GKOTT9 Ôn tập Giáo khoa toán 9

Định nghĩa: Tập hợp quỹ tích các điểm cách điểm O cho trước một khoảng cách không đổi R > 0 được gọi là đường tròn tâm O bán kính R Áp dụng: Tìm quỹ tích các điểm M sao cho AMB = 1v, tro

Đại số

Câu 1: Phát biểu định nghĩa căn bậc hai số học của một số a  0.

Định nghĩa căn bậc hai số học: Căn bậc hai số học của một số a  0 là số không âm x  a  0 có bình phương bằng a   













a a x x a

0

Áp dụng : Các số  52 ; 5 2 là căn bậc hai số học của 9 (theo định nghĩa)

Câu 2: Chứng minh định lý “Với mọi a  R thì a 2 a”

Chứng minh: Ta phải chứng minh a  0và a 2  a 2

 a 0(định nghĩa giá trị tuyệt đối)

 Nếu a 0 thì a  a a 2  a 2 Nếu a < 0 thì a   a a 2    a 2 a2

Vậy: “Với mọi a  R thì a 2 a”

Áp dụng :  3  12  3  1  3  1





















1 x với 1 x 1 x 1

Câu 3: Phát biểu quy tắc khai phương một tích.

Quy tắc khai phương một tích: Muốn khai phương một tích các biểu thức không âm, ta có thể khai

phương từng biểu thức rồi nhân các kết quả với nhau

Áp dụng : 4  0 , 36  25  4 0 , 36 25  2 0 , 6 5  6















0 a với a 7 a

7 a 49 a

Câu 4: Phát biểu quy tắc nhân các căn thức bậc hai.

Quy tắc nhân các căn thức bậc hai: Muốn nhân các căn thức bậc hai của các biểu thức không âm ta

có thể nhân các biểu thức dưới dấu căn với nhau rồi lấy căn bậc hai của kết quả đó

Áp dụng : Tính: a) 3 27  3 27  81  9;

b) 2 a a 16 a 2  16 a 2 4 a  a với a0

Câu 5: Phát biểu qui tắc khai phương một thương.

Quy tắc khai phương một thương: Muốn khai phương một thương

B

A của hai biểu thức A  0 , B  0,

ta có thể khai phương lần lượt biểu thức bị chia A và biểu thức chia B sau đó lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai

Áp dụng : Tính a) 43

16

9 16

9



 ;

b)



















0 a với 11 a 4

0 a với 11 a 4 11

a 4 121 a 4 121

a

Câu 6: Phát biểu qui tắc chia hai căn thức bậc hai.

Quy tắc chia hai căn thức bậc hai: Muốn chia căn thức bậc hai của biểu thức không âm A cho căn

thức bậc hai của biểu thức dương B, ta có thể chia biểu thức A cho biểu thức B rồi lấy căn bậc hai của kết quả đó

Áp dụng : Tính a) 16 4

5

80 5

80





b) 25 với a 0

a

a 75 a

a 75









Câu 7: Nêu định nghĩa hàm số bậc nhất và các tính chất của nó.

a) Định nghĩa hàm số bậc nhất: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bỡi công thức y = ax+b

trong đó a, b là các số thực xác định (a  0)

b) Tính chất:

- Hàm số bậc nhất xác định với mọi giá trị của x thuộc R, nên:

Tập xác định của hàm số y = ax + b là R

- Trong tập xác định R, hàm số bậc nhất y = ax + b đồng biến nếu a > 0, và nghịch biến nếu

a < 0

Áp dụng : Cho hàm số y=(m–2)x+1 là hàm số bậc nhất với a = (m–2)

Nên hàm số đồng biến trên R khi m > 2 và Nghịch biến trên R khi m < 2

Câu 8: Nêu tính chất biến thiên của hàm số y  ax2,a  0

a) Hàm số y=ax2 xác định với mọi giá trị của xR, nên tập xác định của hàm số y=ax2 là R.

b) Nếu a > 0 thì hàm số y=ax2 đồng biến trong R + nghịch biến trong R – và bằng 0 khi x=0

Nếu a < 0 thì hàm số y=ax2 đồng biến trong R – nghịch biến trong R + và bằng 0 khi x=0

Áp dụng: Hàm số y = 2x2 có a = 2 > 0 nên hàm số y = 2x2 đồng biến trong R + nghịch biến trong R – và bằng 0 khi x = 0

Ta có x1 ,x2R ,mà 0x1 2-  x2 1 nên fx1 2 1f x2 1 vì hàm số đồng biến

trong R +

Câu 9: Nêu định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn số.

Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn số là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0, (a 0) trong đó x là ẩn số, a, b, c là các hệ số đã cho, a  0

Áp dụng :

a) x 2 xmxmx 22 mx m0 ;

b) x2 p x  1 1  p  x2 3 px  2 p  1  0

Câu 10: Phát biểu và chứng minh hệ thức Viét.

Hệ thức Vi-et: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0) có hai nghiệm x1 , x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là: S = x1+x2 = –

a

b

P = x1.x2 =

a c

Chứng minh:

Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0) có hai nghiệm x1 , x2 nên tổng và tích hai nghiệm đó là:

S = x1+x2 =

a

b a 2

b a

2

b b

a 2

b a

2

b



































a

c a

4

b ac 4 b a

4

b b

a 2

b a

2

b

2

2 2





































Áp dụng : Tìm hai số x và y biết: x2 y2  13và x + y = -1

Ta có  

















































1 y 6 xy 1 y 13 xy 2 y x

1

y

13

y

x 2 2 2

Hai số x, y là nghiệm của phương trình bậc hai sau: t2 + t – 6 = 0 Giải phương trình, ta được hai số cần tìm là 2 và –3

Hình Học:

Câu 1: Phát biểu định nghĩa đường tròn.

Định nghĩa: Tập hợp (quỹ tích) các điểm cách điểm O cho trước một khoảng cách không đổi R > 0

được gọi là đường tròn tâm O bán kính R

Áp dụng: Tìm quỹ tích các điểm M sao cho AMB = 1v, trong đó AB là một đoạn thẳng cho trước.

a Phần thuận: Gọi I là trung điểm của AB

Tam giác AMB vuông tại M (vì AMB = 1v)

Mà MI là trung tuyến (vì I là trung điểm của AB)

Nên IM = IA = IB (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)

Do đó M nằm trên đường tròn (I) đường kính AB

b Phần đảo: Lấy M’ nằm trên đường tròn (I) đường kính AB.

Tam giác ABM có IM = IA = IB = R

Nên tam giác ABM vuông tại M (tính chất trung tuyến tam giác vuông)

Do đó AMB = 1v

c Kết luận: Tập hợp (quỹ tích) các điểm M là đường tròn (I) đường kính AB, với I là trung điểm

của AB

Câu 2: Chứng minh định lý: “Đường kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung đó ra hai

phần bằng nhau”

Chứng minh:

Nếu I trùng O thì CD là đường kính, nên ta có I là trung điểm của CD

Nếu I không trùng O thì:

OCD cân tại O (OC = OD = R)

Mà OI là đường cao (AB  CD)

Nên OI là đường trung tuyến (tính chất của tam giác cân)

Do đó: I là trung điểm của CD

Câu 3: Chứng minh định lý: “Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông

góc với bán kính đi qua tiếp điểm”

Chứng minh: Gọi x’x là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Kẻ OA  x’x tại A

Vì x’x là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên OA = R

Do đó điểm A nằm trên đường tròn (O; R)

Hay x’x vuông góc với bán kính OA của đường tròn (O) tại A

B A

M

B

O A

x Q

O

A x'

Câu 4: Chứng minh định lý: “Nếu một đường thẳng vuông góc với bán kính tại mút nằm trên đường

tròn thì đường thẳng đó là một tiếp tuyến của đường tròn”

Chứng minh: Gọi x’x  OA tại A với OA là bán kính của đường tròn (O; R).

