Phân tích tĩnh và động của cầu treo dầm cứng có khớp

Cầu treo là một hệ liên hợp giữa dầm và dây, chịu lực rất phức tạp dưới tác dụng của tải trọng di động và dao động do gió nên trong quá trình nghiên cứu ứng dụng không thể tránh khỏi các

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CHUYÊN NGÀNH : CẦU, TUYNEN VÀ CÁC CÔNG TRÌNH XÂY DỰNG

KHÁC TRÊN ĐƯỜNG ÔTÔ VÀ ĐƯỜNG SẮT MÃ SỐ NGÀNH : 2.15.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Nhận xét của cán bộ hướng dẫn 1: TS LÊ VĂN NAM

………

………

………

………

………

………

………

Nhận xét của cán bộ hướng dẫn 2: TS LƯU BÂN ………

………

………

………

………

………

………

Nhận xét của cán bộ phản biện 1 : ………

………

………

………

………

………

………

Nhận xét của cán bộ phản biện 2 : ………

………

………

………

………

………

……… Luận văn cao học được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG BẢO VỆ LUẬN VĂN CAO HỌC - TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày …… … tháng …… năm 2005 Có thể tìm hiểu luận văn tại thư viện Trường Đại Học Bách Khoa Tp HCM

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: TRẦN PHƯƠNG HÙNG Phái: NAM Ngày, tháng, năm sinh: 02/02/1966 Nơi sinh: ĐỒNG THÁP Chuyên ngành: Cầu, tuynen và các công trình Mã số ngành : 2.15.10 xây dựng khác trên đường ôtô và đường sắt

Khóa :14 (NĂM 2003-2005) Mã số HV : 00103010

A Tên đề tài: PHÂN TÍCH TĨNH VÀ ĐỘNG CỦA CẦU TREO DẦM CỨNG CÓ KHỚP

B Nhiệm vụ và nội dung:

B.1 Nhiệm vụ: Phân tích tĩnh và động của cầu treo dầm cứng có khớp với nội dung:

B.2 Nội dung:

Chương I: Giới thiệu chung

Chương II: Lý thuyết tính toán cầu treo

Chương III: Tính toán cầu treo hệ dầm cứng có khớp

Chương VI: Ví dụ tính toán cầu treo

Chương V: Kết luận và kiến nghị

C Ngày giao nhiệm vụ : ………

D Ngày hoàn thành nhiệm vụ : ………

E Họ và tên cán bộ hướng dẫn : TS LÊ VĂN NAM – TS LƯU BÂN.

Cán bộ hướng dẫn Chủ nhiệm bộ môn quản lý chuyên ngành

Nội dung và đề cương luận văn cao học đã được thông qua hội đồng chuyên ngành

TpHCM ngày ……… tháng……….năm 2005

Học viên thực hiện luận văn xin chân thành tỏ lòng biết ơn đối với:

– Khoa Đào Tạo Sau Đại Học - Trường Đại Học Bách Khoa Tp HCM – Thầy Cô Bộ môn Cầu Đường, Khoa Kỹ Thuật Xây Dựng - Trường Đại Học Bách Khoa Tp HCM

– Thầy Cô giảng dạy trong chương trình cao học chuyên ngành Cầu, Tuynen và Các Công Trình Xây Dựng Khác Trên Đường Ôtô và Đường sắt - Khoa Đào Tạo Sau Đại Học – Trường Đại Học Bách Khoa Tp HCM

– Thầy TS Lê Văn Nam và Thầy TS.Lưu Bân đã tận tình hướng dẫn tôi thực hiện luận văn này.

In order to clearly the static and moving states of suspension bridge in general and joined_ rigid girder suspension bridge in particular, the thesis concentrated in expose the theory and program some problems as following:

1- Presenting the theory in calculating of suspension bridge and joined_ rigid girder suspension bridge by deformed diagrams under matrix forms in oder to easier for automatic in calculation

2- Use Matlap language to Program some Examples 3- Some remarks and conclusions about suspension bridge and joined_ rigid girder suspension bridge

Nhằm làm rõ sự làm việc tĩnh và sự làm việc động của cầu treo dây võng nói chung và cầu treo dây võng hệ dầm cứng có khớp nói riêng, đề tài đã trình bày lý thuyết và lập trình tính toán với các nội dung chính sau :

1 Trình bày lý thuyết tính toán cầu treo dây võng và lý thuyết tính toán cầu treo dây võng hệ dầm cứng có khớp theo sơ đồ biến dạng dưới dạng ma trận để thuận tiện cho việc tự động hóa tính toán

2 Lập trình tính toán ví dụ bằng ngôn ngữ MATLAB

3 Từ đó rút ra một số nhận xét, kết luận cần chú ý về cầu treo dây võng hệ dầm cứng có khớp

Lời cảm ơn Tóm tắt luận văn Mục lục

Chương I : Giới thiệu chung ……….……… 1

Chương II : Lý thuyết tính toán cầu treo ……….…… 6

II.1 Lý thuyết tính toán dây treo thoải ……… 6

II.1.1 Dây treo và trạng thái xuất phát ……….6

II.1.2 Tính dây treo đơn giản ……… 7

II.1.3 Dây treo gối chênh mức ………12

II.1.4 Một số công thức tính tích phân hàm lực cắt ∫ l dx Q2 ……… 16

II.2 Lý thuyết tính toán cầu treo ……… 20

II.2.1 Nhận xét chung ……… 20

II.2.2 Tính toán cầu treo – Phương trình lực ……… 20

II.2.3 Tính toán cầu treo – Phương trình chuyển vị ……… 27

II.2.4 Cầu treo nhiều nhịp ……… 33

II.3 Dao động và tính toán động lực ……… 35

Chương III : Tính toán cầu treo hệ dầm cứng có khớp ……… 38

III.1 Phân tích tĩnh ……… ……… 38

III.2 Phân tích động ……… 42

Chương IV : Ví dụ tính toán ……… ……… 44

Chương V : Kết luận – Kiến nghị ……… ……….……… 81

Phụ lục ……….84

Tài liệu tham khảo ……… 127

Lý lịch trích ngang ……….128

CHƯƠNG I : GIỚI THIỆU CHUNG

I.1 ĐẶT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU :

Trong lịch sử xây dựng cầu, cầu treo xuất hiện rất sớm, phát triển nhanh và đạt được những thành tựu to lớn, những kỷ lục đánh dấu sự tiến bộ của khoa học kỹ thuật, sự phát triển trí tuệ của thời đại Nhiều kỹ lục về chiều dài nhịp và tải trọng là niềm tự hào của con người Hiện nay cầu treo vẫn là niềm hấp dẫn, niềm say mê của các nhà khoa học Cuộc thi đua vượt chiều dài nhịp vẫn là mục tiêu của nhiều quốc gia tiên tiến trên thế giới

Một số cầu lớn đã được xây dựng trên thế giới :

Cầu Mackinac Straits – Michigan – US với nhịp chính 1158 m được thiết kế bởi David Steinman [10]

Cầu Verrazano Narrows - New York city – US Cầu có chiều dài nhịp 1298 m được thiết kế bởi Amman and Whitney [10]

Cầu Akashi Kaikyo – Japan

Cầu Mosel – Germany

Những ưu điểm của cầu treo:

- Cầu treo có thể vượt được nhịp lớn (hiện nay 2000m) do đó có thể sử dụng hết khả năng chịu kéo của các loại thép sợi cường độ cao trong khi ở các kết cấu chịu nén, chịu uốn phải tốn nhiều vật liệu để tăng cường độ ổn định chung và cục bộ của kết cấu Do đó cầu treo là loại cầu có trọng lượng bản thân nhỏ nhất

- Công nghệ thi công cầu treo ít phụ thuộc vào chế độ thuỷ văn, địa hình , địa chất của lòng sông cũng như vào thời tiết khu vực

Cầu treo là một hệ liên hợp giữa dầm và dây, chịu lực rất phức tạp dưới tác dụng của tải trọng di động và dao động do gió nên trong quá trình nghiên cứu ứng dụng không thể tránh khỏi các thiếu sót dẫn tới thất bại Nhưng chính những thất bại đó đã trở thành những bài học, những kinh nghiệm để các công trình sau được hoàn chỉnh hơn và cho đến nay vẫn đang nghiên cứu để hoàn chỉnh về lý thuyết tính toán tĩnh, động, khí động, về công nghệ thi công Sự phát triển hiện tại và tương lại của cầu treo vẫn là vấn đề thời sự hấp dẫn, phong phú và đa dạng

Ở Việt Nam cầu treo được ứng dụng từ những năm 1960 chủ yếu để phục vụ đảm bảo giao thông trong chiến tranh phá hoại và phục vụ cho giao thông miền núi, bắt đầu từ các công trình cầu cáp : Cầu cáp Vĩnh Tuy (Hà Giang), Đoan Vỹ

(Nam Hà) xây dựng 1965 – 1968 Cầu cáp Đoan Hùng (Vĩnh Phú) khẩu độ 104m xây dựng 1966 Trong những năm gần đây cầu treo được thiết kế dùng cho giao thông nông thôn Đặc điểm cầu treo đã xây dựng ở nước ta là khổ hẹp, tải trọng nhỏ

Với cầu treo giao thông nông thôn yêu cầu dầm cứng gọn nhẹ để dễ dàng lao lắp, việc đưa khớp vào dầm cứng trong trường hợp này là hợp lý Hơn nữa với lý thuyết tính toán hiện nay để đơn giản không xét đến biến dạng của dây treo Tuy nhiên khi cần tính toán chính xác hơn cần phải xét tới biến dạng của dây treo, nhất là cầu khẩu độ lớn, có dây treo dài biến dạng lớn, đưa đến dầm cứng phải đủ cứng mới chịu được, việc đưa khớp vào có thể khắc phục được phần nào ảnh hưởng

do biến dạng của dây treo Hệ này làm việc tốt khi trọng lượng hệ mặt cầu lớn so với hoạt tải khá nhỏ

Cho đến nay sự phát triển của cầu treo vẫn đi theo hướng dùng dây cáp làm bằng sợi thép có cường độ cao với dầm cứng là dầm đặc hoặc dàn cứng Tuy nhiên dàn cứng có chiều cao kiến trúc lớn, làm tăng chiều dài cầu dẫn và theo quan điểm kiến trúc phá vẽ mềm mại , mãnh dẻ của hệ treo đặc biệt qua các vùng có cảnh quan đẹp Do đó việc nghiên cứu đưa các khớp vào dầm cứng (trong từng trường hợp cụ thể) và hoàn thiện lý thuyết tính toán dạng cầu treo này là vấn đề cần thiết

