày càng được ứng dụng rộng rãi Hình 1.1, hình 1.2 giới thiệu một số nút giao thông khác mức trên thế giới sử dụng kết cấu cầu cong

Hình 1.1 Nút giao khác mức ở Trung Quốc

Hình 1.2 Nút giao khác mức ở Thái Lan

Mặc dù trên thế giới cầu cong đã được xây dựng nhiều như vậy, tuy nhiên ở Việt Nam mới bắt đầu cho ra mắt các dạng cầu cong kết cấu nhịp giản như các nhịp dầm tiết diện I của cầu vào nhà ga sân bay Nội Bài, dầm bản mỏng nhịp liên tục ở nút giao thông cầu Chương Dương – Hà Nội, các nhánh cong của cầu Nguyễn Văn

Cừ , dự án nút giao thông Hàng Xanh, dự án đường trên cao số 2 ở Tp.HCM…

Hình 1.3 Cầu cong nút Nam Chương Dương – Hà Nội

Hình 1.4 Cầu cong nút đầu tuyến dự án đường trên cao số 2 ở Tp.HCM

1.2. Các dạng cầu cong thông dụng

1.2.1. Cầu cong dầm bản rỗng

Ngày nay loại hình cầu cong dầm bản rỗng đã được xây dựng rộng rãi khắp nơi trên thế giới Ở Việt Nam điển hình là Tp.HCM dự án Đường trên cao số 2 đã sử dụng loại dầm bản rỗng trong các nhánh rẽ tại các nút đầu và cuối tuyến

Hình 1.5 Cầu cong dầm bản rỗng được sử dụng tại nút đầu và cuối tuyến trong

dự án đường trên cao số 2 ở Tp.HCM

Vật liệu sử dụng thường là bêtông ứng suất trước Ưu điểm của loại vật liệu này như sau:

- Có khả năng sử dụng vật liệu địa phương (ximăng, cát, đá)

- Có khả năng chịu lực lớn

- Chịu nhiệt tốt

- Chi phí bảo dưỡng thấp

- Vì cấu kiện được đúc theo hình ván khuôn nên việc tạo các hình dáng kết cấu khác nhau đáp ứng yêu cầu kiến trúc là tương đối dễ dàng

Tuy nhiên bêtông cũng có các nhược điểm chính sau:

- Trọng lượng bản thân lớn nên sử dụng trong kết cấu nhịp cầu lớn là không kinh tế

- Thi công đổ tại chỗ phức tạp, chịu ảnh hưởng thời tiết, kiểm tra chất lượng khó khăn

- Dưới tác dụng của tải trọng, bêtông dễ có khe nứt làm ảnh hưởng đến chất lượng sử dụng và tuổi thọ của kết cấu

Đặc trưng mặt cắt ngang cầu loại dầm này là có chiều cao thấp nên tạo được độ thanh mãnh cho công trình, đồng thời giảm thiểu chiều cao trụ và đường dẫn vào cầu

Mặt cắt ngang cầu dầm bản rỗng thông dụng:

Hình 1.6 Mặt cắt ngang dầm bản rỗng

Theo tiêu chuẩn thiết kế cầu 22 TCN 272-05, chiều cao tối thiểu của loại hình dầm bản bê tông dự ứng lực (gồm cả mặt cầu) như sau:

- Đối với nhịp giản đơn: Hmin=0,030L≥165mm (L: Chiều dài nhịp)

- Đối với nhịp liên tục: Hmin=0,027L≥165mm (L: Chiều dài nhịp)

Ưu điểm loại mặt cắt ngang này là có chiều cao thấp tạo thẩm mỹ cho công trình đồng thời giảm chi phí xây dựng, bên cạnh đó vẫn tồn tại nhược điểm của mặt cắt ngang này là độ cứng chống xoắn thấp

1.2.2. Cầu cong dầm hộp bê tông cốt thép

Cầu cong dầm hộp bê tông cốt thép thường được xây dựng rộng rãi khắp nơi trên thế giới vì có những ưu điểm về vật liệu xây dựng, khả năng chịu lực và có tính thẩm mỹ phù hợp với cảnh quan xung quanh Vật liệu sử dụng là bêtông cốt thép hoặc bêtông ứng suất trước khi vượt nhịp lớn hơn Mặt cắt ngang thường là hộp một ngăn, khổ cầu rộng thì có thêm sườn tăng cường giữa ( thép, bê tông cốt thép) hoặc

có vách ngăn giữa tạo thành hộp nhiều ngăn Thành hộp có 02 loại thành đứng và thành xiên Sau đây là một số mặt cắt ngang thông dụng:

