TOAN 10 ON TOAN THCS KHOA HE

Phương trình có hệ số có chứa tham số:  Các hệ số bằng chữ trong phương trình còn được gọi là tham số..  Với mỗi giá trị của tham số, ta được 1 phương trình khác, do đó nghiệm và số

Phần 1 ĐẠI SỐ Bài 1 BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM BPT TRÊN TRỤC SỐ

Thông thường một bất phương trình có vô số nghiệm nên không thể kiệt kê hết được Người ta chọn cách thể hiện tập nghiệm bằng cách biểu diễn trên trục số (phần không bị xóa) Sau đây là các trường hợp thường gặp:

 Chú ý: Tại a, biểu diễn ngoặc vuông “[, ]” tức trong tập nghiệm có x = a,

ngược lại biểu diễn ngoặc đơn “(, )” khi x = a không thuộc tập nghiệm

1.1 Biểu diễn các tập nghiệm sau lên trục số:

Bài 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Ax = B

CÓ HỆ SỐ CHỨA THAM SỐ

1 Phương trình có hệ số có chứa tham số:

 Các hệ số bằng chữ trong phương trình còn được gọi là tham số

 Với mỗi giá trị của tham số, ta được 1 phương trình khác, do đó

nghiệm và số nghiệm của các phương trình có thể khác nhau

 Giải và biện luận phương trình theo tham số là khảo sát nghiệm và số

nghiệm của phương trình đó theo các giá trị khác nhau của tham số

 Khi giải phương trình có hệ số chứa tham số ta cần chú ý: Khi chia

cho một biểu thức chứa tham số phải đặt điều kiện cho các tham số để biểu thức ấy khác 0

2 Giải và biện luận phương trình có hệ số chứa tham số

 Khai triển, chuyển các hạng tử có chứa ẩn sang một vế, các hạng tử khác sang một vế, thu gọn để đưa về phương trình dạng Ax = B (1)

 Phân tích A, B thành nhân tử (nếu được)

3 Phương trình có nghiệm theo điëu kiện:

Trong thực hành, đôi lúc đề không yêu cầu giải và biện luận mà chỉ yêu cầu một phần nhỏ trong phần giải và biện luận

4 Minh họa giải và biện luận phương trình bằng sơ đồ sau:

1.2 Giải và biện luận các phương trình với ẩn là x:

– SX + P = 0

1.5 Giải các phương trình sau (dùng hệ thức Viète nhẩm nghiệm):

a) x2 – 10x + 16 = 0 b) x2 – 7x + 10 = 0 c) x2 – 15x + 50 = 0 d) x2 – 3x – 4 = 0 e) x2 – 6x + 5 = 0 f) x2 – x – 20 = 0 g) x2 – 6x + 8 = 0 h) x2 – 12x + 32 = 0 i) x2 + 6x + 8 = 0 j) x2 – 3x – 10 = 0 k) x2 – x – 6 = 0 l) x2 + x – 6 = 0 m) x2 – ( 3 – 2 )x – 6 = 0 n) x2 + (2 + 5 )x + 2 5 = 0 o) 1,5x2 – 1,6x + 0,1 = 0 p) (2 – 3 )x2 + 2 3 x – (2 + 3 ) = 0 q) 2x2 – 3x – 5 = 0 r) (m – 1)x2 + 3mx + 2m + 1 = 0

s) x2 – 4x + 3 = 0 t) mx2 – 2(m + 1)x + m + 2 = 0 u) 3 x2 –(1– 3 )x + 1 = 0 v) (1 – 2m)x2 + (2m + 1)x – 2 = 0

1.6 Giải và biện luận các phương trình sau:

1.9 Xác định m để các phương trình sau đây có hai nghiệm cùng dấu:

c) Định m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

d) Định m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

1.15 Biết rằng nếu ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì

Bài 4 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC 2

 Số nghiệm của phương trình trùng phương:

Để xác định số nghiệm của phương trình (1) ta dựa vào số nghiệm của phương trình (2) và dấu của chúng:

(2) vô nghiệm (2) có nghiệm kép âm (2) có 2 nghiệm âm

(2) có 1 nghiệm bằng 0, nghiệm còn lại âm

(2) có 1 nghiệm bằng dương, 1 nghiệm âm

- Nếu a  b: (1) vô nghiệm

- Nếu a = b: (1) có nghiệm bội x1 = x2 = x3 = x4 = – a

 Nếu m > 0: đặt t x a b

2



  sẽ đưa (1) về dạng phương trình trùng phương theo t

c) Dạng 1: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (a  0)

Vì x = 0 không là nghiệm của (1) Chia hai vế của (1) cho x2

, ta được: 2

Ta đưa được về phương trình bậc hai theo t Tính t  tính x

 Tổng quát: Phương trình hồi quy:

 x = 0 không là nghiệm của 2

 Khi x  0 chia hai vế của phương trình cho x2

  được phương trình theo t Tính t rồi  x

1.16 Giải các phương trình sau:

1.18 Giải các phương trình sau:

x  10x  26x  4x 1 0   d) 4 3 2

x  2x  x  2x 1 0   e) 4 3 2

1.26 Giải các phương trình sau:

a)

22

22

1.29 Giải các phương trình sau :

Bài 5 PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0

§1 Phân tích đa thức bậc ba thành nhân tử

bằng phương pháp dùng hệ quả của định lý Bezout:

Với đa thức bậc 3 trở lên, để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, người ta thường dùng cách tìm nghiệm của đa thức:

 Nhắc lại mốt số khái niệm:

 Đa thức với biến x thường được ký hiệu là f(x)

 Khi x = a, giá trị tương ứng của f(x) được ký hiệu là f(a)

 Khi f(a) = 0 thì a gọi là một nghiệm của đa thức f(x)

 Định lý Bezout:

Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a là f(a)

 Hệ quả:

 Nếu f(x) có nghiệm x = a thì đa thức f(x) chia hết cho x – a

 Nếu f(x) có nghiệm là a thì f(x) phân tích được thành nhân tử, mà một nhân tử là x – a

 Trong đại số có một số định lý giúp chúng ta định hướng và hạn chế được số giá trị x cần lựa chọn, phát biểu trong điều kiện cụ thể như sau:

Cho đa thức bậc n với các hệ số nguyên:

- Nếu f(x) có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của hệ số

tổng các hệ số của số hạng bậc lẽ thì –1 là một nghiệm của đa thức, do đó đa thức chứa thừa số x + 1

 Phương pháp:

 Áp dụng hệ quả của định lý Bezout để tìm nghiệm của f(x)

 Để tìm thương của phép chia f(x) cho x – a ta có thể dùng các cách sau:

- Thực hiện cách chia thông thường

- Dùng thuật toán Horner

Đến đây, các em có nhiều cách để tìm g(x), thầy đề nghị 4 cách:

Cách 1: Chia đa thức (như ở lớp 8)

x  4x  17x  60 g) x3 3x  2 h) x3 2x  4

i) 3 2

x  5x  19x  60

§2 Giải phương trình bậc 3 bằng cách đưa về phương trình tích

 Phân tích vế trái của (1) thành nhân tử (đã học ở bài 1)

 x2   x 1 0 : phương trình vô nghiệm vì     3 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S   { 3}

b) Gỉải phương trình x3 3x   2 0 ( 1x3 0x2 3x   2 0

Nháp: Vì a b c d 1 0 ( 3 ) ( 2 ) 0           nên phương trình có 1 nghiệm là x   1

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S   { 1;2 }

1.34 Giải các phương trình sau:

a) 3 2

x  2x  5x   6 0 c) 2x3 3x2 5x   6 0 d) 3x3 8x2 3x   2 0 e) x3 3x2 10x  24  0 f) x3 4x2 17x  60  0 g) x3 3x   2 0 h) x3 2x   4 0

k) x3 + 64 = 0 l) x3 – 125 = 0

m) 5x3 – x2 – 5x + 1 = 0 n) 2x3 – x2 + 3x + 6 = 0 o) 3x3 + 6x2 – 4x = 0 p) 30x3 x2 6x 1 0   q) x3 – 5x2 + 7x – 2 = 0 r) x3 – 5x2 – x + 5 = 0 s) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 t) 1,2x3 – x2 – 0,2x = 0