Hiện nay lý thuyết tính toán cầu treo thường được xây dựng theo hai quan điểm chủ yếu: theo sơ đồ tính toán không biến hình và theo sơ đồ thay đổi dạng hình học trong các trạng thái làm việc của kết cấu cầu Quan điểm tính toán thứ hai phù hợp hơn với cách làm việc của kết cấu cầu treo, nhưng tính toán phức tạp hơn

do các hệ phương trình là không tuyến tính

Quan điểm tính toán trong đề tài là tính toán theo sơ đồ thay đổi dạng hình học và dùng ngôn ngữ MATLAB để lập trình tính toán, khảo sát, phân tích

I.2 MỤC TIÊU CỦA LUẬN VĂN :

Mục tiêu của đề tài này là phân tích sự làm việc tĩnh và sự làm việc động mà chủ yếu là phân tích tần số và dạng dao động riêng của cầu treo dầm cứng có

khớp

I.3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU :

Phân tích tĩnh và động của cầu treo dầm cứng nhiều khớp nằm trùng nút liên

kết và ngoài nút liên kết với nội dung:

a Phân tích tĩnh :

- Xác định ma trận độ cứng dầm cứng

- Xác định lực căng trong dây treo (dây võng)

- Xác định chuyển vị thẳng đứng tại các điểm bất kỳ trong dầm cứng

- Xác định nội lực tại các điểm bất kỳ trong dầm cứng

b Phân tích động : Xác định tần số riêng và dạng dao động tương ứng của cầu treo dầm cứng nhiều khớp

I.4 NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI :

Chương I: Giới thiệu chung

Chương II: Lý thuyết tính toán cầu treo

II.1 Lý thuyết tính toán dây treo thoải

II.2 Phân tích tĩnh

II.2.1 Tính toán cầu treo – Phương trình chuyển vị

II.2.2 Tính toán cầu treo – Phương trình lực

II.3 Phân tích động

Chương III: Tính toán cầu treo hệ dầm cứng có khớp

III.1 Phân tích tĩnh

III.2 Phân tích động

Chương VI: Ví dụ tính toán cầu treo

VI.1 Bài toán tĩnh

VI.1 Bài toán động

Chương V: Kết luận và kiến nghị

CHƯƠNG II : LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN CẦU TREO

II.1 LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN DÂY TREO THOẢI :

II.1.1 DÂY TREO VÀ TRẠNG THÁI XUẤT PHÁT

Lý thuyết tính toán dây treo là một bộ phận trong lý thuyết hoàn chỉnh tính toán các hệ treo, trong đó dây treo là các thành phần chịu lực chủ yếu Chính vì thế lý thuyết tính toán dây treo mềm, thoải đã được xét đến trong một loạt các công trình theo nhiều cách đặt vấn đề khác nhau

Một trong các trọng tâm nghiên cứu là rút ra phương trình lực căng, phụ thuộc vào tải trọng tác dụng và liên hệ với một trạng thái làm việc đã biết Nhiều phương trình đã được rút ra trên cơ sở so sánh chiều dài toàn bộ của dây treo dưới tác dụng của tải trọng trong hai trạng thái làm việc, trong đó coi vật liệu là đàn hồi hoặc không đàn hồi

Nếu xuất phát từ các phương trình cân bằng của dây dưới tác dụng của ngoại lực theo các trục toạ độ, kết hợp với hàm liên hệ giữa biến dạng với chuyển vị và với lực căng trong dây để rút ra toàn bộ các phương trình tính toán, bao gồm phương trình liên hệ lực căng, hàm chuyển vị các điểm của dây treo theo các trục toạ độ và có kể đến ảnh hưởng của các yếu tố lực khác, như nhiệt độ, chuyển vị gối…, thì cơ sở tính toán này có thể coi là tổng quát và chặt chẽ

Lý thuyết tính toán dây treo xét ở đây cũng sẽ xây dựng trên cơ sở như vậy Đồng thời coi xuất phát của dây treo không phải là một trạng thái làm việc bất kỳ nào, mà là trạng thái dây treo mới chỉ chịu lực căng trước, không chịu bất cứ tải trọng nào, kể cả trọng lượng bản thân Xuất phát từ trạng thái đặc biệt này của dây treo, do không có chuyển vị theo các trục, phương trình tính toán được đơn giản và có tính tổng quát cao

Xét một đoạn dây mềm chiều dài L, bây giờ chiều dài này được kéo ra để phủ qua khẩu độ l( l>L) và được giữ chặt hai đầu ở các gối Lực căng xuất hiện trong dây theo định luật Hook tính được:

l EF

Ở đây:

EF – độ cứng chống kéo của dây treo

N – chính là lực căng trước trong dây, trước khi dây chịu tải trọng Khi l<L thì N sẽ mang dấu âm và có thể gọi một cách tượng trưng là “ lực nén trước” trong dây Có thể phân ra các trường hợp sau đây của dây theo N

N = 0: trường hợp dây là “dây đàn”

N > 0: trường hợp dây “ dự ứnglực”

N < 0 : với độ võng tương đối lớn, nhưng vẫn trong phạm vi dây treo thoải Như đã biết, khi dây treo có tiết diện đều, chịu tải trọng phân bố theo chiều dài, như trọng lượng bản thân, thì độ võng của dây tương ứng với phương trình đường xích Nhưng đối với dây treo thoải, có độ võng không lớn lắm, thì tải trọng phân bố theo chiều dài có thể thay thế bằng tải trọng phân bố theo khẩu độ, như vậy tính toán sẽ được đơn giản hơn và độ chính xác hoàn toàn có thể đáp ứng được yêu cầu thực tế Trong trường hợp chịu tải trọng phân bố đều theo khẩu độ thì dây treo võng theo đường cong parabol dậc hai