Hình 1.7 Mặt cắt ngang dầm hộp 1 ngăn, vách xiên

Hình 1.8 Mặt cắt ngang dầm hộp 1 ngăn, vách đứng

Hình 1.9 Mặt cắt ngang dầm hộp 2 ngăn, vách đứng

1.2.3. Cầu cong dầm hộp thép liên hợp bản bê tông cốt thép

Cầu cong dạng này có dầm hộp được làm bằng thép tấm có chiều dày từ 20mm, bản mặt cầu là bê tông cốt thép

10-Ưu điểm chính của loại dầm hộp thép là:

- Có tính chịu lực cao do đó có thể dùng để xây dựng tất cả các loại cầu khác nhau như dầm, giàn, các hệ liên hợp

- Thép có cường độ cao, môđun đàn hồi lớn, do đó độ cứng lớn, độ võng nhỏ nên đáp ứng được điều kiện khai thác bình thường

- Tính đồng nhất cao, cường độ và môđun ít thay đổi dưới ảnh hưởng của nhiệt độ

- Dễ gia công, tự động hóa chế tạo trong công xưởng, tính lắp ghép cao nên đẩy nhanh tốc độ xây dựng

Nhược điểm lớn của thép là hiện tượng gỉ do tác động của môi trường ẩm, mặn, axít và các hơi độc khác Gỉ ăn mòn thép làm giảm tiết diện chịu lực, làm hư hỏng liên kết, giảm tuổi thọ công trình Hiện nay đã có nhiều biện pháp chống gỉ hữu hiệu như sơn, mạ, dùng thép chống gỉ

Mặt cắt ngang thường được sử dụng trong thực tế như sau:

Hình 1.10 Mặt cắt ngang dầm hộp thép liên hợp bản bê tông cốt thép

1.2.4. Cầu cong dầm thép hình chữ I, T liên hợp bản bê tông cốt thép

Bản mặt cầu thường là bê tông cốt thép, dầm đỡ là các dầm thép có tiết diện ngang là chữ I hoặc chữ T,… Mặt cắt ngang gồm 02 phần: Phần bản mặt cầu và phần dầm thép hình chữ I hoặc chữ T như ở hình 1.11

Hình 1.11 Mặt cắt ngang dầm hộp thép liên hợp bản bê tông cốt thép

1.3. Lựa chọn tham số cấu tạo cầu cong

Do phải thoả mãn các chỉ tiêu của tuyến đường, kết cấu cầu cong thường có cấu tạo phức tạp Cầu có thể nằm trên đường cong bán kính không đổi, bán kính thay đổi …Trong phần này chỉ đề cập đến lựa chọn 03 tham số cấu tạo chủ yếu: Chiều dài nhịp, bán kính cong của cầu, chiều rộng cầu và phần mở rộng phần xe chạy trên cầu

1.3.1. Chiều dài nhịp

Trong thực tế cầu cong thường được áp dụng cho cầu cạn, cầu vượt, các nhánh

rẽ trong nút giao khác mức Việc lựa chọn chiều dài nhịp dựa trên các yếu tố sau:

- Thỏa mãn yêu cầu của tĩnh không và phù hợp với đặc điểm quy mô bề rộng của tuyến đường đi phía dưới cầu

- Hài hòa về mặt kiến trúc, phù hợp với trình độ công nghệ xây dựng hiện tại

- Chiều dài nhịp có thể tính theo công thức sau:

) (

127 max

2 min

f i

V R

sc +

= (1.2) Trong đó:

- V: vận tốc thiết kế (km/h)

- isc : độ siêu cao tính theo %

- f: hệ số ma sát ngang của mặt đường

1.3.3. Chiều rộng cầu và phần mở rộng phần đường mở rộng trên cầu

Theo tiêu chuẩn 22TCN-273-01[1], độ rộng của 1 làn xe tiêu chuẩn là bội số của 0.25m và thường thay đổi từ 3.0m đến 3.75m Với những cầu được xây dựng trong đô thị , bề rộng làn xe (chưa tính phần mở rộng đường cong) có thể tham khảo các giá trị ở bảng dưới đây:

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN CẦU CONG

Mục tiêu trong chương này là nêu lý thuyết tính toán dầm cong chịu uốn và xoắn tự do, lý thuyết tính toán dầm cong dạng thanh thành mỏng chịu xoắn uốn, tính toán dầm cong theo phương pháp ma trận chuyển tiếp và phương pháp phần tử hữu hạn

Xét một dầm cong bán kính không đổi, tiết diện có độ cứng chống uốn EIx và

độ cứng chống xoắn tự do GJ, trọng tâm C trùng với tâm xoắn O (hình 2.1)

Taâm O

ω

φ dφ

R

p mT

ds=Rdφ

z

β Tz

y

Qy w x

Mx

Hình 2.1 Dầm cong bán kính không đổi chịu các tải trọng khác nhau

Các đại lượng trong hình 2.1 như sau:

- p : Tải trọng phân bố thẳng đứng

- Qy : Lực cắt theo trục y (trục thẳng đứng)

- Tz : Moment xoắn quanh trục z (trục tiếp tuyến)

- w :Độ võng theo trục y

- β : Góc xoay quanh trục z

- Φ : Góc ở tâm của dầm cong

- R : Bán kính cong của dầm (tại trọng tâm)

dT

−

=

Từ (2.1b), (2.2b) và (2.3b) ta có mối liên hệ giữa moment uốn Mx, tải p, moment xoắn mT như sau:

R

m p R

M ds

M

2 2

2

(2.4)Giải (2.4) được :

Mx = AsinΦ + BcosΦ - pR2 + mTR (2.5) Hai hằng số A, B được xác định từ điều kiện biên :

Mối liên hệ giữa kết quả nội lực và chuyển vị :

Tại mặt cắt Φ góc xoay so với trục x : dw/ds, góc xoay quanh trục z : β

Tại mặt cắt Φ + dΦ :

Góc xoay so với trục x : dw/ds - βdΦ

Góc xoay so với trục z : β + dw/ds *dΦ

Từ đó xác định được mối liên hệ giữa độ võng và góc xoay với moment uốn

Mx và moment xoắn Tz :

x

x EI

M R

(2.9)Trong đó :

- GJ : độ cứng chống xoắn tự do

- Φ = β +

R w

Công thức xác định độ võng w, góc xoay β, khi biết Mx và Tz :

ds

dM EI GK

T R ds

dw R ds

2 3

w d

2.2.1. Định nghĩa các thông số

Gọi L là chiều dài thanh, a là kích thước chiều cao (hoặc chiều rộng) và δ là

bề dày của tiết diện Thanh được gọi là thanh thành mỏng khi ≤ 0 1

xp p

w

β

Hình 2.4 Tiết diện dầm thanh thành mỏng

Các đại lượng trên hình 2.4 gồm:

- (X, Y, Z) : trục ngang, trục đứng, trục tiếp tuyến tại trọng tâm C

- (x, y, z) : trục ngang, trục đứng, trục tiếp tuyến tại tâm xoắn S

- s = Rsφ : trục tọa độ cong theo trục dầm

- Rs : bán kính cong tại tâm xoắn S

- R0 : bán kính cong tại trọng tâm C

- Rp : bán kính cong tại điểm đặt của lực tập trung P, hoặc tải phân bố p

- Xp = Rs – Rp : độ tâm của tải trọng tác dụng

- xs ,ys : độ tâm của trọng tâm C với tâm xoắn S theo phương trục x, y

Để giảm tính phức tạp trong quá trình phân tích, giả thiết rằng moment uốn Mx

và lực dọc Nz tác dụng tại trọng tâm C, các thành phần lực cắt Qx, Qy và momen xoắn Tz tác dụng tại tâm xoắn S Vì vậy các thành phần lực được ký hiệu tương ứng với các trục tọa độ :