§3 Phương trình bậc 3 có chứa tham số

1 Phương pháp giải:

Cho phương trình 3 2

ax  bx  cx   d 0 trong đó a, b, c, d có thể có chứa tham số m

Ví dụ: (1) x3  5 x2  (2 m  5) x  4 m   2 0

(2) 2 x 2 mx ( m 1) x ( m 1)( m 3) 0

Khi đó việc nhẩm nghiệm rất khó so với phương trình bậc 3 không có tham

số Sau đây là cách nhẩm tìm 1 nghiệm của các phương trình loại này

Bước 1: Khai triển vế trái:

(1) x 5 x 2 mx 5 x 4 m 2 0

Bước 2: Nhóm theo 2 nhóm: nhóm thứ 1 chứa tất cả các số hạng có

chứ m, còn lại cho vào nhóm thứ 2

Bước 4: Kiểm tra xem với giá trị x vừa tìm được có phải là nghiệm

của (1) hay không ? Thế x  2 vào (1), ta được:

2 Ví dụ minh họa

1 Cho phương trình: x3  5 x2  (2 m  5) x  4 m   2 0 (1)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm ba nghiệm phân

Vậy với m  1 thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt x x x1, 2, 3thỏa mãn x12  x22  x23  11

3 Cho phương trình: 2 x3  2 mx2  ( m  1)2x  ( m  1)( m  3)  0 (2) Tìm m để phương trình có nghiệm ba nghiệm phân biệt x x x1, 2, 3

Vậy với   5 m   1 thì phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt

Nhận xét: Với phương trình có tham số, nếu ta dùng phương pháp tách, thêm

bớt hạng tử thì nó quá dài và dễ bị sai sót Do đó, khi gặp loại này các em nên dùng sơ đồ Horrner Cách làm như sau:

1.35 Tìm m để phương trình sau đây:

a) x3  1 m(x 1)   0 có 3 nghiệm phân biệt

b)  2x3   x 1 m(x2 1) có 3 nghiệm phân biệt

c) x3 (2m 1)x  2 3(m 4)x m 12     0 có 3 nghiệm phân biệt d) mx3 (3m 4)x  2 (3m 7)x m 3     0 có nghiệm duy nhất e) x3 (m 1)x  2 (2m2 3m 2)x 2m(2m 1)     0 có hai nghiệm phân biệt

1.36 Cho phương trình: 2(m – 2)x3 – (5m – 2)x2 + 2x – m – 1 = 0 Tìm

m để phương trình có ba nghiệm dương phân biệt

1.37 Cho phương trình: x3 – (2m+1)x2 + (m2+ m + 1)x – (m2 –m+1) = 0 Tìm m để phương trình có ba nghiệm dương phân biệt

1.38 Cho phương trình: x3 – mx + m – 1 = 0 Tìm m để phương trình: i) chỉ có một nghiệm ii) có ba nghiệm phân biệt

1

2 2m m2  2m 1   ( m 1)( m 3 )  

2 2( m 1)  ( m 1)( m 3 )   0

Bài 7 BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH, THƯƠNG

b) Viết phương trình đường thẳng (d4) qua N(3 ; 2) và vuông góc với đường thẳng (d2)

c) Viết phương trình đường thẳng (d5) qua hai điểm M và N

c) Viết phương trình của đường thẳng (d2) tiếp xúc với (P) tại N có hoành độ điểm N là – 1

1.51 Cho parabol (P): y   x2 và điểm A( 3; 8)   Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm A và tiếp xúc với (P)

Mệnh đề “Nếu P thì Q” gọi là mệnh đề kéo theo, ký hiệu P  Q

Mệnh đề P  Q chỉ sai khi P đúng đồng thời Q sai

Ví dụ: Mệnh đề “1>2” là mệnh đề sai

Mệnh đề “ 3    2 3 4 ” là mệnh đề đúng

Trong mệnh đề P  Q thì

 P: gọi là giả thiết (hay P là điều kiện đủ để có Q)

 Q: gọi là kết luận (hay Q là điều kiện cần để có P)

5 Mệnh đề đảo – Hai mệnh đề tương đương

Mệnh đề đảo của mệnh đề P  Q là mệnh đề Q  P

Chú ý: Mệnh đề đảo của một đề đúng chưa hẳn là một mệnh đề đúng Nếu hai mệnh đề P  Q và Q  P đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh

đề tương đương nhau Ký hiệu P  Q

Cách phát biểu khác: + P khi và chỉ khi Q

+ P là điều kiện cần và đủ để có Q

+ Q là điều kiện cần và đủ để có P

 Phủ định của “a < b” là “a ≥ b”

 Phủ định của “a = b” là “a ≠ b”

 Phủ định của “a > b” là “a ≤ b”

 Phủ định của “a chia hết cho b” là “a không chia hết cho b”

Ví dụ: P:  n  Z, n < 0 phủ định của P là P  n  ,n 0 

8 Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học

 Trong toán học, định lí là một mệnh đề đúng Nhiều định lí được phát biểu dưới dạng: “  x  X, P(x)  Q(x)” trong đó P(x), Q(x) là các mệnh đề chứa biến, X là tập hợp nào đó

 Cho định lí: “  x  X, P(x)  Q(x)” (1), P(x) là giả thiết, Q(x) là kết luận

 P(x) là điều kiện đủ để có Q(x); Q(x) là điều kiện cần để có P(x)

 Mệnh đề “  x  X, Q(x)  P(x)” (2), là mệnh đề đảo của định lí (1)

Nếu mệnh đề (2) đúng thì nó được gọi là định lí đảo của định lí (1) Khi đó định lí (1) gọi là định lí thuận Định lí thuận và đảo có thể viết

gộp thành định lí: “  x  X, P(x)  Q(x)”, đọc là P(x) là điều kiện cần và đủ để có Q(x)

B - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

 P  Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề P và Q đều đúng hay đều sai

  x  X, P(x) đúng khi P(x0) đúng với mọi x0 X

  x  X, P(x) đúng khi có x0 X sao cho P(x0) đúng

2 VÍ DỤ:

Ví dụ 1 Xét xem các phát biểu sau có phải là mệnh đề không ? Nếu là mệnh đề

thì cho biết đó là mệnh đề đúng hay sai ?

f) Nếu n là số chẵn thì n chia hết cho 4

g) Nếu chia hết cho 4 thì n là số chẵn

h) n là số chẵn nếu và chỉ nếu n2 chia hết cho 4

Ví dụ 2 Tìm mệnh đề đảo của mệnh đề sau và cho biết mệnh đề đảo đúng hay

sai: “Nếu hai góc đối đỉnh thì chúng bằng nhau”

Ví dụ 3 Tìm mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết chúng đúng hay

Ví dụ 4 Chứng minh rằng: “Nếu nhốt n con thỏ vào k cái chuồng (k < n) thì có một chuồng chứa nhiều hơn một con thỏ” (nguyên lí Dirichlet)

Dạng 4 Phát biểu định lí, định lí đảo dạng điëu kiện cần, điëu kiện đủ

1 PHƯƠNG PHÁP:

a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.

b) Nếu a + b > 0 thì ít nhất có m ột số a hay b dương

d) 2

(x  2)   1 e) x 1   y f) 2 2

(a  b)(a  b)  a  b g) (a  b)2  a2 b2 h) x2  0 i) (x  y)2  x2 2xy  y2j) 2

(x  2)  1 k) x2 5x 6   0 l) (x  y)z  xz  yz

1.56 Lập mệnh đề phủ định và xét tính đúng sai của chúng:

a)  x  Q, 9x2 – 3 = 0 b)  n  N, n2 + 1 chia hết cho 8 c)  x  R, (x – 1)2 x – 1 d)  n  N, n2 > n

1.57 Cho số thực x Xét các mệnh đề: P: “x2 = 1” và Q: “x = 1”

a) Phát biểu mệnh đề P  Q và mệnh đề đảo của nó

b) Xét tính đúng sai của 2 mệnh đề trên

c) Chỉ ra 1 giá trị của x mà mệnh đề P  Q sai

1.58 Dùng ký hiệu  hoặc  để viết các mệnh đề sau:

a) Có 1 số nguyên không chia hết cho chính nó

b) Mọi số thực cộng với 0 đều bằng chính nó

c) Có một số hữu tỷ nhỏ hơn nghịch đảo của nó

1.59 Sử dụng khái niệm “điều kiện cần” hoặc “điều kiện đủ” phát biểu

các mệnh đề sau:

a) Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau

b) Số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5 c) Nếu a = b thì a2 = b2

d) Nếu a + b > 0 thì 1 trong hai số a và b > 0

1.60 Phát biểu một “điều kiện đủ”:

Bài 11 TẬP HỢP CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Tập hợp:

Cho tập hợp A Nếu a là phần tử thuộc tập A ta viết a  A

Nếu a là phần tử không thuộc tập A ta viết a  A

Ta thường minh hoạ tập hợp bằng một đường cong

khép kín gọi là biểu đồ Ven

3 Tập hợp rỗng: Là tập hợp không chứa phần tử nào Ký hiệu 

 Tập hợp các số hữu tỉ bao gồm các số thập phân hữu hạn và các

số thập phân vô hạn tuần hoàn

A

c) Các tập hợp con thường dùng của :

Nửa khoảng [a;  ) { x / x  a }

B - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Dạng 1 Xác định tập hợp và các phép toán trên tập hữu hạn

1 PHƯƠNG PHÁP:

 Dùng định nghĩa các phép toán để xác định các phần tử của tập hợp

2 VÍ DỤ:

Ví dụ 1 Cho ba tập hợp:

A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, B = {x  / – 3  x  2}, C = {x  / 2x2 – 3x = 0} a) Dùng phương pháp liệt kê phần tử xác định các tập hợp B và C

nào nhỏ hơn thì đứng bên trái)

 Dùng định nghĩa các phép toán để xác định các phần tử của tập hợp

B AC

Dạng 3 Giải toán bằng biểu đồ Venn

1 PHƯƠNG PHÁP:

vòng tròn có phần tử chung nếu giao của hai tập hợp là khác rỗng

 Dùng các biến để chỉ số phần tử của từng phần không giao nhau

2 VÍ DỤ:

nhận học sinh giỏi Văn, 25 bạn học sinh giỏi Toán Tìm số học sinh giỏi cả Văn

và Toán biết lớp 10A có 45 học sinh và có 13 học sinh không đạt học sinh giỏi

C - BÀI TẬP

1.63 Các mệnh đề sau đúng hay sai ?

a) a = {a} b) a  {a} c) {a}  {a} d)    e)    f)   {  } g)  = {0} h)   {0} i)  = {  } j) {1; 2}  {1; 2; {1; 2; 3}} k) {1; 2}  {1; 2; {1; 2; 3}}

1.64 Viết các tập hợp sau dưới dạng liệt kê phần tử:

1.66 Xét quan hệ giữa các tập hợp sau:

a) A  {x / x2 3x   2 0} B {x / x 2    0}

B {x / x    4 0}

c) A =  B = {  }

d) A: tập các tam giác B: tập các tam giác vuông

C: tập các tam giác cân D: tập các tam giác vuông cân

1.67 Xét quan hệ “  ” hay “=” giữa các tập hợp A và B sau:

a) A {x   / x chẵn} B {x   / x chia hết cho 12} b) A {x   / x2 3x   2 0 B {x   / x 2   0

c) A {x / x  2  1 0 2

B {x / x    4 0 d) A   {x / x  0} 2

A {x / x   E và x chia hết cho 2}

B {x / x   E và x chia hết cho 3}

Tìm A \ B, CEA  B, CEA  CEB, CEA  CEB

1.73 a) Cho A={1; 2; 3; 4; 5}, B = {1; 2; 3; 4; x} Tìm x để B  A b) Cho A={2; 5}, B = {5; x}, C = {x; y; 5} Tìm x, y để A = B = C c) Cho A = {1; 2; 3; 4; 5}, B = {1; 2; 3; 4; x} Tìm x để B  A d) Cho A = {1; 2; 3}, B = {1; 2; 3; x} Tìm x để A = B

1.88 Trong số 45 học sinh của lớp 10A có 15 bạn được xếp học lực giỏi,

20 bạn được xếp hạnh kiểm tốt, trong đó có 10 bạn vừa được học sinh giỏi vừa được hạnh kiểm tốt Hỏi:

a) Lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết rằng muốn được khen thưởng bạn đó phải có học lực giỏi hay hạnh kiểm tốt?

b) Lớp 10A có bao nhiêu bạn chưa được xét học lực giỏi và chưa

có hạnh kiểm tốt ?