Đặc điểm trong tính toán của dây treo là mối liên hệ không tuyến tính giữa biến dạng và chuyển vị Có sự không tuyến tính hình học này là do góc quay lớn, mà giá trị bình phương của chúng là cùng bậc với giá trị của độ giãn dài tương đối Tình hình này làm cho việc tính toán các hệ treo trở nên phức tạp, do phải giải các hệ phương trình liên hệ cơ bản không tuyến tính với số ẩn lớn, nhất là trong tính toán động lực

Nhưng thực ra khi xét lý thuyết tính toán một dây treo ở đây không chỉ nhằm rút

ra các phương trình đã nói đến ở trên, mà nhằm xác định đồng thời “ độ cứng “ và “độ mềm” theo một hướng nào đó, hoặc toàn bộ của dây treo, để xây dựng các nguyên lý tính toán hoàn chỉnh của cơ học kết cấu các hệ treo Mặt khác điều này sẽ gắn liền với việc nghiên cứu viết phương trình tính toán không tuyến tính dưới dạng ma trận với các tham số lực, cũng như chuyển vị, để tạo điều kiện sử dụng ma trận diễn đạt toàn bộ các nguyên lý tính toán các kết cấu treo

II.1.2 TÍNH DÂY TREO ĐƠN GIẢN

Xét một dây treo mềm thoải, chịu tác dụng của tải trọng thẳng đứng, trong đó có trọng lượng bản thân của dây Viết phương trình cân bằng tĩnh các phần tử của dây sau khi chuyển vị dưới tác dụng của ngoại lực ( hình 12.1) (Theo [1] – trang 61)

T – lực căng trong dây treo

qy – tải trọng thẳng đứng theo trục y

qx – ngoại lực theo trục x

H x

y

q v H

x+dx+u+du T+dT dV

T

α

Hình 12.1 Trường hợp chỉ có tải trọng thẳng đứng qy tác dụng lên dây, qx = 0, thì:

( cos ) = H = 0

dx

d T

dx

như vậy, lực căng ngang H =Tcosα không phụ thuộc x, hay là cố định trong suốt nhịp

Từ phương trình thứ hai của (12.1) có thể biến đổi:

yq dx

dV dx

d H dx

dV = (12.3)

và:

H

M

V = (12.4)

ở đây:

Q – hàm lực cắt của tải trọng thẳng đứng trong dầm đơn giản cùng khẩu độ l

M – hàm mômen uốn dầm của tải trọng

Tính lực căng của dây treo: Liên hệ giứa lực căng và biến dạng của dây trong trạng thái

đang xét:

du dx

ở đây:

u(x)- chuyển vị nằm ngang

v(x)- chuyển vị thẳng đứng các điểm của dây treo

Khai triển ( 12.6) theo chuỗi lũy thừa và bỏ đi các đại lượng nhỏ bậc cao

=

2

2

1 1

dx

dv dx

du dx

du EF N

Đối với dây treo thoải, vì góc quay α của đường võng biến đổi rất ít và cos α ≈ 1,

do đó trong mức độ gần đúng có thể chấp nhận được, cho T=H Tích phân hai vế của (12.8) theo khẩu độ l

N u dx dx

dv l

EF H

u0 và u1- chuyển vị nằm ngang gối đầu và gối cuối của dây treo

Đưa (12.3) vào trong (12.9)

N u dx Q lH

EF H

( + ∆ ) − ∫ =

−

ldx Q l

EF u N H

2

22

−

−

l i l

ïi j

j j

i

l

EF u

dx Q lH

EF H

H

2 2

22

22

∆ , ulij và u0ij- chuyển vị gối cuối và gối đầu từ trạng thái

j đến trạng thái i

Bây giờ để tính toán chính xác hơn, đưa vào (12.8) biểu thức lực căng T sau đây:

dv H

dx

du dx

Hds H

T

Với

du dx

H dx

Q lH

EF H

( ) 0

2

1 2

22

2

EF

H H

u N EF

l H EF

l

l l

(12.15)

Trong khi rút ra các phương trình cơ bản ở trên đồng thời cũng đã kể được ảnh hưởng chuyển dịch nằm ngang các gối đến lực căng của dây treo Để kể đến ảnh hưởng của chuyển dịch thẳng đứng các gối, cho rằng các gối chuyển dịch không giống nhau, thì kết quả là dây sẽ gối chênh mức, phương trình tính lực căng đối với loại dây treo này sẽ xét ở mục sau Mặt khác có thể kể đến ảnh hưởng chuyển dịch thẳng đứng các gối bằng cách viết độ võng của dây treo dưới dạng (h.12.2)

l

x v x l v v

)(0)(

) (

dv dx

dv = 0 + 1 − 0 (12.16)

ở đây: v0 và

dx

dv0 - nghiệm hệ (12.4) và (12.3)

v0 và v1- chuyển vị đứng gối đầu và gối cuối của dây treo

Đưa (12.6) vào trong (12.9) và kể đến (12.3), được:

N v u dx Q lH

EF H

Để kể đến ảnh hưởng của thay đổi nhiệt độ đến lực căng của dây treo, viết phương trình liên hệ giữa lực căng và biến dạng (12.5) có để ý đến tăng chiều dài do nhiệt độ (Theo [1] – trang 63):

t EF dx

ds EF N

EF H

l

= +

0 2

2

22

22

∆ +

−

l

EF t

EF v u dx Q lH

EF H

H H

l i l

ij ij

ij j

j j

x N Tdx EF

Chuyển vị thẳng đứng và góc quay của đường võng các điểm của dây treo xác định theo (12.4) và (12.3) phụ thuộc tải trọng sau khi đã biết được lực căng