- p : tải trọng phân bố thẳng đứng

- MX , MY : momen uốn quanh trục X và Y

- NZ : lực dọc theo phương trục Z

Từ điều kiện cân bằng lực ta có công thức liên hệ giữa lực cắt Qx, momen uốn

Mx, và mômen xoắn Tz tác dụng trên một phân đoạn dầm ds=Rsdþ tại tâm xoắn S:

+

−

ds

dN y R

T Q ds

s s

z y

x (2.12b)

0

= +

−

R

R N R

y R

M ds

dT

p s

p z s

s s

Q ds

0

= +

s

z x R

N ds

s

z z R

N ds

N

Nghiệm của phương trình:

N z = AsinΦ+BcosΦ (2.14b) Trong các cầu dầm cong, các gối cao su không ràng buộc thành phần chuyển vị theo phương dọc cầu, do vậy Nz = 0 Và tại mặt cắt bất kỳ, lực cắt Qx rất nhỏ và có thể xem Qx = 0

Các công thức tổng quát để xác định các thành phần lực cắt Qy, momen uốn

Mx, momen xoắn Tz :

R

R ds

M ds

M d

s

p s

x x

2 2

M ds

dT

p s

p s

Mω = ω θ (2.18)

Trong đó:

- Iω : Momen quán tính quạt chính

- E : modun đàn hồi của vật liệu

Phương trình vi phân góc xoắn θ của dầm chịu momen xoắn mT :

ds

dT ds

d GK ds

d

2 4

s

p

R

M p x R

R M ds

M d

K : momen quán tính xoắn tự do

- G : modun cắt của vật liệu

Tích phân bimoment Mω theo đường cong s ta được công thức xác định góc xoắn φ như sau:

0

C s C ds ds I E

M

s

s

++

C1 , C2 là các hằng số tích phân, được xác định từ điều kiện biên của thanh thành mỏng cong

Như vậy trong tiết diện thanh thành mỏng chịu xoắn kiềm chế gồm hai thành phần momen xoắn :

Momen xoắn tự do:

ds

d GK

Độ võng w :

s x s

x

M R

w ds

2

2

(2.24)

Từ các công thức (2.21), (2.22), (2.23), (2.24) ta xác định các các thành phần momen xoắn tự do, momen xoắn uốn và độ võng theo phương y của thanh thành mỏng

2.3.1. Phân tích

Khi tính toán cầu dạng dầm có thể xem các dầm chủ như phần tử dầm thẳng có tiết diện không đổi mà trên mặt cắt ngang của nó có thể tồn tại cả lực dọc, moment uốn trong hai mặt phẳng quán tính chính và moment xoắn Và tương ứng các bậc tự

do chuyển vị {u v w θx θy θz} đặc trưng cho trạng thái chuyển vị – biến dạng của phần tử dầm hai điểm nút được thể hiện trên hình 2.5 Trong đó hệ trục tọa độ địa phương xyz gồm trục x là trục thanh, y và z là hai trục chính của mặt cắt ngang thanh

Vectơ chuyển vị phần tử hai điểm nút:

{q}(e) = {δx1 δy1 δz1 θx1 θy1 θz1 δx2 δy2 δz2 θx2 θy2 θz2}T (2.25)

Trong đó:

- {δx1, δx2 } : các chuyển vị dọc trục và chỉ gây ra biến dạng dọc trục thanh

- {θx1, θx2 } : các góc xoắn (quanh trục x) và chỉ liên quan đến biến dạng xoắn thanh

- {δy1, δy2 } : các chuyển vị thẳng theo phương trục y

- {θz1, θz2 } : góc xoay trong mặt phẳng xy

Hai thành phần {δy1, δy2 } và {θz1, θz2} chỉ gây ra biến dạng uốn trong mặt phẳng xy

- {δz1, δz2 } : các chuyển vị thẳng theo phương trục z

- {θy1, θy2 } : góc xoay trong mặt phẳng xz

Hai thành phần {δz1, δz2 } và {θy1, θy2 } chỉ gây ra biến dạng uốn trong mặt phẳng xz

y z x

δz2 δy2

δx2

θy2

θz2 θx2

θx2'

Hình 2.5 Đặc trưng cho trạng thái chuyển vị, biến dạng của phần tử thanh

Như vậy 12 bậc tự do chuyển vị này chỉ gây ra 4 nhóm biến dạng độc lập nhau

và có thể xét riêng lẻ, nên ma trận cứng phần tử [K]e có kích thước (12x12) sẽ được thiết lập từ 4 ma trận con gồm 2 ma trận kích thước (2x2) và 2 ma trận (4x4) cụ thể như sau:

1 1

1 1

Trong đó :

- E : Môđuyn đàn hồi của vật liệu

- F : Diện tích mặt cắt ngang dầm

- l : Chiều dài thanh

- G : Môđuyn đàn hồi trượt của vật liệu

- Jx : Moment quán tính độc cực của mặt cắt ngang

x

δx1

δx2u(x)

x

x

θx1

θx2x

Hình 2.6 Các thành phần chuyển vị và góc xoay của phần tử thanh

c) Biến dạng uốn trong mặt phẳng xy (do δy1 δy2 θz1 θz2) :

2 2

3 )

4 6 2

6

6 12 6 12

2 6 4

6

6 12 6

12

l l l

l

l l

l l l

l

l l

2 2

3 )

4 6 2

6

6 12 6 12

2 6 4

6

6 12 6

12

l l l

l

l l

l l l

l

l l

Ma trận độ cứng phần tử được thiết lập từ 4 ma trận độ cứng (2.26)~(2.29) có được từ việc xét độc lập các nhóm bậc tự do chuyển vị khác nhau Cuối cùng ta có

ma trận độ cứng của phần tử trong hệ tọa độ địa phương như sau:

EJ l

GJ xung

doi

l

EJ l

EJ l

EJ l

EJ l

EJ l

EJ l

EJ l

GJ l

EJ l

EJ l

EJ l

EJ l

EJ l

EJ l

EF l

EF

K

z y x

y y

z z

z z

z

y y

y

x x

y y

y y

z z

z z

e

4 0 4

0 0

0

6 0 12

6 0 0 0 12

0 0 0 0 0

2 0 0 0 6

0 4

0

2 0

6 0 0 0 4

0 0 0

0 0 0 0

0

6 0

12 0

0 0

6 0 12

6 0 0 0 12

0 6 0 0 0 12

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

2 3

2 3

2

2

2 3

2 3

2 3

2 3

Khi đó vectơ chuyển vị phần tử hai điểm nút :

{q)(e) = {δx1 δy1 δz1 θx1 θy1 θz1 θ’x1 δx2 δy2 δz2 θx2 θy2 θz2 θ’x2}T (2.30) Tương tự 14 bậc tự do chuyển vị này chỉ gây ra 4 nhóm biến dạng độc lập nhau

và có thể xét riêng lẻ, nên ma trận độ cứng phần tử [K](e) có kích thước (14x14) sẽ được thiết lập từ 4 ma trận con :

( ) 3 )(

(

) 2 )(

( ) 1 )(

( )

e e

e e

K K

K (2.31)

"

x EI

Mω = ωθ (2.33) Momen xoắn uốn:

'''

x EI M

dx

d

Tω = − ω = − ωθ (2.34) Tổng momen xoắn gồm hai thành phần : Xoắn tự do T s và xoắn uốn Tω

x w x s

M = = ω + = θ − θ (2.35) Thế năng biến dạng của phần tử :

a

θ (2.40) Đạo hàm cấp một của góc xoắn có dạng:

2

4 3 2

θ (2.41)

6 6 12

6 6 12 12

15

23015

1 10

1 5

1 10

1 5

6 5

6

]

2 2

dx

L L L

L L L L L EI

L dx

L L L

L L GJ

=

α

αα

αα

α

αα

αα

4 15 2

2 30

1 4

15 2

6 10

1 6

10

1 12

5 6

6 10

1 6

10

1 12

5

6 12

5 6

]

[

2

2 2

L dx

L L

L L

L L

L F F dx A A

F G A

F U

s

y y s

s y l

s

y S

1

0

δδ

= +

=

z y

z z

z s

z z y S

F EI

L EI

L G A

L EI

L M F U

U U

2

2 3

2

2 3

δ

Biến đổi ta được :