Ta có d = OA = R

Nên x’x là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)

Câu 5: a) Định nghĩa góc nội tiếp

Định nghĩa: Góc nội tiếp là một góc có đỉnh nằm trên một đường tròn và hai cạnh của nó cắt đường

tròn đó

b) Chứng minh định lý: “Trong một đường tròn, số đo của một góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung

bị chắn”

Chứng minh: Trường hợp tâm O nằm trên một cạnh của góc nội tiếp

OBC cân tại O (vì OB = OC = R)

nên: OBC = OCB (hai góc ở đáy)

mà: góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề nó

nên: COA = CBA + OCB = 2 CBA

mà: Sđ COA = Sđ CA (định nghĩa)

nên: Sđ ABC = 21 Sđ CA (Tính chất bắc cầu)

Câu 6: Chứng minh định lý: “ Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây cung đi qua tiếp điểm có số

đo bằng nửa số đo của cung bị chắn” (Chỉ yêu cầ chứng minh trường hợp tâm của đường tròn nằm bên ngoài góc)

Chứng minh: Trường hợp tâm O nằm ngoài góc BAx :

Trong tam giác OAB cân tại O (OA = OB = R) Kẻ OH  AB

Ta có OH là đường cao và phân giác của OAB cân (tính chất tam

giác cân)

BOA = 2.AOH (tính chất đường phân giác)

Mà: AOH = BAx (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

Suy ra: BOA = 2 BAx (tính chất bắc cầu)

Mà: Sđ BOA = 21 Sđ AB (cung tròn và góc ở tâm chắn nó có cùng số

đo độ)

Nên: Sđ BAx = 21 Sđ AB (tính chất bắc cầu)

Câu 7: Chứng minh định lý: “Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn có số đo bằng một nửa tổng số đo

hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh ấy”

Chứng minh: Góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề nó, nên trong tam giác ACE, ta có:

AED = ACD + CAB

Mà: Sd ACD = 21 Sđ AD (góc nội tiếp bằng nửa cung nó chắn)

Và: Sđ CAB = 21 Sđ BC (góc nội tiếp bằng nửa cung nó chắn)

Do đó: Sđ AED = 21 Sđ ( AD + BC ) (tính chất bắc cầu)

Câu 8: Chứng minh định lý: “ Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc

đối diện bằng hai góc vuông”

Chứng minh:

Sđ BAC = 1/2 Sđ BDC (góc nội tiếp bằng nửa cung nó chắn)

Sđ BDC = 1/2 Sđ BAC (góc nội tiếp bằng nửa cung nó chắn)

Sđ (BAC + BDC) = 21 Sđ ABCD (cộng vế theo vế)

BAC + BDC = 21 3600 = 1800 (hay 2v)

A

B

C

O

H

Q

O

A Q

B

E

C

D A

B

O

C

D B

m

Câu 9: Phát biểu các tính chất cơ bản của mặt phẳng.

Tính chất 1: Nếu một đường thẳng a đi qua hai điểm phân biệt A và B của một mặt phẳng (P) thì mọi

điểm của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng (P)

Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất

(đường thẳng chung của hai mặt phẳng cắt nhau gọi là giao tuyến)

Tính chất 3: Qua 3 điểm không thẳng hàng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng

- Định lý 1: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua một đường thẳng và một điểm nằm ngoài

đường thẳng đó

- Định ly ù2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau.

( Phải bổ sung hình vẽ minh họa cho từng tính chất và từng định lý).

Câu 10: Chứng minh định lý: “ Nếu đường thẳng a không thuộc

(P) mà song song với một đường thẳng b nằm trên (P) thì a song

song với (P)”

) ( //

) (

P b b a P a











Vì a // b nên có mặt phẳng (Q) qua a và b (theo định nghĩa hai

đường thẳng song song)

Do đó: Giao tuyến hai mặt phẳng (P) và (Q) là đường thẳng b

(định nghĩa giao tuyến của hai mặt phẳng)

Giả sử đường thẳng a không song song với mặt phẳng (P) mà

đường thẳng a không chứa trong (P)

Do đó đường thẳng a có một điểm chung là M với mặt phẳng (P)

Ta có: M a mà a(Q) nên M(Q) và M(P) (theo chứng minh trên)

Do đó: M nằm trên giao tuyến của (P) và (Q)

Hay M b, mà M a(theo chứng minh trên) nên a và b cắt nhau tại M Điều này trái với giả thiết của định lý là a // b

Vậy: a // (P)

a Q

b