Đối với dây treo thì N là một hằng số, đặc trưng cho cách làm việc của nó, biết N có thể tiến hành tính toán dễ dàng dây treo ở bất kỳ trạng thái nào

II.1.3 DÂY TREO GỐI CHÊNH MỨC

Đối với dây treo gối chênh mức coi trạng thái xuất phát là trạng thái, khi dây treo nối thẳng từ gối nọ đến gối kia, tức là không có độ võng so với đường nối hai gối Lực

căng ngang N là hình chiếu nằm ngang của lực căng trong dây treo Gọi ϕ là góc giữa

đường nối hai gối và đường nằm ngang, thì lực căng trong dây treo là

yq H dx

dv dx

ở đây:

v0(x) - độ võng của dây kể từ đường nối hai gối ( Hình 13)

M và Q – vẫn như trước, là mômen và lực cắt dầm đơn giản của tải trọng

s dx

dx ds EF

N T

cos cos

du dx

và

dx

du so với đơn vị, vì vẫn như trước coi dây là thoải so với đường nối hai gối, trong khi

đó góc ϕ không nhất thiết là góc nhỏ:

+

=

dx

dv dx

dv dx

du dx

203

sin 2

cos cos

+

=

−

202

03

2

cos

cos

dx

dv dx

dv tg dx

du EF N

Tích phân hai vế của (13.7) theo khẩu độ l:

N u dx

dx

dv l

EF H

ϕ

hay đưa (13.1) vào trong (13.8 ) :

N u dx

Q l

EF H

53

2

l

EF u

N H H

cos

cos

−

l

EF u

dx Q H

l

EF H

H H

l i l

ij j

j j

i i

ϕ ϕ

Đó là phương trình liên hệ lực căng giữa hai trạng thái làm việc của dây treo một nhịp gối lệch mức

dV H

dx

du dx

Hds

203

sin 2

cos cos

1 1

Q H

l

EF EF

H H

cos

∆ +

−

l l

dx Q l

EF dx Q l H u N

H

52

43

23

2

cos 2

cos )

cos

Phöông trình cuoâi cuøng khođng khaùc nhieău so vôùi (13.10), vì H so vôùi EF thì raẫt nhoû Ñeơ keơ ñeân ạnh höôûng chuyeơn vò thaúng ñöùng caùc goâi ñöa ñáo haøm cụa ñoô voõng, tính theo cođng thöùc ( 12.16), vaøo phöông trình (13.7), xong laây tích phađn theo khaơu ñoô ñöôïc:

l

EF l

v v EF u

dx

dv l

50

12

3205

0

2

cos sin

cos

cos 2

.

Cho raỉng chuyeơn vò caùc goâi laø nhoû, do ñoù soâ háng cuoâi cuøng veâ traùi cụa phöông trình cuoâi cuøng laø nhoû so vôùi soâ háng ñöùng tröôùc noù, nhö vaôy ñeơ ñôn giạn tính toaùn coù theơ boû qua soâ háng naøy Phöông trình löïc caíng keơ ñeân chuyeơn vò thaúng ñöùng goâi coù dáng:

N v u

dx Q H

l

EF H

l

v v EF

∆

Keơ ñeân ạnh höôûng cụa thay ñoơi nhieôt ñoô caăn tröø ñi ôû veâ phại cụa (13.3) löïc sinh ra

do thay ñoơi nhieôt ñoô laø EF α.t, do ñoù phöông trình löïc caíng seõ coù dáng:

N t EF v

u dx

Q H

l

EF H

l

= +

ϕ ϕ

cos

sin cos

52

32

l

EF t

EF v

u N

H H

l

ϕ α

ϕ ϕ

ϕ

hay laø:

∆ +

−

l

ij ij

ij j

j j

i

H l

EF H

H

2

.

2

52

0 2

EF

l i

Đó là các phương trình liên hệ lực căng của dây treo gối chênh mức, có kể đến ảnh hưởng của chuyển vị nằm ngang và thẳng đứng các gối và thay đổi nhiệt độ

Xác định chuyển vị nằm ngang các điểm của dây treo, tích phân (13.7), được:

dx

dv v

tg EF

x N dx

T EF

cos

.

cos

Q2

Đối với các loại tải trọng cần thiết rút ra nhiều công thức dạng khác nhau để tính = ∫

ldx Q

D 2 , thuận tiện cho việc vận dụng trong từng trường hợp cụ thể để tính toán các hệ treo phức tạp Các công thức này có thể được xác lập dưới dạng, hay một biểu thức của lực ( tập trung và phân bố) hoặc là biểu thức của độ võng của hệ dây ở các điểm đặc trưng Tải trọng thường sử dụng là tải trọng phân bố theo một quy luật bất kỳ q0(x) và n lực tập trung P

Trong tải trọng bất kỳ q0 cũng có thể hiểu là bao gồm một số lực tập trung khác Hàm lực cắt dầm đơn giản của các loại tải trọng kể trên được viết dưới dạng (Theo [1] – trang 101):

( ) = ( ) + ∑n ( )

i

x i i x

Ở đây Q0( )x - Hàm lực cắt của tải trọng bất kỳ q0(x)

( )x i

Q - Hàm ảnh hưởng của lực cắt (20.1) được:

Áp dụng quy tắc lấy tích phân từng phần đối với số hạng:

ii ph xl l tr xi i xi i i i l i i

xj j iph

xi j itr j

i l

j i

M Q

Q M

M Q M

Q M

Q dx Q Q

i i

=

= +

=

=

01

i l

idx M Q

M0 - giá trị biểu đồ mô men uốn dầm ở điểm i của tải trọng q0(x)