2 2

2 2

2 1 1

3

2 1

6 2 3

2

1 2

1

νθν

η

ηη

η

L L

L L L

L L

L L

EI M

F M

F

z

y y y

(

0 ) 3 )(

(

0 ) 2 )(

(

0 ) 1 )(

( 0 )

e e

e e

K K

+

+ +

−

+

− +

+ +

=

z

z z

z z

y

y y

y y

y

y y

y

z

z z

z

e

L

L L

EI L

EI

L

L L

EI L

EI L

L

EI L

L EI L

EA

K

η

ηη

η

ηη

ηη

ηη

12 /

3 / 0

0 0

12

6 0

0 12

/

3 / 0

12

6 0

0

0 0

0 0

0

0 12

6 0

12

12 0

0

12

6 0

0 0

12

12 0

0 0

0 0

0

2

2 12

2

2 12

12 3

2 3

+

+ +

−

+

− +

−

+ +

z z

y

y y

y y

y

y y

y

z

z z

z

e

L

L L

EI L

EI

L

L L

EI L

EI L

L

EI L

L EI L

EA

K

η

ηη

η

ηη

ηη

ηη

12 /

6 / 0

0 0

12

6 0

0 12

/

3 / 0

12

6 0

0

0 0

0 0

0

0 12

6 0

12

12 0

0

12

6 0

0 0

12

12 0

0 0

0 0

0

2

2 12

2

2 2

12 3

2 3

+

− +

−

−

+ +

−

+

− +

z z

y

y y

y y

y

y y

y

z

z z

z

e

L

L L

EI L

EI

L

L L

EI L

EI L

L

EI L

L EI L

EA

K

η

ηη

η

ηη

ηη

ηη

12 /

6 / 0

0 0

12

6 0

0 12

/

6 / 0

12

6 0

0

0 0

0 0

0

0 12

6 0

12

12 0

0

12

6 0

0 0

12

12 0

0 0

0 0

0

2

2 12

2

2 2

12 3

2 3

−

+

+ +

+ +

+

− +

−

=

z

z z

z z

y

y y

y y

y

y y

y

z

z z

z

e

L

L L

EI L

EI

L

L L

EI L

EI L

L

EI L

L EI L

EA

K

η

ηη

η

ηη

ηη

ηη

12 /

3 / 0

0 0

12

6 0

0 12

/

3 / 0

12

6 0

0

0 0

0 0

0

0 12

6 0

12

12 0

0

12

6 0

0 0

12

12 0

0 0

0 0

0

2

2 12

2

2 2

12 3

2 3

Tương ứng ma trận độ cứng của phần tử 7 bậc tự do tại mỗi nút :

( ) 3 )(

(

) 2 )(

( ) 1 )(

( )

e e

e e

K K

+

+ +

+

+ +

+

− +

+ +

=

α α

η

η η

η

η η

α α

η η

η η

4 15

2 0

0 6

10

1 0

0 0

0 12

/

3 / 0

0 0

12

6

0

0 0

12 /

3 / 0

12

6 0

0

6 10

1 0

0 12

5

6 0

0 0

0 0

12

6 0

12

12 0

0

0 12

6 0

0 0

12

12

0

0 0

0 0

0 0

2 2 2

2 2 2

2 3

2 3

L L

EI L

EI

L

L L

EI L

GJ L

GJ

L

EI L

L

EI L

L

EI L

EA

K

z

z z

z z

y

y y

y y

y

y y

y

z

z z

−

+

− +

−

+

+ +

−

+

− +

−

+ +

−

−

=

α α

η

η η

η

η η

α α

η η

η η

2 30

1 0

0 6

10

1 0

0 0

0 12

/

3 / 0

0 0

12

6 0

0 0

12 /

3 / 0

12

6 0

0

6 10

1 0

0 12

5

6 0

0 0

0 0

12

6 0

12

12 0

0

0 12

6 0

0 0

12

12 0

0 0

0 0

0 0

2 2 2

2 2 2

2 3

2 3

L L

EI L

EI

L

L L

EI L

EI

GJ L

GJ

L

EI L

L

EI L

L

EI L

EA

K

z

z z

z z

y

y y

y y

y

y y

y

z

z z

z

e

Trong đó:

J : moment quán tính xoắn

Iy , Iz : moment quán tính theo trục y và z

E, G : mođuyn đàn hồi và mođuyn cắt của vật liệu

G A

EI G

A

EI

Sy

Z Z

Sz

y

η ;