Do đó đối với tải trọng (20.1) được công thức tính D dạng sau đây:

ij n

i

P D

0 = ∫ – véctơ các tải trọng tập trung

*

P - ma trận dòng chuyển vị của P

0

M - véctơ mô men uốn do tải trọng q0(x) gây ra ở các vị trí lực tập trung P

LMP – ma trận ảnh hưởng của mô men của dầm đơn giản, cấp nxn

Từ đó suy ra được công thức cho trường hợp, tác động lên dây treo ngoài tải trọng phân bố bất kỳ q0(x) là m véctơ lập tập trung P1:

MPij m

i

P D

Hoặc cũng có thể viết dưới dạng tổng quát như (20.6), nhưng trong đó thành phần các ma trận suy rộng:

m i

m

i

M M

M

M

P P

P

P

0001

điểm, ở đó tác động các lực tập trung P của dây treo có thể xác định (Theo [1] –

trang 103]:

1

M P L H

L – ma trận dạng (5.3) là nghịch đảo của ma trận LMP Đưa biểu thức cuối cùng vào (20.6) và sau khi biến đổi nhận được công thức dạng chuyển vị để tính D

V L V H D D

ta có D0P = V0*L M

Nhận thấy rằng, nếu tải trọng bất kỳ q0(x) cũng là lực tập trung và tác động ở

các điểm, tác dụng của P , thì trong (20.10) D0P = D0 Còn nếu tải trọng ấy là lực tập trung tác dụng ở các điểm bất kỳ, hoặc là tải trọng phân bố, thì D0P ≠ D0 Nhưng nếu tải trọng q0(x) là phân bố khi số lượng điểm n càng lớn bao nhiêu thì hai đại lượng D0P

và D0 càng gần nhau bấy nhiêu, tức là lim D0P D0

D0P/D0 0.75 0.888 0.9375 0.96 0.9722 0.9796 0.9844

V L V H

Việc làm này cũng có ý nghĩa tương đương là thay thế chiều dài của một đường cong bất kỳ bằng tổng số chiều dài các cạnh của một đường gấp khúc, đỉnh nằm trên đường cong ấy Vì thế rõ ràng khi số đỉnh càng lớn, thì sai số trong việc thay thế càng

H V L V H

Bây giờ xét công thức tính D từ phía khác: (Theo [1] – trang 105)

dx dx

dV H

dx Q

22

20bằng cách lấy tích phân theo từng phần, rồi viết một cách gần đúng:

*

*2

22

22

.

.

V x V

H

x

V V H dx dx

V d V H D

x

V d

V Từ đó thấy rằng , nếu đường biểu diễn của hàm V(x)

là một đường gẫy khúc ở những đoạn phân chia để lấy tổng , thì công thức (20.13) cho giá trị chính xác của D Về mặt cơ học , trường hợp này ứng với độ võng của dây treo, trên nó chỉ tác dụng các lực tập trung ở các điểm tương ứng, ngoài ra không còn tải trọng nào khác

II.2 LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN CẦU TREO :

II.2.1 NHẬN XÉT CHUNG :

Trong các hệ treo nói chung thì cầu treo – tổ hợp làm việc giữa các dây treo và dầm mặt cầu là kết cấu lâu đời nhất và đã được nghiên cứu nhiều mặt Hiện nay có hai quan điểm tính toán cầu treo :

- Tính toán theo sơ đồ kết cấu không thay đổi: tính toán như một kết cấu siêu tĩnh theo phương pháp thông thường của cơ học kết cấu

Theo sơ đồ tính toán không thay đổi thì coi biến dạng của kết cấu dưới tác dụng của tải trọng chỉ ảnh hưởng đến lực căng, tức là ảnh hưởng đến giá trị mà không ảnh hưởng đến dạng phân bố lực tác động tương hổ của dây treo Do đó dù tác động lên dầm cứng bất kỳ tải trọng nào, thì qui luật biến đổi lực trong các dây đeo theo khẩu độ vẫn như đã định trước Như vậy đối với tải trọng bất kỳ, dầm cứng coi như làm nhiệm vụ phân bố đều tải trọng sang các dây đeo, để chuyền lên dây treo, trường hợp này là thích hợp khi dầm mặt cầu có độ cứng lớn Đối với dầm có độ cứng nhỏ, chỉ có thể phân tải trọng sang một số dây đeo lân cận, thì sơ đồ tính toán này không phù hợp

- Tính toán theo sơ đồ biến dạng hình học: hiện nay các cầu treo lớn đều được tính toán có kể đến sự thay đổi hình dạng của dây treo dưới tác dụng của tải trọng

Tính toán cầu treo có kể đến sự thay đổi dạng hình học của sơ đồ tính toán theo từng trạng thái làm việc, tức là có kể đến ảnh hưởng của chuyển vị đối với cả giá trị và sơ đồ phân bố lực tác động tương hổ với dây treo, là thích hợp hơn

II.2.2 TÍNH TOÁN CẦU TREO – PHƯƠNG TRÌNH LỰC :

Sơ đồ tính toán kết cấu cầu treo dạng thông thường là hệ dây treo cùng phối hợp làm việc với dầm mặt cầu

Trong phương trình lực để tính toán kết cấu cầu treo ẩn số là lực trong các liên kết giữa dây treo và dầm và lực căng trong dây treo trong mỗi trạng thái làm việc của kết cấu Như vậy ẩn số trong bất kỳ một trạng thái làm việc nào của kết cấu là n+1 và phải xác lập và giải một số lượng như vậy phương trình tính toán Trong khi thành lập các phương trình sẽ bỏ qua biến dạng đàn hồi các liên kết, vì chúng rất nhỏ so với độ võng của dây treo và dầm

Hình 48

Phương trình lực tính toán cầu treo, cũng như tính toán các hệ treo nói chung, được

thành lập trên cơ sở thỏa mãn điều kiện liên đới biến dạng, ở đây là liên đới biến dạng

giữa dây treo và dầm cứng thông qua các dây đeo

Điều kiện liên đới giữa độ võng của dây và độ võng của dầm ở các liên kết trong một trạng thái làm việc ( xem hình 48) là:

a b W

− +

L - ma trận ảnh hưởng mômen dầm các điểm của từng dây treo

Với ma trận L xác định theo công thức (5.3) (Theo [1] – trang 25) như sau

11

11

44

33

33

22

22

1

1 1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1

) (

+

−

−

++

+

−

− +

−

− +

−

− +

−

− +

−

− +

=

n n n

n n

n n

i i

i i

d d d

d d

d d

d d

d d

d d

d d

d d

d d

d d

d

nxn L

Trong ñoù n laø soâ ñieơm trung gian cụa ñoán daăm, di laø khoạng caùch töø ñieơm thöù (i-1) ñeân ñieơm thöù i

Ñoô voõng cụa daăm coù theơ ñöôïc xaùc ñònh:

X F y

r - ñoô voõng cụa daăm do caùc tại tróng taùc dúng leđn noù Ñöa (48.2) vaø (48.3) vaøo trong (48.1) vaø keẫt hôïp vôùi phöông trình löïc caíng cụa dađy treo, ñöôïc:

Trong heô (48.4) veùc tô y r ñoâi vôùi tại tróng laø löïc taôp trung Pp r taùc dúng vaøo caùc nuùt lieđn keât cụa daăm, thì:

.

p

Biết được lực căng H và lực liên kết X r , độ võng của dầm cứng ở các điểm liên kết xác định theo (48.3) và mômen uốn:

Dầm tác dụng lực tập trung

P

d

b

a y

EJ x

I A

Góc quay ở gối:

c b

EJd

ϕ ϕ

(2 2 ) 2

aj- tạo độ lực tập trung

xi- lần lượt là tọa độ các nút

Mkpj- mômen uốn ở điểm k do tải trọng pj, xác định theo (48.10)

Mkqj- mômen uốn ở điểm k do tải trọng pj, xác định theo (48.14)

Mk- ma trận dòng cấp n, mà thành phần thứ i-Mki - mômen ở điểm k do tải trọng đơn vị tác dụng ở nút i, xác định theo (48.10)

Chuyển vị thẳng đứng ở điểm bất kỳ k của dầm, xác định:

Công thức dạng khác:

Xét ở đây các công thức dạng khác, tiện lợi hơn để xác định các đại lượng cần tìm Để tổng quát cho rằng, trong mỗi khoảng của n+1 khoảng giữa các nút của dàm tác dụng một lực tập trung pi và một tải trọng phân bố qi và gọi các vectơ cấp n+1 này là P rj

và q r j

Trên dầm mặt cầu có thể cùng một trạng thái tác động nhiều vectơ P rj

và q r Các jkhoảng cách có độ dài di và EJi không nhất thiết bằng nhau

Vậy thì chuyển vị các nút của dầm do tải trọng P rj

và q r tác dụng có thể được xác định jbằng công thức:

- cấp n+1, có thành phần xác định theo (48.10) và (48.14) cho các điểm k đối với tải trọng tác dụng trong từng khoảng

Các ma trận khác của công thức trên được thành lập như sau:

i i

i

x d

Π 2 =

(48.22)

hai phần tử dòng i xác định theo (48.11), Π =2ii RBi, Π2ii+1= RAi i+

hai phần tử dòng i xác định theo (48.15), Π =3ii RBi, Π3ii+1= RAi i+

II.2.3 TÍNH TOÁN CẦU TREO – PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN VỊ :

Trong phương trình chuyển vị để tính toán kết cấu cầu treo ẩn số là chuyển vị các nút liên kết và lực căng trong dây treo trong mỗi trạng thái làm việc của kết cấu Sẽ bỏ qua biến dạng đàn hồi của dây đeo, vì chúng rất nhỏ so với độ võng của treo dầm, thì chuyển

vị của dầm và chuyển vị của dây treo là như nhau ở các nút liên kết

Phương trình chuyển vị tính toán cầu treo, cũng như tính toán các kết cấu nói chung bằng phương pháp chuyển vị, được thành lậïp trên cơ sở điều kiện cân bằng lực tác động tương hỗ trong mỗi nút liên kết, kể cả ngoại lực

W n

W i

Hình 49

Lực tác động tương hỗ của dây treo xác định:

r

- độ võng của dầm và độ võng của dây treo

K- ma trận cứng của dầm ở nút liên kết

Kết hợp phương trình trên với phương trình lực căng trong dạng chuyển vị của dây treo, được:

Đối với hệ (49.4), nói chung không có phương pháp giải thẳng chính xác, chỉ có thể giải được bằng phương pháp gần đúng liên tiếp

Có ba phương pháp gần đúng để giải hệ (49.4): giải dựa trên gần đúng theo giá trị của

lực căng H, giải theo phương pháp lặp đối với vectơ chuyển vịW uur và giải theo phương pháp “ chất tải từng bước”, như trên đã xét