ASz = ASy = AS : diện tích bản sườn

Khi diện tích có trọng tâm C và tâm xoắn S không trùng nhau Xét tiết diện tổng quát hình 2.11:

+

− +

+

− +

−

+ +

−

+ +

−

−

=

α α

η

η η

η

η η

α α

η η

η η

2 30

1 0

0 6

10

1 0

0 0

0 12

/

6 / 0

0 0

12

6 0

0 0

12 /

6 / 0

12

6 0

0

6 10

1 0

0 12

5

6 0

0 0

0 0

12

6 0

12

12 0

0

0 12

6 0

0 0

12

12 0

0 0

0 0

0 0

2 2 2

2 2 2

2 3

2 3

L L

EI L

EI

L

L L

EI L

EI

GJ L

GJ

L

EI L

L

EI L

L

EI L

EA

K

z

z z

z z

y

y y

y y

y

y y

y

z

z z

z

e

Theo Dubigeon và Kim, ma trận biến đổi do ảnh hưởng của độ giữa trọng tâm

C và tâm xoắn S :

T SC SC

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

dy dz

dy dz

Do tính chất cong của cầu mà tại các mặt cắt tiết diện bất kỳ, hệ trục tọa độ địa phương của phần tử không trùng với hệ trục tọa độ tổng thể Do đó trước khi ghép nối phần tử phải thực hiện phép chuyển trục tọa độ để thành lập ma trận độ cứng phần tử trong hệ trục tọa độ tổng thể Sử dụng ma trận chuyển trục sau:

Y glocal

X glocal O

x local

y local

o

Hình 2.12 Phần tử thanh cong

Đối với phần tử 6 bậc tự do:

zg yg xg g g g

w v u w

v u

θθ

θθ

θ

θθ

θθ

θθ

θθθ

1 0 0

0 0 0

0 cos sin

0 0 0

0 sin cos

0 0 0

0 0 0

1 0 0

0 0 0

0 cos sin

0 0 0

0 sin cos

Đối với phần 7 bậc tự do:

0 0 0

0 1 0 0

0 0 0

0 0 cos sin 0 0 0

0 0 sin cos

0 0 0

0 0 0 0

1 0 0

0 0 0 0

0 cos sin

0 0 0 0

0 sin cos

z y x

xg zg yg xg g

g

w v u w

v u

θθθ

θθ

θ

θθ

θθ

θθ

θθθθ

Các công thức tổng quát để xác định lực cắt Qy , momen uốn Mx , bimoment

Mω, moment xoắn tự do Ts , moment xoắn uốn Tω, moment xoắn tổng hợp Tz và các thành phần chuyển vị θ , β và w như sau:

0

) 0 (

y y

x

x2 + = − 2 +

2

) ( ) (

φφ

x

x2 + = − 2 +

2

) ( ) (

φφ

αφ

d

dw R d

d R GK

T s( ) 1 ( ) 12 ( ) (2.56)

0

w R d

d d

EI

M R

) ( 1 ) (

φ

φφ

ϕ

d

dw R

x =− (2.58) Giải các phương trình vi phân trên bằng phép biến đổi Laplace theo thông số ban đầu ta được :

19 18 17

16 15

14

) 0 ( )

0

(

) 0 ( )

0 ( )

0 ( ) sin(

) 0 ( ) cos 1 ( ) 0 ( )

f

T

f M f M f T R

R w

w

y

z

x s

x

+ +

+

+ +

+ Φ

− Φ

− +

=

29 28

27 26

25 24

)

0

(

) 0 ( )

0 ( )

0 ( )

0 ( sin

) 0 ( cos

z x

s x

+

+

+ +

+ +

Φ +

37 36

35 34

)

0

(

) 0 ( )

0 ( )

0 ( )

0 ( cos

) 0 ( sin

z x

s x

x

+

+

+ +

+ +

Φ +

) 0 ( ) sin(

) 0 ( ) cos(

T

59 58 57

) 0 ( ) cos(

) 0 ( ) sin(

) 0 ( cos

) 0 (

) 0 ( sin

R Þ

Þk

Hình 2.13 Mô hình cầu cong bán kính R

Xét cầu cong điển hình như hình 2.13 được chia thành n phần tử

X Φ = (2.69) Giá trị chuyển vị – nội lực tại cuối phần tử 1 là kết quả chuyển vị – nội lực tại đầu phần tử thứ 2:

X(0),2 =P1.X(Φ),1 (2.70) Xét phần tử thứ k :

Giá trị chuyển vị – nội lực tại đầu phần tử k :

X(0), = ( 0 ) β( 0 ) ϕ ( 0 ) ( 0 ) ω( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 1 (2.71) Giá trị chuyển vị – nội lực tại cuối phần tử k :

X(Φ), = ( Φ ) β( Φ ) ϕ ( Φ ) ( Φ ) ω( Φ ) ( Φ ) ( Φ ) ( Φ ) 1 (2.72) Như vậy tổng quát ta có:

1 ), 0 ( 1 1 2 1 1 ),

( F P F F P F X

X Φ k = k k− k− (2.73)

k k

k k

a = -A-1b (2.76)

Trong đó :

a : các giá trị chuyển vị – nội lực chưa biết ban đầu cần xác định A: ma trận hệ số tương ứng của các giá trị chưa biết

b : vectơ tải tương ứng của các giá trị cần xác định

Từ đó xác định được các giá trị chuyển vị – nội lực trong toàn bộ kết cấu

CHƯƠNG 3: CÁC YẾU TỐ ẢNH HƯỞNG ĐẾN NỘI

LỰC, CHUYỂN VỊ TRONG CẦU CONG DẦM BẢN RỖNG

Có rất nhiều yếu tố ảnh hưởng đến nội lực trong cầu cong dầm bản rỗng nhưng nội dung trong chương này chỉ trình bày 03 yếu tố cơ bản: Ảnh hưởng của các tham

số cấu tạo, của hiện tượng từ biến, co ngót và chuyển vị cưỡng bức tại gối cầu trong cầu cong dầm bản rỗng

rỗng

Nội lực trong cầu cong rất phức tạp và phụ thuộc vào các tham số cấu tạo của cầu cong như chiều dài nhịp, bán kính cong, chiều cao dầm bản Vì vậy bài toán lựa chọn tham số cấu tạo cầu cong dầm bản rỗng cần được quan tâm và nghiên cứu

kỹ Hiện nay không có quy định hay chỉ dẫn cụ thể nào về thiết kế cầu cong dầm bản rỗng, vì thế trong phần này tác giả sẽ phân tích ảnh hưởng của các tham số cấu tạo tới nội lực và chuyển vị trong dầm bản rỗng thông qua các ví dụ cụ thể với chiều dài nhịp L, bán kính cong R thường được sử dụng rộng rãi trong cầu cong tại các nút giao cắt khác mức Vì moment uốn dọc cầu và chuyển vị của cầu cong có cùng chiều dài nhịp thay đổi rất nhỏ khi bán kính cong thay đổi do đó trong phần này chỉ quan tâm đến yếu tố nội lực là mômen xoắn do tải trọng bản thân kết cấu gây ra 3.1.1. Dữ liệu ban đầu

3.1.1.1. Vật liệu

Vật liệu sử dụng trong cầu cong dầm bản rỗng là bê tông cường độ cao, cốt thép thường và thép dự ứng lực Bê tông thường dùng có cấp bê tông C50, tỷ trọng của

bê tông là 2400 kg/cm3 Cốt thép thường có giới hạn chảy tối thiểu của thép thanh là

400 Mpa, modun đàn hồi là 200000 Mpa Thép dự ứng lực là thép cường độ cao dùng để tạo dự ứng lực cho bê tông, thường sử dụng loại tao thép 7 sợi dự ứng lực không sơn phủ phù hợp với tiêu chuẩn vật liệu quy định trong tiêu chuẩn thi công cầu AASHTO M203M (ASTM A416M)

3.1.1.2. Mặt cắt ngang

Mặt cắt ngang được xét ở đây là dạng dầm bản rỗng (slab hollow beam) với chiều rộng B=9m, và chiều cao H được lấy bằng 1/25L (L là chiều dài nhịp) Như vậy với chiều dài nhịp khác nhau, chiều cao H sẽ có các giá trị khác nhau

Với chiều dài nhịp L=20m, chiều cao H=0.8m (1/25*20 =0.8m) (hình 3.1)