Để có thể giải theo hai phương pháp cuối, viết hệ (49.4) dưới dạng một phương trình duy nhất không tuyến tính đối với chuyển vị W uur1

Như vậy trong trạng thái đang xét độ võng của dầm, độ võng và lực căng của dây treo lần lượt bằng:

- Độ võng dầm: W uur = W uur uur0+ W1

- Độ võng dây: V ur = + V uur uur0 W0 = − + ( b a r r ) W uur (49.6)

H = H + V kLW uur uur + W kLW uuur uur

Phương trình ( 49.5) cho phép chuyển một cách liên tục từ tính toán tĩnh sang tính toán động lực cầu treo, đó là một ưu điểm rất lớn

Sau khi biết chuyển vị các nút và lực căng trong dây treo, có thể tiến hành xác định các nội lực khác ở các nút của kết cấu trong trạng thái làm việc đang xét

Mômen uốn trong dầm ở các nút liên kết xác định:

1

M = B LW

ở đây : ma trận L thành lập theo công thức (5.3) đã nêu

ma trận B xác định theo công thức (5.9) (Theo [1] – trang 28) như sau

ở đây:

qR

uur

- ngoại lực nút tham gia trong Rp

uur , cuả tải trọng tác dụng trên dây treo

Bây giờ xét tính toán không ở các nút liên kết, tức là xét tính toán cầu treo do tải trọng tập trung và tải trọng phân bố tác dụng ở các vị trí bất kỳ của dầm và dây treo và xác định nội lực và chuyển vị ở các điểm bất kỳ của dầm

Vectơ ngoại lực nút Rq

uur , tham gia trong Rp

uur , của tải trọng tác dụng trên dây treo xác định bằng công thức:

uuur

- vectơ, mà thành phần là mômen uốn của các tải trọng tác động trên dây treo Vectơ hợp lực nút Rp

uur trong (49.4) đối với tải trọng tập trung Pj và phân bố qj tác dụng ở các vị trí bất kỳ của dàm mặt cầu có thể xác định:

pj pj

ur ur

,- tính theo (48.9) ở mục trên

• Mômen ở điểm bất kỳ k của dầm mặt cầu có thể được xác định bằng công thức:

M = ∑ M + ∑ M − M K y ur − W uur

ở đây:

Mkpj, Mkqj và Mk- xác định như trong (48.17) của mục trước

• Chuyển vị thẳng đứng điểm bất kỳ của dầm xác định:

ở đây:

ykpj, ykqj và Yk- xác định như trong (48.18) của mục trước

Các công thức dạng khác:

Xét các công thức dạng khác tiện lợi hơn để xác định các đại lượng trên Để tổng quát cho rằng, trong mỗi khoảng của n+1 khoảng giữa các nút liên kết của dầm tác dụng một lực tập trung Pi và một tải trọng phân bố qi, gọi các vectơ cấp n+1 này là pj

ur và qj

r Trên dàm cứng cùng một lúc có thể tác dụng nhiều vectơ ur pj

và q rj Các khoảng cách có độ dài

di và EFi không nhất thiết giống nhau (Theo [1] – trang 268) Vậy thì vectơ hợp lực nút Rp

uur của các tải trọng pj

ur và qj

r xác định bằng:

* Π5 j- ma trận cấp n(n+1), dạng hai đường chéo

i

Π 5 =

(49.18) hai phần tử dòng i xác định theo (48.12) ở mục trước, Π =5ii ϕBi, Π5 , 1i i+ = ϕAi+1

Vectơ mômen uốn ở điểm bất kỳ Mk

uur trong các khoảng xác định bằng công thức:

uur và M uurkqj

- cấp (n+1), có thành phần xác định theo (48.10) và (48.14) ở mục trước cho điểm k của từng khoảng cho tải trọng chỉ trong khoảng đó

Ma trận Π6k trong công thức trên, cấp (n+1)n, có dạng hai đường chéo

i

Π 6 =

hai phần tử dòng i xác định 6 , 1 1 i , 6 i

Xi- khoảng cách điểm k trong khoảng i đến nút (i-1)

di- chiều dài khoảng i Vectơ chuyển vị thẳng đứng điểm bất kỳ yk

ur trong các khoảng xác định bằng công thức:

uuur và ykqj

- Dạng đơn giản, cho pháp biến đổi đưa về một phương trình duy nhất, trên đó có thể áp dụng một cách phong phú các phương pháp giải gần đúng

- Số lượng ẩn số ít hơn và phương trình thành lập một cáhc nhanh chóng trong một loạt trường hợp, khi kết cấu các nút liên kết nhiều phần tử

- Phương trình chuyển vị cho phép thực hiện một cách liên tục từ tính tóan tĩnh sang tính toán động lực

II.2.4 CẦU TREO NHIỀU NHỊP :

Trong cầu treo nhiều nhịp cũng có trường hợp các nhịp của dây treo và của dầm là khác nhau, nhưng thường là các nhịp tương ứng của dây treo và của dầm là giống nhau Trước tiên sẽ xét trường hợp sau:

Kết cấu liên tục m+1 nhịp, với m gối trung gian Mỗi nhịp có số nút liên kết là ni, tổng số nút liên kết trong toàn kết cấu là n, vậy thì 1

1

m i

Trong hệ phương trình cơ bản (49.4) tính toán cầu treo nói chung, xét các ma trận tính toán đối với dây treo và dầm mặt cầu, để tính toán cầu treo nhiều nhịp

Ma trận L, cấp n.n, ở đây là ma trận chéo khối, dựa trên các ma trận Li đối với ni nút tương ứng của các nhịp: